RELACIONES BINARIAS.docx

GOBIERNO REGIONAL CAJAMARCADIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN CAJAMARCA

IESP PÚBLICO “ARÍSTIDES MERINO MERINO” - CELENDÍNResolución de Creación R.M. N° 13672, del 26 de julio de 1961

“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”

Relaciones Binarias

Dados dos conjuntos el de hombres o conjunto H, y el conjunto de mujeres o conjunto M, es decir:H = {Segundo, Sebastián, Luchín} y M= {Lucila, Cecilia, Sofía}

Entre ambos conjuntos se han establecido una correspondencia de modo tal que a cada nombre de hombre le corresponde el nombre de una mujer cuyo que tenga la misma letra inicial según el diagrama sagital.

H M Segundo. . Lucila Sebastián. . Cecilia

Luchín . . Sofía

Las parejas señaladas pueden también ser representadas todas por pares ordenados, los mismos que agrupados conforman un nuevo conjunto de pares ordenados al que llamamos relación ().Es decir: = {(Segundo; Sofía); (Sebastián; Sofía); (Luchín; Lucila)}.

Es fácil notar que este conjunto de pares ordenados es un subconjunto del producto cartesiano.Tarea:Da dos ejemplos de relaciones de acuerdo con tu vida cotidiana. Definición 1. Dados dos conjuntos A y B, decimos que es una relación de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano de A x B, o también es una relación de B en A si es un subconjunto del producto cartesiano B x A, en el que las componentes de sus pares ordenados guardan una regla de correspondencia o una correspondencia de acuerdo a una condición.

Definición 2. Se llama relación binaria entre los elementos de un conjunto A y los elementos del conjunto B, a todos los subconjuntos del producto cartesiano de A x B; Esto es, una relación binaria consistente en lo siguiente:

a) Un conjunto de partida “A”b) Un conjunto de llegada “B”c) Un enunciado abierto S( x ; y ) es verdadero o falso para todo par ordenado.

Simbólicamente se denota por:

R={( x ; y ) ϵ A xB /S (x ; y ) AxB }

Definición 3. Si entre los pares ordenados que son elementos del producto cartesiano A x B se consideran solamente aquellos en los que el primer elemento del par está vinculado con el segundo elemento por alguna propiedad, el subconjunto de A x B así obtenido se llama relación entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B.En forma más precisa:

RELACIÓN DE A EN B ES TODO SUBCONJUNTO DE A x B

1 Luis Eduardo Linares Quiroz

Definición 4. Una relación en los reales es una regla de correspondencia que asocia a cada número real “x” de un conjunto de partida A (llamado dominio de la relación) uno o más números reales “y” de un conjunto de llegada B llamado contra dominio.

Definición 5. Llamamos relación entre los conjuntos A y B y que representamos por la letra , a cualquier subconjunto del producto cartesiano de A x B (No es necesario que todos los elementos de A estén considerados).

Notación. A las relaciones se les denota con la letras: R; S; T; U … o también con subíndice si las relaciones son muchas: R(1) ; R(2) ; R(3) R(4); …. R(n).

1. Simbólicamente una relación se denota: Así: el conjunto R : AB R A x B

R = {(x; y) A x B / x R y}De esta bicondicional tenemos:

i) Si R es una relación de A en B, entonces R A x B.ii) Si R A x B., entonces R es una relación de A en B.

Dónde:

R : AB Se lee R es un relación de A en BR : AB Se lee R es un subconjunto, parte o está incluido en A en B.

En donde: Si se trata de una relación R de A en B, A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada y si se trata de una relación R de B en A; el conjunto B es el conjunto de partida y A es el conjunto de llegada.

UNA RELACIÓN PRESENTA LOS SIGUIENTE ELEMENTOS1. ELEMENTOS HOMÓLOGOS O IMAGEN

Se dice que “y” es homólogo o imagen de “x” a todo elemento del conjunto B tal que el par (x; y) R. Siendo R un subconjunto relación.La primera componente del par (x; y) que pertenece al conjunto A se le llama pre imagen mientras que la segunda componente recibe el nombre recibe el nombre de elemento imagen.Cuando y es el elemento imagen de “x” por la relación R escribimos y = R (x)Conjunto origen, de partida o inicial. Llamamos así al conjunto A.Conjunto de llegada o final. Es el conjunto B.Gráfico o grafo de una relación. Es el conjunto de puntos.Graf. (R) = {(x; y) A x B / y = R (x) x A R} R2

2. ELEMENTOS DE UNA RELACIÓNPara indicar que un par ordenado (x; y) pertenece a una relación R escribimos: x R y o también (x; y) R.Esto significa que: (x; y) R P (x; y) es verdad.El símbolo x R y o (x; y) R, indica que “x”, está vinculado con “y” por la relación R. Al elemento “y” se llama imagen del elemento “x” por la relación R; y a “x” se le llama pre imagen de “y” por la relación R.Análogamente, para indicar que un par ordenado (x; y) no pertenece a una relación R escribimos x R y o también (x; y) R.Esto significa que: (x; y) R. P (x; y) es falso.


A una relación entre los elementos se le llama también correspondencia entre dichos conjuntos.

Dominio y rango de una relación

En el conjunto de partida de una relación R hay elementos para los cuales la relación nunca se satisface; al ponerlos como primeras componentes de un par no dan una proporción verdadera con ningún segundo elemento.

Dominio.

El dominio está formado por aquellos elementos del conjunto de partida que satisfacen la relación con algún segundo elemento adecuado (o varios), y éstos se dicen que están formado la imagen. Dominio de una relación R es la totalidad de elementos del conjunto A (de partida) que admiten imagen en el conjunto B (de llegada).El dominio de una relación R, se define como el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pres ordenados de dicha relación.Se llama dominio, al conjunto formado por todos los elementos de A que son pre imagen por la relación R (o que tiene una imagen).

Notación. El dominio de una relación se denota por: Dom(R).Simbólicamente:

Dom(R) = {x A / y B (x; y) R} Dom(R) = {x / (x; y) R } A

Rango.

Rango de una R, es el conjunto de los elementos de B (conjunto de llegada, que admite una pre imagen en A (conjunto de partida).El rango de una relación R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación.Se llama recorrido, al conjunto formado por todos los elementos de B que son elementos imágenes por la relación R.Al rango de una relación también se le llama imagen o codominio.

Notación. El rango de una relación se denota por Ran(R)

Simbólicamente:Ram(R) = {y B / x A (x; y) R} Ram(R) = {x / (x; y) R } B

El dominio es el conjunto incluido en el conjunto de partida, y la imagen es el conjunto incluido en el

conjunto de llegada. R

A B Imagen

4. .9Dominio


1.2.3.

.5

.6

.7

Conjunto de partida Conjunto de llegada

Representaciones GráficasUna relación puede tener varias representaciones gráficas.Ejemplo: Representa gráficamente la siguiente relación: y = x2 + 1

Esta relación se puede representar mediante:a) Forma verbal. Se describe la relación en lenguaje materno lo más preciso posible

Un número “y” es igual al cuadrado de otro número “x” más una unidad.b) En forma de ecuaciones algebraicas: y = x2 + 1c) Forma numérica o de tabla. Es un arreglo que puede ser en forma horizontal o en forma vertical

Forma horizontal:

X -2 -1 0 1 2y 5 2 1 2 5

Forma vertical:x y-2 5-1 20 11 22 5

d) Forma gráfica:

Ejemplo: Dados los conjuntos A =1; 2; 3 y B =4; 5; 6, consideremos además los siguiente conjuntos.R = (1; 4); (2; 5) ; (3; 6) R =(2; 4) ; (3; 6) A x B R =(x; y)A x B / x + y = 7) = (1; 6); (2; 5); (3; 4) A x B Las relaciones anteriores son subconjuntos de A x B, y por tanto son relaciones de A x B.

Representación Gráfica de las relaciones

Sea R una relación de A en B, es decir, R A x B


Esta relación se puede graficar mediante:Tabla de dos columnas:

x yX1 y1

X2 y2

X3 y3

: :Xn yn

Diagrama Sagital o de Flechas R A B

1. .4 .6 2. .8

Cuadro de Doble Entrada:

Diagrama Cartesiano

AxB

0 1 2 3 4

Taller de Ejercicios

1. Dados los conjuntos A 5; 8; 11 ; B 4; 7; 10 se define la relación R, de la siguiente manera;

R =(x; y) A x B / x y y representa mediante diagrama sagital o de flechas, diagrama

cartesiano, mediante un cuadro de doble entrada.2. Dado los conjuntos A =x2 – 1/ -2 ≤ x 3; x Z, se define R de la manera siguiente:

R =(x ; y) A x N / y = x2 + 3; Representa R como un conjunto de pares ordenados, halla su dominio y rango.


R 3 4 5 61 X2 X3 X4 X

1234

23

6. . 457

I. Dados los conjuntos A y B, halla la relación R de A en B cuya regla de correspondencia se indica, además grafica la relación empleando el diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de doble entrada.

1. A =1; 3; 5; B =2; 5. Regla de correspondencia: a b.2. A =x/ xN 1 ≤ x ≤ 2 y B =x/ xN 1 ≤ x ≤ 2; regla de correspondencia b = 2a3. A =x/ xN 0 x 3 y B=x/x N 0 x ≤ 3; Regla de correspondencia b = 2a4. A =y/ y N 1 ≤ y 3; B =x/x N 0 x ≤ 2. Regla de correspondencia y = 2x5. A =x/x N x es impar 7 ≤ x 12; B =x/x N; x es par 5 x 11. Regla de

correspondencia x + y = 15.II. En cada uno de los ejercicios expresa cada relación como un conjunto de pares ordenados: Halla su

dominio y su rango.

1. A =2; 3; 5; 6 ; B =3; 4; 6. R =(x; y) A x B/ x < y2. P =20; 24; 30; 48; Q =3; 4; 5; 7; 12; R =(x; y) P x Q/ x es múltiplo de y3. M =3; 5; 7; 9; N =1; 2; 3; 4; R =(x; y) M x N/ x + y < 94. D =3; 4; 5; 6; 7; L =10; 12; 21; 25; R =(x; y) D x L / x es divisor de y5. E =x N / -7 < x <10; Z =x Z / -3 < x < 3. R =(x; y) E x Z / x + y = 10. 6. F = {x2 + 2 / -3<x<4; x } ; L = { x – 2 / 0 < x < 4 ; x Z }; R ={(x ; y) F x L / x < y}

7. G = {x−2

2/−6≤x<4} P = {2x + 3 / -4< x ≤2} R= {(x ; y) G x P/ y = x + 1}

8. A = {x2–7/ -5 < x < 1; x Z}; B = {2x+7/ -5 ≤ x < 4 ; x Z}; R = {(x ; y)A x B / y = -2x}

Relaciones Inversa Si R es una relación de un conjunto A, en un conjunto B: R =(x ; y) A x B/ (x; y) R, la relación

inversa, se denota por R-1, es la relación de B x A, definida así:

Definición: La relación inversa de R, es el subconjunto de B x A definido por:

R-1 =(y; x) / (x; y) R. En este caso: (y; x) R-1 (x; y) R o también se puede considerar: (x; y) R-1 (y; x) R.

Observese: Dom(R-1

) = Ram(R) Ram(R-1

) = Dom(R)

Ejemplo:Dados los conjuntos: C = 1; 2; 3; 4 y D = 2; 3; 4; 5; 6; 7 y la relación: R: C D/ (x; y) R y = 2x + 1

a) Determina R por extensión. e) Halla el dominio y el rango de R-1y grafica

b) Halla el dominio y el rango de R f) ¿Cómo está definida la inversa?.

c) Representa gráficamente R d) Determina R -1 por extensión.

RESOLUCIÓN

a) Determina R por extensión : R =(1; 3); (2; 5); (3; 7) b) dominio y el rango de la R Dom(R) = 1; 2; 3 y Ram(R) = 3; 5; 7 c) Representación gráfica:

Diagrama Sagital Tabla de doble entrada C R D

D 2 3 4 5 6 71


23

6. . 457

1234

234

Diagrama cartesiano (completa la gráfica)

d) Determina R -1 por extensión : invertimos los pares ordenados de RR -1 =(3; 1); (5; 2); (7; 3)

e) Dom R -1 = 3; 5; 7 Ram R -1 =1; 2; 3Grafica de la inversa R D C (completa las gráficas)

f) Definición R -1 : como la propiedad que caracteriza a la relación R es:

P(x; y): y = 2x + 1; hay que determinar la propiedad que caracteriza a R -1 es P(x; y):

y= x−12

por lo tanto, la relación inversa R -1 queda definida así:

R -1 : D C / (x ; y) R -1 y=x−1

2

Ejercicios

1. Si R (1; 3); (4 ; 5); (7; 6) y S (3; 5); (2; 4); (6; 7) ; son dos relaciones , halla la inversa de cada una der las relaciones.

2. Sea R una relación definida en los números naturales, tal que: R : N N / (x; y) R 2x + y = 10: Halla el dominio y el rango de la relación inversa.

Relaciones Definidas en un Conjunto


Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A, decimos

que R es una relación definida en A o, simplemente, una relación en A.

Definición. R Es una relación definida en A si y sólo si R A2.En forma simbólica definimos de la manera siguiente:

R: A A R A2

Ejemplo: Sea el conjunto A = 3; 4; 6; 8; 10 y una relación R definida en A por:

R: A A/ (x; y) R si y sólo si la primera componente es múltiplo de la segunda componente.RESOLUCIÓN

R =(3; 3); (4; 4); (6; 6); (8; 8); (10; 10); (6; 3); (8; 4)

Ejercicio 1:

Sea R el conjunto de los números reales y la relación R definida en por:R: R R/ (x; y) R y = x. Representa gráficamente a la relación en un diagrama cartesiano.Ejercicio 2. Sea B = 2; 3; 4 y la relación definida en B por:

R1 =(x; y) B2/ y ≤x; R2 =(x; y) B2/ y = x2 y R3 =(x; y B2/ y – x = 1)

Halla: n (R1 )+2n(R R2)

n(R3)

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO Sea R una relación definida en A, es decir, R A2. Dicha relación puede clasificarse de acuerdo con las siguientes propiedades.

1. Reflexividad. Algunas relaciones tienen la propiedad de que todo elemento sobre el cual actúan está en relación consigo mismo.Ejemplo: La relación “es igual a” definida en el conjunto de los números naturales, se caracteriza porque todo número Natural N es igual a sí mismo. Es decir: x: x N x = x

Las relaciones de esta forma; que goza de esta característica recibe el nombre de reflexivas.Definición. Una relación es reflexiva, si y sólo si, todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo.

R es reflexiva x: x A (x; x) REsta relación se caracteriza porque todo elemento forma pareja consigo mismo, y el par así formado pertenece a la relación.Gráfica. Para que una relación sea reflexiva, todo elemento del conjunto debe tener un lazo o bucle.

x.

Ejemplo 1.: Sea un conjunto de canicas de colores y R la relación definida en A por: (x; y) R “x es del mismo color que y”.

ResoluciónR es reflexiva, porque “toda canicas del conjunto A tiene el mismo color que ella misma”


Ejemplo 2. Sea C = 1; 2; 3 y la relación definida en C mediante:

R =(1; 1); (2; 1); (2; 2); (3; 3)Resolución

R es reflexiva, porque cumple con la condición de que cada elemento del conjunto C está relacionado consigo mismo.

Ejemplo 3. Si B= {1; 2; 3} y una relación R está definida en B por:R = {(1; 2); (1; 1); (2; 3); (3; 1)}.

Resolución

Como 3 B y (3; 3) R, la relación R no es reflexiva.

Si R es una relación reflexiva, entonces en la representación cartesiana de R tiene que señalarse todos los elementos de la diagonal del producto cartesiano, donde la diagonal está constituida por todos los pares que tienen componentes iguales.Es decir, D = {(x; x) R/ x A}.La reflexividad se traduce en el hecho siguiente: la diagonal de A2 está contenida en la relación, o sea:

R es reflexiva si y sólo si D R Gráficamente, en un diagrama sagital deben aparecer todos los elementos del conjunto con un lazo o bucle.

A 3 A

2 1. .3

1 2.

0 1 2 3 A

Para la no reflexividad, es suficiente halla un elemento que no está relacionado consigo mismo.

Definición. R Es no reflexiva x /x A (x; x) R Esta definición es la negación de la definición de reflexividad.

R es no reflexiva x/ x A (x; x) R

Ejemplo 1. En la relación “es hermano de” se observa que ningún elemento del conjunto de personas está relacionado consigo mismo, es decir, ninguna persona es “hermano de sí mismo”. Este tipo de relaciones son no reflexivas. Estas relaciones de este tipo reciben el nombre especial:

arreflexivas.Definición. R es arreflexivas x : x A (x; x) R

Taller1. Considere las siguientes relaciones en A = {1; 2; 3; 4}

R1 =(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 2); (4; 1); (4; 4)R2 =(1; 1); (1; 2); (2; 1)R3 =(1; 1); (1; 2); (1; 4); (2; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 1); (4; 4)


R4 =(2; 1); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2); (4; 3)R5 =(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 2); (2; 4); (3; 3); (3; 4); (4; 4)R6 =(3; 4)¿Cuáles de estas relaciones son reflexivas?

2. Considere las siguientes relaciones en Z.R1 =(x; y)/ x = y

R2 =(x; y)/x ≤ yR3 =(x; y)/x es múltiplo de yR4 =(x; y)/ (x =y) V (x = -y)R5 =(x; y)/ x = y + 1R6 =(x; y)/ x + y ≥ 5 ¿Cuáles de estas relaciones son reflexivas?

2. Simétrica.Si para todo par de elementos ocurre que si el elemento x está relacionado con el elemento y, entonces el elemento y está relacionado con el elemento x.

Definición. R Es simétrica x¸y A: (x; y) R (y; x) R Gráficamente: Para que una relación sea simétrica, toda flecha que sale de un elemento del primer conjunto al segundo conjunto, entonces de este debe regresare al primero. Así:

x. .y

Para que no se cumpla la relación simetría, es suficiente hallar un par ordenado que pertenezca a la relación, pero el par que resulta de permutar sus elementos no pertenezca a la misma.

Definición: R es no simétrico x, y A/(x; y) R (y; x) REjemplos:1. Sea D = {1; 2; 3} es simétrica:

R1 = {(1; 1); (2; 3); (3; 2); (3; 3)}R2 = {(1; 1); (2; 3); (3; 2); (3; 1)}R3 = {(2; 3); (1; 2); (3; 1); (3; 2); (2; 1); (3; 3)}

2. En N la relación R definida por “x R y” si y sólo si “x divide a y”.

No es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4, pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4; 2) R3. Sea A = {2; 3; 4}. La relación definida en A por R = {(2; 2); (2; 3); (4; 2); (3; 2); (3; 4)}

No es simétrica porque existe un par ordenado (3; 4) que pertenece a la relación pero el par (4; 3) que no pertenece a la relación.

Si la relación R es simétrica sobre A, entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal.Si de una relación R en A conocemos el diagrama cartesiano, o el conjunto solución, podemos

reconocer si R es simétrica de la siguiente manera:a. Si en el diagrama sagital hay una flecha de “x hacia y”; entonces debe haber otra flecha que

va de “y hacia x”.b. Por cada punto que esté a un lado de la diagonal, debe existir un punto al otro lado de la

diagonal y equidistante a ella.c. Si aparece el par (x; y) en el conjunto solución entonces debe aparecer también el par (y; x).


3. Anti simétrica. Si para todo par de elementos ocurre que el elemento x está relacionado con el elemento y, entonces el elemento y está relacionado con el elemento x, y además se deduce que x = y

Si x; y A: x R y y R x x = yEjemplo:1. En Z la relación R definida por: “x R y” x – y “es múltiplo de 2”

No es anti simétrica ya que 2 R 4 y 4 R 2; pero2 4Si la relación R es anti simétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal excepto la diagonal misma.

4. Relación transitiva. Cuando se verifica que si el elemento x está relacionado con él y además el elemento y está relacionado con el elemento z.

Si x; y; z A : x R y y R z x R z.Gráficamente: para que una relación sea transitiva los elementos deben estar relacionados por flechas de la manera siguiente:

x . y. .z

Ejemplo:1. En el conjunto N la relación “es menor que” cumple la propiedad “Si x es menor que y

además y es menor que z, entonces x es menor que z”.Es decir: x; y; z A: (x; y) R (y; z) R x < y y < z (x; z) R

2. En N la relación R definida por: “x R y” “x es el doble de y”.No es transitiva ya que (4; 2) R y (2; 1) R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4; 1) R

Ejercicio. Analiza si la relación siguiente es o no transitiva: En C = {2; 4; 6}, definido por la relación R mediante: R = {(2; 2); (2; 4); (4, 6); (2; 6); (6; 2); (6; 4)}Definición: R no transitiva x; y; z A / (x; y)R (y; z)R (x; z)R

Relaciones de en Producto Cartesiano de en Definición. El producto cartesiano de en se define como sigue:

2 = x = {(x; y) / x R y R}Plano Cartesiano. El plano cartesiano se forma por la intersección de dos rectas perpendiculares llamadas EJES.Dónde:

El eje horizontal, se llama eje de las ABSCISAS o eje de las X. El eje vertical, se llama ejes de la ORDENADAS o eje de las Y.

Los ejes se intersecan en un punto al que llamamos origen de coordenadas: (0; 0).


Cada punto del plano es un par ordenado: (x; y).El plano cartesiano, divide al plano en cuatro regiones, las cuales reciben el nombre de CUADRANTES y se encuentran así como se indica en la figura siguiente.

+Y La Ley de correspondencia binaria Eje de Ordenada es:

2º cuadrante 1º cuadrante “A cada punto del plano le corresponde II I un par ordenado (x; y)” P (x; y) (- ; +) (+ ; +) Eje de Abscisa

Origen de Coordenadas

- X + X 3º Cuadrante 4º Cuadrante III IV (- ; -) (+ ; -)

-Y

En el gráfico se observa que el origen divide a cada EJE en dos SEMIEJES: uno positivo y el otro negativo. Ubicación de un punto en el plano cartesiano.Dado un punto P en el plano, la DISTANCIA de P al eje Y recibe el nombre de ABSCISA la cual representamos por la letra x, además la DISTANCIA del punto P al eje X recibe el nombre de ORDENADA la cual representamos por la letra y.

Grafica de Pares Ordenados.

¿Cómo ubicamos un punto en el sistema de coordinadas?- Identificamos el número real correspondiente a la ABSCISA y lo ubicamos en el eje de

las X.- Identificamos el número real correspondiente a la ORDENADAS y lo ubicamos en el

eje de las Y.- Trazamos por dichos puntos rectas paralelas a los dos EJES hasta que se

ENCUENTREN en el otro punto que viene a ser el que estamos buscando.Grafica los siguientes puntos P0(1; 2); P1(-5; 3); P2(-1/2; -4); P3(4; 5/2); A(-3; 2); B(1; -1); C(3; 0); D(-1; 0).

4

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


-4

Gráfica de una Relación de en

Definición. Se llama gráfica de una relación de en al conjunto de puntos cuyos coordenadas satisfagan dicha relación. Donde no olvidamos que una relación puede ser de la forma: (x; y) = 0 o inecuaciones de las formas: (x; y) < 0 ; (x; y) ≤ 0 ; (x; y) > 0 ; (x; y) ≥ 0 ; EN LAS VARIABLES “x” e ”y” es la gráfica de la relación: R =(x; y) / (x; y).

TallerGrafica las relaciones definida por:

1. R =(x; y) R2/ y = x} 2.R =(x; y) R2/y ≤ x3. R =(x; y) R2/ y = -x 4. R =(x; y) R2/ y ≤ 35. R =(x; y) R2/ x ≥2 1. R =(x; y) R2/ 1 ≤ x ≤ 37. R =(x; y) R2/ 2 ≤ y ≤ 5 8. R =(x; y) R2/ x 1 ; 2 y -2 ; 29. R =(x; y) R2/ x + y ≥ 2 10. R =(x; y) R2/ y = 2x11. R =(x; y) R2/ x = 4,5 12. R =(x; y) R2/x = 3 -1 y 213. R =(x; y) R2/ -3/2 ≤ x ≤ 3 0 ≤ y ≤ 2 14. R =(x; y) R2/|x|

15. R =(x; y) R2/ y = 12x2

16. R =(x; y) R2/ y = -x2 + 1

17. R =(x; y) R2/ y2 = x 18. R =(x; y) R2/ y=√9−x219. R =(x; y) R2/ y ≤ x2 – 2x - 3 20. R =(x; y) R2/ 1 ≤ x 3 2 < y ≤ 421. R =(x; y) R2/ x2 + y2 = 16 22. R =(x; y) R2/ x2 + y2 = 16 y ≤ 023 R =(x; y) R2/ x2 + y2 = 16 x ≤ 0 24. R =(x; y) R2/ 9x2 + 25y2 ≤ 225 25. R =(x; y) R2/ x2 + y2 = 25 x ≥ 0 26. R =(x; y) R2/ y = x227. R =(x; y) R2/ x2 + y2 < 4 28. R =(x; y) R2/ x -3y +5 ≥ 029. R =(x; y) R2/ y ≥ x 30. R =(x; y) R2/ 1 ≤ x ≤ 4 y = 4

Funciones En conversaciones de la vida diaria, tú como estudiante que funciones desempeñas en la institución, como hijo(a) que funciones desempeñas en tu hogar. En el ámbito matemático se usa la palabra “Función” de manera diferente a como se usa en el lenguaje cotidiano; se usa para denotar un tipo específico de correspondencia o relación entre los elementos de dos conjuntos.En cada uno de estos ejemplos propuestos por ustedes, existe una conexión entre los elementos de un conjunto y los elementos del otro conjunto.Nosotros podemos pensar que una función es como una máquina, capaz de procesar aquello que se le ingresa. El producto final de dicho proceso dependerá de dos factores.

1. El material que se ingresa en la máquina.2. El tipo de proceso para el que fue preparada la máquina.


Ejemplo: Imaginamos una máquina triplicadora: 3x capaz de triplicar todo aquello que ingresa en ella.Entrada Proceso Salida

3 patos Triplica 9 patos3 lapiceros Triplica5 libros Triplica8 soles14 carpetas5 toneladas de material

Esta correspondencia se puede representar mediante el conjunto de pares ordenados que son:{(3 patos; 9 patos); (3 lapic.; 9 lapic.); ( ; ) }

Ejemplo: Sea el conjunto {-2; ½; 3}. Con cada elemento de este conjunto, asociamos el número real que sea “el doble del elemento, más 1”.

Entrada Proceso Salida-2 2x + 1 = 2(-2) + 1 -31/23 Entrada -2 ½

3

Duplica y Suma 1 2x + 1

-3 2 7

Salida

Expresamos esta correspondencia como un conjunto de pares ordenados obtenemos: {(-2; -3); ( ; ); ( ; )}Observamos que cada elemento del conjunto {-2; ½; 3}. Se ha relacionado con cada elemento del conjunto: {-3; 2; 7} mediante una regla de correspondencia “es el doble de . . . aumentado en 1”.Así: -3 es el doble de -2 + 1 2 es el doble es ½ + 1 7 es el doble de 3 + 1A la regla de correspondencia se le llama Función¿Qué es una función?Una función es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia un elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto.El primer conjunto se llama conjunto de partida y el segundo conjunto se llama conjunto de llegada.Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llama función de A y B a toda correspondencia que asocia a cada elemento x ∈ A un único elemento de y ∈ B.Hemos visto que una función se representa como un conjunto de pares ordenados, luego podemos definir como:


x1.

x2.

x3.

Una Función es un conjunto de pares ordenados en el que no hay dos pares ordenados distintos con el mismo primer elemento o componente. El conjunto de todos los primeros elementos se llaman dominio de la función y el conjunto de todas las segundas componentes, elementos o imágenes se llaman rango de la función o recorrido de la Función.

Si x es un elemento del dominio de la función, entonces su pareja que le corresponde en el rango de la función, se lama imagen de x.Para nombrar a la función se utiliza una letra como: ; g; h.Notación de una Función = {(x; y)∈ A x B/ y = (x)}Una función de A en B se denota así:: A B ó x (x) ó y = (x)

Dónde: A es el conjunto de partida.B es el conjunto de llegada.Dom(f) es el dominio de la función, conjunto de todos las pre imágenes.Ram(f) es el rango de una función, conjunto de todas las imágenes.

El valor de la segunda componente “y” depende de los valores que se les asignemos a “x” esta dependencia suele ser expresada así: y = (x) , (Se lee la variable “y” en función de la variable “x”).Ejemplo:Sea la función (x) que a cada valor de “x” le asigna su cuadrado aumentado en cinco unidades. (x) = x2 + 5, (regla de correspondencia o asociación).Ejemplo: Halla (4)

Resolución(x) = 42 + 5 = 21

Ejercicios: 1. Dada la función (x) = x2 + 5 . Halla: (a) ; (3x) ; (x2) ; (x + h) ; (2c)

2 Un rectángulo de lados x e y tiene 100cm de perímetro. Expresa se área A como función del lado que mide x.Empleamos funciones para analizar numéricamente las relaciones causa y efecto es decir la correspondencia entre un valor de entrada y otro de salida.

Si el dominio de la función es igual al conjunto de partida (A) o sea Dom(f) = A, entonces la función recibe el nombre de Aplicación. Luego, toda Aplicación es una función; pero no toda función es aplicación.

Taller

1. Dados los conjuntos: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4; 6; 9; 10; 12}; Hallar: a) : A B; tal que y = x + 1 b) Dominio y rango de a función.

c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?2. Dados los conjuntos: A = { -2; -1; 0; 1; 2} y B = {0; 1; 2; 3; 4}; Halla:

a) : A B / y = x2 b) Dominio y rango de la función c) Diagrama sagitald) ¿Es aplicación?

3. Sea: A = {1; 3; 5; 7} y B = {3; 5; 6; 7}. Hallar: a) : A B tal que: y = 2x + 3 b) Dominio y rango de la función c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente cuando tenemos la asociación de dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

A B


. . (x1)

.(x2) . (x3)

Funciones Definidas Mediante Diagrama Sagital Una relación definida mediante un diagrama sagital es una función si de cada elemento de su dominio sale una sola flecha al conjunto de llegada.Sean los conjuntos: A = {1; 3; 5; 7} y B = {2; 4; 6; 8} y la relación R =(1; 8); (3; 2); (5; 6).Sean los conjuntos: C = {1; 2; 3; 4} y D = {5; 6; 7} y la relación R =(1; 5); (2; 6); (3; 7)Sean los conjuntos: M = {2; 4; 8; 9} y N = {1; 3; 6} Y LA RELACIÓN R =(2; 3); (4; 1); (4; 6); (8; 3)Sean los conjuntos: P = {1; 2; 3; 4; 9} y Q = {6; 7; 8; 1; 4} y la relación R =(1; 4); (3; 1); (4; 6); (9; 7)Grafica cada una de las relaciones anteriores y analízalo.

Funciones Definidas Mediante Pares OrdenadosLas relaciones R1 ; R2 ; R3 ; R4 pueden ser definidas de las siguiente manera:

R1 =(1; 3); (3; 2); (5; 6) R2 =(1; 5); (2; 6); (3; 7) R3 =(2; 3); (4; 1); (4; 6); (8; 3) R4 =(1; 4); (3; 1); (4; 6); (9; 8) De acuerdo a la definición. Determina cuales son funciones y por que

Taller

1. Dado los conjuntos: A = {2; 3; 4} y B = {3; 5; 6}. Cuáles de las siguientes relaciones no es una función de A en B.

R1 =(2; 3); (3; 5); (4; 6); R2 =(2; 5); (3; 3); (4; 6) R3 =(2; 5); (2; 6); (3; 3)2. Dados los conjuntos: A = {-1; 0; 2; 4}; B = {-2; 0; 6; 8}. Halla a) : A B/ y = 2x b) Dominio y

rango c) Diagrama sagital d) ¿Es una función? 3. Sean los conjuntos: A = {1; 4; 5; 7} y B = {2; 3; 5; 7} encuentra: R =(x; y) A x B/ x= y + 1

y construye el diagrama sagital; ¿Es R una función ?.4. Halla a y b sabiendo que el conjunto: {(2; 3); (6; 7); (2; b); (6; a)} es una función.5. Halla m y n sabiendo que el conjunto: {(n; m + n); (n; 12); (m; 2); (m; m - n)} es una función

Halla las imágenes que siguen si (x) = 32 – 5x + 1; g(x) = 12x+ 5

1) (4) = 2) (-1) = 3) g(10) =4) f ( 1

5 )+8=¿5) g(-3) – 3 =

6) (0) + g(0) = 7) f ¿ 8) (-1) + 5 9) 4(-2) + g(-3) = 10) g(2)=11) g(1) = 12) (a + 2) = 13) (c + 4) 14) g(2a)+ (-2) = 15) g(3b -1)=16) (x + 1) = 17) g(2x) = 18) (2x-3)–g (4x+1)

Funciones Real de Variable RealesSea la función : R R definida por la regla de correspondencia (x) = 3x + 1. Esta función asocia a cada número real “x” otro número real “3x + 1”, por lo tanto los pares ordenados que constituyen esta función son de la forma = {(x; 3x + 1)/ x∈R}Formemos algunos pares ordenados de esta función:

Entrada(valor de “x”) Proceso (3x +1) Salida Pares Ordenados


x = 1 (1) = 3.1 + 1 4 (1; 4)∈x = 2 (2) = 3.2 + 1 7 (2 ; 7)∈

x = 23

f ( 23 )=3 ( 2

3 )+13 ( 2

3;3)∈

Entonces = {(1; 4); (2; 7); ¿)}; …}Es importante enumerar todos los pares ordenados que constituyen esta función ya que a “x” le podemos asignar cualquier número real y para cada uno de esos valores obtenemos un valor para (x). Luego, estamos frente a una función real de variable real.Definición. Una función es real de variable real es cuando el conjunto de partida y el conjunto de llegada son subconjunto de R o coinciden con R.La notación: y = (x) se lee: “y es una función de x” o “y es iguala a de x” y nos indica que y es la imagen de x a través de o también “y es el valor de la función en x”.Variables Dependientes .Son aquellas variables que como su nombre lo indica, depende del valor que toma las otras variables. Por ejemplo: (x) = x, y = (x) es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se le subministre a x.Variables Independientes. Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

Gráfica de una Funciones LinealPosición de un punto o Coordenada de un punto

R A x B ≤ R ≥ R x

Relación de Equivalencia

Existen relaciones que tienen la característica de gozar a la vez de más de una de las propiedades, recibiendo nombres especiales. Así por ejemplo: En A = {x / x es un estudiante}, consideremos la relación definida en A por.

(x; y) x R tiene la misma edad que y Clasificamos esta relación:1. x; x A x tiene la misma edad que x (x; x) R, R es reflexiva.2. x; y A: (x; y) R x tiene la misma edad que y entonces y tiene la misma

edad que x entonces (y; x ) R R es simétrica.3. x; y; z A: {(x; y) R (y; z) R } x tiene la misma edad que y b tiene la

misma edad que z entonces x tiene la misma edad que z (x; z) R , R es transitiva.

Observamos que esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva.

Las relaciones que gozan de esta característica se llaman equivalencia. Definición:


La relación R A2 es de equivalencia en A si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva

Se utiliza el símbolo y los elementos de todo par pertenecen a la relación se llama equivalentes.Notación: x y se lee “ x es equivalente a y” y significa que el par (x;y) pertenece a la relación. En este sentido, las relaciones de equivalencia satisfacen:

1. Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento x de A esta relacionado consigo mismo.{}

x A: (x; x) R

2. Relación simétrica: La relación es simétrica si un elemento x está relacionado con otro y, entonces él y también está relacionado con el elemento x.

x; y A: (x; y) R (y; x)R

3. Relación transitiva: la relación es transitiva si un elemento x está relacionado con otro y, y este y con otro z, entonces elemento x este también relacionado con el elemento z.

x; y; z A: {(x; y) R (y; z) R } (x; z) R

Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A, entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A. Ejemplo:En A = {1; 2; 3}, la relación:R = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (1; 2); (2; 1)}Es de equivalencia. Clasificamos las siguientes propiedades:Esta relación cumple con la propiedad reflexiva.Cumple con la propiedad simétrica y la propiedad transitiva.El diagrama de Venn es el siguiente:

A

.1

.2

.3

Donde cada arco orientado está asociado a un par perteneciente a la relación. En forma cartesiana:

Equivalente


Clase de Equivalente y Conjunto CocienteSea una relación de equivalencia en A ≠. Un problema de interés es la determinación de todos los elementos de A que son equivalentes a uno dado, es decir, que forman pareja con él. La respuesta conduce en cada caso a un subconjunto de A, llamado clase de equivalencia del elemento.Definición.Clase de equivalencia del elemento a A es el conjunto de todos los elementos de A equivalentes a a.

Ka = {xA/ x a}

Ejemplo:K1 = {1; 3} K2 = {3}Es decir, hay dos clases de equivalencia, que son subconjuntos de A.Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos.

R = {(x; y) A2: R (x; y)} Se dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple:

En aritmética modular se define la operación módulo el resto de la división. Así:

5 Mód. 2 = 16 Mód. 3 = 0 7 Mód. 3 = 1

El resto de dividir 5 entre 2 es 1El resto de dividir 6 entre 3 es 0El resto de dividir 7 entre 3 es 1

Se dice que dos números son congruentes módulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismo resto.

8 17 (Mód. 3)El 8 y el 17 son congruentes módulo 3 dado que la dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2.La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una relación de equivalencia, dado que es reflexiva:

x N : x R x (Mód. n) Es simétrica:

x; y N: x y (Mód. n) y x (Mód. n)Es transitiva:

x; y; z N: {x y y z (Mód. n)} x z (Mód. n)

R = R A x B ≤ R ≥ R x; y; z


Definición. R es no anti simétrica x, y A / (x; y) R (y; x) R x y.

Luis Eduardo Linares QuirozLuis Eduardo Linares Quiroz

R es reflexiva x: x A (x; y) R

R Es no reflexiva x /x A (x; x) R

R es arreflexivas x : x A (x; x) R

R Es simétrica x¸y A: (x; y) R (y; x) R

R es no simétrico x, y A/(x; y) R (y; x) R

Anti simétrica Si x; y A: x R y y R x x = y

Transitiva Si x; y; z A : x R y y R z x R z.20 Luis Eduardo Linares

Quiroz

x; y; z A: (x; y) R (y; z) R x < y y < z (x; z) R

R no transitiva x; y; z A / (x; y)R (y; z)R (x; z)R


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