RELAJACION EXPONENCIAL

UNIVERSIDAD DEL VALLE

INGENIERIA ELECTRICA

Brian Aguirre 1039619-Diego Paz 0841454

19 de septiembre de 2012

RESUMEN. Se estudio experimentalmente el fenómeno de relajación de un sistema eléctrico

conformado por dos resistencias, un condensador y una fuente de voltaje. En los procesos de carga

y descarga de un condensador se midieron los tiempos y los valores de elevación y caída de voltaje;

con ello se pudo comprobar el comportamiento exponencial del voltaje en el capacitor y se pudo

deducir un valor experimental de la constante de tiempo ��� = 38,75 ± 0.09���� = 56,18 ±0,22.

INTRODUCCION

Un capacitor es un dispositivo que almacena

carga eléctrica. Los capacitores de utilizan por

lo común en una variedad muy amplia de

circuitos eléctricos. Por ejemplo, se usan para

sintonizar la frecuencia de receptores de radio [1].

Cuando se cierra el interruptor, de la figura 1,

en t = 0, la carga de la fuente de poder

Comienza a fluir instantáneamente por el

circuito, se establece una corriente I, y el

capacitor empieza a acumular esa carga.

Después de un tiempo t → ∞ cuando el

capacitor almacena el máximo valor de carga

��, la cual depende de los valores fem � de

la fuente y la capacitancia �, y la corriente en

el circuito es cero.

Cuantitativamente, por conservación de la

energía, para la figura2:

� − �� − �

�= 0 (1)

En donde �� es la caída de potencial en la

resistencia � y �

� la caída de potencial en el

capacitor �. La carga �(�) y la corriente �(�)

en un cierto tiempo t contado a partir del momento en que se cierra el interruptor están

dadas por las siguientes expresiones, solución a la ecuación (1):

�(�) = ��(1 − !"/$%) (2)

�(�) = �� !"/$% (3)

Donde �� = �� es la carga máxima sobre las placas del capacitor, �� = ��/�� es la corriente máxima; �� tiene unidades de tiempo, es conocida como la constante capacitiva de tiempo del circuito.

Una vez el capacitor C alcance su carga ��

el interruptor se pasa a la posición 2, figura2, proceso de descarga. Ese instante de tiempo se llama ahora instante inicial ó � = 0. Para

� < 0 la carga es ��. En el instante � = 0

se establece una corriente que circula en dirección opuesta al proceso de carga y el capacitor se comienza a descargar a través de la resistencia �. La ecuación diferencial para este parte, conocido como proceso de descarga del capacitor la ecuación de movimiento está dada por:

� − �

�= 0 (4)

La carga �(�) y la corriente �(�)en cualquier

instante de tiempo � a partir del momento en que se inicia la descarga del condensador están dadas por las expresiones:

�(�) = �(� = 0) !�/$% (5)

�(�) = �(� = 0) !�/$% (6)

Haciendo las respectivas sustituciones se tiene que para el proceso de carga:

'�(�) = '��()(1 − !"/$%) (7)

Para el proceso de descarga:

'�(�) = '�*( !"/$%) (8)

Se puede linealizar la ecuación (8) si se saca a ambos miembros la función logaritmo

natural +,:

ln/'�(�)0 = ln('�*) −12(3)

45� (9)

Así: � = ln/'6(�)0 (10)

Es una ecuación lineal con el tiempo, con pendiente negativa e igual al inverso de la constante de tiempo característica �% . En el proceso de carga (ó descarga) se puede

calcular el tiempo t1/2 que gasta el circuito en

alcanzar ó reducir a la mitad el valor de su carga máxima ó de su corriente y se encuentra en cualquier caso que:

��/� = ��ln(2) (10.1)

El objetivo principal de este laboratorio es pues, estudiar el comportamiento de un condensador cuando recibe y entrega energía al comparar lo experimental con lo teórico y a partir de ello obtener un valor de la constante de tiempo. PROCEDIMIENTO

Fig.1.carga del condensador

Fig.2.Descarga condensador

Se hizo el montaje del circuito de la figura1 con una fuente de voltaje de 9,63v, una

resistencia �� de 0,6957Ω, y un condensador de 47:;. se verifico que el condensador estuviera descargado y se prosiguió a conectar la fuente. Se tomaron para 50 intervalos, medidos cada 5s, los valores de voltaje respectivos registrados en el milímetro. Datos registrados en la tabla1. Luego se hizo el montaje del circuito de la figura2, se escogió un valor de voltaje inicial en el condensador y se registraron los valores de voltaje a medida en que se descargaba; tomados cada 5 segundos. Datos registrados en la tabla 1. Finalmente, se repitió el proceso de carga y

descarga para una resistencia �� de 0,9977٠y se tomaron los datos de tiempo y voltaje. RESULTADOS Fig.3.Grafica voltaje contra tiempo del modelo de carga de condensador de resistencia R1

Fig.4.Grafica voltaje contra tiempo del modelo de descarga de condensador de resistencia R1 Fig.5.Grafica voltaje contra tiempo del modelo de carga de condensador de resistencia R2 Fig.6.Grafica voltaje contra tiempo del modelo de descarga de condensador de resistencia R2

Fig.7. Grafica de linealizacion de ln/'�(�)0

contra tiempo en descarga de ��. De acuerdo con la grafica la expresión matemática que la representa es:

� = 1,72 ± 0,01 − 0,0258 ± 6,53< − 5� Según la ecuación 10 el valor de la pendiente se ve representado como:

= = − �

45 (11)

Despejando la constante de tiempo para ��se tiene que está representada por:

�� = − �

�> (12)

= −1

0,0258= 38,75 ± 0.09

De acuerdo con la ecuación 10.1:

��/� = 26,85

Fig.8. Grafica de linealizacion de ln/'�(�)0

contra tiempo en descarga de ��.

De acuerdo con la grafica la expresión matemática que la representa es:

� = 2,10 ± 0,01 − 0,0178 ± 7,07< − 5� De acuerdo con la ecuación (12) se tiene que la constante de tiempo para �� es:

�� = −1

0,0178(1/)= 56,18 ± 0,22

De acuerdo con la ecuación 10.1:

��/� = 38,94

Constantes de tiempo obtenidas con los datos de resistencias y capacitancia conocidos:

��� = ��� = 0,6957Ω ∗ 47:; = 32,66 De acuerdo con la ecuación 10.1:

��/� = 22,63

��� = ��� = 0,9977Ω ∗ 47:; = 46,85 De acuerdo con la ecuación 10.1:

��/� = 32,47

DISCUSION DE RESULTADOS Observando los gráficos de carga y descarga del condensador, se nota que concuerda con la teoría pues tienen comportamiento exponencial. En las fig.3-5 su voltaje aumenta exponencialmente y las Fig.4-6 decrecen también en forma exponencial. Los valores de las constantes de tiempo obtenidos por grafica, son proporcionales a los que se obtienen con la formula R*C, ��� = 38,75 ± 0.09, contra

��� = 32,66 y ��� = 56,18 ±0,226@,�AB��� = 46,85; estos valores se vieron afectados debido al error humano al tomar los datos. El ��/� correspondiente para cada resistencia

nos indica en tiempo que se demora el alcanzar el capacitor la mitad de su carga o su corriente, en la práctica los valores obtenidos por grafica y los que se obtienen con la medición directa de R y C son proporcionales

lo que quiere decir que aproximadamente alcanza su valor medio al mismo tiempo, usando los dos metodos. ��/� = 26,85 contra ��/� = 22,63 en la

resistencia 1 y ��/� = 38,94 contra

��/� = 32,47 en la resistencia 2; es

aceptable este valor ya que esta dentro del rango de los 10s de diferencia y de acuerdo con la tabla1 entre estos tiempos si se alcanzan los valores medios de voltaje. Además, el tiempo medio esta dentro de lo esperado ya que a una mayor resistencia debería tardar más en alcanzar un valor medio de la carga o corriente y eso es lo que se obtuvo. CONCLUSIONES Los resultados obtenidos corresponden a los esperados, la carga y descarga del condensador se ajusta a una relación exponencial. Para eliminar errores sería bueno establecer una coordinación mejor entre la medición del tiempo y del voltaje; también al registrar los valores se debería tener en cuenta que además de la resistencia que se escoge, también hay consumo de energía por los conductores y por la resistencia del multimetro. Los valores ajustados por grafica de la

constante de tiempo ��� = 38,75 ± 0.09, ��� = 56,18 ± 0,22 corresponden a lo establecido con la teoría en la respuesta transitoria de voltaje en el circuito. REFERENCIAS [1] física de Serway sexta edición tomo 2, pag 804 [2] Guía de experimentación de física 2, Departamento de Fisica

ANEXO:

Tabla 1. Tabla de datos

RESISTENCIA 1 RESISTENCIA 2

Carga Descarga Carga Descarga

Tiempo(s) Voltaje(v) Voltaje(v) Voltaje(v) Voltaje(v) 0 0,05 5,86 0,01 8,69

5 1,12 5 0,88 7,86

10 2,29 4,34 1,55 7,17

15 3,15 3,82 2,28 6,55

20 3,9 3,37 2,93 5,93

25 4,67 2,9 3,47 5,33

30 5,08 2,58 3,96 4,87

35 5,67 2,25 4,45 4,49

40 6,14 1,98 4,88 4,03

45 6,52 1,73 5,25 3,66

50 6,88 1,51 5,6 3,37

55 7,22 1,33 5,93 3,04

60 7,44 1,17 6,15 2,8

65 7,68 1,03 6,44 2,54

70 7,87 0,91 6,67 2,32

75 8,04 0,81 6,89 2,11

80 8,21 0,7 7,09 1,93

85 8,34 0,62 7,26 1,77

90 8,46 0,53 7,41 1,59

95 8,56 0,47 7,55 1,44

100 8,67 0,42 7,7 1,32

105 8,74 0,37 7,83 1,22

110 8,82 0,33 8,04 1,11

115 8,88 0,29 8,13 1,01

120 8,93 0,25 8,21 0,92

125 8,98 0,22 8,28 0,83

130 9,03 0,2 8,39 0,77

135 9,07 0,17 8,42 0,71

140 9,1 0,15 8,49 0,65

145 9,13 0,13 8,52 0,59

150 9,16 0,12 8,59 0,54

155 9,19 0,11 8,63 0,5

160 9,21 0,09 8,66 0,46

165 9,22 0,08 8,7 0,42

170 9,24 0,07 8,74 0,38

175 9,25 0,06 8,76 0,35

180 9,26 8,8 0,32

185 9,28 8,82 0,3

190 9,29 8,85 0,27

195 8,87 0,25

200 8,89 0,23

205 8,9 0,21

210 8,92 0,2

215 8,94 0,18

220 8,95 0,17

225 8,96 0,16

230 8,98 0,14

235 8,99 0,13

240 9 0,12

245 9,01 0,11