INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO

MARIÑOEXTENSION BARINASINGENIERIA CIVIL

REGRESION LINEAL

ELABORADO POR: ALBERTO OROPEZACI 12316115

Introducción

El análisis de regresión es una técnica para investigar y modelar la relación entre variables. Aplicaciones de regresión son numerosas y ocurren en casi todos los campos, incluyendo ingeniería, la física, ciencias económicas, ciencias biológicas y de la salud, como también ciencias sociales.

Regresión lineal

La regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable

dependiente Y, las variable independientes Xi y un término aleatorio ε.

La primera forma de regresión lineal documentada fue el métodos de los cuadrados que fue publicada por Legendre en 1805, y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.

Una relación funcional matemáticamente hablando, esta dada por:Y = f(x1,...,en; θ1,...,θ m) en donde:Y : Variable respuesta (o dependiente)xi : La i-esima variable independiente (i=1,..,n)θj : El j-esimo parámetro en la función (j=1,..,m)f : La funciónUna vez decidido el tipo de función matemática que mejor se ajusta (o representa nuestro concepto de la relación exacta que existe entre las variables) se presenta el problema de elegir una expresión particular de esta familia de funciones; es decir, se ha postulado una cierta función como termino del verdadero estado en la población y ahora es necesario estimar los parámetros de esta función (ajuste de curvas).

Análisis de Regresión

Tipos de modelos de regresión lineal

Regresión lineal simple Sólo se maneja una variable

independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:

Donde ε¡ es el error asociado a la medición del valor Xi y siguen los supuestos de modo que (media cero, varianza constante e igual a un δ y con ).

Tipos de modelos de regresión lineal

Regresión lineal simple Análisis: Dado el modelo de regresión

simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:

Derivando respecto y

Tipos de modelos de regresión lineal

Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros

La interpretación del parámetro es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en

Tipos de modelos de regresión lineal

Regresión lineal múltipleLa regresión lineal permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o razón. De la misma manera, es posible analizar la relación entre dos o más variables a través de ecuaciones, lo que se denomina regresión múltiple o regresión lineal múltiple.Constantemente en la práctica de la investigación estadística, se encuentran variables que de alguna manera están relacionadas entre sí, por lo que es posible que una de las variables puedan relacionarse matemáticamente en función de otra u otras variables.

Se expresan de la forma:

Regresión lineal

Rectas de regresión Las rectas de regresión son las rectas que

mejor se ajustan a la nube de puntos (o también llamado diagrama de dispersión) generada por una distribución binomial. Matemáticamente, son posibles dos rectas de máximo ajuste:

La recta de regresión de Y sobre X:

La recta de regresión de X sobre Y:

Supuestos del modelo de regresión lineal

Para poder crear un modelo de regresión lineal es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:

Que la relación entre las variables sea lineal.Que los errores en la medición de las variables explicativas sean independientes entre sí.Que los errores tengan varianza constante. (Homocedasticidad)Que los errores tengan una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).Que el error total sea la suma de todos los errores.

Aplicaciones de la regresión lineal

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Líneas de tendenciaUna línea de tendencia representa una tendencia en una serie de datos obtenidos a través de un largo período. Este tipo de líneas puede decirnos si un conjunto de datos en particular (como por ejemplo, el PBI, el precio del petróleo o el valor de las acciones han aumentado o descrementado en un determinado período. Se puede dibujar una línea de tendencia a simple vista fácilmente a partir de un grupo de puntos, pero su posición y pendiente se calcula de manera más precisa utilizando técnicas estadísticas como las regresiones lineales. Las líneas de tendencia son generalmente líneas rectas, aunque algunas variaciones utilizan polinomios de mayor grado dependiendo de la curvatura deseada en la línea.

Aplicaciones de la regresión lineal

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1. Descripción de datos Ingenieros y científicos frecuentemente utilizan ecuaciones para resumir un conjunto de datos. El análisis de regresión es útil para describir los datos.2. Estimación de parámetros. Uno de los casos en los cuales se utiliza el análisis de regresión para estimar parámetros es el siguiente:Suponga que un circuito eléctrico contiene una resistencia conocida de ohms. Diferentes corrientes pasan a través del circuito y el correspondiente voltaje es medido. El diagrama de dispersión podría indicar que el voltaje y la corriente están relacionados por una línea recta que pasa por el origen con pendiente (debido a que el voltaje y la corriente están relacionados por la ley de Ohm ). El análisis de regresión podría ser utilizado para ajustar este modelo a los datos, produciendo un estimado de la resistencia desconocida. .