Relaciones Métricas en La Circunferencia Ejercicios Desarrollados
RELACIONES BIMNARIAS EJERCICIOS
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8/18/2019 RELACIONES BIMNARIAS EJERCICIOS
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1Centro Preuniversitario de la S- Ingreso
NIVERSIDAD NACIONAL DEL
A TA
CEPUNSCICLO 2014 – III
ALGE!A
“RELACIONES BINARIAS”
Semana Nº
12
Relación binaria: par ordenado, productocartesiano de IR en IR. o!inio, ran"o derelaciones. Representación "r#$ica.Clases de relaciones: re$le%i&a, si!'trica,transiti&a, de e(ui&alencia ) de orden.
n ( A × B) = n ( A) · n (B)
*. Si A es un conjunto finito; el productocartesiano A x A se puede representar como:
A2
+AR ORENAO +RO-CO CARESIANO
/. +ar ordenado de n0!eros reales
Dos números reales x e y, donde “x” esidentificado como primer componente e “y”como segundo componente, se llamará par ordenado de números reales y se simboliarápor !x; y"
i" ( x; y ) ≠ ( y;
x)
ii" ( x; y ) = ( z ; w) ↔ x = z ∧ y =w
1. +roducto CartesianoSea # el conjunto de números reales, elproducto cartesiano $ue se denota por #% sedefine como sigue:
Rx R = R2
={(x;y)/ x ∈ R ∧y∈R}
!Se lee “A dos”"
2. &l producto cartesiano A x ' es un conjunto(ac)o; si al menos uno de los conjuntos A o
' es conjunto (ac)o; es decir: A x ∅ * ∅ ; ∅ x ' * ∅
3. &l producto cartesiano A x ' es un conjuntoinfinito; si al menos uno de los conjuntos A o 'es un conjunto infinito+
E4ercicios E%plicati&os/. raficar los siguientes pares de puntos:
a" { P ( x; y ) / x − y = 0, siendo x, y∈¥ }b"
{ P (
x; y )
/ x
2 = y2 , siendo x , y ∈ Z
}
c" { P ( x; y ) / ( x2 − 2 x −1 ; y + 1 ) = ( 2;1)}
1. Sean:
A * { x∈ R /1 ≤ x ≤ 8}
Y Eje de ordenadas
y P(x;y )
' * { x∈ R / 3 ≤- * { x∈ R / 2 ≤
x ≤ 5} x ≤ 7}
x X
eje dea!"sas
P#ano$ar%es"ano
raficar los siguientes productos cartesianos
a" A x ' b" - x Dc" !A . '" x - d" !A . -" x !A . D"
+RO+IEAES: /. Si A y ' son conjuntos diferentes:
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2Centro Preuniversitario de la S- Ingreso
/+ Sean: & * 01; %; /2, A * 01; %2 , ' * 0%; /2 A × B ≠ B × A
1. Siendo A y ' dos conjuntos finitos; tales $ueel cardinal de A !número de elementos de A"es n!A" y el cardinal de ' es n!'" se tiene $ue:
3 * CEx E (A x B) , * CEA-alcular: 3 ∩
x CE B)
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Lic" #os$ A%a&ero 'Lic" (alter )orres*Lic" Saul arron*Lic" Ale+ !,os"* Lic"!odol-o Carrillo* Lic #uan /lgeraE5INICI6NDado un conjunto A no (ac)o, una #&4A-567 #es a$uella correspondencia definida como
& ' A → A , tal $ue:
o(&) * 0x ∈ A8!x; y" ∈ #2
&an (&) * 0y ∈ A8 !x; y" ∈ #2
Además: o(&)
⊂ A ∧ &an(&)
⊂ A
Donde:
&*{( x;y) ∈ A× A
P(x, y) } E4e!plo
9ara las relaciones del ejemplo 1
#
1
* 0!; 1", !, %", !, /", !1, %", !1, %", !%; /"2P
(x, y)es la #&4A D& -##&S97D&7-5A
de la relaci * 0!1; 1"2# * 0!; "; !; 1"2
Donde un elemento !x; y" pertenece a #, sisatisface la regla de correspondencia, es decir:
#C * 0!; "; !1; "2#E * 0!; "; !1; 1"2
!x; y" ∈ # ↔ >x% By% * /C
#F * 0!; 1"; !1; "2#B * 0!; 1"; !1; 1"2
&ntonces, el dominio y rango de # serán:o(&) * 0x ∈ # 8 >x
% By
%* /C ∧ y ∈ #2
#1 * 0!1; "; !1; 1"2#11 * 0!; "; !; 1"; !1, "2 &an (&) * 0y ∈ # 8 >x
% By% * /C ∧ x ∈ #2
#1% * 0!; "; !; 1"; !1; 1"2#1/ * 0!; "; !1; "; !1, 1"2#1> * 0!; 1"; !1; "; !1, 1"2#1 * ∅#1C * 0!; "; !; 1"; !1, "; !1; 1"2
&n total: 2n 2 = 2 * 1C relaciones distintas entres)
O8INIO RAN9O E -NA RELACI6N
Dada la relacix%; como By% ≥ → /C H >x% ≥ → x% ≤ B → H/ ≤ x ≤ / → x ∈ ?H/; /@
4uego: o(&) * ?H/; /@
G >x% * /C H By%, tambiIn como: >x% ≥
define como el conjunto de las primeras → /C H By% ≥ → y% ≤ > → H% ≤ y ≤ %
componentes de los pares ordenados $ue
conforman la relaci
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E4e!plo 72Jallar el dominio y rango de la relacix H Cy * /2
Analiando la regla de correspondencia de larelacix H Cy * / se obtiene:
G -omo y ∈ #, entonces de dicKa regla, altomarla como una ecuacix H /" *
&
2
3
o(&) 5
-
A
De donde:
2
3
5 &an (&)
-
A
Se deben obtener ra)ces reales y para ello sudiscriminante debe ser no negati(o:
∆ ≥ ↔ !HC"% H >!1" !x% >x H /" ≥ ↔ /C H >!x% >x H /" ≥ ↔ x% >x H 1% ≤ ↔ !x C" !x H %" ≤
↔ HC
≤ x
≤ %
4uego: o(&) * ?HC, %@
G De forma análoga, como x ∈ #, entonces laecuacix !y% H Cy H /" * , obtenida de la reglade correspondencia, debe tener ra)ces reales,para lo cual
∆ ≥ ↔ >% H >!1" !y% H Cy H /" ≥ ↔ 1C H >!y%
H Cy H /" ≥ ↔ y% H Cy H E ≤ ↔ !y H E" !y 1" ≤ ↔ H1 ≤ y ≤ E
4uego: &an (&) * ?H1; E@
RE+RESENACI6N 9R5ICA E -NARELACI6N
# * 0!%; %", !%; /", !%, >", !/; %", !/, /"; !>, %"2
L además: o(&) * 0%; /; >2 * & an(&)
I+OS E RELACIONES-onsideramos una relaci",!/; >", !>; >", !>; 1"2Se obser(a $ue:
9ara 1 ∈ A : !1; 1" ∈ #9ara % ∈ A : !%; %" ∈ #9ara / ∈ A : !/; /" ∈ #
=na representaci; >" ∈ #
propiedades o caracter)sticas e incluso, para 9or lo tanto es #&34&M5NAciertas relaciones, se puede determinar a partir dedicKa gráfica el dominio y el rango+ 4as E4e!plo 71
representaciones gráficas descritas anteriormente G 4a relaci
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9ara !1; 1" ∧ !1; %" ∈ # : !1; %" ∈ #9ara !1; %" ∧ !%; 1" ∈ # : !1; 1" ∈ #
03. Se da el conjunto A = {1;2;3;} y las
9ara !1; %" ∧ !%; %" ∈ # : !1; %" ∈ #9ara !%; 1" ∧ !1; 1" ∈ # : !%; 1" ∈ #9ara !%; 1" ∧ !1; %" ∈ # : !%; %" ∈ #9ara !%; %" ∧ !%; 1" ∈ # : !%; 1" ∈ #
9or lo tanto, # es de &T=5NA4&7-5A
RELACI6N IN;ERSADado un conjunto no (ac)o A y la relaci d" e" /
Se define la relaci"2&ntonces:
suma de los elementos del rango de #+
a" %1 b" B c" 1 d" 1B e" 1
#G * 0!%; 1", !/; %", !>; /", !/; 1", !>; 1", !>; %"2 05. Si: A = {a∈ Z / 2 ≤ a
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a" B b" F c" C d" e" E
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07. Si:
A = {a ∈ Z / 0
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bisectri del tercer cuadrante+ Según esto, ba
es iguala a:Jallar: a b c d e indicar si # estransiti(a
a" ,% b" ,> c" ,C a" %F; S5 b" %>; S5 c" %>; 7d" ,F e" 1,% d" %F; 7 e" 1>; S5
71+ Dados los conjuntos:7>+ &n A * 01; %; /; >2 se considera la relaci2; ' * 01; %; ; C2 y - !a; b"definida por “a” no es menor $ue “b”, donde!a;b" ∈ A × '
U-uántos pares ordenados tiene la
correspondencia -V
7?+ Siendo # una relaci
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d" N33 e" NNN
//+ Sean las relaciones:#1 * 0!x; y" ∈ #
% 8 x O % ∨ H1 O y O %2#% * 0!x; y" ∈ #
% 8 x ∈ R 2#/ * 0!x; y" ∈ #% 8 H % ≤ y ≤ 12-on respecto a las proposiciones:5+ !H%; 1" ∈ #1 ∩ #% H #/55+ !>; H1" ∉ #% H #/
555+ !18%; 8%" ∈ #1 ∪ #% ∪ #/Son (erdaderas:a" S2 un conjunto cuyo número deelementos se expresa as): n!S" * /Si:#1 * 0!x; y" ∈ S
% 8 y >/ x2 #% * 0!x; y" ∈ S
% 8 y *x%2#/ * 0!x; y" ∈ S% 8 y H x * 12
Jallar: n (& 1 )n(& 2 ) + n(& 3 )
a" 1 b" 18% c" %d" >8/ e" /
/*+ &n R se define las siguientes relaciones:#1 * 0!x; y" 8 /x y * E2#% * 0!x; y" 8 x . >y * 1%2y S * 0!x; y" 8 ∃ !x; " ∈ #1 ∧ !; y" ∈ #%2&ntonces, S por comprensiy * %/2d" S * 0!x; y" 8 /x H Fy * 1B2e" S * 0!x; y" 8 >x H 1y * %/2
/2+ Se definen en R las siguientes relaciones:a # b ↔ a es di(isor de ba S b ↔ a b * >
a" # es reflexi(a y S es simItricab" # es transiti(a y Q es reflexi(ac" S es transiti(a y t es simItricad" S es reflexi(a y t es transiti(ae" # es transiti(a y S es simItrica
NI;EL INER8EIO
7/+ &n A * 01, %; /; >; 2 se define la relaci", !>; %", !; %", !; /"2Si:P * 0x ∈ A 8 !x; /" ∈ #2 ;7 * 0y ∈ A 8 !%; y" ∉ #29 * 0y ∈ A 8 !/; y" ∈ #2-alcular: n !!P ∪ 7" x 9"a" F b"B c" 1d" 1% e" 1
71+ -on respecto a la relaci
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y
x
73+ De las proposiciones:5+ 4a gráfica cartesiana de
# * 0!x; y" ∈ #%
8 WxyW * %2&s simItrica respecto a sus as)ntotas55+ 4a gráfica cartesiana de:
S * 0!x; y" ∈ #% 8 Wy 1W * Wx H 1W2&s simItrica respecto al origen decoordenadas
555+ 4a gráfica cartesiana de
d" !>, %" ∈ #e" !>; H%" ∈ #
/7+ &n A * 01; %; /;>; 2 se define la relaci", !; >",
!; %", !>; /", !/; "2Si:P * 0x ∈ A 8 !x; %" ∈ #27 * 0y ∈ A 8 !/; y" ∈ #29 * 0x ∈ A 8 !x; " ∉ #2a" 0%; 2 b" 0/; 2 c" 0/2d" 02 e" 01; %; >; 2
//+ Si: #1 * 0!x; y" ∈ #% 8 y H x * C2;
%
Q * 0!x; y" ∈ #% 8 Wx yW * %2 #% * 0!x; y" ∈ # 8 y x * F2
5N+ 4a gráfica cartesiana de= * 0!x; y" ∈ #% 8 xy * 2&stá formada por todos los puntos del
planoSon falsas:
los elementos de #1 ∩ #%a" / b" > c" d" C e" E
/1+ Dados los conjuntos: A * 0x ∈ # 8 x% * F H %x2a" Qodas b" Solo 5 c" S * 0!%; 1", !%; %", !%; /"2U-uántas son funciones definidas en AVa" 7inguna b" 1 c" %d" / e" >
7>+ Si: A * 0.1; ; 12 y # * 0!x; y" ∈ A% 8 y% * x%2,Jallar n!#"a" b" > c" /d" % e" 1
7?+ Dada la relaci e" 1%F