REPERCUSIONES DE DISTINTAS AXIOMATIZACIONES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS EN EL ANÁLISIS MATEMÁTICO...

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Facultad de Ciencias

REPERCUSIONES DE DISTINTASAXIOMATIZACIONES DE LA TEORA DE

CONJUNTOS EN EL ANLISISMATEMTICO REAL:

AXIOMA DE ELECCIN,DETERMINACIN Y CONJUNTOS

NO-MEDIBLES

T E S I SQUE PARA OBTENER EL TTULO DE:

MATEMTICO

PRESENTA:IVN ONGAY VALVERDE

DIRECTOR DE TESIS:DRA. MAGALI LOUISE MARIE FOLCH GABAYET

M. EN C. RAFAEL ROJAS BARBACHANO.

Mxico D.F., marzo 2013

3Hoja de Datos del Jurado

1. Datos del alumnoOngayValverdeIvn56 04 04 77Universidad Nacional Autnoma de MxicoFacultad de CienciasMatemticas4090064962. Datos del tutor 1Dra.Magali Louise MarieFolchGabayet3. Datos del tutor 2M. en C.RafaelRojasBarbachano4. Datos del sinodal 1Dra.AnaMedaGuardiola5. Datos del sinodal 2M. en C.Osvaldo AlfonsoTllezNieto6. Datos del sinodal 3Dr.DavidMezaAlcntara7.Datos del trabajo escrito.Repercusiones de distintas axiomatizaciones de la Teora de conjuntos en el Anlisis

Matemtico Real.Axioma de Eleccin, Determinacin y conjuntos no-medibles.131 p2013

5Y mi alma [...] no podr librarse. Nunca ms!Edgar Allan Poe, El cuervo [A las matemticas].

...En otrosel conjunto

de desarmonasproduce algo mejor

que la belleza.Mario Benedetti, Teora de Conjuntos [Al amor y a la vida].

Agradecimientos

En primera instancia quiero agradecer profundamente a Rafa y a Magali poraceptar asesorar este proyecto y apoyarme a lo largo de toda mi carrera. Dedistintas formas ambos me han impulsado para lograr mis objetivos. Gracias.

A mis sinodales: Ana, Osvaldo y David. Los tres se mostraron muy interesadosen mi proyecto haciendo de mis correcciones finales un gusto.

Por crear importantes cambios en mi formacin matemtica agradezco aOsvaldo G y a Pavel. Los dos alumnos de Rafa, al cruzarse por mi vida, cambiaronmi visin del mundo.

Y para terminar con los agradecimientos acadmicos no puedo dejar demencionar a mis camaradas de estudio: Poncho, el lgico; Adrin, el probabilista;Nava, el algebrista; Leo, el graflogo; Naim, el conjuntista, por tantos gustosmatemticos y amistad compartidos.

As pasamos a los otros agradecimientos.Gracias a mis padres (Mam, Kikn, Pap) y a mis abuelos (Val, Lourdes,

Graciela, Lola), no se necesita dar razones.A mis hermanos Fernanda y Diego por las interminables horas de diversin.A Vero porque nuestro proyecto y la tesis empezaron a la par y ambos

lograron florecer y dar hermosos frutos.A mis amigos preuniversitarios inseparables (Edgar, Viri, Geo, Popoca, Sergio,

Nader, Sofa y Grinch), por siempre estar cuando se les necesita.A mis amigos universitarios (Morris, Potter, lvaro, los Alepheros, los ya

mencionados, Viri, Alan, Corro, Cueto, etctera.) por acompaarme en estafabulosa carrera.

A las personas no mencionadas porque, aunque no los haya hecho notar eneste preciso momento, cada uno sabe lo que ha influenciado en mi vida.

Y, claramente, a la vida que nunca dejar de dar cosas nuevas.

7

ndice general

Agradecimientos 7

Introduccin 110.1. Notacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1. Algunos conjuntos no medibles 151.1. Conjuntos de Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Vitali multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3. Conjuntos de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4. Bases de Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5. Particiones de Sierpiski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6. Dos funciones no medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.7. Otros teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. Ulam y Determinacin 452.1. Un poco sobre cardinales inaccesibles . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. El teorema de Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3. Otras relaciones de medida y cardinales . . . . . . . . . . . . . . 532.4. Juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5. Axioma de Determinacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3. Anlisis sin tanta Eleccin 793.1. Eleccin y algunos debilitamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2. Trampas con eleccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3. Teoremas sin eleccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4. La fuerza del AEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5. Ms all de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.6. Utilizando AED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9

10 NDICE GENERAL

4. Conclusiones 109

A. Teora de la medida 111A.1. -lgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.3. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.4. Integrar respecto a una medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.5. Medida de Lebesgue en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

B. Teora de los conjuntos 119B.1. Lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119B.2. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120B.3. Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121B.4. Induccin y recursin transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.5. Ordinales iniciales y cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125B.6. Operaciones cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127B.7. rboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Introduccin

Todo inicia con una pregunta: qu es el volumen? Arqumides, despus degritar Eureka! desnudo por la calle, lo defini como la cantidad de lquidodesplazado por un objeto cuando se sumerge en el agua. Sin embargo, la nocin desumergir en el agua no es definible matemticamente. As que nuestra preguntainicial puede leerse como qu es el volumen matemticamente?. Henri Lebesgue,en 1904, cre una teora que permita responder nuestra pregunta en cualquierespacio. Para l, cualquier medida (en particular el volumen), es una funcinque asigna a los conjuntos de puntos un nmero real mayor o igual que cero.Adems, la funcin evaluada en el conjunto vaco da cero, y cumple que el valorde la unin finita o numerable de conjuntos ajenos es la suma de los valores dela funcin evaluada en cada uno1. La longitud, el rea y el volumen son casosparticulares de medidas sobre R, R2 y R3 respectivamente, y Lebesgue se dacuenta de que slo se les debe pedir una propiedad ms para caracterizarlas: queal momento de mover (trasladar) un objeto (conjunto) la medida se mantenga.

El trabajo de Lebesgue no se detuvo ah. De hecho, l dio un mtodo deconstruccin general para crear medidas que se comportan como la longitud enel caso de R, como el volumen en R3, o de forma anloga el hipervolumen enRn. Estas medidas (llamadas medida de Lebesgue de dimensin n) tienen laconstruccin ms obvia: dado que lo nico que sabemos medir con certeza soncajas, para conocer la medida de cualquier otro objeto es necesario aproximarnoscubriendo a ste con prismas rectangulares.

De primer momento, ste pareca ser el modelo ideal del volumen. Sin embargo,los sueos de Lebesgue (y de muchos otros) se derrumbaron pronto. En 1906,Giuseppe Vitali mostr un conjunto que no era medible para la medida deLebesgue.

Ntese que desde el punto de vista matemtico lo anterior no es ningnproblema: los objetos matemticos existen simplemente porque son expresables.An as, si se busca que un objeto matemtico modele un fenmeno fsico,como la intencin de nuestra pregunta inicial, los objetos patolgicos pueden serproblemticos. La existencia de conjuntos no medibles es un inconveniente para

1Esta propiedad es llamada la -aditividad de una medida, matemticamente, si la medida

es y los conjuntos ajenos son An para toda n N, tenemos que (i=0

An) =i=0

(An).

11

12 NDICE GENERAL

la idea de usar a la medida de Lebesgue como una expresin matemtica delvolumen pues hasta ahora no se ha podido construir fsicamente un conjunto nomedible, o bien, no se han podido obtener dos bolas de un kilogramo cada una apartir de una bola que pese slo un kilo2.

Con esta lnea de pensamiento, la demostracin de Vitali, y el trabajo deLebesgue, fueron puestos en tela de juicio. En los aos subsecuentes hubo variosintentos de encontrar y suprimir a los causantes de estas anomalas3. Pero nofue sino hasta 1970 que el verdadero culpable de la existencia de conjuntos nomedibles se dio a conocer. En ese ao, Robert M. Solovay exhibi un modelode la Teora de Conjuntos donde todos los subconjuntos de reales son Lebesguemedibles. En su construccin muestra que el culpable de la creacin de conjuntosno medibles es el Axioma de Eleccin, pero no todo l, pues aos ms tarde semostr que se pueden tener modelos con el Axioma de Elecciones Dependientes,un debilitamiento del Axioma de Eleccin, donde todo sea medible.

El resultado de Solovay es muy importante pues, en la Lgica Matemticamoderna (especficamente despus de la publicacin de los Teoremas de Gdelen los 30s), los axiomas ya no son verdades evidentes autoproclamadas, sino quese convirtieron en deseos para crear y entender mundos, o bien, herramientasque se usan a conveniencia de acuerdo al problema que se trabaje.

Recapitulemos: si los axiomas son herramientas y Solovay mostr que haymundos donde todo es medible qu axiomatizacin tienen estos mundos? Quaxiomatizacin debemos usar para poder modelar el volumen con la medida deLebesgue? Cmo son los mundos que nos dej Solovay? Cmo son los mundosdonde vale el Axioma de Elecciones Dependientes? Vale la pena trabajar enellos? Qu tanto Anlisis Matemtico se puede hacer sin todo el poder delAxioma de Eleccin?

El presente trabajo tiene como objetivo mostrar que es posible hacer AnlisisMatemtico en un modelo donde slo valga el Axioma de Elecciones Dependientes.Esto, de forma heurstica, es un argumento para utilizar axiomatizaciones dondetodo sea medible al modelar el mundo fsico. Para lograr este objetivo se siguiel siguiente camino:

En primera instancia, al decidir quitar algn elemento, es importante pregun-tarse qu se pierde sin l. Qu ganamos/obtenemos al trabajar con conjuntosno medibles? es la pregunta que gua el captulo 1 donde se construyen variosejemplos de conjuntos no medibles y se encuentra que su existencia est relacio-nada con propiedades especficas de R como la posibilidad de bien ordenarlo,ser suma directa de grupos aditivos, tener base sobre Q, etc. Es importanteremarcar que algunas de estas implicaciones son ciertas sin utilizar todo el poderdel Axioma de Eleccin, pero generan un conjunto no medible.

El captulo 2 sirve como vnculo entre los otros dos respondiendo a laspreguntas por qu buscar mundos sin el Axioma de Eleccin cuando se pueden

2Esto es conocido como la paradoja de Banach-Tarski que fue demostrada aos ms tardede la publicacin de Vitali.

3Muchos de los intentos y avances en esta lnea se pueden encontrar en [1].

0.1. NOTACIN 13

buscar extensiones de la medida de Lebesgue?, por qu podemos asumir quetodo es medible?. Adems, en este captulo quedan claras las propiedades de Rque dejan de ser vlidas cuando no hay conjuntos no medibles.

Los teoremas y principios que son vlidos en mundos completamente mediblesse demuestran en el captulo 3. Este captulo cierra la argumentacin al responderla pregunta qu tanto anlisis se puede hacer sin conjuntos no medibles?. Deigual forma, esta pregunta redondea la bsqueda de esta introduccin.

Finalmente, este trabajo est pensado para personas que tengan una madurezmatemtica parecida a la de los alumnos cursando la segunda mitad de lalicenciatura en matemticas. Por ello, al final se incluyeron dos apndices, unodedicado a la Teora de la Medida (Apndice A) y otro dedicado a Teora deConjuntos (Apndice B). Ambos apndices enumeran definiciones y teoremasque se suponen a lo largo de los captulos con el propsito de ayudar a los lectoresque no hayan profundizado en alguna de estas reas.

De igual forma, en el trabajo se supone cierta nocin topolgica por lo que,en caso de duda, se recomienda revisar [13].

0.1. Notacin

La siguiente es una lista de usos y trminos que se utilizarn como notacinen todo el trabajo:

Si A X es un conjunto y f : X B una funcin, f [A] = {f(x) / x A}es la imagen del conjunto A bajo la funcin f . Notemos que f [A] es unsubconjunto de B, es decir, f [A] B.Con la notacin anterior, si C B entonces f1[C] = {z X / f(z) C}es la preimagen del conjunto C bajo la funcin f . Notemos que f1[C] X., denotarn cardinales (a menos que se especifique lo contrario). Paracada cardinal su cardinal sucesor se denotar +. Este sucesor se definecomo el mnimo ordinal que no es biyectable con .

denotar una medida y en algunos casos denotar la medida deLebesgue.

N y denotarn el conjunto de nmeros naturales (normalmente incluidoel cero).

Z denotar a los nmeros enteros, Q a los racionales y R a los reales.

, , , denotarn ordinales. En este caso + denota el ordinal sucesor, asaber {}.En los captulos que no cree confusin (x, y) denotar el par ordenado delos elementos x y y. En las situaciones en que pueda confundirse con losintervalos se denotar como x, y.

14 NDICE GENERAL

{x, y} es el conjunto (o par no ordenado) de los elementos x y y. {x} es elconjunto unitario de x.a = {x / y(y a & x y}, es decir, el conjunto que tiene a los elemen-

tos de los elementos de a. Notemos que la unin indexada puede pensarsede la siguiente manera:

iI

ai ={ai / i I}.4

|| denotar el valor absoluto para nmeros y la cardinalidad para conjuntos(que en algunos momentos tambin ser denotada como card()).

4Para saber ms sobre la unin de un conjunto vase el axioma 4 de B.2.

Captulo 1

Algunos conjuntos nomedibles

Qu ganamos al utilizar el Axioma de Eleccin en el Anlisis MatemticoReal? es la pregunta que gua este captulo. En l, nos centraremos en losejemplos que usan mucha eleccin para su creacin, especficamente, en ejemplosque creen conjuntos no medibles para la medida de Lebesgue (que llamaremos,simplemente, conjuntos no medibles).

Histricamente, el primer ejemplo de subconjuntos de nmeros reales que nopertenecen a la -lgebra de los conjuntos medibles para la medida de Lebesgueson los conjuntos de Vitali, construidos por Giuseppe Vitali en 1906. Despus deeste ejemplo surgieron otros dados por Bernstein, Sierpisky, Banach, etc.

Las construcciones de estos ejemplos se relacionan de formas distintas condiferentas reas de las matemticas (principalmente con el lgebra, la topologay la teora de los conjuntos) y con diversas propiedades esenciales de la medidade Lebesgue (como su invarianza bajo traslacin, su regularidad, entre otros).

A lo largo de este captulo utilizaremos distintas definiciones y tcnicas tantode anlisis como de otras reas de las matemticas que nos permitirn construiry entender algunos ejemplos de conjuntos y funciones no medibles.

Para entender un poco ms qu es una medida y cmo se define una integrala partir de ella se recomienda revisar el apndice A.

1.1. Conjuntos de Vitali

Para construir un conjunto de Vitali consideremos la siguiente relacin deequivalencia sobre R1:

1 es una relacin de equivalencia sobre el conjunto A si y slo si 0) AA (si (c, d) se escribe c d.); 1) Para todo a A, a a; 2) Si a, b A y a b, entonces b a; y 3) Si

15

16 CAPTULO 1. ALGUNOS CONJUNTOS NO MEDIBLES

x y x y Q.Utilizando el Axioma de Eleccin (A.E.) existe V un conjunto de representan-

tes de la relacin 2. V es un conjunto de Vitali. Mostrar que es una relacinde equivalencia es sencillo y se realiza de forma ms general en teora de grupos,ya que si pensamos a Q como un subgrupo del grupo abeliano aditivo R, larelacin es la que genera el grupo cociente R/Q (pensndolo de este modo, Vsera la imagen de una funcin de eleccin de R/Q)3.

La construccin de V garantiza las siguientes dos propiedades:Primero, si r, s Q entonces (V + r) (V + s) 6= r = s.4 Como V

es distinto del vaco, por construccin, el regreso de la afirmacin anterior estrivial. Para la primera implicacin, supongamos que (V + r) (V + s) 6= . Deesta forma existe y tal que x1 + r = y = x2 + s con x1, x2 V . Despejandoobtenemos que x1 x2 = s r Q, por lo que x1 x2. Al ser V un conjuntode representantes de lo anterior implica que x1 = x2, as 0 = r s, es decir,r = s.

La segunda propiedad es que R =qQ

(V + q). Al ser V un conjunto de

representantes de , si y R, existe x V tal que y x. Por la definicin de tenemos que y x = p Q, por lo que y = x+ p V + p.

Las dos propiedades demostradas nos ayudarn a probar el siguiente teorema.

Teorema 1.1.1. El conjunto V construido anteriormente no es medible para lamedida de Lebesgue () sobre R.5

DemostracinEsta prueba se realizar por contradiccin. Supongamos que V es medible,

utilizando la invarianza bajo traslacin de y las dos propiedades demostradasde V tenemos que:

qQ(V ) =

qQ

(V + q) = (qQ

V + q) = (R) =.

Esto implica que (V ) > 0.Al tener V medida positiva, existe n0 N tal que (V [n0, n0]) > 0. En

caso contrario, utilizando la continuidad de :6

a, b, c A y a b, b c entonces a c.2Un conjunto de representantes X de una relacin de equivalencia R sobre el conjunto A

cumple las siguientes dos propiedades: 1) Si x, y X entonces xRy si y slo si x = y; y 2) siz A entonces existe x X tal que xRz.

3f es una funcin de eleccin para el conjunto a si y slo si f es una funcin f : a\{} a

tal que x a \ {} f(x) x.4Si X R y r R, entonces X + r = {y R / y = x+ r, x X}. Notemos que esta

definicin se puede extender a cualquier grupo.5La construccin de la medida de Lebesgue sobre R se puede encontrar en A.5.6La propiedad de continuidad de una medida se encuentra en A.3.3.

1.1. CONJUNTOS DE VITALI 17

0 = lmn(V [n, n]) = (

n=1

(V [n, n])) = (V R) = (V ).

Sea Y = V [n0, n0] y Z =

q([1,1]Q)(Y + q). Notemos que

Z [n0 1, n0 + 1],

por lo que Z tiene medida finita (de hecho, (Z) 2n0 + 2), pero al ser Y demedida positiva y un subconjunto de V :

(Z) = (

q([1,1]Q)(Y + q)) =

q([1,1]Q)

(Y + q) =

q([1,1]Q)(Y ) =.

Esta contradiccin termina la prueba.l.q.q.d.

La demostracin anterior no es la clsica demostracin de la no medibilidad delos conjuntos de Vitali, pero, como resalta Kharazishvili en [11], esta demostracinslo utiliza el hecho de que Q es un subgrupo aditivo (para la definicin de y las dos propiedades), numerable (al utilizar aditividad de ) y denso (alhaber una cantidad numerable de ellos en [1, 1]). Esta observacin nos lleva ala siguiente definicin:

Definicin 1.1.2. Si es un subgrupo aditivo, numerable y denso deR definimosla relacin como x y x y . Sea X un conjunto de representantesde la relacin . Diremos que X es un conjunto del tipo Vitali y se le llamarun -selector (por su nombre en ingls).

Notemos que los conjuntos de Vitali son Q-selectores.

Teorema 1.1.3. Sean un subgrupo aditivo, numerable y denso de R y unamedida para alguna -lgebra7 de R tal que:

1. es invariante bajo (es decir, si g y E est en la -lgebra entoncesE + g dom() y (E) = (E + g)).

2. [0, 1] dom().

3. 0 < ([0, 1])


PruebaPara poder reproducir la prueba que se da en el caso = Q y =

slo es necesario mostrar que si cumple las hiptesis del teorema, entonces[m,m] dom() y es de medida positiva finita para toda m N. Con ello, enla demostracin anterior, se sustituye Q por , V por el -selector y a por .

Sea n Z. Al ser denso para cada k 2 existen k y k tales quek (n 1/k, n) y k (n, n + 1/k). De esta forma las sucesiones (k)k2 y(k)k2 convergen a n. Como es invariante bajo traslacin y [0, 1] dom(),tenemos que [k, k + 1], [k, k + 1] dom() y

([k, k + 1]) = ([k, k + 1]) = ([0, 1])

1.2. VITALI MULTIPLICATIVO 19

Tomemos la relacin como sigue, si x, y R entonces xy si y slo si exister Q+ = {p Q / p > 0} tal que rx = y. es una relacin de equivalencia yaque si x, y, z R, entonces xx ya que 1x = x; si xy entonces existe r Q+ talque rx = y, como r 6= 0 tenemos que x = y/r con 1/r Q+, as yx. Finalmente,si xy y yz, tenemos que existen r, r Q+ tales que rx = y y ry = z, de estaforma rrx = z y como rr Q+, xz.

Al igual que hicimos en la seccin anterior, tomemos P un conjunto derepresentantes de . Para poder demostrar que ste no es un conjunto medible,es necesario utilizar la siguiente propiedad de la medida exterior (y por tanto,de la medida de Lebesgue )8:

Proposicin 1.2.1. Si A R y para s R \ {0} definimossA = {x R / x = sa, a A} ,

entonces (sA) = |s|(A).

Prueba

Sabemos que (B) = nf

{ i=1

|bi ai| / B i=1

(ai, bi)

}, tomando en

cuenta que si sA i=1

(ci, di), entonces tenemos que A i=1

(ci/s, di/s) (o

A i=1

(di/s, ci/s) dependiendo del signo de s) podemos realizar las siguientes

igualdades:

(sA) = nf

{ i=1

|sbi sai| / A i=1

(ai, bi)

}=

= nf

{ i=1

|s||bi ai| / A i=1

(ai, bi)

}=

= |s| nf{ i=1

|bi ai| / A i=1

(ai, bi)

}= |s|(A).

l.q.q.d.Siguiendo las mismas estrategias de la seccin anterior podemos demostrar

querQ+

rP = R y que si r, s Q+ tales que r 6= s entonces sP rP = {0},

al tener {0} medida cero, tenemos que rP y sP se comportan como conjuntosdisjuntos (respecto a la medida).

Teorema 1.2.2. El conjunto P es no medible.8Para entender la definicin y algunas propiedades de lase A.5


PruebaSupongamos que s lo es, en tal caso, como

= (R) = (rQ+

rP ) =rQ+

r(P ),

(P ) 6= 0. Por tanto existe n N tal que ([n, n] P ) > 0. Notemos que:

2n = ([n, n]) = ([n, n] rQ+

rP ) = (rQ+

[n, n] rP ) =

=rQ+

([n, n]rP ) =rQ+

r([n/r, n/r]P )

r[0,1]Qr([n/r, n/r]P )

k=1

1/k([kn, kn] P ) k=1

1/k([n, n] P ) = ([n, n]P )k=1

1/k =.

l.q.q.d.Para terminar esta seccin es importante remarcar dos cosas. Primero, in-

dependientemente de que se puede repetir la prueba para la relacin xysi y slo si existe r Q \ {0} tal que rx = y, el teorema anterior implicaque si P es un conjunto de representantes de entonces P no es medible.Esto sucede ya que si tomamos el conjunto R = P (1)P , tenemos queR es un conjunto de representantes de . Notemos que si P es medible en-tonces R lo sera tambin (de hecho, como P (1)P = {0}, tenemos que(R) (P ) + ((1)P ) = (P ) + | 1|(P ) = 2(P )).

Al igual que en la seccin pasada, el resultado anterior se puedo obtener concualquier subgrupo multiplicativo denso y numerable de R \ {0} o de R+.

1.3. Conjuntos de Bernstein

Otro ejemplo de conjuntos no medibles son los conjuntos de Bernstein. Enun inicio, los conjuntos de Bernstein sirvieron como contraejemplo a la ideaque Cantor tena para demostrar la hiptesis del continuo: dado que Cantordemostr que los conjuntos perfectos9 tienen la misma cardinalidad de R pensabademostrar que todo conjunto no numerable de nmeros reales contena unconjunto perfecto10. En 1908 Bernstein construye un conjunto que muestra queel plan de Cantor era irrealizable. Aos ms adelante se muestra que ese mismoconjunto es no medible.

9P es un conjunto perfecto si y slo si P es un conjunto no vaco, cerrado y sin puntosaislados, es decir, para todo x P y todo abierto U de x se tiene que (P U) \ {x} 6= .

10Para saber ms de sta historia y de cmo se resolvieron las preguntas sobre la Hiptesisdel Continuo vase [2].

1.3. CONJUNTOS DE BERNSTEIN 21

Definicin 1.3.1. 1. Un conjunto E R es totalmente imperfecto si y slosi todo A E no es un conjunto perfecto.

2. X R es un conjunto de Bernstein si y slo si X y R \X son totalmenteimperfectos.

3. Equivalentemente, X es un conjunto de Bernstein si y slo si para todoP R perfecto y no vaco se tiene que P X 6= y P (R \X) 6= .

Antes de mostrar que existen los conjuntos de Bernstein, es importanterecordar los siguientes dos resultados:

Lema 1.3.2. Existen tantos conjuntos perfectos como nmeros reales.

DemostracinEl hecho de que (, x] sea perfecto para todo x R muestra que al menos

hay tantos conjuntos perfectos como reales. Por otra parte, cada conjunto abiertoen R es la unin numerable de intervalos abiertos con extremos racionales, asque a lo ms hay tantos como funciones de N a QQ, es decir, a lo ms tantoscomo reales; de esta forma como los conjuntos perfectos son cerrados y hay unabierto por cada cerrado, tenemos que la cantidad de conjuntos perfectos es a loms tantos como nmeros reales. As |R| = | {P / P es perfecto} |.11

l.q.q.d.

Lema 1.3.3. Todo conjunto perfecto tiene la misma cardinalidad de R.

DemostracinSea P un conjunto perfecto. Definimos recursivamente las siguientes sucesiones

de intervalos cerrados enumeradas por medio de funciones s : n {0, 1}12:Paso base (funciones con dominio 1):Queremos dos intervalos tales que:

1. I I = .2. I P 6= y I P 6= .3. Si ` denota la longitud del intervalo, `(I), `(I) < 1/3.

Estos intervalos existen ya que al ser P un conjunto no vaco y sin puntosaislados, tiene al menos dos puntos. A estos dos puntos se les pueden construirintervalos con las caractersticas anteriores.

Paso recursivo:Supongamos que ya tenemos definido el intervalo Is donde s : n {0, 1} con

n 6= 0. Definiremos los siguientes dos intervalos:11Las propiedades bsicas de | | se pueden leer en B.5 y en B.6.12Recordemos que las funciones son conjuntos, en este caso s n{0, 1} y que cada natural

n se puede pensar como el conjunto n = {0, 1, ..., n 1}. De esta forma 0 = , 1 = {0} = {},etc.


1. Is, Is Is.2. Is Is = .3. Is P 6= y Is P 6= .4. Finalmente, si ` denota la longitud del intervalo,`(Is), `(Is) < (1/3)n.

Estos intervalos existen ya que al ser P un conjunto no vaco y sin puntosaislados, al tener Is interior no vaco y ser P Is 6= , la interseccin tiene almenos dos puntos. Alrededor de estos dos puntos se pueden construir intervaloscon las caractersticas anteriores.

Definamos una funcin inyectiva que nos permita mostrar que P tiene almenos la misma cardinalidad de R (o bien, de 2). Tomemos :2 P 13 talque (f)

n

If |n14.

Veamos que est bien definida.Para ello necesitamos mostrar que (f) existe y es un elemento de P para

toda f 2. Notemos que para cada f 2 la sucesin de intervalos (If |n)nes anidada (es decir, If |n+1 If |n)15, de esta forma, utilizando el teorema deInterseccin de Cantor16, tenemos que

n

If |n = {xf} para algn xf R,

por lo que (f) = xf . Finalmente, (f) P ya que la sucesin{P If |n

}cumple las hiptesis del Teorema de Interseccin de Cantor y de esta forma 6=

n

(If |n P ) n

If |n = {xf}.

Por otra parte, es inyectiva. Tomemos f, g 2 distintas, entonces existem tal que f(m) 6= g(m), por construccin, tenemos que If |m+ Ig|m+ = ,(g) Ig|m+ y (f) If |m+ , por lo que necesariamente (f) 6= (g).

Lo anterior muestra que |R| = |2| |P | |R|.l.q.q.d.

Con los resultados anteriores, y suponiendo que R es bien ordenable, ya pode-mos construir un conjunto de Bernstein. Sea = c = mn { / card() = |R|}17.

132 = {f / f : 2 = {0, 1}}.14Si f : A B es una funcin y C A; f |C es f restringida a C, es decir, la funcin con

dominio C que tiene la misma regla de correspondencia de f .15Esto sucede por la forma en que se construyeron los intervalos Is y el hecho de que

f |n+1 = f |n {< n, f(n) >}.16

Teorema 1.3.4 (Interseccin de Cantor). Sea X, d un espacio mtrico completo y sea {Fn}una sucesin anidada de subconjuntos cerrados y no vacos de X tal que lm

nDiam(Fn) = 0

(donde Diam(A) = sup {d(x, y) / x, y A}). Entonces existe x X tal quen

Fn = {x}.

17Es costumbre en teora de conjuntos nombrar a los nmeros ordinales (OR) con las primerasletras del alfabeto griego (, , ). La seccin B.3 est dedicada a los nmeros ordinales.


Por el lema 1.3.2, podemos numerar a la familia de todos los conjuntos perfectosP utilizando de las siguientes dos formas:

P = {P / < tal que es par} 18

y

P = {P / < tal que es impar} .Construiremos {x / < } R tal que:

1. < < entonces x 6= x .2. Para todo < , x P.

Para lograrlo, utilizaremos recursin transfinita como est definida en B.4.3:Tomemos < y supongamos que para para todo < ya tenemos definido

x. Como card() < card() = |R| = |P | tenemos que P \ {x / < } 6= .Definimos x tal que x P \ {x / < }.

Sea X = {x / es par}, X es un conjunto de Bernstein. Si P es un conjuntoperfecto, entonces existen par y impar tales que P = P = P . Notemos quex P X y que x / X por lo que x (R \X) P , es decir P X 6= y(R \X) P 6= .Teorema 1.3.5. X no es medible respecto a la medida de Lebesgue .

Para demostrar este teorema utilizaremos el siguiente resultado:

Teorema 1.3.6. R es Lindelf19.

PruebaAqu demostraremos algo un poco ms fuerte, veremos que para todo A R

y C una cubierta abierta de A, existe C una subcubierta numerable. Para de-mostrarlo, recordemos que R tiene una base topolgica numerable {Qn / n N}(a saber, los intervalos con extremos racionales).

Sea {U / H} una cubierta de A, sabemos que para cada H, U =QnU

Qn, podemos tomar n1 < n2 < n3... tales que Qni U para alguna .

De esta forma A H

U =iN

Qni .

Finalmente, tomemos Ui tal que Qni Ui (esto lo podemos hacer utilizandoAxioma de Eleccin Numerable). De esta forma, {Ui / i N} es una subcubiertanumerable de {U / H}.

18 es un ordinal par (impar) si y slo si su parte finita es par (impar). La existencia ynocin de parte finita de un ordinal se encuentra en B.3.9.

19Esto quiere decir que toda cubierta abierta de R tiene una subcubierta numerable.


l.q.q.d.Prueba del teorema 1.3.5Si X fuera medible, entonces al ser R = X (R \X) tenemos que X o R \X

debe tener medida positiva. Sin prdida de generalidad, supongamos que (X) >0, por regularidad de la medida, sabemos que existe F X conjunto cerrado talque (F ) > 0. Definimos F = {x F / U abierto, x U, |U F | > 0}20,el conjunto de puntos de condensacin de F. Por construccin, F F X.Veremos que F es un conjunto perfecto:

1. Supongamos que F = , entonces, para cada x F existe Ux abierto talque |F Ux| 0, notemos que {Ux / x F} es una cubierta abierta deF R. Al ser F cerrado, {Ux / x F}{R \ F} es una cubierta abierta deR. Al ser R Lindelf, existe una subcubierta numerable {Un / n N} de Rque nos proporciona una cubierta numerable de F , a saber {Un / n N} \{R \ F}. De esta forma, F

n=1

Un. As |F | = |n=1

(UnF )| 0 ya que,utilizando Axioma de Eleccin Numerable, unin numerable de conjuntos alo ms numerables, es a lo ms numerable. Por otra parte, las propiedadesde implican que al tener F medida positiva, no es numerable (ya quetodo conjunto numerable tiene medida cero).

Esto es una contradiccin, por lo tanto F 6= .2. Para ver que F es cerrado, tomemos un punto de acumulacin21 h de F .

Como F F , h tambin es punto de acumulacin de F , al ser F cerradotenemos que h F . Ahora bien, si U es un abierto al cual pertenece h, alser h punto de acumulacin de F existe g F U . Como U es un abiertodonde est g, por definicin de F tenemos que |U F | > 0, por lo cual,h F .

3. Supongamos que existe h F y U abierto tales que F U = {h}.Esto quiere decir que para todo y U (F \ {h}) existe Uy, abiertoque contiene a y, tal que |Uy (U (F \ {h}))| 0. Una vez ms,{Uy / y U (F \ {h})} es una cubierta abierta de U (F \ {h}), y porla demostracin de 1.3.6, existe una subcubierta numerable {Uyn / n }.Notemos que |U (F \ {h})| = |

n

(Uyn (U (F \ {h})))| 0, pero

h F , por lo que |U F | > 0, y as |U (F \ {h})| > 0.Lo anterior es una contradiccin. Por lo tanto, F no tiene puntos aislados.

De esta forma probamos que F es un conjunto perfecto contenido en X.Esto tambin es una contradiccin, ya que X es un conjunto de Bernstein. Porlo tanto, X no es medible.

20A saber, |N| = || = |0| = 0.21Si X es un espacio topolgico, y A X, h es un punto de acumulacin de A si y slo si

para todo U abierto que contenga a h, U A 6= .


l.q.q.d.La demostracin de este teorema nos da los siguientes corolarios:

Corolario 1.3.7. Todo conjunto medible de medida positiva tiene la cardinalidadde los reales.

DemostracinPor la prueba del teorema anterior, todo conjunto medible de medida positiva

contiene un conjunto perfecto y por el lema 1.3.3, tenemos que ste es biyectablecon los reales.

l.q.q.d.

Definicin 1.3.8. 1. Si es una medida sobre Y ,

N() = {X / X dom(), (X) = 0}

es la familia de los conjuntos nulos de . Si es una medida completa22,entonces N() es el ideal23 de los conjuntos nulos.

2. Al ideal de los nulos se le puede asociar el cardinal:

non(N()) = mn {card(X) / X Y y X / N()}24.Corolario 1.3.10. Si denota la medida de Lebesgue y non(N()) = < |R|,entonces existe un conjunto no medible.

PruebaSi non(N()) = < |R| entonces existe X R tal que |X| = < |R| y

(X) > 0, por el corolario 1.3.7, X no es medible.l.q.q.d.

Para terminar esta seccin, es importante remarcar que la construccin deBernstein sirve para crear diversos tipos de conjuntos. Aunque en seccionesposteriores haremos uso de estos mtodos, aqu daremos un adelanto:

Teorema 1.3.11. Existe un conjunto X R que es de Vitali y de Bernsteinsimultneamente.

22Vase A.3.4.23I es un ideal sobre Y si y slo si I (Y ) y es tal que si A,B I entonces AB I y si

C A I entonces C I. Se dice que I es un ideal propio si y slo si Y / I.24En general, a cualquier ideal propio I sobre Y se le pueden asociar los siguientes invariantes

cardinales:

Definicin 1.3.9. add(I) = mn{card(H) / H I &

H / I

},

cov(I) = mn{card(H) / H I & Y

H},

non(I) = mn {card(X) / X Y & X / I} ,cof(I) = mn {card(H) /A I, B H(A B)}.


DemostracinUtilizaremos la misma notacin de los conjuntos perfectos que en la construc-

cin del conjunto de Bernstein. Al igual que en esa construccin, crearemos unasucesin de longitud = c por medio de recursin.

Tomemos < y supongamos que para todo < ya tenemos definido x.Al ser |

{Q+ x / < } | = card() 0 = max {card(),0} < |R| (pues

< y Q es numerable25) tenemos que P \{Q+ x / < } 6= . Definimos

x como cualquier elemento de P \{Q+ x / < }.

Sea X = {x / es par}. Sabemos que X es de Bernstein, con la propiedadde que si x, y X con x 6= y entonces x y / Q (en caso contrario, y Q+ x,lo cual es imposible por construccin). Lo anterior hace a X un conjunto derepresentantes parcial de la particin de Vitali. Utilizando Axioma de Eleccin(o bien, Lema de Zorn) podemos extender X a un conjunto de representantesX sobre R.

Sin prdida de generalidad, X {x / es impar} = , ya que si y X {x / es impar}, podemos sustituir a X por X {y + 1} \ {y} que siguesiendo un conjunto de representantes de la particin de Vitali. Por construccin,X es un conjunto de Vitali, y claramente X es un conjunto de Bernstein pues{x / es par} X y X {x / es impar} = .

l.q.q.d.

1.4. Bases de Hamel

Uno de los primeros enunciados que demostramos utilizando el Axioma deEleccin es que todo espacio vectorial tiene base. Hamel a principios de 1900 sedio cuenta de que, al ser Q un campo, R se puede considerar como un espaciovectorial sobre Q. Las bases de R sobre Q son llamadas bases de Hamel.

Como es imaginable, las bases de Hamel slo existen si suponemos partedel Axioma de Eleccin sobre R (que es equivalente a suponer que R es bienordenable), y generan de diversas formas conjuntos no medibles.

Definicin 1.4.1. H es una base de Hamel si y slo si H es una base del espaciovectorial R sobre el campo Q.

Como veremos ms adelante, las bases de Hamel no tienen porque ser nomedibles, pero siempre que existe una genera un conjunto del tipo Vitali (mismosque ya se demostr que no son medibles en el teorema 1.1.3). Sin embargo, enesta seccin tomaremos otro camino:

Lema 1.4.2 (Propiedad de Steinhaus). Si denota la medida de Lebesgue sobreR y A es un subconjunto medible respecto a entonces lm

h0(A(A+h)) = (A).

25Las propiedades principales de las operaciones cardinales se pueden leer en B.6.3.

1.4. BASES DE HAMEL 27

PruebaPara demostrar esta propiedad, la probaremos primero para intervalos, des-

pus para abiertos de medida finita, luego para compactos y finalmente paratodos los conjuntos medibles.

Primer paso. Sea (a, b) un intervalo y tomemos > 0 (lo probaremos slopara h > 0, para h < 0 la demostracin es anloga y para sucesiones combinadas,se tiene como resultado de las dos anteriores). Notemos que si < b a entonces(a, b) ((a, b) + ) = (a, b) (a+ , b+ ) = (a+ , b), de esta forma

lm0

((a, b) ((a, b) + )) = lm0

((b, a+ )) = lm0

b a = b a = ((a, b)).

Segundo paso. Tomemos U un abierto de medida finita. Al ser el conjunto{(a, b) / a, b R {,}} una base de la topologa usual de R, tenemos queU =

(a,b)U

(a, b). Dado que la unin de dos intervalos con interseccin no vaca

es un intervalo y R es c.c.c. 26(ya que al tener una base numerable, y cada abiertocontener un miembro de la base, se tiene que una coleccin de abiertos disjuntoscontiene cada uno al menos un elemento de la base distinto a todos los dems.

Por lo tanto esta coleccin es a lo ms numerable), tenemos que U =ni=1

(ai, bi)

intervalos disjuntos con n N {}.Iniciemos con n 0 existe una mnima m N tal que si n > m,bn an < , al ser la susecin decreciente sabemos que si k m entoncesbk ak . Es importante notar que si 0 entonces m . De esta forma:

26Un espacio topolgico X es c.c.c (o bien, tiene la condicin de la cadena contable) si yslo si toda coleccin de abiertos disjuntos es a lo ms numerable.


(U) lm0

(U (U + )) lm0

(

i=1

(ai, bi) ((ai, bi) + )) =

= lm0

i=1

max {bi ai , 0} = lm0

mi=1

(bi ai ).

Como la sucesin{

1/n2}nN tiende a cero, existe k0 tal que si n k0,

1/n2 < , o bien 1/n < n. Sea n = max {n N / 1/n > n}, como 1/n2 esdecreciente si k n entonces 1/k > k. En particular n si 0.Sea N = mn {m, n}, notemos que si 0 entonces N . Con estainformacin:

(U) lm0

(U (U + )) lm0

mi=1

(bi ai )

lm0

Ni=1

(bi ai ) = lm0

Ni=1

(bi ai) N

lm0

Ni=1

(biai)1/N = lm0

Ni=1

(biai) lm0

1/N =

i=1

(biai)+0 = (U).

Tercer paso. Sea F un compacto. Al ser acotado, existe n N tal queF (n, n) = X (y por tanto, F (F + ) X (X + )). Como R \ F esabierto, X \ F = X R \ F es abierto.

Notemos los siguientes resultados de operaciones de unin e interseccin deconjuntos:

(X \ F ) + = (X + ) \ (F + ),(X (X + )) \ (F + ) (X + ) \ (F + ),

(X \ F ) ((X \ F ) + ) = (X (X + )) \ (F (F + )),(X (X + )) \ (F (F + )) = ((X (X + )) \F ) ((X (X + )) \ (F + )),y

((X (X + )) \F ) ((X (X + )) \ (F + )) = (X (X + )) \ (F (F + )).

Teniendo estos resultados en mente y recordando que X es de medida finita27

tenemos que:

27Lase la propiedad de sustraccin de una medida en el teorema A.3.3.


(F ) (F (F + )) = (X (X + )) ((X (X + )) \ (F (F + ))) == (X (X + )) (((X (X + )) \ F ) ((X (X + )) \ (F + ))) == (X (X + )) [((X (X + )) \ F ) + ((X (X + )) \ (F + ))

(((X (X + )) \ F ) ((X (X + )) \ (F + )))] == [(X (X + )) ((X (X + )) \ F )]

[((X (X + )) \ (F + )) ((X (X + )) \ (F (F + )))] == (F ) ((X (X + )) \ (F + )) + ((X (X + )) \ (F (F + ))) =

= (F ) ((X (X + )) \ (F + )) + ((X \ F ) ((X \ F ) + )) (F ) ((X + ) \ (F + )) + ((X \ F ) ((X \ F ) + )) =

= (F ) ((X \ F ) + )) + ((X \ F ) ((X \ F ) + )) == (F ) [(X \ F ) ((X \ F ) ((X \ F ) + )] .

Como X \ F es un abierto de medida finita, si > 0 existe r tal quesi 0 < r entonces |((X \ F )) (X \ F ((X \ F ) + ))| < , pueslm0

(X \ F ((X \ F ) + )) = ((X \ F )). Por lo anterior, si 0 < r:

(F ) (F(F+)) = (F )[((X \ F )) (X \ F ((X \ F ) + ))] > (F ).Por tanto, lm

0(F (F + )) = (F ).

ltimo paso. Tomemos A un conjunto medible. Si A es tal que (A) < sea > 0. Por regularidad de la medida, existe F A compacto tal que(A) /2 < (F ) (A). Como los compactos cumplen la propiedad deseada,tenemos que para cada existe r tal que si 0 < < r entonces

(F ) /2 < (F (F + )) (F ),es decir, |(F ) (F (F + ))| < /2. De esta forma, si 0 < < r:

(A) (A(A+)) (F(F+)) > (F )/2 > (A)/2/2 = (A).Si (A) = probaremos que para cada M N existe M tal que si

0 < M entonces (A (A+ )) > M .Sea M N. Como lm

n(A [n, n]) = (A) = , existe n tal que(A [n, n]) > M + 1. Como A [n, n] es de medida finita, existe tal quesi 0 < entonces ((A [n, n]) ((A [n, n]) + )) > (A [n, n]) 1.De esta forma:

M < (A [n, n])1 < ((A [n, n]) ((A [n, n]) + )) (A (A+ )).l.q.q.d.


Teorema 1.4.3. Si existe una base de Hamel de R sobre Q, entonces existe unconjunto no medible.

PruebaSea H una base de Hamel, x0 H y V = H \ {x0}Q28. V es no medible.Supongamos que lo es. Notemos que R =

qQ

(V + qx0) (pues todo elemento

de R se puede escribir como una suma finita de elementos de la base multiplicadospor elementos de Q) como

= (R) = (qQ

(V + qx0)) qQ

(V + qx0) =qQ

(V ),

tenemos que (V ) > 0.Sin embargo, si p 6= q, (V + qx0) (V + px0) = . En caso contrario,

existira v (V + qx0) (V + px0) por lo que habran v1, v2 V tales quev1 + qx0 = v = v2 + px0 por lo que x0 = (1/p q)(v1 v2), lo cual es unacontradiccin pues x0 es linealmente independiente de los elementos de V . Conesto, (V (V + qx0)) = () = 0 para todo q Q. Utilizando la propiedad deSteinhaus:

0 < (V ) = lm0

(V (V + )) = lmq0,qQ

(V (V + qx0)) = lmq0,qQ

0 = 0.

Lo anterior es una contradiccin, por tanto, V es no medible.l.q.q.d.

Independientemente de que las bases de Hamel generen conjuntos no medibles,surge una pregunta importante: las bases de Hamel son, per se, medibles o no?Curiosamente, resulta que existen bases de Hamel que son medibles y otras queno. Por ejemplo:

Proposicin 1.4.4. Existe un conjunto de Bernstein que a su vez es base deHamel.

DemostracinComo es costumbre con los conjuntos de Bernstein, lo construiremos de forma

recursiva. Sea el mnimo ordinal biyectable con R y < . Supongamos que{P / < tal que es par} y {P / < tal que es impar} son enumera-ciones de la familia de los conjuntos perfectos de R y que para todo < , xya est definido.

28Si E es un espacio vectorial sobre K, y A E entonces

AK ={

ni=1

iyi / n N, i K, yi A}.


Como P tiene la misma cardinalidad de los nmeros reales (lema 1.3.3)y | {x / < }Q | |fin(card() Q)| = |card() Q| < |R|29 (pues < y Q es numerable), entonces P \ {x / < }Q no es vaco. Seax P \ {x / < }Q.

Tomemos H0 = {x / < es par}. Por construccin, H0 es un conjuntolinealmente independiente. Utilizando el Lema de Zorn, podemos extenderloa H una base de R sobre Q tal que H R \ {x / < es impar} (en casode que existiera y H {x / < es impar}, al ser y 6= 0 linealmenteindependiente a los elementos de H, H {2y} \ {y} es base de R y ya nointersecta a {x / < es impar} en y, lo anterior se puede hacer con cadaelemento de la interseccin).

Por construccin, H es una base de Hamel y, como

H0 H R \ {x / < es impar} ,H es de Bernstein. Por lo tanto H es un conjunto no medible.

l.q.q.d.Notemos que si H es una base de Hamel y x0 H, H (H + qx0) = para

todo q Q \ {0} (si existiera v H (H + qx0), entonces v = v1 + qx0 conv1 H, pero esto no puede suceder ya que v, v1, x0 H un conjunto linealmenteindependiente). De esta forma, si H fuera medible,

(H) = lmq0,qQ

(H (H + qx0)) = lmq0,qQ

() = 0.

Nuestro objetivo ser buscar un subconjunto de medida cero de los realesque genere a todo R.

Lema 1.4.5. Si C es el conjunto ternario de Cantor del intervalo [0, 1], entoncesC + C = [0, 2]30.

PruebaPara demostrar que C + C = [0, 2] mostraremos por medio de un argumento

geomtrico que f [CC] = [0, 2] donde f : R2 R se define como f(x, y) = x+y.En primera instancia, es claro que C + C = f [C C]. Adems, como

C C [0, 1] [0, 1], tenemos que f [C C] f [[0, 1] [0, 1]] = [0, 2]. Acontinuacin veremos la otra contencin.

Notemos que la funcin f es lo mismo que proyectar los puntos de R2 aR {0} siguiendo la direccin de la recta ` = {x, y R2 / x+ y = 0}. Estosignifica que si tenemos el punto x0, y0 y trazamos la nica recta paralela a` que pasa por ah (a saber, la recta cuya frmula se despeja de

x x0y y0 = 1)

29Para todo conjunto A, fin(A) =


entonces su ordenada al origen (el punto donde la recta corta a R {0}) esx0 + y0 (pues la frmula analtica de la recta es y = x+ (x0 + y0)).

El siguiente lema nos ser de utilidad: Si tenemos un cuadrado ABCD yproyectamos los puntos del cuadrado a la recta que pasa por DC de formaparalela a AC entonces la proyeccin del cuadrado ABCD y la de sus cuatrocuadrados terciarios (es decir, los cuadrados obtenidos de dividir cada lado entres y slo conservar los cuadrados de las esquinas 1.1) es la misma.

Figura 1.1: Sombreado los cuadrados ternarios de un cuadrado

Sabemos que la proyeccin de ABCD a DC es el segmento DF tal que C essu punto medio, ver 1.2 (esto lo sabemos pues la proyeccin descrita coincidecon la suma, y la imagen de un cuadrado bajo la suma es la suma de la base yde la altura).

Figura 1.2: Proyeccin del cuadrado ABCD a la lnea DC

Como los puntos del segmento CF son proyecciones de los puntos en elsegmento BC, basta ver que las proyecciones de los cuadrados ternarios cubrenlos lados DC y BC. Por simetra del cuadrado, slo es necesario analizar el caso


del lado DC. Como para crear los cuadrados ternarios dividimos el segmentoDC en tres, sean G y H los puntos de esta divisin (ver 1.3).

Figura 1.3: Puntos

Los puntos de los segmentos DG y HC estn cubiertos pues estos lados sonbases de los cuadrados ternarios. Slo basta ver que los puntos del segmento derecta GH son proyeccin de alguien, pero esto es sencillo pues la imagen bajola proyeccin del cuadrado con base DG es el segmento cuyo punto medio esG (mismo argumento que con la proyeccin de ABCD). Por construccin, lalongitud de DG es igual a la de GH, por lo que la proyeccin del cuadrado esjusto DH. Esto termina la demostracin del lema.

Para utilizar el lema anterior debemos recordar que el conjunto ternario deCantor se crea intersectando intervalos (segmentos de lneas) a los cuales se lesquita un tercio, por lo que C =

n

An con An+1 An. De esta forma sabemos

que C C = (n

An) (m

Am) n

(An An).

Fijmonos que la imagen de An An bajo f es [0, 2] para toda n . Lademostracin de este hecho la haremos por induccin. Para el caso base sabemosque A0 = [0, 1] y que f [A0 A0] = [0, 2]. Supongamos que f [An An] = [0, 2].Como An+1An+1 es el conjunto obtenido de la unin de los cuadrados ternariosde AnAn. Por el lema anterior, la diagonal es la misma. En este caso la diagonales paralela a ` tenemos que f [An+1 An+1] = f [An An] = [0, 2].

Con lo anterior tenemos que para todo punto x [0, 2] y todo n W xn = f

1[{x}] (AnAn) 6= . Adems, como AnAn es compacto (productode compactos) y f1[{x}] es cerrado (preimagen de un cerrado bajo una funcincontinua), entoncesW xn es compacto. Por lo que para toda x [0, 2],

n

W xn 6=


(pues es una interseccin de compactos anidados). Comon

W xn (n

(An An)) f1[{x}]

para todo x [0, 2], tenemos que [0, 2] = f [n

(An An)] f [C C].

Por lo tanto concluimos que C + C = f [C C] = [0, 2].l.q.q.d.

Lema 1.4.6. Existe A R tal que (A) = 0 y A+A = R.

DemostracinSi C denota el conjunto de Cantor, sea A =

nZ

nC. Por la proposicin 1.2.1,

(nC) = |n|(C) = 0, as, para toda n Z, nC es un conjunto medible demedida cero, por lo que A es medible y (A)

nZ

(nC) = 0, por lo que A

tambin es un conjunto nulo.Notemos que

nC + nC = {na+ nb / a, b C} = {n(a+ b) / a, b C} =

= {nd / d C + C} = n(C + C) = n[0, 2],por lo que si n es positiva, nC +nC = [0, 2n] y si es negativa, nC +nC = [2n, 0],por lo que

nZ

nC + nC =mN

[2m, 2m] = R. De esta forma,

R =nZ

nC + nC nZ

nC +nZ

nC = A+A.

l.q.q.d.

Corolario 1.4.7. Existe una base de Hamel medible de medida cero.

DemostracinTomemos el conjunto A de la demostracin anterior, como R = A+A AQ,

A genera a R, utilizando el Lema de Zorn existe H A tal que H es base delespacio31. Por definicin, H es una base de Hamel y como H A y (A) = 0,tenemos que H es medible y (H) = 0.

l.q.q.d.Independientemente de que el teorema anterior haya resuelto una de nuestras

preguntas iniciales, irremediablemente nos crea nuevas. Por ejemplo, sabemos que31En este caso el Lema de Zorn se utilizara sobre el conjunto {C / C A,C genera a R}

ordenado por .

1.5. PARTICIONES DE SIERPISKI 35

el dom() es cerrado bajo traslaciones (es decir, si E dom(), E + r dom()para todo r R), pero es cerrado bajo sumas de conjuntos?, es decir, siA,B dom(), A+B dom()?

El siguiente resultado nos muestra que no:

Teorema 1.4.8. Existen A y B conjuntos de medida cero tales que A+B esno medible.

DemostracinSea H = {ei / i I} una base de Hamel de medida cero. Definimos para

cada n , En ={iI

qiei / qi Q, | {i I / qi 6= 0} | n}.

Es importante notar que existen En de medida cero, por ejemplo, E0 = yE1 =

qQ

qH pues (E1) qQ

(qH) =qQ|q|(H) = 0.

De hecho, si cada En fuera medible, su medida debera ser cero. Si definimosen = e0 + e1 + ... + e2n con {e0, e1, ..., e2n} H, entonces para cada q QEn (En + enq) = , pues todo elemento de En se escribe con a lo ms n esdistintas, mientras que los de En+enq se escriben con al menos n+1 (pues, en elpeor de los casos, se cancelan n es). De esta forma, lm

q0(En (En + enq)) = 0

y la propiedad de Steinhaus (1.4.2) implicara que (En) = 0.

Sin embargo, como En En+1 y R =n

En (pues al ser H una base de

Hamel, todo elemento de R es una combinacin Q-lineal de elementos de H)tendramos que lm

n(En) = (R) =, por lo que existira m mnima talque (Em) > 0. Lo anterior es una contradiccin.

Por las observaciones anteriores tenemos que Em es no medible (de hecho, sin > m En no es medible), por la minimalidad de m, si l < m El tiene medidacero. Finalmente, al tener E0 y E1 medida cero, sabemos que m 2.

Tenemos dos casos:

1. Si m es par, tenemos que m = 2k, por lo que Em = E2k = Ek + Ek con(Ek) = 0 (pues k < m).

2. Sim es impar, tenemos quem = 2k+1, por lo que Em = E2k+1 = Ek+Ek+1con (Ek) = (Ek+1) = 0 (pues k < m).

l.q.q.d.

1.5. Particiones de Sierpiski

Al final de la seccin 1.3 mostramos que en caso de que se cumplan ciertashiptesis, la existencia de conjuntos no medibles puede depender simplemente de


la cardinalidad de un conjunto. Existen otras formas de relacionar la existenciade estos conjuntos con la cardinalidad, especficamente, jugando con el valorde 20 = |R|. En esta seccin mostraremos una forma en que la Hiptesis delContinuo (H.C.) junto con el A.E. implica que existen conjuntos no medibles.

Hiptesis del Aleph (H.A.) 20 = 1. Esto implica que R es bien orde-nable y que todo conjunto no numerable de nmeros reales es biyectable conR.32

Si suponemos la H.A. existe una biyeccin f entre el intervalo (0, 1) y elordinal 1, con esta biyeccin podemos crear la relacin R (0, 1) (0, 1) talque a R b si y slo si f(a) f(b).Teorema 1.5.1. R es un conjunto no medible de R2.

Para demostrar el teorema anterior enunciaremos (sin prueba) el til teoremade Fubini (recordemos que la medida de Lebesgue sobre R2 es la completacinde la medida ):Teorema 1.5.2 (Fubini). 33 Sean (X,S, ) y (Y, T, ) espacios de medida -finitos y sea la medida producto del espacio X Y .

Si h : X Y R es una funcin medible y no negativa, entoncesXY

hd( ) =Y

X

hdd =

X

Y

hdd.

Si h es una funcin integrable de X Y entonces para casi toda34 x Xcon respecto a y para casi toda y Y con respecto a , tenemos quehx(y

) = h(x, y) es integrable respecto a y hy(x) = h(x, y) respecto a

. Adems, si llamamos f(x) =h(x, y)d(y) y g(y) =

h(x, y)d(x),

tenemos que f es integrable respecto a y g respecto a , y:XY

hd( ) =X

fd =

Y

gd.

En particular, el teorema de Fubini implica que si encontramos una funcinentre dos espacios -finitos no negativa o integrable cuyas integrales iteradas nocoincidan, entonces esta funcin no puede ser medible.

Demostracin del teorema 1.5.132Notemos que H.A no es lo mismo que la Hiptesis del Continuo. La segunda, como veremos

en el captulo 2, no implica que los reales sean bien ordenables.33Para una demostracin de este teorema, revisar [7, pp.145-148]. Para entender la construc-

cin de una integral a partir de una medida y sus propiedades vase A.4.34Esta definicin se encuentra en A.3.4.

1.5. PARTICIONES DE SIERPISKI 37

Supongamos que R es medible.El conjunto R cumple que para todo y R,

Ry

= {x R / x, y R} = {x R / xRy}

es a lo ms numerable. Esto sucede pues Ryes el conjunto de todos los me-

nores que y con el orden R, es decir, su segmento inicial35. Dado que R, Res isomorfo a 1, y todos los segmentos iniciales en 1 son numerables,tenemos que Ry

es numerable36. Como consecuencia, para toda z (0, 1)

R(x1, z)dx1 =

Rz

1dx1= 0,37 pues Rz es numerable y los conjuntos numera-

bles son nulos.Por otra parte, para todo x R, Rx = {y R / x, y R} cumple que

({z / (x, z) Rx}) = 1 pues, al ser R un orden total,

{z / x, z Rx} = (0, 1) \{w / w, x Rx

},

por lo que difiere de (0, 1) en un conjunto numerable, en particular, si w (0, 1),tenemos que

R(w, x2)dx1 =

Rw

1dx2 = 1.

0 R(x) 1 para toda x R y sop(R) = {x / R(x) 6= 0} [0, 1] [0, 1],por lo que si R es medible, debera ser integrable. Sin embargo:

R(x1, x2)dx2dx1 =

10

Rx1

1dx2dx1 =

10

1dx1 = 1

y R(x1, x2)dx1dx2 =

10

Rx2

1dx1dx2 =

10

0dx2 = 0.

Por el teorema de Fubini y dado que R es -finito, lo anterior es una contra-diccin. Por lo tanto, R es un conjunto no medible.

l.q.q.d.Utilizando la H.A., este teorema puede generalizarse para R2n si tomamos el

conjunto que bien ordena a Rn (o bien, que bien ordena a (0, 1)n).Durante la demostracin del teorema notamos que |R (R {a})| = |Ra

{a} | 0 y que |(((0, 1)(0, 1))\R)({a}R)| = |({a}(0, 1))\({a}Ra)| 0para todo a (0, 1).

A un par de conjuntos que cumplan las propiedades descritas en el prrafoanterior, que sean ajenos y que llenen todo el plano (o bien, que su unin sea

35Vase B.7.1.36La definicin de 1 se puede leer en la seccin B.5.37Si X es un conjunto y A X, A(x) = 0 si x / A y A(x) = 1 si x A. Notemos que A

es una funcin medible si y slo si A es un conjunto medible.


(0, 1) (0, 1)) se les llama particin de Sierpiski. Durante la primera mitaddel siglo XX, Sierpiski buscaba una particin del plano que cumpliera laspropiedades de R y ((0, 1) (0, 1)) \R descritas en el prrafo anterior. En esosmismos aos Sierpiski construy el conjunto R.

No es difcil ver que una particin de Sierpiski est compuesta por dosconjuntos no medibles (se puede repetir la prueba sustituyendo R por algn ele-mento de la paticin). Es importante remarcar que la existencia de las particionesde Sierpiski es ms fuerte de lo que aparenta:

Teorema 1.5.3. Si existen A y B tales que A B = R2; A B = y

|A ({a} R)|, |B (R {a})| 0para todo a R entonces es vlida la H.A.

PruebaSupongamos el A.E. y tomemos X R tal que |X| = |1| = 1. Sea

Z = (XR)A. Por hiptesis tenemos que ({x}R)A es a lo ms numerablepara todo x R, por lo que |Z| = |

xX

({x} R) A| = 0 1 = 1. Sea

p2 : R2 R la proyeccin p2(x, y) = y. Veamos que p2[Z] = R.

Sea y R, notemos que, por hiptesis, |(R {y}) B| 0, mientrasque |(R {y}) (X R)| = |X {y} | = 1. De esta forma existe t R talque (t, y) (X R) \ B. Como A y B es una particin de R2 tenemos que(t, y) (X R) A = Z, por tanto p2((t, y)) = y y y p2[Z].

Con lo anterior tenemos que |R| 1. Sin embargo, con el A.E. se sabe que1 |R|. Las dos desigualdades anteriores implica la H.A.

l.q.q.d.En la demostracin anterior, si no utilizramos el A.E. podramos asegurar

que existe una funcin sobre de todo conjunto no numerable de nmeros realesen R, pero sin el A.E. esto no implica ni la Hiptesis del Continuo38, ni la H.A.

1.6. Dos funciones no medibles

Aunque ya hemos construido funciones caractersticas no medibles, hay otrosmtodos para crear directamente funciones de este tipo. En esta seccin construi-remos dos ejemplos: una funcin cuya grfica es gruesa en R2, y estudiaremosun poco las soluciones no continuas de la ecuacin de Cauchy, es decir, funcionesde R en R tales que f(x+ y) = f(x) + f(y). Ambas funciones son no medibles.

Definicin 1.6.1. A X es -grueso (o -masivo) para la medida sobre X siy slo si para todo conjunto medible B de medida positiva, tenemos A B 6= .

38Hablaremos un poco de la Hiptesis del Continuo en el captulo 2. A grandes rasgos escomo la H.A. pero sin A.E.

1.6. DOS FUNCIONES NO MEDIBLES 39

Notemos que si un conjunto A es -masivo y medible entonces (X \A) = 0(el complemento no puede tener medida positiva ya que, si la tuviera, A lointersectara). De esta forma, si construimos un conjunto grueso que no sea demedida completa (es decir, que la medida del complemento no sea cero) entonceseste conjunto no sera medible. Para lograr esto con la medida de Lebesgue deR2 necesitamos algunos resultados:

Proposicin 1.6.2. En Rn, si un conjunto A intersecta a todos los conjuntoscerrados de medida positiva, entonces A es n-grueso.39

PruebaSea A un conjunto que intersecta a todos los cerrados de medida positiva

y B un conjunto de medida positiva. Como n es una medida regular existeF B compacto tal que n(F ) > 0. Por hiptesis, A F 6= , lo cual implicaque A B 6= ; por lo tanto, A es n-gruesa40.

l.q.q.d.

Proposicin 1.6.3. Si A y B son de medida completa en X respecto a ,entonces A B tambin lo es.

PruebaBasta probar que el complemento de A B es de medida cero.

0 (X \ (A B)) = ((X \A) (X \B)) (X \A) + (X \B) = 0.

l.q.q.d.Como {(a, b) (c, d) / a, b, c, d Q} es una base de la topologa de R2, rea-

lizando un clculo anlogo al de la demostracin del lema 1.3.2 (donde demos-tramos que hay tantos conjuntos perfectos como nmeros reales), sabemos queexisten tantos cerrados de medida positiva como nmeros reales. De esta for-ma, si = mn { / card() = |R|}, podemos escribir a la familia de conjuntoscerrados de medida positiva como {F / < }.

Definamos recursivamente (x, y) para < tal que para toda , (x, y) F y tal que si 6= entonces x 6= x .

Tomemos < y supongamos que para todo < ya tenemos definido(x, y). F =

xR{x} F(x) donde F(x) = {w R / (x,w) F}. Sabemos

que ({x / (F(x)) > 0}) > 0 (si fuera de medida cero, entonces el teorema deFubini (1.5.2) implicara que 2(F) = 0), por lo que

{x / (F(x)) > 0} \ {x / < } 6= 39Denotaremos por n a la medida de Lebesgue de Rn. Para saber un poco sobre la

construccin de n vase A.5. Es importante remarcar que muchas de las propiedades ydemostraciones que se hacen con 1 se pueden extender (o son anlogas) con n.

40Es importante remarcar que esta prueba se puede realizar de manera anloga en cualquierespacio topolgico con una medida regular.


(pues card() < = card() = |R| y por el teorema 1.3.7, los conjuntos demedida positiva tienen tantos elementos como nmeros reales). Tomemos xtal que x {x / (F(x)) > 0} \ {x / < } y y F(x). El par ordenado(x , y) cumple las dos propiedades deseadas.

Notemos que el conjunto = {(x , y) / < } es una funcin parcial deR en R, sea f R2 una funcin con dominio R que contenga a (por ejemplo,f tal que f(x) = y y f(z) = 0 si z 6= x para todo < ).Teorema 1.6.4. f es un conjunto no medible de R2.

DemostracinPor la proposicin 1.6.2 tenemos que f es un conjunto 2-grueso. Pero notemos

que para todo x R\{0}, f(f+(0, x)) = . Como 2(f) = 2(f+(0, x)), por elenunciado contrapositivo de la proposicin 1.6.3 al ser 2(R2\f(f+(0, x))) =,f no es de medida completa.

Finalmente, al ser f un conjunto 2-grueso que no es de medida completa,tenemos que f es un conjunto no medible de R2 respecto a 2.

l.q.q.d.Adems, podemos decir un poco ms de f como funcin:

Lema 1.6.5. Si g : R R es una funcin medible, entonces 2(g) = 0.

PruebaAl ser las funciones caractersticas funciones no negativas, si utilizamos el

teorema de Fubini (1.5.2):g(x, y)d2 =

R

{g(x)}(y)dydx =

R

0dx = 0.

l.q.q.d.

Corolario 1.6.6. La funcin f cuya grfica es 2-masiva es una funcin nomedible.

PruebaSabemos que la grfica de f (que simplemente es tomar en cuenta a f como

subconjunto de R2) es no medible, por el lema anterior, f no puede ser medible.l.q.q.d.

Para este ejemplo utilizamos tcnicas parecidas a las utilizadas con losconjuntos de Bernstein, sin embargo, hay otra forma de notar que hay muchasfunciones no medibles de R en R.

Definicin 1.6.7. Si f : R R cumple f(x + y) = f(x) + f(y) se dice quecumple la ecuacin de Cauchy.

Notemos que si una funcin f cumple la ecuacin de Cauchy cumple lassiguientes dos propiedades:

1.6. DOS FUNCIONES NO MEDIBLES 41

1. Haciendo una pequea induccin podemos ver que para todo n N,f(nx) = nf(x).

2. Como f(x) = f(n

nx) = nf(

1

nx), entonces

1

nf(x) = f(

1

nx).

Lo anterior implica que para todo r Q tenemos que f(rx) = rf(x), por loque f es una funcin Q-lineal41.

Teorema 1.6.8. Existen 220 42 soluciones de la ecuacin de Cauchy de las

cuales 20 son continuas. De lo anterior se deduce que 220 de las soluciones no

son continuas.

DemostracinComo ya notamos, f cumple la ecuacin de Cauchy si y slo si f es Q-lineal,

por lo que para todo r Q, f(r) = f(r1) = rf(1), si esta funcin se quiereextender de forma continua necesariamente obtenemos que f(x) = xf(1) paratodo x R. De esta forma hay tantas soluciones de Cauchy continuas comoposibles valores de f(1), es decir, una por cada nmero real (20).

Si H es una base de Hamel, por el argumento de cardinalidad utilizado en laconstruccin de la base de Hamel no medible (teorema 1.4.4), |H| = |R| = 20 .

Si tomamos H, sabemos que para cada funcin g de H en R existe unafuncin f de R en R que extiende a g Q-linealmente y que todas las funcionesQ-lineales son extensin de alguna funcin de H en R. De esta forma existen|HR| = |R||H| = (20)20 = 2020 = 220 soluciones de la ecuacin de Cauchy.

l.q.q.d.Es importante remarcar que la existencia de soluciones no continuas de la

ecuacin de Cauchy depende de la existencia de una base de Hamel de R sobreQ. Estas soluciones no continuas cumplen dos propiedades interesantes:

Teorema 1.6.9. Las grficas de las soluciones no continuas de la ecuacin deCauchy son densas en R2.

PruebaSea f una de estas soluciones, (x, y) R2 y U una vecindad de (x, y).

Como f no es continua, no es de la forma f(z) = zf(1), por lo que existen

a, b R\{0} tales que f(a)a6= f(b)

b. Con esto (a, f(a)) y (b, f(b)) son linealmente

independientes43, por lo que son una base de R2 como espacio vectorial sobre R.41Si K es un campo una funcin f es K-lineal si y slo si el dominio de f es un espacio

vectorial sobre K, si f(x+ y) = f(x) + f(y) para cualesquiera dos elementos del dominio yf(k x) = k f(x) para todo k K y para todo x en el dominio de f .

42Si y son cardinales, = ||. Por otra parte, es importante remarcar que para todoconjunto A, |A2| = |(A)|.

43Si (w, z), (w, z) son linealmente dependientes, entonces existe R tal que (w, z) = (w, z) = (w, z). Si w 6= 0 6= w, entonces 6= 0 y z

w=

z

w=

z

w.


De esta forma existen r, s R tales que (x, y) = r(a, f(a)) + s(b, f(b)).Utilizando la densidad de Q existen p, q Q tales que p(a, f(a)) + q(b, f(b)) U .Notemos que, por la Q-linealidad de f ,

p(a, f(a)) + q(b, f(b)) = (pa+ qb, pf(a) + qf(b)) = (pa+ qb, f(pa+ qb)) f.Por lo tanto, f U 6= y f es un subconjunto denso de R2.

l.q.q.d.

Teorema 1.6.10. Las soluciones no continuas de la ecuacin de Cauchy sonfunciones no medibles.

Demostracin

Tomemos f una de estas soluciones y a, b R \ {0} tales que f(a)a6= f(b)

b.

Sea g : R R tal que g(x) = bf(x) xf(b)bf(a) af(b) . Es fcil ver que g(a) = 1, g(b) = 0

y que al ser f Q-lineal y no continua, entonces g es Q-lineal y no continua. Deigual forma, si f fuera una funcin medible, g tambin lo sera. Veremos que ges no medible.

Para cada n Z sea An = g1[[n, n+ 1)] y qn Q tal que |na qnb| < 1.Finalmente, sea B0 = A0 [1, 2] y para toda n Z,

Bn = B0 + (na qnb) [2, 3].Los conjuntos Bns cumplen propiedades que no les permiten ser medibles.

En primera instancia, estos conjuntos son ajenos dos a dos. Si Bn Bm 6= y x Bn Bm, x es de la forma y + (na qnb) = x = z + (ma qmb) cong(y), g(z) [0, 1), as g(x) = ng(a) qng(b) + g(y) = n + g(y) [n, n+ 1) yg(x) = mg(a) qmg(b) + g(z) = m+ g(z) [m,m+ 1). Como

g(x) [m,m+ 1) [n, n+ 1) ,tenemos que n = m.

Por otra parte, para cada x An [0, 1], tenemos queg(x (na qnb)) = g(x) n [0, 1)

con x (na qnb) [1, 2], de esta forma y = x (na qnb) A0 [1, 2] yx = y + (na qnb) Bn. As An [0, 1] Bn.

Finalmente, sabemos que R =nZ

[n, n+ 1), as:

R = g1[R] = g1[nZ

[n, n+ 1)] =nZ

g1[[n, n+ 1)] =nZ

An.

De esta forma, [0, 1] =nZ

An [0, 1] nZ

Bn [2, 3].

1.7. OTROS TEOREMAS 43

Si A0 fuera medible, todos los conjuntos Bns tambin lo seran y (B0) =(Bn) para toda n Z (pues cada Bn es B0 trasladado). Adems, al ser ajenosdos a dos, tendramos que:

1 = ([0, 1]) (nZ

Bn) =nZ

(Bn) =nZ

(B0) ([2, 3]) = 5.

Lo anterior es una contradiccin, ya que si (B0) = 0 entoncesnZ

(B0) = 0;

y si (B0) > 0 entoncesnZ

(B0) = . Como ninguno de los dos casos esposible, tenemos que B0 no es medibles y, por tanto, tampoco lo es A0. Comoconsecuencia, la funcin g no es medible.

l.q.q.d.

1.7. Otros teoremas

Los ejemplos anteriores son algunas de las formas de construir conjuntos yfunciones no medibles. Sin embargo, no hemos mostrado cuntos conjuntos nomedibles existen, o bien, con qu frecuencia se encuentran.

Aunque solemos trabajar con conjuntos medibles, bajo el Axioma de Eleccinexisten una gran cantidad de elementos que no se encuentran en el dominio dela medida de Lebesgue.

Teorema 1.7.1. Existen 220 conjuntos no medibles.

PruebaDaremos distintas demostraciones para este resultado:

1. En la construccin del conjunto de Bernstein (1.3), en cada etapa elegimosun elemento de entre |R| = 20 posibilidades, y tenemos 20 etapas. Portanto, existen (20)2

0= 22

0 conjuntos de Bernstein.

2. En la construccin del conjunto de Vitali, existen 20 clases de equivalencia(pues si hubiera < |R| entonces |R| = 0 = max {0, } < |R|, lo cuales una contradiccin). Cada clase de equivalencia tiene tantos elementoscomo Q (i.e., 0), por lo que existen 200 = 22

0 conjuntos de Vitali.

3. El conjunto de Cantor (C), es un conjunto perfecto de medida cero. Loanterior implica que |C| = |R|, y, al ser la medida de Lebesgue una medidacompleta, tenemos que todo elemento de (C) es un conjunto nulo. Portanto existe |(C)| = 220 conjuntos medibles de medida cero.Sea A cualquier conjunto no medible, notemos que para todo X (C),A X (y A \ X) no es medible. Si lo fuera, entonces A = (A X) \ X


(respectivamente, (A\X)X) tambin sera medible (pues el dominio de lamedida de Lebesgue es una -lgebra). De esta forma existen |(C)| = 220conjuntos no medibles parecidos (en el sentido de medida) a A.

l.q.q.d.Horst Herrlich menciona en [8] que aunque existen la misma cantidad de

conjuntos medibles que de no medibles (220 ) si se toma la relacin de equivalencia

sobre (R) tal que A est relacionado con B si y slo si ((A\B) (B \A)) = 0,entonces existen 20 clases de equivalencia de conjuntos medibles mientras queexisten 22

0 clases de conjuntos no medibles.La observacin anterior nos deja con la completa impresin de los conjuntos

no medibles estn ms cerca de nosotros de lo que creemos. El siguiente resultadolo afirma.

Teorema 1.7.2. Si A R es un conjunto medible tal que (A) > 0, entoncesexiste B A tal que B es un conjunto no medible.

DemostracinDaremos dos demostraciones de este resultado:

1. Tomemos V un conjunto de Vitali (o bien, un conjunto tipo Vitali [1.1.3] ouno de los conjuntos asociados a las bases de Hamel) y sea A un conjuntomedible de medida positiva. Como R =

qQ

(V + q) (en los otros casos

tmese el conjunto necesario para hacer las traslaciones), entonces existeq0 Q tal que (A (V + q0)) > 0. Repitiendo la misma argumentacinque en el teorema de Vitali (teorema 1.1.1), tenemos que A (V + q0) Aes un conjunto no medible.

2. Tomemos X un conjunto de Bernstein y A un conjunto medible de medidapositiva. Como A = (A X) (A \ X), tenemos que alguno de los dostiene medida exterior positiva. Sin prdida de generalidad, supongamosque (A X) > 0, notemos que A X no contiene a ningn conjuntoperfecto, pues X es de Bernstein. De esta forma, argumentando igual queen el teorema de la no medibilidad de los conjuntos de Bernstein (teorema1.3.5), A X A no es medible.

l.q.q.d.

Captulo 2

Ulam y Determinacin

Hay medidas sobre R que no tengan conjuntos no medibles? Por el teoremade la unicidad de las medidas de Haar (que se puede leer en [7]) la medida deLebesgue es la nica regular e invariante bajo traslacin sobre R, pero, hastaahora, no tenemos ninguna razn para creer que esta bsqueda es imposible.Este captulo mostrar las dificultades que conlleva responder esta preguntautilizando el Axioma de Eleccin e introducir otra axiomatizacin con la cualla medida de Lebesgue cambia radicalmente.

2.1. Un poco sobre cardinales inaccesibles

Uno de los teoremas ms importantes de este captulo ser el teorema deUlam-Inaccesible. Todo el teorema se centra en demostrar que cierto cardinales inaccesible. Para entender este resultado es necesario saber qu son estoscardinales y cmo es que surgen. Este es el objetivo de esta seccin.

Una de las ideas ms aceptadas de cmo es que inicia la bsqueda de losahora llamados cardinales inaccesibles es la intuicin de copiar las propiedadesque tiene = 0 = ||. Si observamos los conjuntos finitos podemos notar queninguna operacin que stos efecten, de forma finita, alcanza a , el primercardinal infinito.

La idea de que no lo alcancen se puede formalizar un poco. En primerainstancia, 0 es un cardinal (y un ordinal) lmite, es decir, es un cardinal quees cerrado bajo sucesores.1 Para todo cardinal finito (digamos, m) el cardinalimediado sucedor es m+ 1 que tambin es finito, por lo que si m < 0 entoncesm+ = m+ 1 tambin es menor que 0.

En segunda instancia, es un cardinal fuerte, esto quiere decir que sim,n < 0 entonces mn = |nm| < 0, en particular, si a es un conjunto talque |a| < 0, entonces |(a)| = 2|a| < 0. Para los finitos, es tan grande

1Vanse B.3.7 y B.5.12.

45

46 CAPTULO 2. ULAM Y DETERMINACIN

que ni siquiera la operacin de potencia o de exponenciacin es suficiente paraalcanzarlo.2

Para terminar esta pequea lista de propiedades de tenemos que ste esregular, es decir que cof(0) = 0 donde, si y expresan cardinales,

cof() = mn{ / f : , sup f [] =

f [] =

}.

El concepto de cofinalidad tiene muchas interpretaciones equivalentes, perouna manera de entenderlo es que es regular (cof() = ) si un conjuntode cardinalidad no es la unin de de menos de conjuntos cada uno concardinalidad estrictamente menor que .3 En el caso de 0 su regularidad quieredecir que un conjunto infinito (numerable) no es la unin finita de conjuntosfinitos.

Cuando uno estudia cardinalidades, comienza a buscar cardinales que cumplanlas mismas propiedades que y no es difcil encontrarlos por separado. Porejemplo, los puntos fijos de la funcional i4 son cardinales fuertes, pero la mayorason cardinales singulares; el cardinal es un cardinal lmite, pero =

nn,

por lo que cof() = 0, en general para todo LIM ,cof() = cof() ||,

por lo que la mayora de los cardinales lmite son singulares. Finalmente, todocardinal sucesor (1,2,27,+) es regular5, pero ninguno es lmite ni fuerte.

Como 0 es el nico cardinal lmite y regular conocido, o bien, el nico fuertey regular conocido, surgen las siguientes definiciones:

Definicin 2.1.1. 1. es un cardinal dbilmente inaccesible si y slo si > 0, es regular y es lmite.

2. es un cardinal inaccesible si y slo si > 0, es regular y es fuerte.6

En primera instancia, es importante remarcar que si es inaccesible entonceses dbilmente inaccesible. Esto sucede por el siguiente lema:

2En general, es fuerte si y slo si para todo , < , < .3Si un cardinal no es regular (es decir, si es la unin de menos de conjuntos cada uno

con cardinalidad menor que ) entonces se dice que es singular.4La funcional i se define como1. i0 = 0 = 2. i+ = 2

i

3. Si LIM , i =

2.2. EL TEOREMA DE ULAM 47

Lema 2.1.2. Todo cardinal fuerte es lmite.

PruebaSupongamos que es un cardinal fuerte, por tanto 0 > 2 y para todo

< cardinal tenemos que 2 < . No es difcil probar que para todo cardinal < + 27. Lo anterior implica que + < para todo cardinal < . Por lotanto, es un cardinal lmite.

l.q.q.d.Gracias al lema anterior podemos justificar los nombres de las definiciones

anteriores. Hasta ahora la bsqueda de los cardinales inaccesibles parece com-plicada pero no imposible. Sin embargo, el siguiente teorema aplasta nuestrasesperanzas:

Teorema 2.1.3. No se puede demostrar desde ZFC8 que existe un cardinalinaccesible.

La demostracin de este teorema se puede encontrar en [5, pp. 107-110].Aunque en primera instancia el resultado no es impresionante, pues conocemosotros enunciados que no se pueden demostrar desde ZFC, resulta que se demostrque el teorema No se puede demostrar desde ZFC que no existe un cardinalinaccesible no se puede demostrar. Por lo que la situacin lgica de la existenciade los cardinales inaccesibles es complicada. Sabemos que no podemos demostrarque son consistentes con ZFC y la inconsistencia slo aparecer en caso de quese encuentre una contradiccin en la teora. Por esta situacin, en el artculo deKanamori, Solovay y Reindhart (ver [10]) uno de sus subttulos lleva el nombreOn the verge of inconsistency, Al borde de la Inconsistencia.9

2.2. El teorema de Ulam

En el captulo pasado construimos diversos conjuntos que comprobaban(utilizando de diversas maneras el Axioma de Eleccin) que el dominio de lamedida de Lebesgue no es toda la potencia de R. Sin embargo, podemos hacernosuna pregunta distinta: hay alguna medida sobre R cuyo dominio sea toda lapotencia de los reales?

De la forma en que est formulada la pregunta, la respuesta es trivialmenteque s. Existen las funciones , a : (R) R {,} = R,10 tales que

7Esto es consecuencia del teorema de Cantor que afirma que para todo conjunto a, a entrainyectivamente en (a) pero no existe ninguna funcin biyectiva entre a y su potencia. Con elAxioma de Eleccin lo anterior implica que |a| < |(a)| = 2|a|.

8ZFC es la teora axiomtica de Zermelo Fraenkel (ZF) junto con el Axioma de Eleccin yel Axioma de Buena Fundacin. Para saber ms sobre los axiomas de ZFC leer [3] y el apndiceB, en especial la seccin B.2.

9Otra forma de escribir los teoremas anteriores sera: ZFC 6` Inaccesible y No sepuede demostrar que CON(ZFC) CON(ZFC + Inaccesible).

10Para entender las operaciones en R vase A.3.1.


(A) = 0 para todo A R y a(A) = 1 si a A y a(A) = 0 en otro caso. Paratoda a R las funciones a, son medidas que estn definidas sobre toda lapotencia de los reales. Sin embargo, ninguna de las dos tiene chiste.

En el caso de , no es interesante pues es una funcin constante; y en el casode a tenemos que ({a}) = 1. Aunque no lo hemos remarcado, la bsquedade una medida sobre R es la bsqueda de una funcin que se comporte comola longitud o, en su defecto, que guarde alguna de sus propiedades como, porejemplo, que cada punto (es decir, los conjuntos de la forma {b}) tenga medidacero. La construccin de la medida de Lebesgue sigue el objetivo de extenderla idea de longitud a otros conjuntos que no sean los intervalos; idealmente, alpreguntarnos por otras medidas en R nos preguntamos por extensiones de lamedida de Lebesgue, es decir, funciones : (R) R que sean medidas y que|dom() = (donde es la medida de Lebesgue). Pero si en estos momentosno sabemos si hay medidas con chiste cuyo dominio sea toda la potencia delos reales, buscar extensiones de la medida de Lebesgue se encuentra fuera denuestras posibilidades, por lo que podemos conformarnos buscando medidas talesque la medida de los puntos sea cero.

Definicin 2.2.1. Si es una medida sobre X y para todo a X cumple que({a}) = 0 entonces diremos que es una medida difusa.

Tomando en cuenta las consideraciones anteriores podemos cambiar nuestrapregunta: existe una medida : (R) R tal que ({a}) = 0 para todo a Ry que exista A R (en algunos casos se pide que A = [0, 1]) con 0 < (A)?Teorema 2.2.2 (Ulam-Inaccesible). Si existe medida tal que dom() = (R), no es la constante cero y ({a}) = 0 para toda a R entonces existe uncardinal dbilmente inaccesible tal que entra inyectivamente en R.11

El teorema anterior no es una respuesta directa a nuestra pregunta, pero nosdescribe elementos necesarios para que nuestra respuesta sea afirmativa. Parapoderlo demostrar usaremos la siguiente definicin y el siguiente lema:

Definicin 2.2.3. Una medida es aditiva si y slo si para todo {Ai}iI talque (Ai) = 0 para toda i y |I| < se tiene (

iI

Ai) = 0.

Es importante remarcar dos propiedades. Primero notemos que toda medidaes 1-aditiva; segundo, si una medida es -aditiva, entonces es -aditiva paratodo < . Adems, en el caso de las medidas completas y de que la medidasea -aditiva pero no + aditiva, entonces tenemos que add(N()) = .12

Curiosamente, la definicin de add depende del Axioma de Eleccin, mientrasque la definicin de que una medida sea -aditiva no. Ms adelante veremos unejemplo de cmo sin Axioma de Eleccin el cardinal non (uno de los invariantescardinales utilizados en el captulo 1) no est bien definido.

11Notemos que esta medida no tiene puede ser la de Lebesgue, necesariamente es otramedida sobre R.

12Vase 1.3.9 para recordar la definicin de add y non.


Lema 2.2.4. Si (X,S, ) es un espacio de medida tal que (X) 1/n}, como todo Ai es de medida positiva {Ai}iI =n

Bn.

Si todo Bn fuera finito, entoncesn

Bn sera a los ms numerable lo cual

no es posible pues I es no numerable. Sea n0 tal que Bn0 es infinito y tomemos{Ajm}m Bn0 . Como {Ajm}m son una cantidad numerable de conjuntosajenos (casi ajenos) dos a dos tenemos que:

(m

Ajm) =m

(Ajm) m

1/n0 =

.Finalmente, como

m

Ajm X, (X) =.

l.q.q.d.Demostracin del Teorema 2.2.2Supongamos que existe tal que dom() = (R), es no cero y es difusa.

Consideremos la clase A de los cardinales tal que es - aditiva. A es no vacapues 1 A. Adems, A es un conjunto ya que A (20)+ pues |R| = 20 ,R =

xR{x}, ({x}) = 0 para todo x R pero, por hiptesis, (R) > 0;

por lo que no es (20)+-aditiva (y tampoco -aditiva para (20)+). Sea0 =

A = supA14. Por construccin 0 20 .

0 A. Si 0 = + y 0 / A, entonces es cota superior de A lo cual esuna contradiccin pues < 0 = supA. Si 0 es lmite, tomemos < 0 y{A}


que 0 > 0. Adems, al ser 0-aditiva pero no +0 -aditiva, existe{B}


Por otra parte, 0 \


= (0 \

2.3. OTRAS RELACIONES DE MEDIDA Y CARDINALES 53

2.3. Otras relaciones de medida y cardinales

Leyendo cuidadosamente el Teorema de Ulam podemos notar que contiene lademostracin del siguiente corolario:

Definicin 2.3.1. es un cardinal medible real-valuado (real-valued measurablecardinal) si y slo si tiene una medida -aditiva definida en toda su potenciaque sea no cero y difusa.

Corolario 2.3.2. Si existe un cardinal medible real-valuado, entonces esdbilmente inaccesible.

La bsqueda de la existencia de cardinales medibles real-valuados se puedesimplificar un poco con el siguiente resultado cuya prueba es un corolario de lademostracin del teorema de Ulam (teorema 2.2.2):

Corolario 2.3.3. Si es el primer cardinal que tiene una medida definida entoda su potencia no cero y difusa entonces es medible real-valuado.

DemostracinPara demostrar que es medible real-valuado slo queda ver que la medida

encontrada sobre es -aditiva. Supongamos que no lo es y sea A el conjuntode los cardinales tal que es - aditiva. Notemos que A pues no es-aditiva.

Sea 0 =A. Por la demostracin de 2.2.2, sabemos que 0 A, por lo

que 0 6= . De esta forma 0 < . Sabemos que no es +0 -aditiva, por lo queexiste una 0-sucesin de conjuntos de , digamos {B}0 , tal que para toda < 0 (B) = 0 y (

0.

Como probamos en el teorema de Ulam, podemos suponer que estos conjuntosson ajenos dos a dos. Nombremos B =


Sin ser muy rebuscados, en probabilidad surge la siguiente pregunta: qusucede si alargamos el tiempo indefinidamente?

Ejemplifiquemos a lo que me refiero. Imaginemos a un mono frente a unamquina de escribir ideal (que no se le acabe la tinta, no se descomponga y nose trabe), y dmosle una tira de papel infinita para que el mono tecle en ellatodo lo que quiera. Una pregunta sencilla es qu probabilidad tiene de escribiralgo coherente? Digamos la frase hola mundo.

Si slo lo dejamos teclear diez veces, tiene una probabilidad de 1 en (cdt)10

(donde cdt significa cantidad de teclas), pero si lo dejamos teclear 11 veces tendra2 en (cdt)11 (pues sera vlido que escriba hola mundo u hola mundo ),dejndolo teclear 12 veces su probabilidad aumentara (sera algo como 1 + 2(cdt)en (cdt)12). Siguiendo esta secuencias de ideas cul es la probabilidad de queescriba hola mundo en una cantidad infinita de tecleos?

Haciendo las cuentas, resulta que tiene probabilidad 1 de que suceda. Dehecho, el mono tiene probabilidad 1 de escribir todas las obras de Cortzar sinfaltas de ortografa, y tiene posibilidad 1 de escribir todos los libros escritos porla humanidad hasta el 14 de agosto de 2014.

Lo anterior es un caso particular de la Ley 0-1 de Kolmogorov, en la cual sedice que la probabilidad sobre las colas de eventos independientes que se repiteninfinitamente es cero o uno.

Ya mostramos una forma de definir una medida de probabilidad sobre loscardinales medibles real-valuados (es la medida de la demostracin del teoremade Ulam), de esta forma podemos preguntarnos: si hacemos una cantidad infinitade eventos sobre estos cardinales habr algn lugar donde se cumpla la ley 0-1de Kolmogorov?

Definicin 2.3.4. Un cardinal es medible si y slo si existe una medida aditiva, no trivial y difusa tal que sus nicos valores sean 0 o 1.18

En un primer momento podramos pensar que los cardinales medibles y losmedibles real-valuados tienen las mismas propiedades. Sin embargo, la restriccinde los valores de la medida es ms influyente de lo que parece:

Lema 2.3.5. Sea una medida -aditiva que slo tome los valores 0, 1. Entoncessi {X / < } con < son conjuntos -medibles de medida uno, tenemosque


Como cada X es -medible de medida 1, tenemos que Xc es -medible demedida cero. Como es -aditiva y < tenemos que


Definicin 2.3.8. Sea una medida sobre el conjunto S. A S es un tomosi y slo si A es -medible, (A) > 0 y para todo B A -medible se tiene que(B) = 0 o (B) = (A).

Lema 2.3.9. Si existe X un conjunto con una medida no cero, finita y sintomos entonces X tiene una particin en 20 partes cada una -medible yde medida cero.

DemostracinSea la medida sobre X descrita en las hiptesis del teorema. Al no tener

tomos, para todo conjunto de medida positiva A X existen B,C Aconjuntos -medibles tales que B C = , (B), (C) > 0 y B C = A.

A continuacin crearemos un rbol T definiendo sus niveles20. ste estarordenado por la contencin inversa () y sus nodos sern subconjuntos -mediblesde medida positiva de X.

En el nivel cero el nico elemento ser X.Supongamos que ya tenemos definido el nivel . Si Y es un elemento del nivel

slo tendr dos sucesores inmediatos Z1 y Z2 tales que sean una particin de Yen elementos -medibles de medida positiva, es decir, Z1, Z2 Y , Z1 Z2 = Y ,Z1 Z2 = y (Z1), (Z2) > 0. Ntese el fuerte uso de eleccin al momento deelegir sucesores para todo elemento del rbol.

Finalmente, si es un ordinal lmite y tenemos todos los niveles anterioresdefinidos, Y ser un elemento del nivel si y slo si Y es -medibles, tienemedida positiva y si existe {Y}


elemento Z son una particin de ste por lo que si x Z slo puede estar enuno de sus dos sucesores.

La informacin anterior nos dice que si tomamos todas las ramas de T cuyainterseccin sea no vaca, entonces el conjunto de las intersecciones de las ramases una particin de X en elementos no -medibles o -medibles de medida cero.Mostraremos que la particin descrita slo tiene conjuntos -medibles de medidacero y contaremos cuntas ramas puede tener nuestro rbol para terminar laprueba.

Notemos que cada nivel de T est compuesto por conjuntos ajenos entre sde medida positiva, pero, (X)

REPERCUSIONES DE DISTINTAS AXIOMATIZACIONES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS EN EL ANÁLISIS MATEMÁTICO...

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