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Danny Perich C.

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REPASO GENERAL PSU PROCESO 2016

Estimados alumnos-as: Les he preparado este repaso

como una ltima actividad para realizar antes de enfrentar la Prueba de Seleccin Universitaria P.S.U. Matemtica.

En l se encuentran la mayora de las contenidos incorporados en la prueba y para una mayor comprensin de sus aplicaciones, he agregado algunos ejercicios resueltos, optando especialmente por aquellos que han salido en los ensayos oficiales y modelos publicados por el DEMRE.

Espero que este material sirva como una ltima revisin antes de rendir la PSU, el que reforzar los conocimientos que has adquirido tras 4 aos de estudio en la enseanza media.

Yo ya hice mi trabajo, ahora te corresponde a ti hacer el tuyo. xito.

Profesor Danny Perich Campana.

Nmeros y Proporcionalidad

Nmeros Naturales IN = {1, 2, 3, 4, ...} Nmeros Cardinales IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Nmeros Primos: Nmeros naturales mayores que slo tienen dos divisores, la unidad y el mismo nmero.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...} El 1 NO es primo ya que tiene slo un divisor, el mismo 1. Nmeros Compuestos: Nmeros naturales que tienen ms de dos divisores.

C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ...} Nmeros Enteros Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Nmeros Racionales Q = {

/a y b Z, b 0}

Las equivalencias ms utilizadas entre fracciones, decimales y porcentaje y que recomiendo aprender:

%, 50502

1 %,

3

13330

3

1

%, 252504

1 %, 2020

5

1

%,, 51212508

1 %, 1010

10

1 (Un dcimo)

%, 757504

3 %101,0

100

1 (Un centsimo)

Orden en Q Es ordenar los nmeros de menor a mayor o viceversa, donde el principal problema que tienes los alumnos(as) es con las fracciones negativas. Una forma de comprobar cundo una fraccin en mayor o menor que otra es simplemente haciendo un producto en forma cruzada. La otra posibilidad es pasar las fracciones a decimales. *** Ejercicio PSU ***

Si

, entonces al ordenar en forma ascendente los

nmeros: x, x2, x3, x4 se obtiene: A) x4, x3, x2, x B) x, x2, x3, x4 C) x, x4, x2, x3 D) x, x3, x4, x2 E) x3, x, x4, x2 Alternativa correcta D.

Nmeros Irracionales: Nmeros que no pueden ser escritos

como fraccin. Races inexactas ( , adems de importantes nmeros matemticos como (nmero de oro)

Nmeros Reales: Corresponde al conjunto que se forma por la unin del conjunto de los nmeros racionales con el de los nmeros irracionales. *** Ejercicios PSU ***

1.

22

1

1

2

1

A) 6

1 B)

6

1 C)

2

3 D)

10

1 E) 0

El orden de resolucin es muy importante para no equivocarse.

Resolvamos: 6

1

6

43

3

2

2

1

2

3

1

2

1

2

41

1

2

1

La alternativa B es la correcta.

2. La expresin es

A) un nmero irracional positivo. B) un nmero racional positivo. C) un nmero racional negativo. D) un nmero irracional negativo. E) cero.

La alternativa D es la correcta. APROXIMACIONES: Existen varios mtodos de aproximacin siendo estos: Truncamiento. Se eliminan, sin ms, las cifras a partir de un orden considerado. Ejemplo: Aproximar por truncamiento el nmero 2,345378 a las milsimas. Simplemente se eliminan las cifras que estn despus de las milsimas, resultando 2,345. Redondeo. Se eliminan las cifras a partir de un orden considerado, pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es 5 o ms de 5 a la ltima cifra decimal que se deja se le aade uno. Ejemplo: Aproximar por redondeo el nmero 4,2451 a las centsimas y luego a las milsimas. En el primer caso, resulta 4,25 y en el segundo 4,245. Aproximacin por defecto: Una aproximacin es por defecto si la aproximacin es menor que el nmero inicial. El truncamiento es siempre una aproximacin por defecto. Ejemplo: Al aproximar a la centsima por defecto el nmero 2,438 resulta 2,43; donde 2,435,732. *** Ejercicios PSU ***

1. Si es aproximadamente 1,7320, entonces aproximado por redondeo a la centsima es

A) 0,50 B) 0,51 C) 0,05 D) 0,52 E) ninguno de los valores anteriores.

0,5196 redondeado a la centsima es 0,52. Alternativa D. 2. Cul de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Al truncar el nmero 3,25 a la dcima resulta 3,3. II. Al redondear el decimal 0,125 a la centsima se obtiene 0,12.

III. La fraccin

truncada a la dcima es 0,1.

A) Slo I B) Slo III C) Slo I y II D) Slo II y III E) I, II y III

Truncar es cortar, por lo tanto si truncamos el nmero 3,24 en la dcima, resulta 3,2. La afirmacin I es falsa. La II tambin es falsa ya que al redondear 0,125 a la centsima resulta 0,13.

Danny Perich C.


La fraccin

corresponde al decimal 0,166666 que al truncarlo

en la dcima resulta 0,1. Alternativa B. LENGUAJE ALGEBRAICO Hay diversas palabras que tienen un significado matemtico cuando forman parte de una situacin problemtica. Aprender su significado es fundamental para resolver problemas. Palabras como agregar, aadir, aumentar y otras, corresponde, a una adicin (suma). Mientras que diferencia, disminuir, exceso

y otras nos sealan que debemos restar. Quizs les extrae que la palabra exceso implique restar, pero piensen, cuando una persona dice estoy excedida en 10 kilos, significa que deba pesar 70Kg. y pesa 80Kg, cmo obtuvo que su exceso de peso es de 10Kg?... restando 80-70. Las palabras, veces, factor, de, del, producto y otras; nos conducen a una multiplicacin, mientras que razn, cociente y otras indican una divisin. Otras palabras que conviene dominar para resolver problemas verbales son: doble, duplo, mltiplo de 2, nmero par, que pueden representarse por 2n. El cuidado principal debe estar en el orden en que se leen las expresiones, ya que debe hacerse comenzando por lo que afecta a toda la expresin. Ejemplo: 2x3: El doble del cubo de un nmero.

32 )x( : El cubo del doble de un nmero.

43

yx : La diferencia entre el triple de un nmero y la cuarta

parte de otro nmero.

4

3 yx : La cuarta parte de la diferencia entre el triple de un

nmero y otro nmero. Tambin puede leerse: la cuarta parte del exceso del triple de un nmero sobre otro nmero cualquiera. *** Ejercicios PSU *** 1. La expresin h3 3g significa A) la diferencia de los cubos de h y g B) la diferencia de los triples de h y g C) la diferencia entre el cubo de h y el triple de g D) el cubo de la diferencia entre h y el triple de g E) el triple de la diferencia entre el cubo de h y g La alternativa correcta es C. 2. El enunciado: A un nmero d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d, se escribe A) d + 2d 3d2 B) d + 2d (3d)2 C) (d + 2d)(3d)2

D) (d + 2d)3d2 E) (d + 2)(3d)2

La alternativa correcta es C. Cuadrado de un binomio: Geomtricamente corresponde al rea de un cuadrado de lado a + b.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Suma por Diferencia: (a + b)(a b) = a2 ab + ab b2 = a2 b2 *** Ejercicios PSU ***

1. 3232223 2 www

A) 22122 ww B) 22122 ww C) 5122 ww

D) 13122 ww E) 14122 ww

Resolvemos el cuadrado de binomio y la suma por su diferencia, obtenindose:

)w(ww 9424129 22 =

Se resuelve el parntesis. Cuidado con los signos!

1884129 22 www =

22122 ww Alternativa B.

2. Dada la siguiente figura: Se sabe que a y b son positivos y a > b. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. El rea del cuadrado de lado (a + b) es igual al rea sombreada.

II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las reas del cuadrado de lado a y el de lado b.

III. a(a + b) > a2

+ b2

A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

Alternativa correcta D. FACTORIZACIN Factorizar un polinomio con factor comn. mx - my + mz = m( x - y + z ) Ejemplos: 1) 2x 2y + 2z = 2(x y + z) 2) 12a + 18b 36c = 6(2a + 3b 6c) 3) ax ay = a(x y)

4) )a1(aaa 2353

5) )b53(ba4ba20ba12 22322

6) 2(x y) + a(x y) = (x y)(2 + a) 7) 23a+1 24a+3 = 23a + 1(1 2a+2) *** Ejercicios PSU *** (a + b) - (a + b)2 = A) (a + b) B) (a + b)(1 a b) C) a + b a2 + b2 D) (a + b)(1 a + b) E) 0 Factorizar por (a + b). Cuidado con los signos. Alternativa B. Factorizar un trinomio cuadrado perfecto.

a2 2ab + b2=(a b)2

Ejemplos: 1) 22 )1x(1x2x

2) 22 )3a(9a6a

Factorizacin de la diferencia de dos cuadrados a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Ejemplos: 1) )3x)(3x(9x2

2) )6a)(6a(36a2

Factorizacin de trinomio de la forma x2+mx+n. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: 1) )3x)(4x(12x7x2

2) )3x)(4x(12xx2

3) )4x)(3x(12x7x2

Factorizacin de suma y resta de cubos.

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2) Ejemplo: x3 8 = x3 23 = (x 2)(x2 + 2x + 4) *** Ejercicios PSU *** 1. Cul(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de

la expresin algebraica 2062 2 xx ?

I) 2 II) (x 5) III) (x + 2) A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

Danny Perich C.


Generalmente los alumnos responden la alternativa A, ya que se dan cuenta que todos los trminos del trinomio son mltiplos de 2, pero no consideran que se puede factorizar y obtener que:

)x)(x()xx(xx 52210322062 22 . Por lo tanto la

alternativa correcta es E.

2. Si a y b son nmeros reales positivos,

cul de las siguientes relaciones es verdadera?

A) Q P = 0 B) P 0 la recta se inclina a la derecha. Si m < 0 la recta se inclina hacia la izquierda. Si m = 0, la recta es paralela al eje x. Si m = , la recta es paralela al eje y. El valor n corresponde al punto (0, n) que es la interseccin de la recta con el eje y.

Ejemplos: Determinar la pendiente y el coeficiente de posicin. 1) y = -2x + 3

m = -2; n = 3

2) 5

1x3y

m= 5

3; n =

5

1

Danny Perich C.


Cuando n = 0, recibe el nombre de Funcin Lineal y la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas.

Forma General: ax + by + c = 0, donde la pendiente b

am

y

el coeficiente de posicin b

cn

Ejemplo: 1) 3x + 2y 5 = 0

2

3m

;

2

5

2

)5(n

Otra forma de determinar la pendiente y el coeficiente de posicin de una ecuacin general es , simplemente pasndola a

ecuacin principal, o sea, despejar y. Pendiente dado dos puntos: (x1, y1) y (x2, y2)

12

12

xx

yym

Ejemplo: Qu pendiente tiene la recta que pasa por los puntos (5, 3) y (2, 4)?

3

1

3

1

52

34m

Ecuacin de la recta dado punto-pendiente

y - y1 = m(x - x1)

Ejemplo: Determina la ecuacin de la recta que pasa por (3, 5) y tiene pendiente -2. y 5 = -2(x 3) ; entonces y 5 = -2x + 6 La ecuacin es 2x + y 11 = 0 Otra forma de resolver este ejercicio es reemplazando el punto y la pendiente en y=mx+n, o sea 5=-23+n, donde n es 11. Luego y = -2x + 11. Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

Ejemplo: Cul es la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (3, 5)?

2x

4y

23

45

, entonces

2x

4y1

, x 2 = y 4

La ecuacin es x y + 2 = 0 Otra forma de resolver este ejercicio es calculando la pendiente

m=

y luego reemplazar uno de los puntos en y=mx+n

para determinar el valor de n. Reemplacemos (2, 4) 4=12+n, entonces n=2. Ahora que sabemos m y n, reemplazamos en y=mx+n, o sea y=x+2. Rectas Paralelas L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 // L2 s y slo si m1 = m2; n1 n2 Ejemplo:

Rectas Coincidentes L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, L1 coincidente con L2 s y slo si m1 = m2 y n1=n2 Rectas Perpendiculares L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, L1 L2 s y slo si m1 m2 = -1

Ejemplo: Son perpendiculares y = -2x - 4 con y = 0,5x + 1? m1 = -2 m2 = 0,5 m1m2 = -20,5 = -1 Las rectas son perpendiculares. *** Ejercicios PSU *** 1. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1,-4) y que es paralela con la recta x+5y3=0, es: A) x+y+5=0 B) x+5y+19=0 C) x+y+3=0 D) 5x+y+9=0 E) x+5y+21=0

Al despejar y de la recta dada se obtiene 5

3 xy

, o sea la

pendiente es

. Entonces la recta pedida tambin pendiente

por ser paralelas y como pasa por el punto (1,-4) queda

determinada por la frmula punto pendiente, )x(y 15

14

que al resolver resulta x+5y+19=0. La alternativa B es correcta. 2. Determinar el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx y 2x = -4K y sean perpendiculares.

A) K =

B) K =

C) K =

D) K =

E) K = -2

Se despeja y de ambas ecuaciones. Luego y = Kx-3 ; y = -2x-4K. Se multiplican las pendientes de cada recta igualando a -1, ya que deben ser perpendiculares, obtenindose K(-2) = -1. Luego K=1/2. La alternativa B es la correcta. 3. Dada la recta L, donde a y b son positivos, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La pendiente de la recta L es negativa. II. El punto (a, b) pertenece a la recta.

III. La recta L es perpendicular a la recta b

axy

A) Slo II B) Slo I y II C) Slo II y III D) Slo I y III E) I, II y III

Como se tienen dos puntos de la recta, se puede determinar su pendiente, tambin su ecuacin. La alternativa correcta es D. FUNCIN PARTE ENTERA (o Escalonada) La parte entera de un nmero es el entero menor ms cercano al nmero. A la funcin f(x) = [x], se la llama Funcin Parte Entera.

Ej: 37,3 ; 31,3 ;

cuidado con esto!: 37,2 ya que -2,7 est entre -3 y -2, y el resultado debe ser el entero menor, o sea -3. Grfica de la funcin parte entera

Danny Perich C.


*** Ejercicios PSU *** 1. Del grfico de la funcin f(x) = [x + 1] +1, se afirma:

I) Pasa por el origen (0,0). II) Tiene ms de un punto en el eje x.

III) Intersecta al eje x en ),( 02

5

Es(son) falsa(s)

A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

Alternativa D. 2. Un taxista tiene un cobro fijo de $150 y cobra, adems, $300 por cada kilmetro recorrido. Encontrar la funcin que relaciona el valor (y) y los kilmetros recorridos (x)

A) xy 300150 B) 300150 xy C) 3001150 xy D) 1300150 xy E) 1300150 xy

La alternativa correcta es A FUNCIN VALOR ABSOLUTO Se define: x si x 0

f(x) = -x si x < 0 esto es equivalente a escribir f(x) = | x |

Ej: 777

55

Grfica de la funcin valor absoluto

*** Ejercicios PSU ***

1. Dada la funcin x

xx)x(f

2

3 entonces f(-4)=

A) 6

11 B)

2

1 C)

2

1 D)

6

11 E) Otro valor

Alternativa correcta A. TRASLACIN DE FUNCIONES Se refiere a la traslacin de una funcin f(x), la cual puede hacerse en forma horizontal f(x a) y/o vertical f(x) a, con a>0.

2. Cul es la expresin que representa la funcin valor absoluto

de la figura?

A) 1 xy

B) 1 xy

C) 1 xy

D) 1 xy

E) xy

La alternativa correcta es A.

POTENCIAS: Sus propiedades son

nmnm aaa nmnm aa:a

10 a ; a0

mnnm aa

n

n

aa

1 , a0

considerar que

nn

a

b

b

a

a0, b0

Ejemplos: 5-1 =

;


1.

1

11

5

43

A) 35

12 B)

12

35 C)

5

7 D)

7

5 E)

12

5

Resolvamos 12

35

5

112

7

5

112

34

5

14

1

3

1

5

431

11

La alternativa correcta es B. 2. Cul de las siguientes igualdades es(son) correcta(s) cuando x = -3?

I. 64

14 x II. 144 3 x III. 644 1

x

A) Slo III B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III La alternativa correcta es E. 3. Sean a y b nmeros racionales distintos de cero y sean m, n y k nmeros enteros. Cul de las siguientes afirmaciones podra ser FALSA?

A)

B)

C)

D)

E)

Alternativa correcta D. FUNCIN RAZ CUADRADA

Si aplicamos la traslacin de funciones, vista anteriormente, al

graficar resulta

y

1 x

Danny Perich C.


RACES

Slo se pueden suma las races semejantes. Ej: Producto y divisin de races Del mismo ndice:

nnn abba

nn

n

b

a

b

a

De distinto ndice: Se pasa a potencia y se resuelve.

Raz de una raz

mnmn aa


1. 3 2

2

A) 3 4 B) 3 2 C) 6 8 D) 6 2 E) 1

33

1

6

2

6

13

6

1

2

1

6

1

2

1

6322222

2

2

2

2

2

2

Alternativa B.

2. Si t 3232 , entonces el valor de 22 t es:

A) 222 B) 2 C) 32 D) 0 E) -2

Primero determinemos 2t , elevando ambos lados de la

ecuacin. Lo principal es darse cuenta que el lado izquierdo es un binomio, por lo tanto:

22

3232 t

Se desarrolla el cuadrado del binomio:

2323232232 t

Se reducen los trminos semejantes y multiplicamos las races:

23424 t

4 2 = t2 2 = t2

Nos preguntan por 22 t , por lo tanto la respuesta es 2 2 =

0. Alternativa correcta D.

3. 3 32727 x =

A) 93 2727 x B) 93 33 x C) 33 x

D) 39 x E) 33 x

333 93 33 93 3333333 xxxx

La alternativa correcta es E.

4. 3443 22222222 es un nmero: A) racional positivo B) racional negativo C) irracional positivo D) irracional negativo E) no real

3333 222222222222 )()( =33 42222242 ))(()()(

21616281628228228 )()(

La alternativa correcta es D. FUNCIN CUADRTICA

f(x) = ax2 + bx + c

Su grfica corresponde a una PARBOLA.

Concavidad El coeficiente a indica si las ramas de la parbola se abren hacia arriba (a>0) o hacia abajo (a0 y b>0 el eje de simetra est a la izquierda del eje x. Si a>0 y b

Danny Perich C.


2. Segn la ecuacin axxy 22 es correcto afirmar que:

I. Si a > 1, existen 2 intersecciones con el eje x II. Si a = 1, existe 1 interseccin con el eje x III. Si a < 1, no hay interseccin con el eje x

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y III E) Slo II y III

Alternativa B. 3. Dada la siguiente figura: Cul es la ecuacin que mejor

representa al grfico de la figura? A) y=x2 B) y=x3 C) y=4x4 D) y=4x E) y=4x2 La alternativa correcta es E. ECUACIN DE SEGUNDO GRADO

Si ax2 + bx + c = 0, entonces

a2

ac4bbx

2

*** Ejercicios PSU *** Las races (o soluciones) de la ecuacin x(x1)=20 son

A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5 D) 4 y 5 E) 4 y 5

Se efecta el producto y se obtiene que x2 x = 20, o sea x2 x 20 = 0.

2

91

2

8011

x de donde x1 = 5 y x2 = -4.

Alternativa E. Suma de las soluciones o races de una ecuacin de segundo grado:

a

bxx

21

Producto de las soluciones o races de una ecuacin de segundo grado:

a

cxx 21

*** Ejercicio PSU *** Si x = 3 es una solucin (raz) de la ecuacin x2 + 5x + c = 0, cul es el valor de c?

A) -24 B) -8 C) -2 D) 2 E) 3

5

Al ser x = 3 una solucin, este valor puede ser reemplazado en la ecuacin obtenindose 32 + 53 + c = 0 de donde c = -9 15 = -24. Alternativa A. FUNCIN EXPONENCIAL: Se llama funcin exponencial de base a, con a>0, a la funcin f(x) = ax.

La grfica intersecta al eje de las ordenadas en (0, 1). La grfica no intersecta al eje de las abscisas. Si a>1, entonces la funcin es creciente. Si 0

Danny Perich C.


INECUACIONES LINEALES

Desigualdades En los nmeros reales se cumple que dos nmeros x e y son x>y, x -5. Intervalos Conjunto de nmeros reales los cuales pueden ser cerrados, abiertos, semiabierto o infinitos.

Cerrado: incluye a los valores extremos b,a , o sea bxa .

Abierto: No incluye los valores extremos b,a , o sea bxa

Semiabierto: No incluye uno de los extremos b,a Infinito: Uno de los extremos tiende a un valor infinito. b,

Inecuaciones de Primer Grado

Es una desigualdad que contiene una o ms incgnitas la cual se resuelve aplicando las propiedades de las desigualdades.

Ejemplo: 4x 1 > 7 4x > 8 x > 2

Solucin: x pertenece al intervalo ,2 *** Ejercicio PSU ***

1. La solucin de la inecuacin 5

2

15

8

3

xx es el intervalo:

A)

,

2

1 B)

,

2

1 C)

,

2

1 D)

,

2

1 E)

2

1

2

1,

La alternativa correcta es A. 2. Si 0 < x < 1. Cul de las siguientes opciones es verdadera?

A) xx B) xx

1

C) xx

1

D) x > 1 E) xx

Si elijes un nmero entre 0 y 1, te conviene el valor

por el

hecho de tener raz exacta, no as el

que es generalmente el

ms elegido. Alternativa correcta C.

GEOMETRA Tringulos congruentes: Un ABC es congruente con otro

DEF si sus lados respectivos (homlogos) son congruentes y

sus ngulos respectivos (homlogos) tambin los son.

En la figura vemos que AB DE; BC EF; AC DF; y CAB

FDE, CBA FED, BCA DFE, entonces el ABC DEF.

Para que dos tringulos sean congruentes, es suficiente que slo algunos lados y/o ngulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan en los siguientes:

Criterio LAL (Lado-ngulo-Lado)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ngulo comprendido por ellos tambin congruente.

ABC DEF porque, AB DE; ABC DEF y BC EF.

Criterio ALA (ngulo-Lado-ngulo)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos congruentes y el lado comn a ellos, tambin congruente.

GHI JKL porque, GHI JKL; HI KL y HIG KLJ

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Dos tringulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.

MNO PQR porque, MN PQ; NO QR y OM RP

Criterio LLA (Lado-Lado-ngulo Mayor)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ngulo opuesto al lado de mayor medida, tambin congruente.

ACE BDF porque, AC BD; CE DF y CEA DFB, siendo

AC y BD los lados de mayor medida. *** Ejercicios PSU ***

1. Los tringulos ABC y DEF de la figura son congruentes,

entonces la medida de EF es: A) 9 B) 15 C) 17 D) 40 E) Falta informacin Alternativa correcta C. 2. En la figura, el ABC DEF, entonces se verifica que:

A) AC DF B) BC DE C) AB FE

D) AC FE E) AB FD

Alternativa correcta A.

TRANSFORMACIONES ISOMTRICAS Son aquellas transformaciones en el plano que no altera ni la forma ni el tamao de la figura.

A

C

17

B

40

80

15

F

D

E

60 80

C

A B

D

F E

Danny Perich C.


Traslacin: Los pares indican si la traslacin es hacia la izquierda o hacia la derecha (abscisa del par) y si la traslacin es hacia arriba o hacia abajo (ordenada del par).

Rotaciones de un punto (x, y) respecto al origen (0, 0)

Al rotar: En 90 se transforma en (-y, x)

En 180 se transforma en (-x, -y)

En 270 se transforma en (y, -x)

En 360 vuelve a ser (x, y)

A la derecha (sentido horario), rotacin negativa.

A la izquierda (sentido antihorario), rotacin positiva.

Simetras (o Reflexiones)

Axial: Simetra con respecto a un eje. La reflexin de un punto

A en torno a una recta L, es un punto A tal que L'AA y

'PAAP .

Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al eje x, obtenemos el punto A(x, -y). Si reflejamos A(x, y) en torno al eje y, obtenemos el punto A(-x, y).

Central: Simetra con respecto a un punto. La reflexin de un punto A en torno a un punto P, es un punto A tal que A, P y A

son colineales y 'PAAP . Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al origen (0,0), se obtiene el punto A(-x, -y)

Teselacin: Para teselar el plano al unir las figuras y que no queden huecos entre ellas, debe cumplirse que la suma de los ngulos en la unin de los vrtices debe ser 360.

*** Ejercicios PSU *** 1. Al trasladar el tringulo de vrtices A(-1,5), B(2,1) y C(3,1), segn el vector de traslacin (4,-1), el vrtice homlogo de B es: A) (3,4) B) (2,1) C) (6,0) D) (4,-1) E) (7,0) Como el vector traslacin es (4,-1) debemos trasladar los puntos dados 4 unidades a la derecha y 1 hacia abajo. Por consiguiente el punto B quedar ubicado en (6,0). La alternativa correcta es C. 2. En la figura, las coordenadas del punto A son (-4, -1),

cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El punto simtrico de A con respecto al eje y es el punto (4, -1)

II) Al rotar el punto A en 90 en sentido horario, en torno al origen se obtiene el punto (-1, 4).

III) Al trasladar el punto A dos

unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtiene el punto (-2, 1)

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y III E) I, II y III

El I es verdadero, ya que para que sea simtrico con respecto al eje y, debe estar a igual distancia de ste, pero en sentido opuesto. El II es verdadero ya que al rotar se aplica (-y, x) y el III verdadero y slo hay que contar los espacio para darse cuenta de ello.

La alternativa correcta es E.

3. Cul(es) de los siguientes polgonos regulares permite(n) teselar (embaldosar) el Plano?

I) Pentgonos II) Tringulos Equilteros III) Hexgonos

A) Slo II B) Slo III C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III Por lo tanto, cumplen con esa condicin los tringulos equilteros (60 cada ngulo interior) y los hexgonos (120 cada ngulo interior). Los ngulos interiores del pentgono miden 108, por lo que al unir tres de ellos, completan en los vrtices 324 y no 360. La alternativa correcta es D. 4. El tringulo ABC tiene coordenadas A(2, 3), B(-3,8) y C(3, 7). Si se aplica una traslacin segn el vector (5, -7), las nuevas coordenadas del tringulo sern:

I. A(7,-4) II. B(-8, 1) III. C(8, 0)

A) Slo II B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III La alternativa correcta es C.

HOMOTECIA: Se llama homotecia de centro O y razn k0, a la transformacin del plano que hace corresponder a un punto P otro P, alineado con O y con P, tal que cada punto P cumple

que Al punto P' se denomina homlogo de P.

Si k>0, Homotecia Directa Si k

Danny Perich C.


*** Ejercicios PSU *** En la figura se muestran dos homotecias: una de centro O y razn de homotecia 2 que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razn de homotecia 0,5 que transforma a ABCD en EFGH. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si BQ es igual a 5 cm, entonces BF es igual a 2,5 cm.

II) OH = 1/3 de SH III) EH // PS

A) Slo I B) Slo III C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

Alternativa correcta E.

Semejanza de tringulos

Dos tringulos son semejantes si sus ngulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ngulos son

proporcionales Para determinar la semejanza entre dos tringulos existen tres criterios que son los siguientes: ngulo ngulo (AA) Dos tringulos son semejantes si tienen dos de sus ngulos respectivamente iguales. Este criterio es el que ms se ocupa en la PSU. Lado Proporcional-ngulo-Lado Proporcional (LAL) Dos tringulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ngulo que forman. Lado Proporcional Lado P. Lado P. (LLL) Dos tringulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. *** Ejercicios PSU *** Los tringulos ABC y DEF son semejantes. AB = 6 cm., BC = 12 cm., DE = 10 cm. y DF = 7,5 cm. Determinar AC + EF.

A) 7,2 cm. B) 12,5 cm. C) 19,5 cm. D) 19,7 cm. E) 24,5 cm.

Alternativa correcta E.

Teorema de Thales

Algunas proporciones:

BD

PB

AC

PA ;

PD

PB

PC

PA ;

CD

PC

AB

PA (Esta es la razn principal)

*** Ejercicios PSU *** 1. En el ABC de la figura 13, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, CB//QR//SP y AP : PR : RB = 1 : 2 : 3, entonces el valor de CB es:

A) 96 cm B) 72 cm C) 48 cm D) 36 cm E) 24 cm

Como AP:PR:RB = 1:2:3 y AB=48 cm. Entonces AP+2AP+3AP=48; AP=8.

Luego BC

AB

PS

AP reemplazando por los valores correspondientes

y despejando CB, se obtiene que su medida es 72 cm. Alternativa correcta B.

2. La figura muestra un rectngulo ABEF con BC=10, CF=5 y CD=4. Cunto mide el permetro del trapecio ABCD?

A) 16 B) 22 C) 28 D) 32 E) 36

Alternativa correcta D.

Teoremas de la circunferencia

1. El ngulo del centro mide el

doble que todos aquellos ngulos inscritos que subtienden el mismo arco.

Danny Perich C.


Proporcionalidad en la circunferencia Dos cuerdas PA PC = PB PD

Dos secantes

PB PA = PD PC

Una secante y una tangente

PC2 = PB PA

*** Ejercicios PSU *** 1. En la figura siguiente, AC y BC son tangentes a la circunferencia de centro O. Si

Danny Perich C.


Cuadrado

p = 4a = a2

2

d

2

Rectngulo

p = 2a + 2b

= lado lado = ab

Rombo

p = 4a = base altura = b h

2

fe

2

diagonaldiagonal

Romboide

p = 2a + 2b

= a h

Trapecio

p = a + b + c + d

2

h)ca(

2

altura)2base1base(

= Mediana altura = M h

Circunferencia y Crculo

p = 2r = r2

Sector Circular

360

222

rrABrp

360

2

r

Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.

26aA 3aV

Paraleleppedo u ortoedro: Prisma cuyas bases son dos rectngulos. A = 2(ab+ac+bc) V = abc Cilindro: Es el Cuerpo geomtrico engendrado por la revolucin de un rectngulo alrededor de uno de sus lados

)(2 rHrA

HrV 2 Pirmide: Cuerpo geomtrico cuya base es un polgono cualquiera y sus caras laterales tringulos

lateralbase AAA

HBV 3

1

Cono: Es el Cuerpo geomtrico engendrado por la revolucin de un tringulo rectngulo alrededor de uno

lateralbase AAA

HrV 2

3

1

Esfera: Cuerpo geomtrico engendrado por la revolucin completa de un semicrculo alrededor de su dimetro.

24 RA

3

3

4RV

*** Ejercicios PSU *** 1. Unas pelotas se venden en latas de forma cilndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el dimetro de la lata es de 6 cm. Calcular el volumen, en cm3, que queda libre en el interior de una lata.

A) 162 B) 126 C) 108

D) 54 E) Ninguno de los valores anteriores

El volumen del cilindro del enunciado queda determinado por

162183 2 y el volumen de cada esfera por 3633

4 3

y como son 3 esferas, 108363 . Por lo tanto, el volumen libre al interior de la lata es 162 - 108 = 54 cm3.

La alternativa D es la correcta. 2. Se tiene un prisma cuya base es un hexgono regular de lado

2 . La altura del prisma es 3 . Cul es el volumen del

prisma?

A) 9 B) 18 C) 29

D) 39 E) 69

Como la base es un hexgono regular, esta formado por 6 tringulos equilteros. Por lo tanto su rea es

334

312

4

326

4

36

22

a

A

Volumen del prisma Ah = 9333

La alternativa correcta es A. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO Regla de la suma: Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez, entonces

tenemos un repertorio de m+n maneras de realizar una tarea. Ejemplo: Si se desea escoger un alumno entre 2 grupos escolares disponibles, el primero con 25 alumnos y el segundo con 30, entonces se puede seleccionar al alumno de 25+30=55 maneras diferentes. Regla del producto: Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de mn maneras. Ejemplo: Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. El director puede elegir a la pareja principal de 6.8 = 48 formas. COMBINATORIA Factorial: Sea n un nmero natural

n! = 123(n-1)n Definindose 0! = 1. Ejemplo: 4! = 4321 = 24 Variacin: Es la agrupacin de n elementos en grupos de k elementos, donde k

Danny Perich C.


nmeros de 4 cifras

Permutacin: Es la agrupacin de n elementos en grupos de k elementos, donde k = n.

P = n! Ejemplo: Cuntos nmeros de 4 cifras podemos escribir con los dgitos 6, 7, 8, y 9, sin que ninguno se repita?

P = 4! = 4321 = 24 nmeros Combinacin: Es la agrupacin de n elementos en grupos de k elementos, con k

Danny Perich C.


La Funcin de Distribucin es la probabilidad de que la variable tome valores iguales o inferiores a x:

F(x) = p(Xx) Tanto la Funcin de Probabilidad como la de distribucin pueden ser representadas grficamente con el diagrama de barras.

*** Ejercicio PSU *** Una urna contiene 20 bolitas, todas del mismo tipo, seis estn marcadas con el 1, diez con el 2 y cuatro con el 3. Se saca una bolita al azar de la urna, se registra su nmero y se devuelve a la urna, luego se saca otra bolita al azar y se registra su nmero. Si se define la variable aleatoria X como el producto de los nmeros de las bolitas extradas, cul(es) de las siguiente s afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los valores que puede tomar la variable X son 1, 2, 3, 4, 6 9.

II) P(X = 2) = 3/20. III) P(X = 1) = 9/100.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

ESTADSTICA

Media aritmtica: cociente entre la suma de todos los valores

de un conjunto de datos y la frecuencia total de estos. Datos no agrupados:

Ejemplo: Si tenemos los siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3, 4, 7, 7, 1, 8.

La Media (Promedio) es 5510

55

10

8177439673,

Datos agrupados:

Mediana: dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados segn magnitud (decreciente o creciente). Si la muestra tiene un nmero par de datos, la mediana es la media aritmtica de los dos trminos centrales. Ejemplo: Para obtener la Mediana se deben ordenar los datos en forma ascendente o descendente, o sea 1, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 9. La mediana, valor que divide a los datos en dos partes iguales, est entre 6 y 7 por lo que es 6,5. Datos agrupados:

donde Li: lmite inferior de la clase media. a: amplitud de l intervalo. n: nmero total de datos.

fi: frecuencia absoluta de la clase mediana. Fi-1: frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la mediana.

Moda: la moda de un conjunto de datos es el valor que presenta mayor frecuencia. Si tenemos los siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3, 4, 7, 7, 1, 8. La Moda corresponde al valor que ms se repite (con mayor frecuencia), en este caso, el 7. (Puede haber ms de un valor que sea moda) Datos agrupados:

donde Li: lmite inferior de la clase modal. a: amplitud del intervalo. fi: frecuencia absoluta de la clase modal. fi-1: frecuencia absoluta anterior a la clase modal. fi+1: frecuencia absoluta siguiente a la clase modal. *** Ejercicios PSU *** 1. Las notas de pablo en Biologa son 6,3; 3,8; 6,7 y 6,7. Qu nota debe obtener Pablo en su quinta prueba para que su promedio final sea un 6,0? A) 7,0 B) 6,5 C) 6,3 D) 6,0 E) 5,9 En total son 5 las notas que se deben promediar, 4 de ellas conocidas, o sea

065

76768336,

x,,,,

, de donde

23,5 + x = 30 x = 6,5. La alternativa correcta es B. 2. Dados los siguientes datos: a 3d, a 2d, a d, a, a + d, a + 2d, a + 3d con d>0. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es a + 3d. II) La media aritmtica es a. III) La mediana es a.

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo II y III E) I, II y III Son verdaderas II y III. En la II se suman todos los datos se

divide por 7 y as se obtiene que la media es a. La mediana corresponde al valor a (los datos ya estn ordenados) 3. Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La moda es $10.000. II. La mediana es $10.000 III. El promedio es $9.600.

A) Slo I B) Slo III C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

Alternativa correcta E. MEDIDAS DE DISPERSIN Nos informan sobre cunto se alejan del centro los valores de la distribucin. Rango: diferencia entre el mayor valor y menos valor de una distribucin de datos. Desviacin media: es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Ejemplo: Calcular la desviacin media de la distribucin 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18. Resp. 2,25 Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresin de la desviacin media es:

Danny Perich C.


Varianza: es la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribucin estadstica.

Para datos agrupados:

o tambin Ejemplo: Calcular la varianza de la distribucin 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18. Resp. 15. 1. La varianza ser siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2. Si a todos los valores de la variable se les suma un nmero la varianza no vara. 3. Si todos los valores de la variable se multiplican por un nmero la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho nmero. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total. Desviacin estndar o tpica: representa el grado de dispersin de los datos respecto a la media. Para datos no agrupados

Para datos agrupados

*** Ejercicios PSU *** 1. El rango en la serie 0,2; 0,04; 0,1; 0,07; 0,003; 0,06 es

A) 0,203 B) 0,097 C) 0,1 D) 0,01 E) 0,197 Debemos efectuar la diferencia entre el mayor valor de la serie y el menor valor, o sea, 0,2 0,003 = 0,197. Alternativa E. 2. Para los valores 3, 10, 8, 2 y 7, la varianza es

A) 6 B) 9,2 C) 8 D)

E) Otro valor

Primero determinamos el promedio de la distribucin, que resulta 30:5 = 6. Luego las diferencias (3-6) = -3; (10-6) = 4; (8-6) = 2; (2-6) = -4; (7 6) = 1. Elevamos al cuadrado dichas diferencias y sumamos: 9 + 16 + 4 + 16 + 1 = 46 Y determinamos el promedio de esta suma.

Alternativa correcta B. 3. La desviacin estndar para los valores 3, 6 y 9 es

A) B) 3 C) 6 D) E) El promedio es 18:3 = 6. Restamos cada elemento de la distribucin con el promedio obtenido(3-6) = -3; (6 6) = 0; (9-6) = 3 Elevamos al cuadrado cada diferencia obtenida y resulta 9 + 0 + 9= 18

Extraemos raz del promedio de esta suma,

=


CORRELACIN Grficos de Dispersin (Nube de Puntos) Es una herramienta de anlisis la cual representa en forma grfica la relacin existente entre dos variables pudiendo observar la dependencia o influencia que tiene una variable sobre la otra, permitiendo visualizar de forma grfica su posible correlacin. En general, al observar un grfico de dispersin, se puede apreciar si los puntos se agrupan o no.

Creciente Decreciente Nula Si la agrupacin es creciente, se dice que la correlacin es positiva, si es decreciente, la correlacin es negativa y si no existe relacin, se dice que su correlacin es nula. Si el valor determinado est entre 0,8 y 1 o entre -0,8 y -1, se dice generalmente que la relacin entre las variables es muy fuerte. Entre 0,6 y 0,8 o entre -0,6 y -0,8 es fuerte. Entre 0,4 y 0,6 o -0,4 y -0,6 es una relacin moderada. Menos de 0,4 o menos de -0,4, dbil o inexistente si se aproxima mucho a 0.

MEDIDAS DE POSICIN Cuartiles: son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente, donde Q2 coincide con la mediana. Ejemplo: Calcular los cuartiles de 10 nios cuyas edades son 5, 4, 4, 8, 14, 10, 9, 11, 13 y 11 aos. Primero ordenar los datos de menor a mayor.

Calcular la posicin aproximada del cuartil

.

Si dio un nmero entero, el cuartil ser el promedio de los datos

en las posiciones

y

+1.

Si dio un decimal, el cuartil ser el dato que se ubica en la

posicin inmediatamente superior al valor de

.

Deciles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 10 partes iguales. As D1 es el valor de la variable que agrupa el 10% de los datos. D2 agrupa el 20% de los datos.

D3 el 30%, etc. Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales.

DISTRIBUCIN NORMAL O GAUSSIANA

Si se repite una experiencia un gran nmero de veces, los resultados tienden a agruparse simtricamente en torno a un valor medio. Cuantas ms veces se repita la experiencia, ms se acercan los resultados a una curva ideal correspondiente a una distribucin normal.

Propiedades de la distribucin normal: 1. Tiene una nica moda, que coincide con su media y su mediana. 2. La curva normal tiene forma de campana y por eso recibe el nombre de Campana de Gauss y depende de los parmetros

y . Es asinttica al eje de abscisas.

3. La distancia entre la lnea trazada en la media y el punto de inflexin de la curva es igual a una desviacin tpica ().

4. El rea total bajo la curva es igual a 1. El rea comprendida entre los valores situados aproximadamente a una desviacin estndar de la media es 0,68 y a dos desviaciones estndar es 0.95.

Danny Perich C.


5. Es simtrica con respecto a su media. O sea, existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. 6. La media indica la posicin de la campana y la desviacin tpica o estndar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea , ms aplanada ser la curva.

A partir de cualquier variable X que siga una distribucin N(, ), se puede obtener otra caracterstica Z con

una distribucin normal estndar, sin ms que efectuar la transformacin:

de modo que ahora Z distribuye N(0, 1). A este procedimiento se le conoce como tipificacin.

Manejo de la tabla normal 1. Cuando la probabilidad pedida se encuentra directamente en las tablas Ejemplo: Hallar la probabilidad p(z 1,15). Vemos directamente en la tabla. p (z 1,15) = 0,875. 2. Probabilidad de un valor positivo Ej. Hallar la probabilidad p(z > 1,64) En este caso la probabilidad pedida no est en la tabla. Sin embargo, si tenemos en cuenta

que el rea total bajo la grfica ha de ser 1, deducimos que: p(z > 1,64) = 1 - p(z 1,64) = 1 0,950 = 0.050.

3. Probabilidad de un valor negativo Ej. Hallar la probabilidad p(z -0,67) Como la grfica es simtrica respecto al eje de ordenadas, p(z - 0,67) = p(z +0,67) Y calculamos p(z +0,67) igual que el caso anterior. 4. Probabilidad entre dos valores positivos Ej. Hallar la probabilidad p (0,67 z 2,17) Leemos directamente en la tabla la p(z 2,17) y la p(z 0,67). La diferencia entre ellas es la probabilidad que nos piden. 5. Probabilidad entre dos valores negativos Ej. Hallar la probabilidad p (-1,15 z -2,32) Por simetra cambiamos los dos valores negativos a positivos y calculamos la diferencia de sus probabilidades, igual que el caso anterior.

6. Probabilidad entre un valor positivo y uno negativo Ej. Hallar la probabilidad p(-0,67 z 2,32) p(-0,67 z 2,32) = p(z 2,32) - p(z -0,67)

p(z -0,67) = p(z 0,67) = 1 - p(z < 0,67)= 1 - 0,749 = 0,251 p(-0,67 z 2,32) = p(z 2,32) - p(z - 0,67) = 0,990 - 0,251 = 0,739. *** Ejercicio PSU *** Un colegio femenino de Educacin Media realiz un estudio para determinar la masa de sus alumnas de 4 medio, obteniendo una distribucin N(62, 5). Alrededor de qu porcentaje de la cantidad de alumnas de 4 medio de ese colegio tienen una masa entre 57 y 62 kilogramos? (Utilizar tabla normal)

A) 99% B) 34% C) 24% D) 95% E) 68% Tipificacin:

p(-1 z 0) = p(0 z 1) = 0,841 0,5 = 0,341 = 34,1%. Alternativa B Intervalos de confianza: Intervalo que con cierto nivel de confianza, nos asegura que dentro del l se encuentra la media

poblacional.

*** Ejercicio PSU *** Una muestra aleatoria simple de 25 estudiantes responde a un test, obteniendo una media de 100 puntos. Se sabe que este test sigue una distribucin normal con una desviacin tpica igual a 10. Entre qu lmites se hallar la media de todos los estudiantes, con un nivel de confianza de 0,954? (Utilizar tabla normal)

A) [99,2; 100,8] B) [99; 101] C) [95; 105] D) [90; 110] E) [96; 104]

n=25 = 100 = 10

Nivel de confianza (1 - ) = 0,954

Esta es la parte ms complica a los alumnos-as, pero slo se

trata de determinar el valor de 1 -

. Veamos

1 - = 0,954

1 0,954 = 0,046 =

0,023 =

1 -

= 1 0,023 = 0,977.

Buscamos este valor en la columna derecha P(Z

Danny Perich C.


Una evaluacin consta de 5 preguntas a las que hay que contestar SI o NO. Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, responden al azar. Cul es la probabilidad de obtener 3 aciertos?

A)

B)

C)

D)

E) No se puede determinar

p(X=k) =

=

=10

=


VECTORES

Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por . El punto O es el origen y el punto A es el extremo. Componentes de un vector El vector definido por dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es el que se obtiene al restar el vector de posicin del extremo menos el del origen.

AB = OB OA Sus componentes son: AB = (x2 x1, y2 y1) Ejemplo

Dados los puntos A( 4, 1) y B(2, 5), determina

= (2 ( 4), 5 1) = (6, 4) Caractersticas de un vector

a) El mdulo: es su longitud. Se representa por |OA| b) La direccin: es la direccin de la recta que lo contiene. c) El sentido: es el que va del origen al extremo. Un vector libre es un vector fijo que representa a todos los vectores que tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.

Clculo del mdulo de un vector El mdulo o magnitud de un vector es su longitud. Para calcularlo, se aplica el teorema de Pitgoras. Si (x,y), entonces

*** Ejercicio PSU *** Si a < 0, entonces la magnitud del vector (-a)(a2, a2) es

A) a2 B) a5 C) a D) 2a3 E) a3

se puede traducir como (-a) veces la magnitud del vector (a2, a2), la que se calcula de la siguiente manera:

Alternativa correcta E. Vector opuesto Analticamente, el vector opuesto es el que se obtiene al cambiar de signo sus componentes; geomtricamente, es el que tiene el mismo mdulo y direccin y sentido contrario. El opuesto del vector v( 5, 2) es v(5, 2) ya que

( 5, 2) + (5, 2) = (0, 0) =

Suma y resta de vectores Para sumar y restar vectores analticamente, se suman o restan sus componentes. Dados los vectores (6, 2) y (3, 4), + = (6, 2) + (3, 4) = (9, 6) = (6, 2) (3, 4) = (3, 2) Regla del paralelogramo Para sumar y restar vectores geomtricamente, se forma un paralelogramo uniendo por el origen los vectores u y v. Luego se se desplazan los vectores para unir sus colas y se completa el paralelogramo La diagonal que parte del origen es el vector suma u + v; y la diagonal que parte del extremo de v es el vector resta u v. Ejemplo: Resolvamos grficamente + e , considerando = (6, 2) y = (3, 4)

Producto de un nmero por un vector Para multiplicar un nmero por un vector analticamente, se multiplica el nmero por las componentes del vector. Para multiplicar un nmero por un vector geomtricamente, se lleva tantas veces el vector sobre s mismo como indique el nmero Ejemplo: Multiplica por 3 el vector (1, 2) 3 = 3(1, 2) = (3, 6) Vector director Un vector director de una recta es un vector paralelo a la recta, es decir, tiene la misma direccin que la recta. Para hallar el vector director de una recta se toman dos puntos de la recta y se calcula sus componentes.

ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA

La ecuacin de una recta es una expresin analtica que permite identificar todos los puntos de la recta.

Dados un punto P de la recta y un vector de direccin , un

punto genrico de la recta X tendr como vector de posicin .

Es claro que = + , como el vector y estn en la

misma direccin existe un nmero t tal que =t , por tanto

= +t , esta expresin se conoce como ecuacin vectorial de la recta.

= +t (x, y) = (x1, y1) + t(u1, u2)

Ejemplos: 1. Halla la ecuacin vectorial de la recta que pasa por P(2, 3) y tiene como vector de direccin = (-2, 1).

= +t (x, y) = (2, 3) + t(-2, 1)

Danny Perich C.


2. Calcula la ecuacin vectorial de la recta que pasa por los puntos P=(-2,3) y Q=(1,4) Para determinar la ecuacin vectorial necesitamos un punto y un vector de direccin, el punto lo tenemos y un vector de direccin se puede determinar a partir de dos puntos de la recta

=(1+2,4-3) = (3, 1) , luego la ecuacin vectorial es

= +t (x, y) = (-2, 3) + t(3, 1) Ecuacin paramtrica de la recta

A partir de la ecuacin vectorial = +t (x, y) = (x1, y1) + t(v1, v2), de donde se obtiene (x, y) = (x1+tv1, y1+tv2)

de donde r:

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramtricas.

r:

Ecuacin continua de la recta De las ecuaciones paramtricas despejamos el parmetro t.

Al igualar obtenemos la llamada ecuacin continua de la recta.

Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director (2, 5). Su ecuacin continua es

PUNTOS EN EL ESPACIO Aqu lo fundamental es ubicar puntos en el sistema de coordenadas tridimensional. Es conveniente practicar para tener claridad en la posicin de cada punto, utilizando para ello paraleleppedos. Los ejes son X (Abscisas), Y (Ordenadas), Z (Cotas) mutuamente perpendiculares que generan tambin tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ.

El punto A est suspendido en el espacio y sus coordenadas son (a, b, c). Ejemplo: Ubica en el espacio los puntos P(5, 2, 3); Q( 3,-2, 5); R(1, 4, 0); S(0, 0, 4); T(0, 6, 3)

Distancia entre dos puntos en el espacio. Sean A=(x1, y1, z1) y B=(x2, y2, z2) dos puntos. La distancia entre ellos se determina por

Ejemplo: Calcular la distancia entre el origen de coordenadas y el punto (1, 1, 1)?

d=

d= d= *** Ejercicio PSU *** 1. El tringulo ABC de la figura tiene sus vrtices ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su rea y su permetro miden, respectivamente:

A) 22

1 y 23

B) y

C) 3 y 23

D) 32

1 y 23

E) 22

1 y 2

Los puntos A, B y C estn a una distancia 1 del origen. Por

Pitgoras se obtiene que AB = BC = AC = 2 , por lo tanto el

permetro del tringulo es 23 . Para determinar el rea de este

tringulo, que es equiltero, lo hacemos aplicando la frmula

4

32aA donde el lado a = 2 . Por lo tanto,

2

3

4

322

A .

La alternativa correcta es D. 2. Un cubo tiene lado 2, como el de la figura. Cules son las coordenadas del centro de gravedad del cubo?

A) (0, 1, 0) B) (2, 2, 2) C) (1, 0, 1) D) (0, 0, 0) E) (1, 1, 1)

La alternativa correcta es E. Ecuacin vectorial de la recta en el espacio Como ya hemos determinado la ecuacin vectorial de la recta en el plano, resulta fcil establecer en forma equivalente las del

espacio.

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(v1, v2, v3) Ecuacin paramtricas de la recta en el espacio

r:

Ecuacin continua de la recta en el espacio

Ejemplo: Determina la ecuacin vectorial de la recta que pasa por A(2, 0, 5) y B (1, 4, 6) Vector director = (3, 4, 1) Ecuaciones paramtricas: x = 2 3t y = 4t z = 5 + t

32

12

Danny Perich C.


*** Ejercicios PSU *** 1. Dado el tringulo de vrtices A(3, 0, 0), B(-1, 4, 0) y C(-1, 1, 3), cul de las siguientes ecuaciones corresponde a una ecuacin de la recta que pasa por el vrtice C y por el punto medio de AB ?

A)

B)

C)

D)

E) Ninguna de las anteriores. Alternativa correcta A. 2. Cul de las siguientes expresiones representa siempre la distancia entre un punto P(a, b, c) y su simtrico con respecto al eje x?

A) 2a B) C) D) 4b2 + 4c2 E) 2b + 2c

Alternativa correcta C.

APUNTES PERSONALES:

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