Octubre,  2010  

1  

RELACIÓN ENTRE LA ELONGACIÓN DE UN RESORTE Y LA FUERZA APLICADA

Resumen.  A  través  de  la  medición  de  la  elongación  de  un  resorte  al  que  se  le  colocan  diferentes  masas,  se  determina  una  relación  funcional  entre  dicha  elongación  y  la  fuerza  que  se  aplica,  él  método  utilizado  para  encontrar  dicha  relación  de  apariencia  lineal,  es  el  de  mínimos  cuadrados    

Introducción.  Las  personas  tenemos  un  concepto  intuitivo  de  lo  que  es  la  fuerza,  cuando  pateamos  un  balón  estamos  ejerciendo  una   fuerza   sobre  él,   y   en  general,   cuando   logramos  un  cambio  en  la  posición  de  un  objeto  es  resultado  de  las  fuerzas  que  actúan  sobre  este;  sin  embargo  no  todas  las  fuerzas  generan  movimiento,  de  hecho,  aunque  estemos  en  movimiento  o   reposo,   existe  una   fuerza   fundamental  que  actúa   sobre  nosotros,   esta  fuerza  es  la  de  gravedad.  Las  fuerzas  pueden  clasificarse  dentro  de  dos  amplios  grupos  como  fuerzas  de  contacto  y  fuerzas  de  campo.  Las  fuerzas  de  contacto,  como  su  nombre  lo  indica,  implican  un  contacto  físico  entre  cuerpos,  mientras  que  las  fuerzas  de  campo  actúan  através  del  espacio,  de  cualquier  modo,  esta  clasificación  no  es   tan  útil  como  podría  pensarse,  pues  a  nivel  atómico  todas  las  fuerzas  de  contacto  son  resultado  de  fuerzas  de  campo,  sin  embargo  al  desarrollar  modelos  para  fenómenos  macroscópicos  es   conveniente  utilizar  dicha  clasificación  de   fuerzas.  No  obstante   las  únicas   fuerzas  fundamentales   conocidas   en   la   naturaleza   son   todas   fuerzas   de   campo,   estas   son   la  fuerza  de  gravedad,  fuerza  electromagnética,  fuerza  fuerte  y  fuerza  débil.  

Isaac  Newton,  uno  de  las  mas  brillantes  matemáticos  y  físicos  de  la  historia,  en  1687    publicó   sus   descubrimiento   en   su   celebre   obra   “Philosopiae   naturalis   principia  mathematica“  o  bien  “Principios  Matemáticos  de  la  Filosofía  Natural”,  dentro  de  dicho  texto  Newton  expone  sus  famosas  leyes,  estas  son  las  siguientes  

Todos  los  cuerpos  perseveran  su  estado  de  reposo  o  de  movimiento  uniforme  en  línea  recta,  salvo  que  se  vean  forzados  a  cambiar  ese  estado  por  fuerzas  impresas.  

El  cambio  de  movimiento  es  proporcional  a  la  fuerza  motriz  impresa,  y  se  hace  en  la  dirección  de  la  línea  recta  en  la  que  se  imprime  esa  fuerza.  

Para  toda  acción  hay  siempre  una  reacción  opuesta  e  igual.  Las  acciones  recíprocas  de  dos  cuerpos  entre  sí  son  siempre  iguales  y  dirigidas  hacia  partes  contrarias.  

Estas   leyes  son  el  cimiento  del  estudio  de   la  dinámica,   la  cual  es   la  rama  de   la   física  que   describe   como   es   que   un   sistema   físico   evoluciona   con   respecto   al   tiempo  considerando  las  causas  que  ocasionan  los  cambios  de  estado  o  de  movimiento.  Puede  decirse   que   una   de   las   leyes   mas   trascendentes   es   la   segunda,   la   cuál   podemos  expresar  en  términos  matemáticos  como.  

€

F =dpdt                       (1)  

Octubre,  2010  

2  

Donde  F  es  lo  que  Newton  define  en  su  segunda  ley  como  fuerza  motriz  impresa,  p  es  el  movimiento   o  momento   lineal   y   d/dt   es   un   operador   matemático   que   indica   el  cambio   de   la   magnitud   a   la   que   se   aplica   dicho   operador   con   respecto   al   tiempo.  Aplicando   las   reglas   del   cálculo   y   considerando   que   la   masa   a   la   que   se   aplica   la  “Fuerza  motriz”  permanece  la  contante  podemos  expresar  lo  siguiente.  

€

F =dmvdt

⇒ F = m dvdt  

€

F = ma                       (2)  

Podemos  observar  que  la  ecuación  2  que  la  dv/dt  se  sustituyo  por  a,  donde  a  recibe  el  nombre   de   aceleración;   de   los   conceptos   estudiados   en   mecánica   sabemos   que   la  aceleración  es  una  cantidad  vectorial  y  la  masa  es  una  cantidad  escalar,  por  tanto  es  el  producto  escalar-­‐vector  da  como  resultado  un  vector,  es  por  esta  razón  que  la  fuerza  es  una  cantidad  vectorial.  

Es  en  este  punto  donde  conviene  aclarar  cual  es  la  diferencia  entre  la  masa  y  el  peso,  términos   que   se   usan   indistintamente   en   el   vocabulario   cotidiano   pero   que   en  aspectos   físicos   representan  dos  cosas  diferentes;  masa  solo  en  algunos  casos  y  que  convienen  para   los   interés  de   la  química   se  define   como   la   cantidad  de  materia  que  contiene  un  cuerpo,  mientras  que  el  peso  por  su  carácter  vectorial  se  define  como   la  fuerza   con   la   que   un   cuerpo   actúa   sobre   un   punto   de   apoyo,   a   causa   de   la   fuerza   de  atracción  de  la  gravedad,  y  es  a  causa  de  esta  definición  y  que  con  ayuda  de  la  ecuación  2  que  podemos  reescribir  el  peso  (w)  de  un  objeto  como.  

€

w = mg                       (3)  

donde  g   es   la   aceleración   de   la   gravedad,   que   de   acuerdo   a   la  medición   de  Manuel  Mena  en  el   Instituto  de  Geofísica  de   la  Ciudad  Universitaria  corresponde  el  valor  de  977927.071  miligales  que  es  equivalente  a  9.78  m/s2  [1].  

Robert  Hooke,  un  científico  contemporáneo  de  Newton,  desarrollo  lo  que  actualmente  se   conoce   como   la   ley   de   Hooke   que   se   expresa   matemáticamente   de   la   forma  siguiente.  

€

Fs = −kx                       (4)  

donde   Fs   es   la   fuerza   que   ejerce   un   resorte   ya   sea   alargado   o   comprimido,   x   es   la  elongación   del   resorte   con   respecto   a   su   estado   de   equilibrio   (x=0)   y   k   es   una  constante   de   proporcionalidad,   positiva,   conocida   como   constante   de   fuerza   o  constante   del   resorte   y   se   determina   experimentalmente.   Se   puede   observar  claramente  que  la  ecuación  4  es  lineal  y  que  siendo  x  la  elongación  del  resorte  la  cual  puede   variar   y   siendo   k   una   constante,   la   pendiente   de   una   grafica   de   Fs   vs   x   nos  determina  la  constante  del  resorte.  

Ya   que   tratamos   acerca   de   relaciones   lineales   conviene   repasar   de  manera   sencilla  como  es  que  se  ajusta  un  recta  a  un  serie  de  puntos  que  parecen  tener  una  tendencia  

Octubre,  2010  

3  

lineal.  La  pendiente  y  la  ordenada  a  la  origen  de  dicha  recta  se  calculan  de  acuerdo  a  las  siguientes  dos  ecuaciones.  

€

m =

xiyiui2

i=1

n

∑ 1ui2

i=1

n

∑ −yiui2

i=1

n

∑ xiui2

i=1

n

∑

xi2

ui2

i=1

n

∑ 1ui2

i=1

n

∑ −xiui2

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2 b =

xiyiui2

i=1

n

∑ xiui2

i=1

n

∑ −yiui2

i=1

n

∑ xi2

ui2

i=1

n

∑

xiui2

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

−xi2

ui2

i=1

n

∑ 1ui2

i=1

n

∑                      (5,6)  

El  método  utilizado  para  determinar  la  pendiente  (m)  y  la  ordenada  al  origen  (b)  es  el  ajuste  por  mínimos  cuadrados,  donde  xi  son  las  abscisas,  yi  son  las  ordenadas  y  ui  son  las   incertidumbres   combinadas   asociadas   a   cada   medición   yi,   no   se   consideran   las  incertidumbres   con   respecto   a   las   abscisas   pues   se   supone   se   tiene   una   mayor  precisión  en  la  las  mediciones  xi.  Dado  que  m  y  b  se  determinaron  de  acuerdo  a  datos  experimentales  resulta  aparente  que  se  deben  de  tener  una  incertidumbre  asociada,  la  cual  se  calcula  de  acuerdo  con  las  siguiente  ecuaciones.  

€

um2 = N u2

Δ'                       (7)  

€

ub2 =

u2

Δ'xi2∑                       (8)  

donde    

€

Δ'=N xi

i=1

n

∑

xii=1

n

∑ xi2

i=1

n

∑= N xi

2

i=1

n

∑ − xii=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

              (9)  

y  

€

u2 =1

N − 2yi −mxi − b( )2

i=1

n

∑                                    (10)  

Una  vez  determinada  la  pendiente  (m)  y  su  incertidumbre  asociada  (um);   la  orden  al  origen  (b)  y  su  incertidumbre  asociada  (ub),  es  conveniente  saber  que  tan  confiable  es  nuestro  modelo,  y  un  buen  parámetro  que  nos  permite  determinar  que  tan  óptima  es  la  ecuación  obtenida  como  modelo  es  el  coeficiente  R2  y  se  determina  como  

€

R2 =1−

yiui2 −

y xi( )ui2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

i=1

n

∑2

yi − y__

ui2

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

2

i=1

n

∑

                                   (11)  

Octubre,  2010  

4  

Desarrollo  experimental.  En  un  soporte  universal  se  coloca  una  pinza  de  tres  dedos  y  en  ella  se  coloca  de  forma  vertical  un  resorte,  con  un  flexómetro  se  mide  la   longitud  inicial  del  resorte.  Se  pesa  una  rondana  en  una  balanza  granataria  (SETRA,  modelo  5000L)  se  registra,  se  coloca  en  el  resorte  y  la  masa  genera  una  elongación  en  el  resorte,  se  mide  la  longitud  final  del  resorte.  La  rondana  inicial  con  otra  rondana  adicional  se  pesan  juntas  y  se  colocan  en  el  resorte,  se  mide  nuevamente  la  longitud  final  del  resorte  y  se  registra,  se  repite  este  proceso  14  veces  mas.    

Resultados.  En   la   tabla   1,   se  muestran   las   cantidades   de   las   mediciones   efectuadas   tanto   de   la  masa   colocada   en   el   resorte   así   como   la   longitud   del   resorte   cuando   sostiene   dicha  masa,  adicionalmente  se  agregan  los  valores  del  peso  y  la  elongación.  En  la  tabla  2  se  muestran   los  primeros  cálculos  de   las  sumas  necesarias  para   la  determinación  de   la  pendiente  y  la  ordenada  al  origen.  La  tabla  3  muestra  los  cálculos  de  la  suma  (yi-mxi-b)2   para   la   determinación   de   u2.   En   la   Tabla   4   se   hace   una   comparación   entre   los  resultados   obtenidos   y   los   datos   experimentales.   Se   determina   la   ecuación   13   que  corresponde   a   la   relación   que   existe   entre   la   elongación   y   el   peso   que   soporta   el  resorte,  finalmente  se  determina  la  constante  del  el  resorte  utilizado.  

Masa kg (±1x10-5 kg) Peso N (±1x10-5 N)

Longitud del Resorte cm (± .1 cm)

Elongación cm (±.2 cm)

0.00 0.0000 7.3 0.0 5.90 0.0577 7.7 0.4 11.96 0.1170 7.9 0.6 17.09 0.1671 8.1 0.8 23.03 0.2252 8.3 1.0 28.94 0.2830 8.6 1.3 34.90 0.3413 8.8 1.5 40.73 0.3983 9.1 1.8 46.81 0.4578 9.3 2.0 52.00 0.5086 9.6 2.3 57.90 0.5663 9.8 2.5 62.37 0.6100 9.9 2.6 68.20 0.6670 10.3 3.0 73.09 0.7148 10.5 3.2 78.25 0.7653 10.7 3.4 83.92 0.8207 10.9 3.6

Tabla 1.- Las cantidades de las mediciones de las masa colocada y la longitud del resorte.

Los  pesos  reportados  en  la  tabla  1,  fueron  calculados  de  acuerdo  a  la  ecuación  3,  con  un  valor  de  g  =  9.78  m/s2  el  cual  corresponde  al  valor  de  la  aceleración  de  la  gravedad  registrado  en  Ciudad  Universitaria.  La  elongación  se  determinó  como  la  diferencia  que  existe   entre   la   longitud  del   resorte   cuando   se   le   aplica   una   fuerza,   y   la   longitud  del  resorte  en  su  estado  de  equilibrio,  matemáticamente  se  expresa  como.  

€

Δl = l − l0                                        (12)  

Octubre,  2010  

5  

La   incertidumbre  que   se   asocia   a   la   elongación   es   de  ±.2   cm,   puesto  que   cuando   se  suman   o   se   restan   dos   mediciones   que   contienen   incertidumbre,   se   suman   las  incertidumbres  absolutas  para  obtener  la  incertidumbre  absoluta  del  resultado.  

W Δl ul w/ul2 Δl/ul

2 w2 /ul2 wΔl/ul

2 1/ul2

X y ul x/ul2 y/ul

2 x^2/ul2 xy/ul

2 1/ul2

0.0000 0.0 1.00E-05 0 0 0 0 10000000000 0.0577 0.4 1.00E-05 577020000 4000000000 33295208.04 230808000 10000000000 0.1170 0.6 1.00E-05 1169688000 6000000000 136817001.7 701812800 10000000000 0.1671 0.8 1.00E-05 1671402000 8000000000 279358464.6 1337121600 10000000000 0.2252 1.0 1.00E-05 2252334000 10000000000 507300844.8 2252334000 10000000000 0.2830 1.3 1.00E-05 2830332000 13000000000 801077923 3679431600 10000000000 0.3413 1.5 1.00E-05 3413220000 15000000000 1165007077 5119830000 10000000000 0.3983 1.8 1.00E-05 3983394000 18000000000 1586742776 7170109200 10000000000 0.4578 2.0 1.00E-05 4578018000 20000000000 2095824881 9156036000 10000000000 0.5086 2.3 1.00E-05 5085600000 23000000000 2586332736 11696880000 10000000000 0.5663 2.5 1.00E-05 5662620000 25000000000 3206526526 14156550000 10000000000 0.6100 2.6 1.00E-05 6099786000 26000000000 3720738925 15859443600 10000000000 0.6670 3.0 1.00E-05 6669960000 30000000000 4448836640 20009880000 10000000000 0.7148 3.2 1.00E-05 7148202000 32000000000 5109679183 22874246400 10000000000 0.7653 3.4 1.00E-05 7652850000 34000000000 5856611312 26019690000 10000000000 0.8207 3.6 1.00E-05 8207376000 36000000000 6736102081 29546553600 10000000000

Σ 67001802000 3E+11 38270251579 1.69811E+11 1.6E+11

Tabla 2.- Se muestran los primeros cálculos para la determinación de la pendiente y la ordenada al origen

Sustituyéndose   los   valores   de   las   sumas   en   la   tabla   2   en   las   ecuaciones   5   y   6,   se  determinan   los   valores   de   la   pendiente   y   la   ordenada   al   origen   obteniéndose   los  siguientes  resultados.  

m  =  4.326304137  

b  =  0.063311418  

 

 

 

 

 

 

 

E  =  4,326w  +  0,063  

0,0  

1,0  

2,0  

3,0  

4,0  

0,0000   0,2000   0,4000   0,6000   0,8000   1,0000  

Elongación  (cm

)  

Peso  (N)  

Elongación  

Grafico 1.- Se muestra una gráfica con los puntos experimentales y la función determinada

Octubre,  2010  

6  

Sin  embargo,  aún  resta  el  cálculo  de  las  incertidumbres  asociadas  a  la  pendiente  y  la  ordenada  al  origen.  

xi yi (yi-mxi-b)2 0.0000 0 0.004008336 0.0577 0.4 0.007578082 0.1170 0.6 0.000939176 0.1671 0.8 0.000184668 0.2252 1 0.001424278 0.2830 1.3 0.000148861 0.3413 1.5 0.001597937 0.3983 1.8 0.000178254 0.4578 2 0.001927319 0.5086 2.3 0.001332495 0.5663 2.5 0.000172477 0.6100 2.6 0.010457999 0.6670 3 0.002607229 0.7148 3.2 0.001950017 0.7653 3.4 0.00066734 0.8207 3.6 0.000198018

Σ 0.035372484

Tabla 3.- Se muestra el cálculo de la suma de (yi-mxi-b)2 que se utilizara para la determinación de u2.

La  suma  obtenida  en   la  Tabla  3,   se  sustituye  en   la  ecuación  10  y  se  obtiene  el  valor  para   u2   que   corresponde   a  0.002526606,   para   determinar   el   valor   de  Δ ’   se   uso   la  ecuación  9  y  se  obtuvo  el  siguiente  valor  16.33998781.  Sustituyendo  los  valores    de  u2  y  Δ ’  en  las  ecuaciones  7  y  8,  y  aplicando  raíz  cuadrada  se  determinan  los  valores  de  la  incertidumbre  de  la  pendiente  y  la  ordenada  al  origen.  

um  =  0.049739669    

ub  =  0.02432616  

Por   tanto   podemos   expresar   que   la   recta   que   mejor   se   ajusta   al   grupo   de   datos  experimentales  es  

Δl(w)=4.326304137(±0.049739669  )w+0.063311418(±0.02432616)                      (13)  

También  esta   función  puede  expresarse  de  otra   forma  en  donde  en   lugar  de  colocar  las   incertidumbre   absolutas   se   colocan   las   incertidumbres   relativas,   quedando   la  función  de  la  siguiente  forma.  

Δl(w)=4.326304137(±1.15%)w+0.063311418(±38.42%) (14)

Note  que  la  incertidumbre  relativa  obtenida  para  b  es  considerablemente  grande,  esto  se  debe  a  que  la  incertidumbre  absoluta  asociada  a  b  es  también  cercana  al  valor  de  b  y  a  su  vez  b  es  cercano  a  cero  (aunque  de  hecho  debería  de  ser  cero).  

Octubre,  2010  

7  

La  forma  en  la  que  se  calcularon  las  incertidumbres  relativas  en  la  pendiente  (m)  y  la  ordenada  al  origen  (b)  fueron  las  siguientes.  

€

%um =mum

×100%                                      (15)  

€

%ub =bub

×100%                                      (16)  

Se  realiza  una  comparación  numérica  entre  los  datos  obtenidos  aplicando  la  ecuación  13  y   los   resultados  registrados  experimentalmente,   también  se  calcula  el  porcentaje  de  error  de  modo  de  que  se  observe  la  diferencia  porcentual  que  existe  entre  dichos  conjuntos  de  datos.      

Peso Elongación Elongación Función

€

y(xi) − yiy(xi)

%

0.00000 0.0 0.0633 1 100% 0.05770 0.4 0.3129 -0.278168359 -27.8% 0.11697 0.6 0.5694 -0.053825876 -5.4% 0.16714 0.8 0.7864 -0.017280084 -1.7% 0.22523 1.0 1.0377 0.036367127 3.6% 0.28303 1.3 1.2878 -0.009474209 -0.9% 0.34132 1.5 1.5400 0.025957707 2.6% 0.39834 1.8 1.7866 -0.007472755 -0.7% 0.45780 2.0 2.0439 0.021479139 2.1% 0.50856 2.3 2.2635 -0.016126973 -1.6% 0.56626 2.5 2.5131 0.005225768 0.5% 0.60998 2.6 2.7023 0.03784395 3.8% 0.66700 3.0 2.9489 -0.017315051 -1.7% 0.71482 3.2 3.1558 -0.013992782 -1.4% 0.76529 3.4 3.3742 -0.007656088 -0.8% 0.82074 3.6 3.6141 0.003893639 0.4%

Tabla 4.- Comparación entre los resultados de la función y los resultados experimentales

Pese   a   que   se   obtienen   para   algunos   valores   un   porcentaje   de   error   bastante   alto,  podemos  utilizar  el  coeficiente  de  R2  para  determinar  que  tan  confiable  es  el  modelo;  mediante  el  uso  de  la  ecuación  11  determinamos  el  valor  de  R2.  

R2  =  0.9981529

El  valor  obtenido  para  R2  es  cercano  1  lo  cual  garantiza  la  eficiencia  del  modelo.    

Podríamos  pensar  que  la  pendiente  de  la  ecuación  13  es  la  constante  del  resorte,  sin  embargo  esto  no  es  del  todo  cierto  puesto  que  la  elongación  se  expresa  en  función  del  peso,  por  tanto  la  constante  del  resorte  sería  el   inverso  de  la  pendiente  la  pendiente  de  la  ecuación  13.    

kresorte  =  23.11441749 N/m

Octubre,  2010  

8  

Conclusiones. Se  obtiene  que  la  relación  de  existe  entre  la  elongación  de  un  resorte,  y  una  fuerza  que  se  le  aplica  (peso  de  las  rondanas)  es  directamente  proporcional  y   lineal,  además  de  que  en  un  grafico  de  elongación-­‐peso,  el  inverso  de  la  pendiente  de  la  ecuación  de  la  recta  que  mejor  se  ajusta  a  los  datos  experimentales  es  la  constante  del  resorte.  

Bibliografía.  [1]  http://www.smf.mx/boletin/2005/Abr-­‐05/Placeres.html  

SERWAY,   Raymond  A.  Física  Para  Ciencias  e  Ingeniería  Vol.  1.,  7ª  Edición,  D.F.  México,  Cengage  Learning,  2008,  pp.  100,  101,  173,  Apéndice  B,  sección  8.  

http://depa.pquim.unam.mx/amyd/archivero/incert_param_6907.pdf  

http://depa.pquim.unam.mx/amyd/archivero/Histog_Ajustes_11229.pdf