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DOMINIO Y RANGO DE RELACIONES Y FUNCIONES

El análisis de los sucesos de la vida cotidiana se comprende con mayor claridad cuando descubrimos las relaciones de esos hechos, a partir de las relaciones y

las funciones se analiza el crecimiento económico, nuestros gastos, el valor de los costos de agua, aire, gas o teléfono, de los porcentajes de los electores en

unas elecciones, la temperatura de un cuerpo por la variación de su grosor, entre otras muchas situaciones de que dependen de….

Una relación de dos conjuntos M y N diferentes del vacío, se define una

relación de M en N como un subconjunto del producto cartesiano M X N, de tal forma que cada componente del par ordenado se cumpla una regla de

correspondencia.

Veamos el siguiente ejemplo: Dados los conjuntos M={1,2,3,4} y

N={2,4,6,8,9}, y Z sea una relación de M en N, definida por:

El conjunto solución(al que llamaremos W) es:

El dominio de una relación. Si establecemos G como una relación de dos conjuntos M y N, el dominio de esa relación es el conjunto formado por las

primeras componentes de cada par ordenado. Se denota como

El rango de una relación. Si establecemos G como una relación de dos

conjuntos M y N, el rango de esa relación es el conjunto formado por las

segundas componentes de cada par ordenado. Se denota como

Manera de hallar el dominio de una relación.

1. Cuando al despejar la variable y, la variable x pertenece al denominador de una fracción:

Ejemplo: Hallar el dominio de la relación: , un

segmento de su grafica es:

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Solución:

2. Cuando al despejar la variable y, la variable x pertenece a un radical de

índice par. Recordemos que una raíz par en los solo se puede obtener

de una cantidad igual o mayor de cero:

Ejemplo. Determinemos el dominio de la relación , un

segmento de su grafica aparece a continuación.

La anterior nos indica que a valores reales

menores o iguales a se le puede asignar

una imagen. Expresado en notación de

conjuntos tenemos:

3. La tercera posibilidad se presenta cuando la variable x no queda incluida

en los casos 1 o 2. Con el siguiente ejemplo ilustraremos la situación: Determinar el dominio de la

relación , una porción de su grafica es la presentada en

la figura.

Como podemos observar la variable x puede

tomar cualquier valor del conjunto de los ,

por lo tanto el dominio puede expresarse como:

O como

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De igual manera podemos determinar el rango de una relación y se nos

presentaran las mismas tres situaciones que se establecieron par el dominio,

solo que despejaremos la variable x.

1. Cuando luego de despejar la variable x, la variable y se ubica en el denominador de una fracción, aquí es donde debemos recordar que la

división por cero no está definida.

Ejemplo. Determinar el rango de la relación definida por

Solución:

El denominador no puede ser cero, por lo tanto igualamos a cero para determinar el valor que lo convierte en cero. Es el valor o rango de valores que

deben excluirse del rango.

Esto nos dice que el denominador se hace cero cuando la variable y toma un

valor de , por lo tanto el rango lo definimos como:

2. Cuando al despejar la variable x, la variable y queda ubicada dentro de un radical de índice par.

Ejemplo. Determinar el rango de la relación definida por

Solución:

Por lo tanto el rango de la relación descrita está definido como:

o como

3. Al igual que para el dominio, la tercera opción se establece cuando luego

de despejar la variable x, la variable y no pertenece a ninguno de los dos casos anteriores, veamos nuestro ejemplo.

Ejemplo. Determinar el rango de la relación definida por

Solución:

Como podemos observar la variable y puede tomar cualquier valor del

conjunto de los , por lo tanto el rango puede expresarse como:

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O como

Acorde con anteriormente expuesto establecer el dominio o el rango de las siguientes relaciones:

A) Dominio

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

B) Rango

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.