Elaborado por:

De Gracia, Yamileth

Definimos sistema de numeración como el conjunto de símbolosy reglas que se utilizan para representar cantidades o datosnuméricos.

Tienen como característica una base a la que referencian y quedetermina el diferente número de símbolos que lo componen.Nosotros utilizamos el sistema de numeración en base10, compuesto por diez símbolos diferentes (del 0 al 9).

Los sistemas de numeración que utilizamos son sistemasposicionales, es decir, el valor relativo que cada símbolorepresenta quedará determinado por su valor absoluto y laposición que ocupe dicho símbolo en un conjunto.

Todos los sistemas posicionales están basados en el TeoremaFundamental de la Numeración (TFN), que sirve para relacionaruna cantidad expresada en cualquier sistema de numeracióncon la misma cantidad expresada en el sistema decimal.

Viene dado por la fórmula siguiente: donde X es el valorabsoluto del dígito en cuestión, i es la posición que ocupa eldígito con respecto al punto decimal y B es la base.

i

iBX *

Un sistema de numeración posicional en base b usa un alfabeto de b símbolos distintos (ocifras), y cada posición tiene un peso especifico. Así, cada número se representará como unasecuencia de cifras, contribuyendo cada una de ellas con un valor que dependerá de:

La cifra en sí.La posición de la cifra dentro de la secuencia

.......432101234

nnnnnnnnnN

(Número expresado como secuencia de cifras donde cada pertenece al conjunto de símbolos)

...*********...4

4

3

3

2´

2

1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4bnbnbnbnbnbnbnbnbnN

(Valor numérico del número N interpretado en base b)

in

ELEMPLO: supongamos que la base b es 10. El conjunto de símbolos será de 0 a9. El número 345.2 puede representarse como:

101210*210*510*410*32.05403002.345

Utiliza la base b=2 y, por tanto, el alfabeto de símbolos será { 0,1 }.

REPRESENTACIÓN POSICIONAL

Los valores de posición de la parte entera de un número binario son las potencias positivas de

dos: de derecha a izquierda

Los valores de posición de la parte fraccionaria de un número binario son las potencias negativas

de dos: de izquierda a derecha

EJEMPLO: el número binario 1101001

0123 452 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2-5-4-3 -21

1x2 0x2 0x2 1x2 0x2 1x2 2x111010010123456

=1x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1= 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1= 105

El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.

Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos

consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.

0

1

2

3

4

5

6

7

000

001

010

011

100

101

110

111

El sistema de numeración hexadecimal es un sistema de base 16.

En un sistema hexadecimal debe haber por tanto 16 dígitos distintos.

Como sólo disponemos de diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) necesitamos ampliar esa cantidad y

se hace mediante letras, con la siguiente relación en sistema decimal:

A B C D E F

10 11 12 13 14 15

EJEMPLO: el número hexadecimal 3BD2 convertido a su equivalente decimal:

01232x16 13x16 11x16 x163

2x1 13x16 11x256 x40963

2 208 2816 12288

15314

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones

sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido

obtenidos (parte entera del número).

Ejemplo: para convertir al sistema binario el número 6710 haremos una serie de divisiones que

arrojarán los restos siguientes:67 : 2= 33 Resto 1

33 : 2= 16 Resto 1

16 : 2= 8 Resto 0

8 : 2= 4 Resto 0

4 : 2= 2 Resto 0

2 : 2= 1 Resto 0

1 : 2=0 Resto 1

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria 1000011

EJERCICIO. Expresa en código binario el número 191

191 : 2= 95 Resto 195 : 2= 47 Resto 147 : 2= 23 Resto 123 : 2= 11 Resto 1

11 : 2= 5 Resto 15 : 2= 2 Resto 12 : 2=1 Resto 01 : 2=0 Resto 1

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria 10111111

La forma de pasar un número decimal a hexadecimal es dividiendo entre la base del sistema, en este

caso 16. Veamos un ejemplo.

2654 : 16= 165 Resto 14 E165 : 16= 10 Resto 5

10 : 16= 0 Resto 10 A

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra hexadecimal A5E

EJERCICIO: Convierte al sistema hexadecimal el siguiente número 409510

14095 : 16= 880 Resto 15 F880 : 16= 55 Resto 0

55 : 16= 3 Resto 73: 16 =0 Resto 3

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra hexadecimal 370F

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica queya hemos utilizado en la conversión a binario y hexadecimal, mediantedivisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso.

EJEMPLO: Convierte el número 122 a base 8.

122 : 8= 15 Resto 215 : 8= 1 Resto 7

1 : 8= 0 Resto 1

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra octal 172

EJERCICIO. Convertir 1409510 a su equivalente en octal

14095 : 8= 1761 Resto 71761 : 8= 220 Resto 1

220 : 8= 27 Resto 427 : 8= 3 Resto 3

3 : 8= 0 Resto 3

Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra octal 33417

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún mássencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cadadígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en elbit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamosavanzando posiciones hacia la izquierda.

Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lodesarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

= 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20

= 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1= 83

EJERCICIO. Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:110111, 111000.

=110111= 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20

= 1*32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1= 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1= 55

=111000= 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20

= 1*32 + 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 0*1= 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 0= 56

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo“ o"contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios.

Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastarácon tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por suequivalente hexadecimal:

10102 = A16

01112 = 716

00112 = 316

y, por tanto: 1010011100112 = A7316

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:1011102 = 001011102 = 2E16

EJERCICIO. Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:10101001010111010102, 1110000111100002

1010100101011101010 Debemos agregar un 0 para completarel último grupo de bits 01010100101011101010

1010= 1*23 + 0* 22 + 1*21 + 0*20 = 10 A1110= 1*23 + 1* 22 + 1*21 + 0*20 = 14 E1010= 1*23 + 0* 22 + 1*21 + 0*20 = 10 A0100= 0*23 + 1* 22 + 0*21 + 0*20 = 40101= 0*23 + 1* 22 + 0*21 + 1*20 = 5

10101001010111010102 54AEA16