Relaciones entre conjuntos

Hay dos relaciones importantes que se tienen entre conjuntos: contenencia e igualdad

Definición: 1.2.1 Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A es unsubconjuntode Bsi cada elemento de A es un elemento de B. Si A es

subconjunto de B escribimos . En símbolos tenemos que,

  si y solamente si

Cuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B o que, B contiene a A.

 Ejemplo:

El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es

decir, En el sistema de los números reales se tienen las siguientes

contenencias importantes:

Si A no está contenido en, es decir, si hay un elemento que está en A y no está

en B, escribimos .

Ejemplo:

El conjunto R de números primos no está contenido en el conjunto M de

números naturales impares. Es decir

De acuerdo a la definición de contenencia, cuando la implicación es verdadera. Utilizaremos este hecho en la demostración de las

siguientes propiedades sobre contenencia entre conjuntos.

Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que:

(i)

(ii)

(iii)

 Demostración:

Como no tiene elementos, la proposición es falsa. Por lo tanto la implicación es verdadera 1.

Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposición es verdadera. Por lo tanto la implicación es verdadera 2.

es verdadera3.

Definición: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos,es decir,

Ejemplo:

Cuando se quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definición

anterior, debemos probar que i) y ii) .

Ilustraremos esta forma de mostrar la igualdad entre dos conjuntos en la demostración de las siguientes propiedades sobre igualdad entre conjuntos.

Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que:

A =A. .

.

Demostración:

(i) .

Esto implica que:

.

.

Ejercicio:

Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior.

Negando la definición de igualdad entre conjuntos, deducimos que dos conjuntos no son iguales si no tienen los mismos elementos: 5

Es decir,

Ejemplo:

Decimos que A es subconjunto propio de B si .

Utilizamos la notación para indicar que A es subconjunto propio de B.

Por ejemplo, .

Contenencia e igualdad entre conjuntos definidos por comprensión

En el caso que los conjuntos estén descritos por comprensión, las relaciones de contenencia e igualdad se pueden expresar en términos de los predicados que definen los conjuntos.

Sean,

Como:

Entonces,

Por lo tanto,

Como:

Entonces,

.

En otros términos,

Por lo tanto,

Ejemplo: