Regresion Multiple

Regresión y Coeficiente de Correlación Múltiple

El análisis de regresión múltiple es una técnica estadística que consiste en la extensión del análisis de regresión simple a una forma donde se aplican dos o mas variables independientes; X1, X2,…, Xk.; siendo: K>=2, para pronosticar el valor de la variable dependiente Y.

La estimación de la ecuación de regresión poblacional es la ecuación de regresión lineal múltiple muestral.

y=a+b1X1+b2X 2

Donde:

a, b1, b2,…, bk. : Son Coeficientes de Correlación Muestral

Para b1:

b1=[∑ x2

2−n(X 2)2 ] [∑ X1Y−n ( X1 )(Y )]−[∑ X1 X2−n (X 1) ( X2 ) ] [∑ X2Y−n ( X2 )(Y )]

[∑ x12−n(X1)

2 ] [∑ x22−n(X2)

2 ]−[∑ X1 X2−n ( X1 ) ( X2 ) ]2

Para b2:

b2=[∑ x1

2−n(X 1)2 ] [∑ X2Y−n ( X2 )(Y )]−[∑ X1 X2−n ( X1) ( X2 ) ] [∑ X1Y−n ( X1 )(Y )]

[∑ x12−n(X1)

2 ] [∑ x22−n(X2)

2 ]−[∑ X1 X2−n ( X1 ) ( X2 ) ]2

Para a:

a=Y−b1 X1−b2 X2

Página 1


El Coeficiente de Correlación Múltiple indica la correlación entre una de las variables independientes y la variable dependiente, manteniendo la otra u otras variables independientes estadísticamente constante.

r=√ a∑Y +b1∑ X1Y +b2∑ X2Y−nY 2

∑ Y 2−nY 2

Ejemplo 1.

Se realiza un estudio de asociación entre las variables:

Y: Gastos mensuales expresados en cientos de dólares

X1: Ingreso mensual familiar en miles de dólares

X2: Tamaño de la familia.En una encuesta de 10 familias escogidas al azar se han encontrado los datos que se presentan en la tabla:

45 10 9 100 81 90 450 405 202540 9 8 81 64 72 360 320 160038 8 6 64 36 48 304 228 144435 7 6 49 36 42 245 210 122532 7 5 49 25 35 224 160 102430 6 4 36 16 24 180 120 90028 6 3 36 9 18 168 84 78427 4 2 16 4 8 108 54 72925 3 2 9 4 6 75 50 625

Página 2

∑Y=322

Y=32.2

∑ X1=62

X1=6.2

∑ X2=46

X2=4.6

∑ X12=444∑ X2

2=276∑ X1 X2=345∑ X1Y=2158∑ X2Y=1653∑Y 2=10840


Determinar:

La ecuación de regresión múltiple muestral El coeficiente de Correlación múltiple

Solución:

Determinando la ecuación de regresión múltiple muestral

Y=a+b1X1+b2X 2

De los datos tenemos

n=10 ;∑ Y=322 ;∑ X1=62;∑ X2=46 ;∑ X12=444 ;∑ X2

2=276 ;∑ X1 X2=345 ;

∑ X1Y=2158 ;∑ X2Y=1653 ;∑Y 2=10840 ;Y=54.5; X1=49 ; X 2=14.83

Empleando la formula de regresión múltiple

b1=[∑ x2


[∑ x12−n(X1)

2 ] [∑ x22−n(X2)

2 ]−[∑ X1 X2−n ( X1 ) ( X2 ) ]2

b1=64.4∗161.6−59.8∗171.8

59.6∗64.4−3576=133.4

262.2

b1=0.509

b2=[∑ x1


[∑ x12−n(X1)

2 ] [∑ x22−n(X2)

2 ]−[∑ X1 X2−n ( X1 ) ( X2 ) ]2

b2=59.6∗171.8−59.8∗161.6

59.6∗64.4−3576=575.6

262.2

b2=2.195

a=Y−b1 X1−b2 X2

a=32.2−0.509∗6.2−2.195∗4.6

a=18.947

Reemplazando en la formula de Regresión Y.

Y=18.947+0.509 X1+2.195 X2

Página 3


Determinando el coeficiente de correlación

r=√ a∑Y +b1∑ X1Y +b2∑ X2Y−nY 2

∑ Y 2−nY 2

r=√ 18.947∗322+0.509∗2158+2.195∗1653−10∗32.22

10840−10∗32.22

r=√ 6100.934+1098.42+3628.34−10368.410840−10368.4

⇒ r=0.986

Ejercicio desarrollado por sistema de ecuaciones de mínimo cuadrado

Formulas:

n∗a+∑ X1b1+∑ X2b2=∑Y

∑ X1a+∑ X12b1+∑ X 1X2b2=∑ X1Y

∑ X2a+∑ X1 X2b1+∑ X 22b2=∑ X2Y

10a+64 b1+46 b2=322

62a+444b1+345b2=2158

46 a+345b1+276b2=1653

Método Práctico para convertir el sistema de ecuaciones de 3 a 2 ecuaciones

Formulas:

∑ X12b1+∑ X1 X2b2=∑ X1Y

∑ X2 X1b1+∑ X22b2=∑ X2Y

Donde:

S x12=∑ X1

2−n(X1)2

Página 4


S X22=∑ X2

2−n (X2)2

S X1 X2=∑ X1X 2−n(¿ X1)(X2)¿ S X1Y=∑ X1Y−n(¿ X1)(Y )¿ S X2Y=∑ X2Y−n(¿ X 2)(Y )¿

Reemplazando Los valores: 444−10∗6.22=59.6 276−10∗4.62=64.4 345−10∗6.2∗4.6=59.8 2158−10∗6.2∗32.2=161.6 1653−10∗4.6∗32.2=171.8

Sistema de 2 ecuaciones:

59.6b1+59.8b2=161.6 …. (1)

59.8b1+64.4 b2=171.8…. (2)

−59.8b1+60.001b2=−162.14

59.8b1+64.4 b2=171.8

4.399b2=9.66

b2=2.195

Reemplazando en (1)

59.6b1+131.26=161.6

59.6b1=30.34

b1=0.509

Para Obtener (a)

a=Y−b1 X1−b2 X2

a=32.2−0.509∗6.2−2.195∗4.6

a=18.947

Sistema de Regresión Múltiple Muestral

∴Y=18.947+0.509 X1+2.195 X 2

Página 5

-59.8/59.6


Ejemplo 2

El departamento de producción de una fábrica de confecciones textiles desea explorar la relación entre el número de operadores (X ¿¿2)¿ que hacen pantalones, la edad promedio de ellos (X ¿¿1)¿, y la cantidad producida por semana (Y ); una muestra aleatoria para realizar el estudio reveló los siguientes datos:

30 28 10 784 100 280 840 300 90045 43 12 1849 144 516 1935 540 202552 48 14 2304 196 672 2496 728 270455 52 15 2704 225 780 2860 825 302570 60 17 3600 289 1020 4200 1190 490075 63 21 3969 441 1323 4725 1575 5625

a) Determinar la ecuación de regresión múltiple muestralb) Determine el coeficiente de correlación múltiple

Solución


Y=a+b1X1+b2X 2


n=6 ;∑Y=327 ;∑ X1=294 ;∑ X2=89 ;∑ X 12=15210 ;∑ X2

2=1395 ;

∑ X1 X2=4591 ;∑ X1Y=17056 ;∑ X2Y=5158 ;∑ Y 2=19179 ;Y=54.5 ; X1=49 ; X2=14.83


b1=[∑ x2


[∑ x12−n(X1)

2 ] [∑ x22−n(X2)

2 ]−[∑ X1 X2−n ( X1 ) ( X2 ) ]2

b1=[1395−6 (14.83 )2 ] [17056−6∗49∗5435 ]−[ 4591−6∗49∗14.83 ] [ 5158−6∗14.83∗54.5 ]

[15210−6 (49 )2 ] [1395−6 (14.83 )2 ]− [ 4591−6∗49∗14.83 ]2

b1=6637.97

7291.548

b1=0.9

b2=[∑ x1


[∑ x12−n(X1)

2 ] [∑ x22−n(X2)

2 ]−[∑ X1 X2−n ( X1 ) ( X2 ) ]2

Página 6

Y X1 X2 X12 X2

2 X1 X2 X1Y X2Y Y 2

∑ X2=89

X2=14.83∑ X1

2=15210∑ X22=1395∑ X1 X2=4591∑ X1Y=17056∑ X2Y=5158∑Y 2=19179∑Y=327

Y=54.5∑ X1=294

X1=49


b2=[15210−6∗492 ] [ 5158−6∗14.83∗54.5 ]−[ 4591−6∗49∗14.83 ] [17056−6∗49∗54.5 ]

[15210−6 (49 )2 ] [1395−6 (14.83 )2 ]−[ 4591−6∗49∗14.83 ]2

b2=[804∗308.59 ]−[ 230.98∗1033 ]

804∗75.427−53351.76⟹b2= 9504.02

7291.548

b2=1.30

a=Y−b1 X1−b2 X2

a=54.5−0.9∗49−1.30∗1498

a=−8.879


Y=−8.879+0.9 X1+1.30 X2


r=√ a∑Y +b1∑ X1Y +b2∑ X2Y−nY 2

∑ Y 2−nY 2

r=√−8.879∗327+0.9∗17056+1.30∗5158−6∗54.52

19179−6∗54.52

r=√−2903.43+15350.4+6705.4−17821.519179−17821.5

r=√ 1330.871357.5

⟹ r=√0.98=0.99

Desarrollando por ecuaciones de mínimo cuadrado

n∗a+∑ X1b1+∑ X2b2=∑Y

∑ X1a+∑ X12b1+∑ X 1X2b2=∑ X1Y

∑ X2a+∑ X1 X2b1+∑ X 22b2=∑ X2Y

6a+294b1+89b2=327

294 a+15210b1+4591b2=17056

89a+4591b1+1395b2=5158

Método practico para convertir el sistema de ecuaciones de 3 a 2 ecuaciones

∑ X12b1+∑ X1 X2b2=∑ X1Y

∑ X2 X1b1+∑ X22b2=∑ X2Y

Página 7


Donde:

S x12=∑ X1

2−n(X1)2

S X22=∑ X2

2−n (X2)2

S X1 X2=∑ X1X 2−n(¿ X1)(X2)¿ S X1Y=∑ X1Y−n(¿ X1)(Y )¿ S X2Y=∑ X2Y−n(¿ X 2)(Y )¿

Reemplazando Los valores: 15210−6∗4 92=804 1395−6∗14.832=75.426 4591−6∗49∗14.83=230.98 17056−6∗49∗54.5=1033 5158−6∗14.83∗54.5=308.59

Sistema de 2 ecuaciones:

804 b1+230.98b2=1033 …. (1)

230.98b1+75.426b2=308.59…. (2)

−230.98b1−66.357b2=−296.769

230.98b1+75.426b2=308.59

9.068b2=11.821

b2=1.30

Reemplazando en (1)

804 b1+230.98b2=1033

804 b1=230.98 (1.30 )=1033

b1=0. 9

Para Obtener (a)

a=Y−b1 X1−b2 X2

a=54.5−0.9∗49−1.30∗14.83=−8.879

Sistema de Regresión Múltiple Muestral

∴Y=−8.879+0.9 X 1+1.30 X 2

Página 8

-230.98/804


1. El gerente de ventas de las llantas “GOOD BYE” que se venden en todo el país realiza un estudio para determinar la relación entre el numero de llantas vendidas por mes (Y en cientos) y los gastos de publicidad mensuales(en cientos de dólares), X1:Radio, X2: Periódicos . Los datos obtenidos en una muestra de 5 provincias se dan en la tabla que sigue.

4 13 15 169 225 195 52 60 165 12 16 144 256 192 60 80 255 15 18 225 324 270 75 90 256 14 17 196 289 238 84 102 367 16 17 256 289 272 112 119 49

a) Determinar la ecuación de regresión muestral de Y en X1, X2.

b) Hallar el coeficiente de Correlación

Solución


Y=a+b1X1+b2X 2


n=5 ;∑ Y=27 ;∑ X1=70 ;∑ X2=83;∑ X12=990 ;∑ X2

2=1383 ;

∑ X1 X2=1167;∑ X1Y=383 ;∑ X2Y=451 ;∑Y 2=151 ;Y=5.4 ; X1=14 ; X2=16.6


b1=[∑ x2


[∑ x12−n(X1)

2 ] [∑ x22−n(X2)

2 ]−[∑ X1 X2−n ( X1 ) ( X2 ) ]2

b1=[1383−5 (16.6 )2 ] [383−5∗14∗5.4 ]− [1167−5∗14∗16.6 ] [ 451−5∗16.6∗5.4 ]

[990−5 (14 )2 ] [1383−5 (16.6 )2 ]− [1167−5∗14∗16.6 ]2

b1=5.2∗5−5∗2.8

10∗5.2−25=26−14

27=b1=0.44

Página 9

Y X1 X2 X12 X2

2 X1 X2 X1Y X2Y Y 2

∑Y=27

Y=5.4∑ X1=70

X1=14∑ X2=83

X2=16.6∑ X1

2=990∑ X22=1383∑ X1 X2=1167∑ X1Y=383∑ X2Y=451∑Y 2=151


b2=[∑ x1


[∑ x12−n(X1)

2 ] [∑ x22−n(X2)

2 ]−[∑ X1 X2−n ( X1 ) ( X2 ) ]2

b2=[ 990−5∗142 ] [ 451−5∗16.6∗5.4 ]−[1167−5∗14∗16.6 ] [ 383−5∗14∗5.4 ]

[990−5 (14 )2 ] [1383−5 (16.6 )2 ]−[ 1167−5∗14∗16.6 ]2

b2=[10∗2.8 ]−[ 5∗5 ]

10∗5.2−25⟹b2=28−25

27

b2=0.11

a=Y−b1 X1−b2 X2

a=5.4−0.44∗14−0.11∗16.6

a=−2.586


Y=−2.586+0. X1+0.11X 2


r=√ a∑Y +b1∑ X1Y +b2∑ X2Y−nY 2

∑ Y 2−nY 2

r=√−2.586∗27+0.44∗383+0.11∗451−5∗5.42

151−5∗5.42

r=√ 2.5085.2

⟹ r=0.69

2. Se ha notado una muestra aleatoria para estudiar la relación entre las siguientes variables, Y=Salarios(S/.); X1=Edad; X2=Años de Experiencia.Los datos experimentales son:

Página 10


600 33 5 1089 25 165 19800 3000 360000620 34 12 1156 144 408 21080 7440 384400500 35 8 1225 64 280 17500 4000 250000700 34 4 1156 16 136 23800 2800 490000800 35 7 1225 49 245 28000 5600 640000850 40 9 1600 81 360 34000 7650 722500750 38 4 1444 16 152 28500 3000 562500900 29 6 841 36 174 26100 5400 810000500 39 7 1521 49 273 19500 3500 250000

6220 317 62 11257 480 2193 218280 42390 4469400691.11 35.22 6.89

n=9a) Hallar la ecuación de regresión lineal múltiple muestralb) Halle el coeficiente de correlación

Solución:

Hallando b1:

b1=[ 480−9∗6.8 92 ] [ 218280−9∗35.22∗691.11 ]− [2193−9∗35.2∗6.89 ] [ 42390−9∗6.89∗691.11]

[11257−9∗35. 222 ] [480−9∗6.892 ]− [2193−9∗35.22∗6.89 ]2

b1=52.75∗(−788.05 )−9.01∗(−465.73)

(92.96∗52.75 )−81.14

b1=−37375.18

4822.83

b1=−7.75

Hallando b2:

b2=[11257−9∗35.222 ] [ 42390−9∗6.89∗691.11 ]−[2193−9∗35.22∗6.89 ] [ 218280−9∗35.22∗691.11 ]

[11257−9∗35.222 ] [ 480−9∗6.892 ]−[2193−9∗35.22 ] [218280−9∗35.22∗691.11 ]

b2=[92.96∗−465 ]−[ 9.01∗−788.05 ]

92.96∗52.75−81.14

b2=−36197.84

4822.83

b2=−7.51

Hallando a:

a=691.11−(−7.75∗35.22)−(−7.71∗6.89)

Página 11


a=1017.19

Hallando el Coeficiente de Correlación

r=√ a∑Y +b1∑ X1Y +b2∑ X2Y−nY 2

∑ Y 2−nY 2

r=√ 9∗6220+(−7.75 )∗218280+(−7.51 )∗42390−9∗691.112

691.1 12−9∗691.1 12

r=√−6252736.19−3821064.26

r=1.28

3. Se han coleccionado en forma aleatoria a diez sucursales de una compañía de ventas al por menor para elevar los efectos de la población y del ingreso en las ventas. Las variables son:Y: Ventas en miles de dólaresX1: Población en millaresX2: Ingreso en millones de Soles

4 2 5 4 25 10 8 20 165 3 6 9 36 18 15 30 255 4 6 16 36 24 20 30 256 5 7 25 49 35 30 42 367 6 8 36 64 48 42 56 497 7 96 49 9216 672 49 672 498 8 10 64 100 80 64 80 649 9 11 81 121 99 81 99 81

10 10 13 100 169 130 100 130 10011 11 15 121 225 165 121 165 121

72 65 177 505 10041 1281 530 1324 5667.2 6.5 17.7

n=10a) Halle la ecuación de una regresión muestralb) Halle el coeficiente de correlación

Solución:

Hallando b1:

b1=[10041−10∗17. 72 ] [530−10∗6.5∗7.2 ]−[1281−10∗7.2∗17.7 ] [1324−10∗17.7∗7.2 ]

[505−10∗6.52 ] [10041−10∗17. 72 ]−[1281−10∗6.5∗17.7 ]2

b1=6908.1∗62−6.6∗49.682.5∗6908.1−17030.1

Página 12


b1=427974.8552888

=0.77

Hallando b2:

b2=[505−10∗6.52 ] [ 1324−10∗17.7∗7.2 ]−[ 1281−10∗6.5∗17.7 ] [530−10∗6.5∗7.2 ]

[505−10∗6.52 ] [10041−10∗17.72 ]−[ 1281−10∗6.5∗17.7 ]2

b2=82.5∗49.6−130.5∗62

82.5∗6908.1−17030.25

b2=−3999552888

=−0.01

Hallando a:

a=7.2−(0.77∗6.5)−(−0.01∗17.7)

a=2.4

Ecuación de regresión múltiple

Y=2.4+0.77 X1−0.01 X2

Determinando el Coeficiente de Correlación

r=√ 2.4∗72+0.77∗530+(−0.01∗1324 )−10¿7.22

566−10∗7.22

r=√ 49.347.6

=1.02

4. Se han seleccionado en forma aleatoria a diez fábricas de confecciones textiles para evaluar los efectos del nivel de producción y del índice de costos de mano de obra y materia prima en los costos de manufacturas; las variables son:

o Y=Costo promedio de manufactura ensoleso X1=Nivel de produccióncomo porcentaje de lacapac idad fijadao X2=Indice en porcentaje de los costosdemano de obra y materia prima

Página 13

Y X1 X2 X12 X2

2 X1 X2 X1Y X2Y Y 2

TRIM


1 3.62 84 82 7056 6724 6888 304.08 296.84 13.102 4.21 79 95 6241 9025 7505 332.59 399.95 17.723 4.30 803 108 644809 11664 86724 3452.9 464.4 18.494 5.45 70 115 4900 13225 8050 381.5 626.75 29.705 6.63 55 135 3025 18225 7425 364.65 895.05 43.966 5.70 60 125 3600 15625 7500 342 712.5 32.497 5.05 72 114 5184 12996 8208 363.6 575.7 25.508 4.00 92 96 8464 9216 8832 368 384 16.009 4.35 96 98 9216 9604 9408 417.6 426.3 18.92

Solución.a) Determinando la ecuación de regresión múltiple muestral de Y en X1,X2

Hallando b1:

b1=[118404−10∗107. 82 ] [ 6850.92−10∗151.1∗4.76 ]−[ 161540−10∗151.1∗107.8 ] [ 5247.89−10∗107.8∗4.76 ]

[702495−10∗151.12 ] [118404−10∗107. 82 ]−[ 161540−10∗151.1∗107.8 ]2

b1=2195.6∗(−341.4 )−(−1345.8 )∗116.61

474182.9∗2195.6−1811177.6

b1=−592731.93

1811177.6

b1=−0.33

Hallando b2:

b2=[702495−10∗151.12 ] [5247.89−10∗107.8∗4.76 ]−[161540−10 (151.1 ) (107.8 ) ] [ 6850.92−10∗151.1∗4.76 ]

[702495−10 (151.1 )2 ] [118404−10 (107.8 )2 ]−[161540−10 (151.1 ) (107.8 ) ]2

b2=474282.9∗116.6− (−1345.8 )∗(−341.44)

474182.9∗2195.6−1811177.6

b2=54846619.02

1039304797.60

b2=0.05

Hallando a:

a=4.76−(−0.33∗151.1)−¿107.8)

a=¿49.23

Entonces la ecuación de la regresión múltiple será:

Página 14

∑Y=47.55

Y=4.76∑ X1=1511

X1=151.1∑ X2=1078

X2=107.8∑ X1

2=702495∑ X22=118404∑ X1 X2=161540∑ X1Y=6850.92∑ X2Y=5247.89∑Y 2=233.87

N=10


Y=49.23−0.33 X1+0.05 X2

b) Calculando el Coeficiente de Correlación

r=√ 49.23∗47.55−0.33∗6850.92+0.05∗5247.89−10∗4.762

233.87−10∗4.762

r=√ 115.97.29

r=10.42

Página 15

Regresion Multiple

Documents

Transcript of Regresion Multiple