UF0034. Animación y presentación del producto en el punto de venta
Repaso de algebra lineal: Producto punto y producto cruz · PDF fileVectores en Un vector es...
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Repaso de algebra lineal: Producto punto y producto cruz
Juan Manuel Rodríguez Prieto
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianas en el planoCoordenadas cartesianas en el espacio (3D)
( , )a b (2,4,4)
nR
Suma en
Ejemplo
3R
(1,1,1) (2, 3,4) (3, 2,5)
( , , ) (0,0,0) ( , , )
(1,7,3) (2,0,6) (3,7,9)
x y z x y z
Multiplicacion por un escalar en
Ejemplo
3R
2(4,2,1) (8,4,2)
6(1,1,1) (6,6,6)
1( , , ) ( , , )
0( , , ) (0,0,0)
x y z x y z
x y z
( , , ) ( , , )x y z x y z
Suma y multiplicación por un escalar en
Ejemplo
2R
2(4,2) (8,4
6(1,1) (6,6)
1( , ) ( , )
0( , ) (0,0)
x y x y
x y
Vectores en
Un vector es un segmento de recta con magnitud y dirección especificados, con punto inicial en el origen.
Geométricamente, los vectores se pueden concebir como flechas saliendo del origen.
Vectores en
3R
3R
Suma de vectores
( , ) ( ', ') ( ', ')x y x y x x y y
Suma de vectores: método grafico
Suma de vectores: coordenadas cartesianas
Resta de vectores
( , ) ( , ) ( , )bx by ax ay bx ax by ay
Suma de vectores: método grafico (triangulo)
resta de vectores: coordenadas cartesianas
Ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector a v
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela a el vector (1,0,0) (0,1,0)
( ) (1,0,0) (0,1,0) (1, ,0)t t t l
Ecuación de la recta que pasa por el punto y el punto a b
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es el punto b( 1,1,0) (0,0,1)
( ) ( )t t l a b a
( ) ( ) ( 1,1,0) (1, 1,1) ( 1,1 , )t t t t t t l a b a
2 3 2 0
2(2 ) 3( 2 ) ( 1) 2 0
4 2 6 3 1 2 0
2 3 4 6 1 2 0
7 0
x y z
t t t
t t t
t t t
0( )
( ) (3,4,5) (400,500, 1)
23 3 400
29 4 500
t t
t t
t
t
p p v
p
El avión pasara sobre el aeropuerto 0.05 horas después, es decir 3 minutos después
La altura cuando esta pasando sobre el aeropuerto es 4.95 km
Producto internoOProducto punto
Producto interno o Producto punto
Sea y
Definimos el producto interno de y , que se denota como , como el número real
Si son vectores y son números reales, entonces
( , , )x y za a aa ( , , )x y zb b bb
a b a b
x x y y z za b a b a b a b
, ya b c y
Producto interno o Producto punto
Sea y dos vectores, y sea , , el ángulo entre ellos
Despejando , obtenemos
( , , )x y za a aa ( , , )x y zb b bb
cosa b a b
0
1cos
a b
a b
El producto interno entre dos vectores es 0, si y solo si los vectores son perpendiculares.
Producto interno o Producto punto
Hallar el ángulo entre los vectores a i j k b i j k
( ) ( ) 1 1 1 1 a b i j k i j k
2 2 21 1 1 3 a
2 2 21 1 1 3 b
1 1 11 1cos cos cos 71
33 3
a b
a b
Producto interno o Producto punto
Proyección de un vector sobre un vectorc a
2
( )
a
a cproy c a
a
Producto interno o Producto punto
2 2 2
2 2 2
(1 3 1 ) 11
(2 3 7 ) 62
u
v
( 1,3,1) ( 2, 3, 7) 2 9 7 14 u v
2
( )
u
u vproy v u
u
( 1,1,1) (2,1, 3) 2 2 3 3 u v
2 2 2(1 1 1 ) 3 u
3
3
uproy v u u i j k
Producto interno o Producto punto
6sin(45) 6cos(45) f i j
(a)
(b)
2 2
(3 2 3 2 ) (4 2 ) 12 2 6 2 18 2
6
4 2 20
f D i j i j
f
D
1 1 118 2 3 2cos cos cos 18.4
6 20 20
f D
f D
Productocruz
Producto cruz
Sea y dos vectores, el producto cruz de y denotado por , esta definido por
Ejemplo calcular el producto cruz
( , , )x y za a aa ( , , )x y zb b bb a b a b
( ) ( ) ( )
y z x yx z
x y z
y z x yx z
x y z
y z z y x z z x x y y x
a a a aa aa a a
b b b bb bb b b
a b a b a b a b a b a b
i j k
a b i j k
i j k
3 2 i j k i j k
3 2 3 1 1 4 7
1 2 1
i j k
i j k i j k i j k
Producto cruz (propiedades)
Producto cruz
Sea y dos vectores, la norma del producto cruz , es simplemente el área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores
La norma del producto cruz es igual a
EL producto cruz es normal al plano formado por los vectores
( , , )x y za a aa ( , , )x y zb b bb a b ya b
a b sin( )a b
Regla de la mano derecha y el producto cruz
a b ya b
Producto cruz (ecuación del plano con normal )A B C n i j k
1
1
1
1 1 1
A
B
C
n i j k
0
0
0
1
0
0
x
y
z
1( 1) 1( 0) 1( 0) 0
1
x y z
x y z
Producto cruz (ecuación del plano con normal )A B C n i j k
( ) n b a c a
(1,1,1)
(2,0,0)
(1,1,0)
a
b
c
1 1 1 ( ) n i j k k i j
1
1
0
A
B
C
1( 2) 1( 0) 0
2 0
x y
x y
Producto cruz
Producto cruz
Producto cruz
Producto cruz
Producto cruz
Producto cruz