REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE SÓLIDOS QUE …repository.ut.edu.co/bitstream/001/1561/1/Trabajo de...

REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE SÓLIDOS QUE TIENEN LOS

ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

JAIME BUENAVENTURA GAMBOA

Trabajo de grado como requisito parcial para optar el Titulo de

Magister en Educación

Directora:

LIGIA INÉS GARCÍA

Magister en educación y desarrollo humano

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

IBAGUÉ – TOLIMA

2015

5

DEDICATORIA

A Dios, porque me permite cada mañana levantarme y abrir los ojos para darme cuenta

lo bendecido que he sido, pues me ha permitido la realización de muchos sueños, en

diferentes ámbitos, incluido el intelectual.

A mis padres, para quienes procuro ser emulación, invitándolos siempre a la fiesta que

se debe gozar en el encuentro con el conocimiento, siendo la educación el medio que

me ha regalado el universo para mejorar nuestra calidad de vida y realizarme en mi

vocación de docente, la que amo, disfruto y vivo con alegría.

6

AGRADECIMIENTOS

LA GRATITUD ES EL SIGNO DE LAS ALMAS NOBLES.

-ESOPO

Manifiesto mi más sincero agradecimiento a:

A Dios, por poner Ángeles en mi camino, metidos en los huesos de seres humanos,

para facilitarme el trasegar por los caminos del conocimiento.

A mi padre que desde el cielo está brindándome, el apoyo, la seguridad y la confianza

que siempre me ofreció en vida y quien estará contento por todos mis logros que a la

vez son suyos.

A mi madre quien nunca desfallece en brindarme todo su apoyo, su energía y dirigir mi

camino por las sendas del señor.

A mis compañeros y amigos quienes siempre me brindaron, su libros, su tiempo y su

apoyo.

A mi asesora de maestría por brindarme la paciencia que la caracteriza y su apoyo en

su saber.

A los alumnos que participaron en la experiencia y que pusieron a disposición parte de

su tiempo, de su conocimiento y voluntad.

Y todas aquellas personas que de una u otra manera contribuyeron para que este

proyecto finalizará.

7

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN 15

1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 17

1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 17

1.2 PREGUNTAS ORIENTADORAS 18

1.2.1 Pregunta general. 18

1.2.2 Preguntas Específicas 18

2.JUSTIFICACIÓN 19

3.OBJETIVOS 20

3.1OBJETIVO GENERAL 20

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 20

4 .MARCO DE REFERENCIA 21

4.1ESTADO DEL ARTE 21

4.2 MARCO TEÓRICO 29

4.2.1 Sobre el aprendizaje de conceptos 30

4.2.2 Esquema del desarrollo conceptual del individuo l. S. Vygotsky

Adaptación 31

4.2.3 El papel del lenguaje (semiótico) en el aprendizaje y en la formulación

de los conceptos. 32

4.2.4Significado de los objetos matemáticos 34

4.2.5 Sistemas semióticos según Raymond Duval 36

4.2.6 Clases de transformaciones semióticas 37

4.2.7 Esquema interpretativo de las clases de sistemas semióticos 38

4.2.8 Congruencia y no congruencia entre registros de representación. 41

4.2.9 Algunas representaciones del concepto matemático 44

8

4.2.9.1 Representaciones semióticas. 44

4.2.9.2 Expresión verbal 44

4.2.9.3 Objeto matemático 44

4.2.9.4 Semiósis Interpretativa 44

4.2.9.5 Semiósis Proyectiva 44

5 METODOLOGÍA 45

5.1 TIPO DE ESTUDIO 45

5.2 PARTICIPANTES DEL ESTUDIO 45

5.3 PLAN PARA LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN 46

5.3.1 Taller número uno – actividad de representación cotidiana 46

5.3.2 Taller número dos - actividad de representación 2D VS 3D. 47

5.3.3 Taller número tres - actividad de exploración multiplicidad de

construcciones 47

5.3.4 Grabaciones de voz. 47

5.4 PROCEDIMIENTO 47

6 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN 48

6.1 PROCESO DE FORMACIÓN 48

6.1.1 Representaciones graficas de formación 51

6.1.2 Representaciones geométricas de formación 55

6.1.3 Representaciones verbales orales de formación 58

6.2 PROCESO DE TRATAMIENTO 60

6.2.1 Representaciones verbales orales de tratamiento 63

6.2.2 Representación geométrica de tratamiento 64

6.3PROCESO DE CONVERSIÓN 68

6.3.1 Representaciones verbales escritas de conversión 69

6.3.2 Representaciones verbales orales de conversión 73

6.3.3 Representación gráficade conversión 74

6.3.4 Representación geométrica de conversión 75

6.3.5 Representación de objeto matemáticos concretos 76

9

7. CONCLUSIONES 78

8. RECOMENDACIONES 80

REFERENCIAS 81

ANEXOS 84

10

LISTA DE TABLAS

Tabla 1.Grabación uno de formación 59

Tabla 2.Grabación dos de formación 59

Tabla 3.Grabación tres de formación 59

Tabla 4.Grabación cuatro de formación 60

Tabla 5.Representación verbal escrito correspondencia semántica

de asociación de tratamiento 60

Tabla 6.Uso que ofrece el objeto de tratamiento 61

Tabla 7.La organización de las palabras de tratamiento 61

Tabla 8.Esquemas basados en líneas sin operar de tratamiento 62

Tabla 9.Coherencia de tratamiento 62

Tabla 10.Grabación uno de tratamiento 63

Tabla 11Grabación dos de tratamiento 64

Tabla 12.Grabación tres de tratamiento 64

Tabla 13.Unidades significantes 68

Tabla 14.Grabación 1. De conversión 73

Tabla 15.Proyección 74

Tabla 16.Proyección 2 75

Tabla 17.Construcción de cubos 76

11

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.Desarrollo conceptual del individuo l. S. Vygotsky 31

Figura 2.Clases de sistemas semióticos 38

Figura 3.Los dos procesos cognitivos fundamentales del pensamiento 38

Figura 4.Los dos tipos de tratamiento, visual y discursivo, en relación

la actividad geométrica y el problema de su articulación. 40

Figura 5.Correspondencia semántica 41

Figura 6.Univocidad semántica terminal 42

Figura 7.Conservación del orden de organización de los atributos significantes 42

Figura 8.Mapa contextual del proyecto 46

Figura 9.Representaciones verbales escritas. 48

Figura 10.Registro verbal a fotográfico 49

Figura 11.Uso de características de forma 49

Figura 12.Palabras asociadas 50

Figura 13. Párrafo descriptivo 50

Figura 14.Figuras geométricas planas 51

Figura 15.Trazos rectos y curvos 51

Figura 16.Figuras planas (triángulos, rectángulos trapecios 52

Figura 17.Líneas rectas en la construcción de al parecer un acuario 52

Figura 18.Proyección tridimensional 53

Figura 19.Proyección basada en medidas 53

Figura 20.Lengua representacionista 54

Figura 21uso de líneas rectas, el uso de líneas curvas 54

Figura 22.No hay un uso de reglas en la construcción de líneas rectas

y curvas 55

Figura 23.Proyección espacial (tridimensional), 56

Figura 24desarrollo plano. 56

Figura 25.No se conservan las dimensiones del solido patrón. 57

Figura 26.Gráfico de apoyo adiciona 57

12

Figura 27.Proyección visual 58

Figura 28. Las digitales, discretas, de carácter alfanumérico 65

Figura 29.Representaciones analógicas 65

Figura 30.Representación semiótica 66

Figura 31.Prisma de base pentagonal y la pirámide de base hexagonal 66

Figura 32.Bases rectangulares 67

Figura 33.Interpretación a la luz de Duval 67

Figura 34.Organización sintáctica, relación con las figuras 69

Figura 35.Ausencia de la unidad significante 69

Figura 36.Sistema semiótico de formación 70

Figura 37.Congruencia y no congruencia 70

Figura 38.Figura solidas, planas volumen 71

Figura 39.Objeto, matemático, semántica 72

Figura 40.Correspondencia semántica vertical y horizontal 73

Figura 41.Semántica, Congruencia y no congruencia 75

13

RESUMEN

En esta investigación intervienen estudiantes de educación media de la institución

educativa Modelia, con el propósito de reconocer el concepto de solido geométrico que

poseen a partir de las representaciones semióticas. Para este proceso se cuenta con

una metodología de investigación de tipo descriptiva- cualitativa de corte exploratoria

por sus característica propuestas, puesto que esta nos permite acércanos de forma

más efectiva a los procesos cognitivos que experimentan los estudiantes de educación

media durante su proceso de aprendizaje. El procedimiento entonces tendría los

siguientes momentos; reconocimiento y descripción de las representaciones que hacen

los estudiantes y el tratamiento de ellas en términos de Duval, la interpretación de las

representaciones identificadas en relación con el concepto de sólido que están

manejando los estudiantes y un tercer momento de categorización en torno al concepto

de sólido, para ello se utilizaran como recurso de recopilación de información talleres,

grabaciones y ficha de observación. La fuente de referencia teórica se base en los

hallazgos obtenidos por Raymond Duval en el estudio de las representaciones

semióticas.

Palabras claves: representación, representaciones semióticas, representaciones

mentales, solido geométrico, formación, tratamiento, conversión.

14

ABSTRACT

This research involved high school students from the school Modelia, in order to

recognize the concept of geometric solid from possessing semiotic representations. For

this process it has a research methodology qualitative descriptively type of exploratory

cutting proposals feature, since this allows us to be closer to more effective cognitive

processes experienced by high school students during the learning process. The

process would then have the following times; recognition and description of the

representations made by students and treating them in terms of Duval, the interpretation

of the representations identified in relation to the concept of solid they are handling

students and a third time on the concept categorization solid , for it will be used as a

resource for information gathering workshops, recordings and observation sheet. The

source of theoretical reference is based on the findings by Raymond Duval in the study

of semiotic representations.

Keywords: representation, semiotic representations, mental representations, geometric

solid, training, treatment, conversion.

15

INTRODUCCIÓN

Este trabajo investigativo presenta el estudio realizado en la institución educativa

Modelia en el nivel de educación media, con aproximadamente 70 estudiantes, entre

las edades de 15 a 18 años, en búsqueda de reconocer el concepto de solido

geométrico que ellos poseen a partir de las representaciones semióticas. Esta

investigación nace de la observación que como profesor de matemáticas diviso a la

hora de pedir a los estudiantes realizar representaciones en los campos del

pensamiento matemático y en particular en el campo del pensamiento geométrico aún

más específicamente en la representación de sólidos.

Por ello se inició un proceso de búsqueda de antecedentes en el campo de la

investigación en representaciones semióticas en el campo de la geométrica como

quedo evidenciado en el estado del arte, de allí que solo se observó investigaciones

acerca de las representaciones semióticas en el campo del algebra y el cálculo, pero

no en la geometría.

Los estudios más cercanos a nuestra base investigativa los encontramos en diversos

estudiosos como, Raymond Duval, Bruno D’amore, Ospina García, Vicen Font, entre

otros, quienes en sus investigaciones relacionan las representaciones internas y

externas que realizan los seres humanos y de la manera como de estas se puede

analizar, la conceptualización de los objetos de estudio, en nuestro caso los objetos de

estudio matemático.

De allí que se estableció la metodología de investigación de tipo descriptiva- cualitativa

de corte exploratoria por sus característica propuestas, puesto que esta nos permite

acércanos de forma más efectiva a los procesos cognitivos que experimentan los

estudiantes de educación media durante su proceso de aprendizaje. Realizando el

proceso en tres momentos el primero de reconocimiento y descripción de las

representaciones que hacen los estudiantes y el tratamiento de ellas en términos de

16

Duval, el segundo la interpretación de las representaciones identificadas en relación

con el concepto de sólido que están manejando los estudiantes y un tercer momento de

categorización en torno al concepto de sólido, haciendo uso de diferentes recurso de

recopilación de la información. Para luego entregar unas conclusiones del proceso

investigativo y unas recomendaciones para unas futuras investigaciones, así como,

para el proceso de enseñanza y aprendizaje mismo.

17

1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

El problema que origina la presente investigación se plantea desde la mirada del

estudiante y, a partir de la interacción en el aula, puesto que, como docente del área de

matemáticas se ha evidenciado ciertas dificultades a la hora de realizar diferentes

representaciones geométricas de los objetos (conceptos) matemáticos, entre ellos los

sólidos, por parte de los estudiantes de educación media. Esto repercute en el análisis

y la interpretación sesgada de los conceptos geométricos, conllevando a que los

estudiantes no logren desarrollar procesos métricos y de medida, fundamentales para

la apropiación de conceptos en su definición y su aplicabilidad dentro y fuera del ámbito

escolar.

Este trabajo se sitúa en un campo general que denominamos pensamiento espacial y

sistemas geométricos, que constituye uno de los procesos en el desarrollo de la

investigación en Didáctica de las Matemáticas y que se ocupa de los fenómenos de

enseñanza, aprendizaje y comunicación de los objetos (conceptos) de representación y

sistemas geométricos en el sistema educativo y en el medio social.(MEN, 7 de junio de

1998)

Por otra parte, es bien sabido que los individuos elaboran sus modelos en la interacción

y en las relaciones simbólicas; para el caso, correspondería a la interacción en el aula

de clase, en la que el estudiante recibe a diario la influencia de un lenguaje

matemático, que se va distorsionando a medida que avanza en su proceso de

aprendizaje, es decir, a medida que su imaginario tiene que acomodarse a las

diferentes fenómenos que circulan en la noosfera de su ambiente de aprendizaje. Allí

que podríamos pensar de qué manera la matemática le proporciona un poderoso medio

de comunicación y de ayuda para explorar, crear y acomodarse en las nuevas

condiciones y crear nuevos conocimientos para la vida.

18

Es suficiente observar la necesidad como matemático del estudio de la geometría

descriptiva y este intento de abordaje de la geometría y el pensamiento espacial como

objetos de estudio nos recuerdan que todos los objetos creados por el hombre, desde

un simple alfiler hasta la más compleja maquinaria industrial, son concebidos

inicialmente como un representación interna y manifiesta como una representación

externa de la que nos ocuparemos a través del estudio de sus sistemas semióticos de

representación.

Por esto, el estudio de la Geometría Descriptiva, permite definir correctamente la

representación de los objetos tridimensionales antes ó después de su existencia real.

Estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, todos los objetos

físicos que pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de

los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que define las reglas que rigen la

elaboración de estas proyecciones.

1.2 PREGUNTAS ORIENTADORAS

1.2.1 Pregunta general.

¿Cuál es el concepto de solido geométrico que se puede inferir de las representaciones

que hacen los estudiantes?

1.2.2 Preguntas Específicas

¿Cuáles son los registros semióticos que más utilizan los estudiantes en las

representaciones de sólidos?

¿Cuáles son las dificultades que presentan en el tratamiento y conversión delas

representaciones semióticas que hacen de los sólidos?

19

2. JUSTIFICACIÓN

Entender el conocimiento humano es un problema central en la reflexión filosófica:

¿Cómo es que el hombre puede tener presentes los objetos del mundo externo?

¿Dónde y cómo se ubican los conocimientos? estos son algunos de los

cuestionamientos que dirigen esta investigación, centrada en la escolaridad media pero

intencionada para la reproducción en diferentes ambientes de aprendizaje.

La constante mejora de los procesos educativos y la creación de ambientes que

faciliten los aprendizajes significativos, llevan a direccionar esta propuesta en la

búsqueda y análisis de los fenómenos que modifican o perjudican el proceso de

representación en matemáticas; además, se asume que la construcción del

conocimiento matemático es un fenómeno social y cultural, que la educación

matemática desempeña un papel relevante en la transmisión de los significados y

valores compartidos en nuestra sociedad; así pues, centra su objeto de reflexión en el

campo de las matemáticas que comienza con la geometría escolar básica, avanza por

los diferentes sistemas de representación superiores y continúa con el estudio

sistemático de representaciones teniendo una orientación esencialmente curricular.

Ahora bien como el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser más que le

conceptualización del objeto mismo, pero que no puede estudiarse separa de la

representación que es la plataforma en donde se sitúa esta interrelación, estaremos de

momentos en diferentes esferas de significación (concepto – realidad-

conceptualización – semiótica de representación social – del individuo, etc.)

20

3. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Reconocer el concepto de solido geométrico que poseen los estudiantes a partir de las

representaciones semióticas.

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar las representaciones semióticas de sólidos geométricos que utilizan

los estudiantes.

Identificar procesos de tratamiento y conversión de las representaciones

semióticas de sólidos geométricos que hacen de los estudiantes

21

4 MARCO DE REFERENCIA

4.1 ESTADO DEL ARTE

La representaciones semióticas de sólidos no es un concepto del que se allá

encontrado diversos estudios lo que indica que es un fenómeno del cual empiezan a

surgir y emergen nuevos saberes, pero de lo que si se aparecen investigaciones es de

la representación semiótica en el contexto matemático del cálculo y del algebra,

concepto que abordaremos como base de nuestro estudio para el fortalecimiento de la

didáctica de las matemáticas.

Para esta investigación se referencian los siguientes resultados investigativos sobre

representaciones semióticas; Sandoval (2012), en su tesis de maestría “Las

representaciones geométricas como herramienta para la construcción del significado de

expresiones y operaciones algebraicas, desarrollado con alumnos de octavo grado del

instituto San José Del Pedregal” pretende explorar la posibilidad de desarrollar

habilidades en la apropiación del concepto y significado de expresiones algebraicas y

sus operaciones, utilizando como herramienta representaciones geométricas.

De este trabajo le logro concluir que las medidas y el uso de actividades con

representación geométrica dentro del aula de clases, ayuda y facilita la comprensión de

contenidos algebraicos, iniciando con actividades de generalización para la

comprensión y aprehensión del concepto de variable desarrollando con ello habilidades

para reconocer, describir, generalizar patrones numéricos y construir sucesiones de

números a partir de una regla dada; específicamente para la construcción de

conceptos como el de polinomios y sus operaciones.

22

Duval (1992) en su trabajo Gráficas y Ecuaciones: la articulación de dos registros,

aplica a los estudiantes una prueba de diez preguntas, en las cuales deben relacionar

gráficas de funciones lineales con sus correspondientes expresiones algebraicas.

Los resultados hicieron evidentes las dificultades para hacer conversiones desde el

registro gráfico al algebraico, al efectuar una interpretación global de las gráficas, ya

que los estudiantes en su mayoría eligieron la vía del punteo.

En su investigación Duval (1992) concluye que la traducción del registro gráfico al

registro algebraico necesita de una identificación exacta de las unidades significantes

(entendida esta como los valores que pueden tomar las diferentes variables en cada

registro de representación) de la representación gráfica y del reconocimiento de las

unidades significantes en la escritura simbólica correspondiente.

Esta investigación permitió reconocer las dificultades que presentan los estudiantes al

realizar conversiones del registro gráfico al registro algebraico debido a la falta de

congruencia entre el registro gráfico y el registro algebraico.

En la investigación de Muñoz y Tobon (1998), Representaciones semióticas del

concepto de función real de variable real, en estudiantes de grado 11 del colegio

Americano de Ibagué, Se analizó si podían los estudiantes identificar funciones y hacer

conversiones del registro algebraico de función al registro gráfico. De allí que se

concluyó que el 99% de los estudiantes presentaban gran dificultad el hacer conversión

del registro algebraico de función al registro graficó y viceversa.

En esta investigación se vincularon dos nuevos fenómenos:

En el primero se presentan a los docentes como los modeladores que no hacían

énfasis en las representaciones semióticas y su conexión con los elementos

conceptuales.

23

En el segundo los textos escolares que eran utilizados por los estudiantes no

empleaban el cambio de registro, de allí que las tareas no les permitían tomar en

cuenta la conexión y dependencia existente entre la semiósis y noesis, no solo

en matemáticas sino en las diversas áreas, esto da como resultado que se

privilegie el trabajo con las representaciones mentales haciendo que las

representaciones semióticas sean una simple expresión para la comunicación.

Así mismo la investigación de Lozano y Ríos (1997) errores de los tipos de

representación del concepto de función que presentan los estudiantes de Licenciatura

en Matemáticas y Física de la universidad del Tolima, luego de practicar algunas

encuestas y sistematizarlas, categorizo los errores evidenciando que los errores

detectados en la encuesta ponen en manifiesto que los tipos de representación de una

función no han sido orientados de la mejor forma, esto implica que la mayoría de los

estudiantes del programa de matemáticas y física cometan errores categorizados como

debido a deficiencia en conceptos previos.

A los estudiantes de segundo semestre se les dificulta reconocer el concepto de

función en casos de la vida cotidiana, esto se evidencio cuando se les pidió un

enunciado verbal escrito que represente una función.

Font (2009), dentro de su artículo “Algunos Puntos De Vista Sobre Las

Representaciones En Didáctica De Las Matemáticas” indica que generalmente los

objetos matemáticos se representan mediante notaciones diferentes que ayudan a

producir diferentes sentidos. Y que cada una de las notaciones ayuda a producir

sentido, pero no produce todos los sentidos. Por lo tanto, comprender un objeto

matemático requiere utilizar diferentes notaciones y convertir (traducir) una

representación en otra.

De donde nos orientaremos en la manera de como rastrear el concepto de solido

geométrico que se puede inferir de las representaciones que hacen los estudiantes.

24

La investigación de Retamal (1998). “Registros de representación, el aprendizaje de

nociones relativas a funciones: voces de estudiantes” En su experiencia se apoya en la

teoría de Duval para explorar el sentido que tienen para algunos estudiantes de

ingeniería ciertas nociones asociadas al concepto de función, en términos de los

registros gráfico, algebraico y verbal.

A partir de una revisión de las respuestas de 75 estudiantes de cálculo diferencial de

primer año de ingeniería, en un cuestionario de 16 preguntas conceptuales, las

conclusiones más importantes de la investigación de Retamal (1998) fueron:

Se evidenció el hecho de que no se ha dado suficiente importancia a

la relación que existe entre las diversas formas en que es posible

representar una función.

En general los estudiantes son “mono registros” lo cual indica que sus

respuestas están dadas en el registro en que es formulada la

pregunta, en algunas ocasiones acuden al registro algebraico, pero en

la mayoría de los casos no coordinan dos registros o más.

Las respuestas de los estudiantes revelan cierta dificultad para dar

explicaciones verbales, lo cual sugiere que el registro del lenguaje

natural debe tener mayor relevancia dentro del aula.

La traducción de un lenguaje a otro y la coordinación de registros no

es una meta de enseñanza que se tome en cuenta explícitamente y

esto evidentemente no favorece ni ayuda a los estudiantes a formular

sus explicaciones.

Los análisis descubren insuficiencias conceptuales como producto de

la falta de coordinación para hacer conversiones entre los registros

algebraico, gráfico y lenguaje natural; lo cual no nace de manera

espontánea sino que requiere de un aprendizaje.

Los estudiantes no demuestran habilidad para leer e interpretar los

gráficos movilizando conceptos pertinentes que aprendieron en

lenguaje formal o natural.

25

No se observa interés de parte de los estudiantes, en hacer

corresponder las unidades significantes de los registros gráfico y

algebraico. (p. 5)

En la investigación de Guzmán se puede identificar la ausencia de articulación entre los

diversos registros de representación semiótica del concepto de función, pues es

evidente en los procedimientos de los estudiantes la utilización de un solo registro de

representación semiótica, además se privilegia el uso del registro algebraico y, en

reducidas ocasiones, utilizan otro registro de representación espontáneamente a no ser

que sea solicitado.

Planchart, O. (2002). En su tesis doctoral “La visualización y la modelación en la

adquisición del concepto de función”, Universidad Autónoma del Estado de Morelos.

Integra cuatro aspectos medulares: proceso didáctico en la adquisición de las

funciones, la visualización, los sistemas de representación, y la modelación desde el

contexto físico y geométrico. Donde se propone se propone, en primer lugar, identificar

y analizar las dificultades que surgen durante el proceso que conduce al aprendizaje de

las funciones. En segundo lugar, analizar el papel de la visualización en la

conceptualización de las funciones, diseñar módulos de actividades donde se incorpora

la modelación matemática como articulación de los registros semióticos en la

enseñanza y aprendizaje de las funciones.

Los hallazgos más importantes obtenidos en este estudio son los siguientes Planchart,

(2002):

Para algunos estudiantes el realizar la conversión del registro gráfico al

registro algebraico presenta mucha dificultad y en el registro tabular

habitualmente esperan que respondan a una ecuación, poniendo en duda

que representen una función.

Los estudiantes frecuentemente tienden a pensar que las funciones

deben ser continuas, lo cual es favorecido en numerosos casos por el

26

docente quien denota una gran preferencia por las funciones continuas

definidas con una fórmula única.

Presentan dificultades en la notación de las funciones, lo que remite a un

manejo inadecuado de las reglas de formación propias del sistema

algebraico.

En su mayoría los problemas son respondidos en el registro gráfico,

quizás por producto del trabajo visual con tecnología.

En los ejercicios que corresponden a situaciones físicas presentan

dificultades para hacer la conversión al registro algebraico, ya que se

requiere de un mayor razonamiento para identificar las variables y

combinarlas. Cuando se solicitó pasar de la situación en registro verbal al

registro gráfico, en numerosos casos los estudiantes señalaron la forma

de la gráfica correctamente sin lograr dar justificaciones, lo que induce a

pensar que realizaron una traslación icónica.

La modelación es una herramienta que favorece en gran medida que los

estudiantes puedan coordinar y hacer conversiones en los distintos

sistemas de representación. (p. 25)

En este estudio se evidencia la dificultad que presentan los estudiantes para realizar

conversiones desde el registro gráfico al registro algebraico, además utilizan el registro

tabular como un registro intermedio que les ayuda a transitar desde el registro

algebraico al gráfico, poniendo en duda que también es una representación del

concepto de función.

Para la investigación de Gutiérrez y Parada (2007). En su tesis de Maestría

“Caracterización de tratamientos y conversiones: El caso de la función afín en el marco

de las aplicaciones”. Universidad Pedagógica Nacional, Colombia. Realiza una

caracterización de las transformaciones que efectúa un grupo de estudiantes de la

Escuela Colombiana de Ingeniería, cuando se proponen situaciones de variación que

27

se modelan mediante la función afín, para lo cual el grupo investigador estudia sus

producciones escritas.

Este estudio se enmarca en la teoría de registros de representación de Duval, de

donde se toman elementos que precisan el marco conceptual desde el cual diseñan

unas situaciones de variación para los estudiantes y las categorías de análisis delos

resultados.

La investigación recurre a la metodología cualitativa interpretativa y como instrumento

de recolección de datos presenta un cuestionario que consta de tres situaciones de

variación referentes a contextos de desocupado de tanques, posición y temperatura,

las cuales se caracterizan por estar dadas en registro verbal, no hacen explícito el

registro de representación de la respuesta y contemplan fenómenos de no congruencia.

Según Gutiérrez y Parada (2007):

Entre los resultados se encontró que el contexto de la situación de

variación influye en los registros de representación y en las

transformaciones que utilizan los estudiantes para enfrentarlas. Así, si el

estudiante identifica en la situación elementos de proporcionalidad utiliza

el registro aritmético y reduce el uso de modelos funcionales y

representaciones gráficas; si la situación se asocia con un contexto de

posición, usa en su mayoría registro gráfico de segmentos horizontales y

fórmulas físicas que corresponden a modelos estáticos y ocultan la

variación; en el caso de los contextos de temperatura el registro

privilegiado es el gráfico cartesiano.

El registro seleccionado al hacer la primera conversión determina la

utilización de uno o varios registros de representación a lo largo del

desarrollo de la situación. De esta forma si la primera conversión se

realiza en el registro aritmético, las transformaciones posteriores se

siguen efectuando en este mismo registro; mientras que una primera

28

conversión en un registro diferente al aritmético va acompañada en su

mayoría de otros registros.

Se encontró que los estudiantes presentan gran diversidad de

transformaciones (tratamientos y conversiones) para solucionar las

situaciones de variación propuestas, aunque sus producciones escritas

muestran un bajo nivel de articulación entre registros, debido a los

fenómenos de no congruencia entre registros, asimismo, las

representaciones que hacen en un registro diferente al verbal varían de

acuerdo al contexto de la situación. (p. 54)

Las investigaciones que presentamos a consideración y sus múltiples conclusiones,

coinciden indirectamente en que la conversión entre registros de representación es una

de las causas de las dificultades que presentan los estudiantes en la conceptualización

de los procesos matemáticos.

Esto se debe a la falta de discriminación de las unidades significantes propias de cada

registro semiótico, la falta de una interpretación global de las gráficas cartesianas, la

tendencia de los estudiantes a mecanizar los procedimientos en un solo registro, sin

articularlos en diferentes registros de representación.

No obstante estas investigaciones han explorado la conversión de un registro a otro,

solo se ha concluido que hay dificultades y solo un estudio Gutiérrez y Parada (2007).

El de analizó las conversiones a la luz de la congruencia y no-

congruencia entre registros, lo que implica el análisis de las situaciones

propuestas en términos de las unidades significantes. En las

investigaciones reportadas en los antecedentes, el registro de llegada de

la conversión se hace explícito, pero en ningún caso se promueve que el

estudiante elija el registro de llegada y de una respuesta a los

interrogantes. (p. 55)

29

4.2 MARCO TEÓRICO

Cuando nos referimos a los procesos mentales que se manifiestan en nuestro

estudiantes a través de sus representaciones simbólicas, (de lenguajes de expresión

oral o escrito) existen dos formas de analizar sus esquemas de representación: la

representación interna de las ideas matemáticas que se generan en la mente del

individuo que como indica Gairín, (1998). “resultan inobservables y las

representaciones externas que con la forma del lenguaje (signos o símbolos) permiten

expresar las ideas que el individuo comunica o recibe del exterior”. (p. 13). Aunque

nuestro interés se centra en el estudio de esas representaciones externas del sujeto y

aun cuando nos propondremos a analizar las representaciones utilizadas por los

estudiantes y los significados que estos le asignan a sus representaciones

abordaremos la forma como se producen esas representaciones internas.

Para Font, (2009).En la interpretación diferenciada de la concepción de representación

podemos destacar dos categorías:

De reflejo y de construcción; la mente actúa como un espejo y la

representación actúa como un fenómeno de reflejo del mundo real en la

mente y desde un enfoque epistemológico representación alista, las

representaciones supone que las personas un su mente producen y

construyen procesos mentales y que los objetos externos a las personas

generan representaciones mentales internas. La opción representación

alista presupone que tanto el referente entendido este como las

situaciones que dan sentido al concepto, la operatividad de los esquemas

mentales como el significado y el significante como el concepto

matemático tienen un equivalente en la mente del sujeto que los utiliza.

Por el otro lado la concepción de representación desde la construcción

considera que nuestro mundo de experiencias no está categorizado de

antemano por “la realidad” sino que se categoriza de una forma u otra a

medida que las personas hablan, escribe y discuten sobre él. (p. 54)

30

La representación no puede estudiarse separadamente de la significación, esto implica

que es necesario estudiar la noción de comprensión, que tiene el individuo para

realizar el análisis de sus esquemas mentales, considerado que ésta es parte esencial

del aparato conceptual necesario para analizar los procesos de aprendizaje y

comprensión de las matemáticas.

4.2.1 Sobre el aprendizaje de conceptos .para involucrarnos en el papel que ostenta el

lenguaje haremos relación a como se forma el concepto dentro del individuo para poder

direccionar de qué manera el lenguaje es el mediador en este proceso de

conceptualización que presenta toda acción cognitiva del ser humano

Es necesario dirigirnos a las diferentes referentes filosóficos, científicos en donde se

define concepto, es de allí, que desde la filosofía el concepto es usado en dos

direcciones; como un signo, pero también como la esencia misma de los atributos que

lo definen. La función que este representa es manifiesta en dos categorías el concepto

con una función intencional pero también el concepto con una función instrumental, de

esta última que su función llegaría a ser la de describir los objetos y permitir su

reconocimiento, además la de clasificar según sus atributos, el concepto como

instrumento para establecer conexiones entre ellos. Pero ¿Cómo se forman los

conceptos? nos dice Kant citado por D´Amore (2001).”Puros sin que la experiencia sea

el artífice de su construcción y empíricos como las nociones sociales que definen las

clases de objetos construidos”. (p. 13)

En qué momento podemos llegar a la conceptualización, que es la expresión máxima

de la significación como lo mencionan los mayores filósofos y estudiosos; para

D´Amore (2001).” en el desarrollo conceptual del individuo se involucran tres fases muy

distintas” (p. 12).

31

4.2.2 Esquema del desarrollo conceptual del individuo l. S. Vygotsky adaptación

Figura 1.Desarrollo conceptual del individuo l. S. Vygotsky

Fuente: l. S. Vygotsky (1979) adaptación El autor.

Es recurrente pensar que desde la epistemología de Kant, los instrumentos cognitivos

de los que se fortalece un proceso de significación o conceptualización se hayan

dotados de un lenguaje desarrollado, con capacidad de abstracción y de

generalización, es de allí que para efecto de nuestro estudio nos preguntemos si este

proceso es alcanzado por los estudiantes de educación media, o como cambia este

estudio si hablamos de educación escolar, en jóvenes que están en un proceso de

formalización de su aprendizaje

involucra lasubjetividaden laconstrucciónconceptual

FASE DE LOS CUMULOS

SINCRETICOS

•Es mas objetivo

•No hay sincronia en la concepción

FASE DEL PENSAMIENTO

POR COMPLEJOS

capacidad de abstracción

FASE CONCEPTUAL

Su análisis se fundamenta en que primero va de lo concreto a lo figurativo, de lo

lógico a lo abstracto

32

4.2.3 El papel del lenguaje (semiótico) en el aprendizaje y en la formulación de los

conceptos. Las representaciones semióticas juegan un papel primordial tanto en la

enseñanza como la conceptualización de las matemáticas, pues las representaciones

semióticas son la plataforma que permite establecer las relaciones con los objetos

matemáticos, como lo menciona Duval, (2006). “la actividad matemática se realiza

necesariamente en un contexto de representación”. (p. 145) De allí, que los contextos

de representación usados en la actividad matemática son necesariamente semióticos y

tener en cuenta la naturaleza semiótica de las mismas implica tener en cuenta tanto las

formas en que se utilizan como los requisitos cognitivos que involucran. Es necesario

hacer esta apreciación puesto que los contextos de representación son múltiples y

pueden constituir el lenguaje de comunicación; siempre que desde el mismo lenguaje

cotidiano o científico como lo menciona Vygotsky se establecen diferentes elementos

que se enriquecen de atributos y mejoran los canales de comunicación. Por lo tanto, la

construcción de los conceptos matemáticos depende estrechamente de la capacidad

de usar más registros de representaciones semióticas de esos conceptos

Según D’amore (2004).

Aprender parece ser una construcción sujeta a la necesidad de

“socializar”, lo que se da obviamente gracias a un medio de comunicación

(que puede ser el lenguaje) y que en las matemáticas cada vez más será

condicionado por la elección del mediador simbólico, es decir, por el

registro de representación preseleccionado (o impuesto, de diversas

formas, incluso solo por las circunstancias) (p. 90)

Haciendo una claridad y para direccionar al lector y focalizarlo en nuestra investigación

debemos hacer la siguiente aclaración abordada por Ospina (2012):

Existen diferencias entre las representaciones mentales y las

representaciones semióticas. Las representaciones mentales están

conformadas por todo el conjunto de concepciones o imágenes mentales

que un individuo tiene acerca de un objeto y las representaciones

33

semióticas son las producciones constituidas por el empleo de signos, no

son más que el medio por el cual disponen los individuos para exteriorizar

sus representaciones mentales, para hacerlas visibles y accesibles a

otros. Éstas, además de cumplir una función de comunicación, tienen una

función de objetivación, son necesarias para el desarrollo de la actividad

matemática misma, del funcionamiento cognitivo del pensamiento, del

tratamiento de la información, de la toma de conciencia y de la

comprensión lo que permite establecer la conceptualización del individuo

dentro de sus representaciones externas como complemento a su

conceptualización interna (p.112)

Existen diferentes accesos al conocimiento, uno de ellos es el uso de códigos como

apoyo visual, abstracto si se quiere, en los procesos de enseñanza - aprendizaje,

principalmente en los contenidos de geometría, pues estos presentan dificultad en su

enseñanza y más aún en su aprendizaje, estos contenidos fácilmente se pueden

representar, por lo que en el presente estudio el concepto de “representación” juega un

papel importante, como medio de comunicación entre alumno—conocimiento.

Y es que se hace necesario definir que es la representación en matemáticas y general

para ello definiremos a la luz de Duval, (2006) que tipos de representaciones

interactúan en el pensamiento del individuo.

REPRESENTACIONES MENTALES: aquel conjunto de imágenes y

concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una

situación y sobre aquellos que le está asociado.

REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS: el medio del cual dispone un

individuo para exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para

hacerlas visibles o accesibles a los otros. En matemáticas, las

representaciones semióticas no solo son indispensables para fines de

comunicación, sino que son necesarias para el desarrollo de la actividad

34

matemática misma. La noción de representación semiótica presupone,

pues, la consideración de sistemas semióticos diferentes y una operación

cognitiva de conversión de las representaciones de un sistema semiótico

a otro. (p. 146)

El tránsito de un sistema de representación a otro o la movilización de una red de

sistemas en el en un mismo recorrido intelectual es muy frecuente en matemáticas y la

vez no es una actividad evidente o espontanea para la mayoría de los estudiantes,

pues por lo general el mismo concepto matemático no es interiorizado por los

estudiantes cuando se representa en diferentes sistemas semióticos. Como se analizó

en los antecedentes las investigaciones han señalado las dificultades encontradas por

estudiantes en la interpretación y el establecimiento de vínculos entre los diferentes

tipos de representación.

Para pensar sobre ideas matemáticas y comunicarlas necesitamos “de algún modo”. La

comunicación requiere que las representaciones sean externas, tomando la forma de

lenguaje oral, símbolos escritos dibujos u objetos físicos…etc.

4.2.4 Significado de los objetos matemáticos. Según D´Amore (2001). es de aclarar

que “todo concepto como se puede llegar a identificar a la configuración de un

concepto matemático para un individuo”(p. 11)

Según Sierpinska (1990)

Comprender el concepto será concebido como el acto de adquirir su

significado. Tal acto será probablemente un acto de generalización y

síntesis de significados en relación con elementos particulares de la red

de significados que posee el mismo concepto. Estos significados

particulares deben ser adquiridos con actos de comprensión. De allí que

la metodología de los actos de comprensión se debe preocupar

principalmente del proceso de construir el significado de los conceptos.

(p.24)

35

Para este trabajo nos orientaremos desde la perspectiva pragmática, en la que la

significación de un objeto matemático se relaciona con los símbolos de unidad cultural

que emergen de un sistema de utilizaciones que caracterizan las pragmáticas humanas

(o, al menos, de grupos homogéneos de individuos) y que se modifican continuamente

en el tiempo, dependiendo también de las necesidades. De hecho, los objetos

matemáticos y el significado de tales objetos dependen de los problemas que se

enfrentan en matemáticas y de los procesos de resolución.

Según Duval (1999) afirma que

Desde el punto de vista del realismo ingenuo; por lo que la

conceptualización no es y no se puede basaren significados que se

apoyen en la realidad concreta dado que, en matemáticas, no son

posibles referencias ostensivas; ahora todo concepto matemático se ve

obligado a servirse de representaciones, dado que no existen “objetos”

por exhibir en su nombre o en su evocación; por lo que la

conceptualización debe pasar necesariamente a través de registros

representativos que, por varios motivos, sobre todo si son de carácter

lingüístico, no pueden ser unívocos: por lo que, en matemáticas, no existe

acceso sensible (vista, tacto, …) directo a los “objetos” sino solo a sus

representaciones semióticas en diferentes registros lingüísticos;· se habla

más frecuentemente en matemáticas de “objetos matemáticos” y no de

conceptos matemáticos en cuanto que en matemáticas se estudian

preferentemente objetos más que conceptos: “ la noción de objeto es una

noción que no se puede no utilizar desde el momento en el que nos

cuestionamos acerca de la naturaleza, de las condiciones de validez o del

valor del conocimiento(p. 139)

La matemática escolar se asume hoy, construida en un contexto sociocultural y por

ende los objetos de la matemática pueden tener múltiples sentidos. AseguraAcevedo

(2007). Esto hace posible reconocer objetos propios de la matemática escolar, distintos

36

de los objetos de la matemática disciplinar, pues los objetos de la primera están en

proceso de construcción. (p. 48)

4.2.5 Sistemas semióticos según Raymond Duval. Para poder abordar este aspecto

realizaremos la siguiente pregunta ¿Por qué para los estudiantes el abordar un

problema matemático como su profesor le prestan todo el detalle pero por que cambiar

el análisis dentro de las mismas condiciones es tan difícil? ¿Por qué un ejercicio del

mismo temático escrito diferente como la explicación de la clase se vuelve un dolor de

cabeza? Pues allí es donde radican los contextos de representación de los que nos

hablan estudiosos como Duval, D’Amore, entre otros.

Asegura Duval (2006)

Los contextos de representación usados en la actividad matemática son

necesariamente semióticos y tener en cuenta la naturaleza semiótica de

los mismos implica tener en cuenta tanto las formas en que se utilizan

como los requisitos cognitivos que involucran. Estos sistemas semióticos

utilizados por los individuos pueden percibirse desde su multiplicidad

como funcionamiento en el pensamiento. (p. 150)

Duval, plantea que la representación tiene su importancia en su propiedad de

transformación porque el procesamiento matemático siempre implica alguna

transformación de representaciones semióticas. En matemáticas los signos no son

prioritarios para presentar objetos sino para sustituirlos es decir lo que en la geometría

para un chico es un punto luego va a ser una recta y está un plano así un sistema o red

de atribuciones que adquieren los objetos matemáticos

37

4.2.6 Clases de transformaciones semióticas. En la actividad cognitiva del individuo se

presentan tres fenómenos de representación: La primera es la representación de un

registro semiótico particular, asegura Duval (2006)

la percepción inicial impresa de una red básica y la cual constituye un

conjunto de señales perceptibles e identificables que permiten expresar y

caracterizar un objeto como una representación de alguna cosa en un

sistema determinado y preciso, esta representación debe cumplir con

unas reglas de conformidad, por razones de comunicación y de

transformación de representaciones llamada formación. (P. 151)

La segunda son las transformaciones de la representación dentro del mismo registro

donde se ha formado de acuerdo con unas únicas reglas que le son propias al sistema,

Según Duval (2006):

Es una red más elaborada de modo que a partir de éstas se obtengan

otras representaciones que puedan constituirse como nuevos atributos de

conocimiento en comparación con las representaciones iníciales, se

denomina tratamiento de una representación. Es decir, se refiere a la

transformación desde dentro de la misma categoría con las reglas propias

a cada registro. (P. 151)

Y la tercera es la transformación de una representación → en otra representación en un

registro diferente, es allí cuando la red de relaciones semióticas puede cambiar de

registros de representación semiótica, según Duval (2006) “el poder convertir las

representaciones producidas de un sistema de representación a otro sistema, de

manera que este otro sistema este fundamentado en otros atributos pero que conserve

las relaciones iníciales”, (P. 151) es aquello a lo que Duval denomina conversión. Por

ejemplo, cuando se logra percibir un sólido desde un desarrollo plano, y sus atributos

son otros pero conservan una red inicial de relaciones.

38

4.2.7 Esquema interpretativo de las clases de sistemas semióticos

Figura 2. Clases de sistemas semióticos

Fuente: El autor.

Un ejemplo de tratamiento y conversión, se da en el siguiente ejemplo citado por

(Duval2006.)

Figura 3.Los dos procesos cognitivos fundamentales del pensamiento

Fuente: DUVAL, Raymond. (2006 p. 146)

De allí que se puede interpretar que la conversión de las representaciones semióticas

se constituye en la actividad cognitiva menos espontánea y más difícil de alcanzar para

FORMACIÓN

Impresiones previas con asociados a una red básica de atributos

TRATAMIENTO

Asociación a una red de atributos comunes

CONVERSIÓN

Establecimiento de un nuevo sistema semiótico, en signos y atributos

39

la gran mayoría de los alumnos, pero esta dificulta puede tener su explicación en

algunas causas razonables como lo son la dificultad para establecer un relación en los

registros de representación de uno al otro; del registro de partida al registro de llegada,

el desconocimiento de los registros anteriores y la congruencia P Q o no

congruencia de los registros semióticos

Según (Duval, , 2006)

Los ejemplos más típicos se dan en geometría en que a menudo son

necesarios estos dos tipos de transformaciones: uno se produce de forma

discursiva, por deducción válida de propiedades de los datos y de

teoremas que implica el uso del lenguaje; el otro se produce de una

manera visual a través de las diversas reorganizaciones de las formas.

Ambos procesos tienen lugar de manera separada porque no movilizan

los mismos sistemas cognitivos, sin embargo la actividad matemática en

geometría depende de su interacción cognitiva. (p. 154)

En geometría es común y en general en matemáticas el uso de la palabra “figura”, está

a su vez hace confundir a veces la visualización con su codificación, induce a entender

mal la especificidad de estas dos clases de transformaciones independientes, así como

el valor complejo de la conversión que está presente en cualquier actividad geométrica.

Esto se puede ilustrar mediante la siguiente situación que muestra seis textos posibles

de un mismo problema.

En la siguiente grafica adaptada Duval (2006) “vamos a analizar como dentro de una

figura inicial se puede reconocer visualmente las otras dos u obtenerse directamente a

partir de ellas con independencia de toda propiedad (flechas verticales en la columna

de la izquierda)”. (P. 157)

Igualmente los dos enunciados son dos descripciones análogas que se pueden hacer

de cada una de las tres figuras iníciales, porque encierran las mismas hipótesis

40

requeridas para responder a la cuestión. La asociación de un enunciado con una

representación visual puede desarrollar dos funciones:

Bien como economía de memoria para tener en cuenta todos los elementos que

se relacionan

Bien como razonamiento para encontrar el teorema. Se puede elaborar pues un

conjunto de problemas equivalentes combinando los dos enunciados con las tres

figuras iníciales.

Figura 4.Los dos tipos de tratamiento, visual y discursivo, en relación a la actividad

geométrica y el problema de su articulación.

Fuente: DUVAL, Raymond. (2006 p. 148)

41

La toma de conciencia dela especificidad de estos tratamientos visuales por parte de

los alumnos es una condición previa y necesaria para la resolución de problemas. Pero

la importancia y la complejidad cognitiva de estos tratamientos visuales específicos,

¿se tiene en cuenta en la enseñanza de la geometría?

4.2.8 Congruencia y no congruencia entre registros de representación. Ospina García,

D. (2012), Citando a Duval expresa que

La actividad de conversión de una representación a otra en diferente

registro es congruente, si al fragmentar cada una de las representaciones

en sus unidades significantes, es decir los valores que pueden tomar las

diferentes variables, para ubicarlas en correspondencia, deben ser

cumplidos tres criterios:

Correspondencia semántica

Univocidad semántica terminal

Conservación del orden de organización de las atributos significantes (p.

74)

El primer criterio hace referencia a que cada atributo del registro de partida se asocia

con algún atributo del registro de llegada,

Figura 5.Correspondencia semántica

Fuente: El autor

El segundo criterio univocidad semántica terminal hace referencia a que atributo del

registro de la representación de partida le corresponde un atributo en el registro de

llegada

42

Figura 6.Univocidad semántica terminal

Fuente: El autor

El tercercriterio conservación del orden de organización de las unidades significantes

en las representaciones, establece que existe igual orden de aprehensión y ajuste entre

los atributos significantes en las dos representaciones de los registros de partida y de

llegada.

Figura 7.Conservación del orden de organización de los atributos significantes

Fuente: El autor

De allí que los análisis de la geometría en sus figuras planas, en sus tablas, en sus

sólidos, en sus imágenes, en sus diferentes sistemas de representación, y en su mismo

lenguaje natural permiten la relación de estas actividades.

Aunque para D’amore (2004). “la representación es una hecho natural del hombre, a lo

que lo lleva el mismo saber, la necesidad misma de su condición humana”, (p. 92)

concuerdan con Duval (2006)en que:

<

<

43

El saber adquirido puede verse como el producto de la elaboración de la

experiencia con la cual entra en contacto el sujeto que aprende; y esta

elaboración consiste en la interacción entre él y su ambiente y en el modo

en el cual el individuo interioriza el mundo externo. Independientemente

de las peculiaridades de estas “actividades”, el sujeto que aprende debe

comprometerse en algo que necesariamente lo lleva a simbolizar. Se trata

de una elaboración (con características internas o sociales o incluso

ambas) que se organiza alrededor o en los sistemas semióticos de

representación. (p. 160)

Así las cosas, se entiende que los recursos o mecanismos semióticos que use el

individuo para la representación de los objetos en su conceptualización, siendo estos

subjetivos o intersubjetivo incluso los dos, son cruciales para el conocimiento.

Esta posición nos conduce a que el estudiante en su proceso de conceptualización no

debe confundir los objetos matemáticos con sus representaciones semióticas; sin

embargo en su aprendizaje él solo puede acceder a las representaciones de ese

objeto, si no tuvieran acceso ellas, tendría gran dificultad para acceder a dichos objetos

Matemáticos.

Ya que esta investigación centra su interés en la habilidad de identificar las

representaciones de sólidos que tienen los estudiantes de educación media en sus

registros de representación a través de los cuales un concepto matemático es

representado, y a partir de estos diferentes registros de representación,analizar los

registros semióticos que más utilizan los estudiantes en las representaciones de

sólidos, así como rastrear el concepto de solido geométrico que se puede inferir de las

representaciones que hacen los estudiantes

44

4.2.9 Algunas representaciones del concepto matemático.Definiremos los tipos de

representación del concepto matemático, que en nuestro estudio abordaremos, para

satisfacer las condiciones de claridad en la presente investigación. Adaptado de

MuñozAlgarra y Tobon (1998).citando a Duval

4.2.9.1 Representaciones semióticas. SegúnTamayo (2006). “Hace referencia a

todas aquellas construcciones de un sistema de expresión y representación que

pueden incluir diferentes sistemas de escritura, como números, notaciones simbólicas,

representaciones tridimensionales, gráficas, redes, diagramas, esquemas, etc”. (p. 37)

4.2.9.2 Expresión verbal. Se refiere al enunciado verbal, en grabación o escrito,

donde se puede expresar o describir una interpretación que asocia dos conjuntos

cualesquiera y utiliza generalmente el lenguaje como para darnos una descripción

cualitativa.

4.2.9.3 Objeto matemático Es todo lo que es indicado, señalado, nombrado

cuando se construye, se comunica o se aprende (Godino, 2002 p. 237).

4.2.9.4 Semiósis Interpretativa. Donde la producción de imágenes, son efecto de

la percepción (ya sea visual, auditiva, táctil, gustativa u olfativa), que desarrollan.

(Godino, 2002 p. 237).

4.2.9.5 Semiósis Proyectiva: Según Godino y Batanero (1994). “Donde la

producción de imágenes es el efecto de una visualización como forma de

representación semiótica” (p. 325)

45

5 METODOLOGÍA

5.1 TIPO DE ESTUDIO

La metodología de investigación es tipo descriptiva- cualitativa de corte exploratoria por

sus característica propuestas, puesto que esta nos permite acércanos de forma más

efectiva a los procesos cognitivos que experimentan los estudiantes de educación

media durante su proceso de aprendizaje.

La pretensión del estudio es identificar las representaciones de los sólidos que emplean

o realizan los estudiantes para poder reconocer el concepto de sólido que poseen, por

lo tanto tiene un momento exploratorio pero también es interpretativo.

El procedimiento entonces tendría los siguientes momentos:

1. Reconocimiento y descripción de las representaciones que hacen los

estudiantes y el tratamiento de ellas en términos de Duval.

2. Interpretación de las representaciones identificadas en relación con el concepto

de sólido que están manejando los estudiantes.

3. Un tercer momento de categorización en torno al concepto de sólido.

5.2 PARTICIPANTES DEL ESTUDIO

Para el desarrollo de esta propuesta se tienen en cuenta los estudiantes de la

educación media de la institución educativa Modelia, ubicada en el barrio Modelia

sector 1 comuna 7 de la ciudad de Ibagué municipio de Tolima.

46

Figura 8. Mapa contextual del proyecto.

Fuente: Alcaldía de Ibagué (2013)

La población corresponde a los 70 estudiantes en edades entre 15 y 18 años,

formados en instituciones públicas desde sus primeros años y rodeados de un

contexto, enmarcado en su mayoría por desplazados, reinsertados y jóvenes

provenientes del campo.

5.3 PLAN PARA LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN

Para la recolección de la información se diseñaron tres talleres cada uno con una

estructura diferente exploratoria, se realiza grabaciones de voz, donde se registraron

las preguntas que los estudiantes realizaban ante la realización de los talleres y donde

se ponía en manifiesto su proceder y su interpretación.

5.3.1 Taller número uno– actividad de representación cotidiana. Mediante situaciones

cotidianas se buscaba la exploración de las representaciones de sólidos presentes en

los estudiantes y su aplicabilidad en la cotidianidad.

47

En este taller el estudiante puede utilizar cual tipo de elemento escrito para asociar

conceptos propios de sólidos con elementos de su vida, así como apropiación de todos

los elementos que pueden existir en una construcción hecho por los hombre.

5.3.2 Taller número dos- actividad de representación 2D VS 3D. Un taller diseñado

para explorar la dimensión espacial y métrica de los estudiantes conociendo que bajo

los estándares de matemáticas los sólidos, deberían ser abordados en los grados

anteriores, y que el proceso de abstracción de los mismos en el espacio tridimensional

se está fortaleciendo.

En este taller podemos encontrar sólidos en un desarrollo plano y desarrollos planos

para construir sólidos.

5.3.3 Taller número tres- actividad de exploración multiplicidad de construcciones. Un

taller diseñado con la característica de profundizar en el componente espacial y

explorar la multiplicidad de representaciones que pueden causar un mismo objeto

matemático, el contexto semiótico de lo escrito.

5.3.4 Grabaciones de voz. Este instrumento pretende recoger los cuestionamientos de

los estudiantes al momento de la sesión y después de ella, para capturar todas

aquellas observaciones que no se aborden desde los talleres.

5.4 PROCEDIMIENTO

Para el desarrollo de esta propuesta se tienen en cuenta los estudiantes de la

educación media de la institución educativa Modelia que son 70 estudiantes, para los

cuales se diseñan tres talleres que junto con las grabaciones y observaciones tomadas

en las sesiones de recolección de la información se analizaran posteriormente para dar

respuestas a preguntas problematizadoras y cumplir así con el objetivo general

propuesto

48

6 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Una vez recolectados los diferentes instrumentos a analizar, se comienza a categorizar

los diferentes tipos de representación que utilizaron los estudiantes de la educación

media en el proceso investigativo, se mencionan los siguientes tipos de

representaciones. Verbales orales y escritas gráficas y las geométricas. A lo que a su

vez se presenta el análisis correspondiente a cada uno, así como los procesos que

existen dentro de ellas.

6.1PROCESO DE FORMACIÓN

Figura 9.Representaciones verbales escritas.

Fuente: El autor (2015)

En esta representación los estudiantes están abordando la situación desde el uso de

figuras geométricas, planas y sólidas. Se vincula del contexto objetos que se asocian a

la visualización de los estudiantes

49

Figura 10. Registro verbal a fotográfico


Aunque el enunciado era de representación grafica en esta imagen se puede apreciar

que el estudiante utiliza el registro verbal para apoyar su representación del registro

gráfico. Se puede establecer una coherencia en el párrafo descrito. Hace uso de

palabras que identifican poliedros, realiza un gráfico pero no le es posible plasmar la

representación verbal

Figura 11.Uso de características de forma


50

En esta representación es evidente el uso de características de forma y de fondo en los

polígonos, se identifican palabras que relacionan la coherencia del objeto y del objeto

matemático.

Se comprueba el uso de un lenguaje de medidas, “diámetro”, altura y espacio del suelo

(área).

Se identifican figuras geométricas planas como cuadrados, hexágono, rectángulo.

Características como estructura, divisiones, bases

Figura 12.Palabras asociadas


El estudiante en esta representación hace uso de palabras asociadas pero aisladas

de una frase.

Se evidencia el representación de objetos, y a su vez se convierten en objetos

matemáticos

Figura 13.Párrafo descriptivo

51


Par esta representación se realiza un párrafo descriptivo en él se comprueba el uso de

la palabra sólido, asociada a una identificación de objetos. Se muestra una frase

coherente por sus conectores y artículos, aunque asume terminar la idea pero

consecutivo escribe otros dos objetos.

6.1.1 Representaciones gráficas. La representación gráfica se conecta con las

potencialidades conceptualizadoras de la visualización y se relaciona con la geometría

y la topología por eso se tomó algunas de las representaciones gráficas para analizar

los aspectos semíticos de las mismas. La construcción por unidades significantes y su

correspondencia geométrica.

Figura 14.Figuras geométricas planas.

.


En esta representación gráfica, se hace uso de diferentes figuras geométricas planas.

El grafico presenta trazos en línea recta y curva se nota de fondo que no fue la primera

construcción si no que ya se había realizado otra. No hay proyección tridimensional, es

un gráfico plano.

Figura 15. Trazos rectos y curvos

52


En esta representación se realiza el uso de trazos rectos y curvos solo existe la

proyección tridimensional en la base del árbol, se hace uso de diferentes figuras

planas, triángulos, rectángulos, entre otras irregulares, se evidencia la ausencia de

reglas, en su construcción y el sentido del grafico plano es coherente con la realidad.

Figura 16.Figuras planas (triángulos, rectángulos trapecios


Para esta representación se observa el uso de diferentes figuras planas (triángulos,

rectángulos trapecios, entre otras figuras planas irregulares. Se realiza un intento de

proyección tridimensional al lado izquierdo del gráfico, pero al lado derecho del mismo

es una figura plana; los trazos en los segmentos de rectas evidencian el uso de regla,

pero también es evidente que no es la única figura construida lo que demuestra, que

antes se realizaron intentos que no convencieron al estudiante.

Figura 17.Líneas rectas en la construcción de al parecer un acuario,

53


En esta representación gráfica se pone en evidencia el uso de líneas rectas en la

construcción de al parecer un acuario, se observa la intensión de proyección

tridimensional en mismo lo que no sucede en la elaboración de lo que sería un caimán,

figura irregular con una construcción plana, que está ubicada en el centro de la

proyección.

Figura 18.Proyección tridimensional


En esta representación se observa una intención de proyección tridimensional haciendo

uso de líneas rectas, en la parte superior de la figura, pero se nota que no es posible la

proyección en la parte inferior de la misma ya que esta, en este lugar geométrico es

una línea recta que asume una representación plana, en esta imagen no se representa

el caimán, no hay medidas y no hay una elaboración asociada a la situación planteada.

Figura 19. Proyección basada en medidas

54


En esta representación no hay uso de una proyección en la construcción del acuario

que se solicitaba, esta construcción a diferencia de las anteriores se centra en las

medidas y en el animal que de igual manera tiene una representación plana, los

segmentos de recta utilizados se asocian con el recurso de medida, el posible caimán

se presenta dos medidas de largo, se piensa que una de ellas, está asociada con la

elaboración del acuario.

Figura 20.Lengua representacionista


En esta imagen podemos observar, que el estudiante en su lengua representacionista

hace uno de líneas rectas para realizar un rectángulo que se asociaría con el acuario,

el dibujo de lo que parece un caimán está identificado con segmentos de rectas que

demandan sus medidas, al igual que el rectángulo.

55

Figura 21uso de líneas rectas, el uso de líneas curvas


En esta representación existe el uso de líneas rectas, el uso de líneas curvas,

adicional, el grafico se apoya en un texto que de manera específica dice esfera, y que

su une a este con una flecha curva al parecer indicando que allí debe de ir una esfera

dentro del cilindro representado, para interiorizar un poco este registro de

representación geométrico esta combinado para poder realizar la solución al problema.

Figura 22.No hay un uso de reglas en la construcción de líneas rectas y curvas


Para esta representación gráfica, es evidente que no hay un uso de reglas en la

construcción de líneas rectas y curvas, la descripción global da por entendido que

existe una esfera dentro de un cilindro, lo que significa que el estudiante alcanzo a

56

realizar los trazos direccionados en una proyección espacial de un plano tridimensional

que no es evidente.

6.1.2 Representaciones geométricas. Font (2009) Clasifica las representaciones

externas en dos grandes grupos:

Las digitales, discretas, de carácter alfanumérico, la sintaxis de las

cuales viene descrita por una serie de reglas de procedimiento.

Las representaciones analógicas, continuas, de tipo gráfico o

geométrico, la sintaxis de las cuales viene dada por reglas de

composición y convenios de interpretación (P. 152)

Figura 23.Proyección espacial (tridimensional),


En esta representación el estudiante hace uso de líneas rectas con una proyección

espacial (tridimensional), donde se construye un imagen que tiene cuatro caras

laterales en forma de triángulo, y una base cuadrada que es diferente del desarrollo

plano. Aunque en la imagen no se evidencia un plano tridimensional la totalidad de la

misma, así, lo muestra.

57

Figura 24desarrollo plano.


En esta representación geométrica el estudiante hace uso de líneas rectas, se

evidencia el uso de regla, en los trazos de los segmentos, esta figura forma, cuatro

caras triangulares la base de la misma es un triángulo lo que están correspondencia

con el desarrollo plano.

Figura 25.No se conservan las dimensiones del solido patrón.


En esta representación geométrica el uso de líneas rectas predomina en todo el

grafico, la elaboración lleva internamente la construcción al parecer de trapecios,

triángulos, pero no se realiza con el uso de reglas, en su desarrollo plano nos muestra

58

seis figuras geométricas. Al observar la construcción no se conservan las dimensiones

del solido patrón.

Figura 26.Gráfico de apoyo adiciona


La elaboración de esta representación geométrica cuenta con un gráfico de apoyo

adicional, además utiliza un tipo de patrón de correspondencia, utilizando letras para

identificar las caras del solido primario, y estas mismas para el desarrollo plano.

La primera construcción está diseñada con líneas rectas que no se unen en los vértices

de la figura de sus caras laterales. En estos trazos se evidencia el uso de regla. Y se

realizan con una proyección tridimensional; que si es cierto no tiene un plano

cartesiano tridimensional evidente, si se manifiesta en el diseño global de la misma.

La elaboración final contiene seis cuadrados y estos a su vez tienen una letra, de

asocian con la imagen original, adicional a esto, esta figura presenta unos diseños de

bordes aparentemente, para sujetar los dobleces cuando se realicen los pegues.

59

Figura 27.Proyección visual


En este diseño se puede observar la construcción de tres imágenes construidas con

líneas rectas, que se forman de tres triángulos pero que por su proyección muestra

cuatro caras. La proyección de estas tres imágenes es visual, puesto que no tiene una

plano cartesiano, evidente.

Esos diseños están sujetos a una señalización que transforma el registro de

representación y lo convierte en verbal escrito y donde se asegura las tres imágenes

representan el mismo objeto de estudio matemático.

6.1.3 Representaciones verbales orales. La representación verbal se relaciona con la

capacidad lingüística de las personas, y es básica para interpretar, en esta

investigación se tomaron algunas grabaciones para registrar los comentarios, peguntas

que se generaron en la realización de todo el proceso investigativo, de aquí que se

tomaron algunas para mostrar y analizar.

60

Tabla 1. Grabación uno

SITUACIÓN

Representa mediante una figura las siguiente situación Un acuario donde se pueda ubicar y girar libremente un caimán de 2 metro de largo, 50 cm de ancho y 40 cm de gordo.

DIALOGO Diego molano. “Profe mide dos metro de largo entonces pa´ que se pueda mover libremente, le pongo tres metros y de ancho como mide dos metros, aaa no de ancho mide 50 cm y como dice que da la vuelta, Profesor ¿eso cuanto seria? Diego molano: pues eso sería más o menos…….mmmm. Si de largo mide dos metros, da la vuelta, ósea, vuelve y queda de largo pero en lo ancho, ¿noooo? Profesor ¡no se! ¿Usted qué dice?, ¿Entonces cuánto le va a poner? Diego molano: pues no sé.

ANÁLISIS En esta grabación los elementos expuestos por el estudiante, son en relación a la medida, tanto del recipiente como del caimán, el análisis del fenómeno de rotación y el estudio del espacio geométrico. En un plano abstracto.


Tabla 2. Grabación dos

SITUACIÓN

En este momento en el salón donde estas que solidos puedes observar y cuáles son sus características.

DIALOGO Luis Jiménez: “yo estoy colocado por lo menos el tablero que es de forma rectangular la escuadra que es forma triangular. ¿Es así? ¿Así la puedo hacer?” Profesor: “Pero hay más cosas en el salón” Luis Jiménez: “si exacto.”

ANÁLISIS En esta grabación vemos que el estudiante hace evidente objetos y objetos matemáticos habla, de figuras concretas y visibles en su contorno, manifiesta el conocimiento de algunas figuras geométricas planas y hace asociaciones entre estas.


Tabla 3.Grabación tres

SITUACIÓN

¿Si fuéramos a desbaratar estas figuras como quedarían?

DIALOGO Faidy: “Profe por lo menos ósea tocaría dibujarla como queda desbaratada” Profesor: “¿Cómo quedaría esa figura si usted la desbaratará?” Faidy: “Por eso la dibujo desbaratada ya.”

ANÁLISIS En esta grabación se observa la intención de identificar instrucciones, plantear una posible modelación, y confirmar la duda en seguimiento de instrucciones. Así como también, hace evidente el conocimiento del desarrollo plano de la figura


61

Tabla 4. Grabación cuatro

SITUACIÓN

Aquí también tenemos algunas figuras recortables menciona o dibuja que figura se podría construir con todos o con cada uno de estas.

DIALOGO

Rene Josué: “profe falta una (le falta al taller) de la de arriba”. Profesor: “¿seguro?” Rene Josué: “porque si esta se sube esta, esta, esta. Quedaría una caja y ¿la tapa?” Profesor: “¿podría ser?

ANÁLISIS La intervención de Rene en esta grabación muestra el conocimiento en el desarrollo plano, el uso del espacio y las características de doblar, armar, construir. El manejo de las características de una caja le permite aproximarse a los conceptos de caras vértices, aristas en su manera lo menciona y la tapa.


6.2PROCESO DE TRATAMIENTO

Tabla 5.Representación verbal escrito correspondencia semántica de asociación


UNIDADES SIGNIFICANTES

Correspondencia semántica En esta representación se puede observar que se cumple con una correspondencia semántica de asociación pero la coherencia geométrica no se perpetúa, es decir, hay dificultad para establecer ciertos atributos en el traslado entre registros.

A la situación que pedía relacionar la forma geométrica con que se puede visualizar algunos objetos se encontró esta representación


Objetos matemáticos

Pues se trata de la confrontación de

representaciones de naturaleza diferente de

un mismo objeto

62

Tabla 6.Uso que ofrece el objeto


Objeto

Objeto matemático

Al observar esta representación verbal se identifica que la asociación que se presenta, se realiza con base en el uso que pueda ofrecer el objeto, de esta manera como lo menciona

A la situación que pedía relacionar la forma geométrica con que se puede visualizar algunos objetos se encontró esta representación


Correspondencia semántica (PLANCHART MÁRQUEZ, 2000) La visualización de los atributos del registro de representación se manifiesta como elemento de comunicación y cognición.


Tabla 7.La organización de las palabras


Correspondencia

semántica La organización de las

palabras y la frase tiene sentido


Coherencia Se establece

coherencia cuando al


63

Tabla 8.Esquemas basados en líneas sin operar


Dimensión

Espacio

Frases asociadas al concepto

En efecto, para muchas personas es difícil resolver el problema si no dibujan, la figura y juegan con trazos de líneas De aquí que la forma de representación se apoya en el usoesquemas basados en líneas sin operar las unidades significantes de dimensión y espacio.


Sin embargo, la correspondencia semántica no se evidencia cuando deja fuera atributos que están fuera de los trazados en los que se apoya.


64

Tabla 9.Coherencia


Expresión verbal

Coherencia

Para esta representación el nivel de aprehensión y la sincronía en dos de las tres ideas representadas por el estudiante muestra una leve correspondencia semántica entre el objeto y los atributos que se le asocian, aunque la forma el tablero se asocia con una figura plana, la especificación tridimensional parece desconocerse, lo que no sucede con el cofre.

Es de anotar que los estudiantes privilegian las expresiones verbales que orientan su interpretación así el uso de figuras planas, de allí que esto tiene que ver con la falta de congruencia entre las representaciones semióticas del concepto.


Expresión verbal

Coherencia

Cohesión

La asociación que se observa en esta representación está sujeta a la identificación de un objeto y su característica, pero se establece que el nivel de correspondencia semántica horizontal y vertical no evidencia la unidad significante de características, espacio, dimensión, si bien, la coherencia en esta red de atributos no es congruente

Es de anotar que los estudiantes privilegian las expresiones verbales que orientan su interpretación hacia el uso de figuras planas, de allí que esto tiene que ver con la falta de congruencia entre las representaciones semióticas del concepto. Y la dificulta en el cambio de registro.


Expresión verbal

Coherencia

Cohesión

En el ejercicio de describir la estructura, con todos los elementos que considerará necesarios, podemos observar en esta representación la serie de atributos que se relacionan así, como, la semántica que se utilizó para hacerlo, se realizó con coherencia semántico puesto que inicia desde la parte superior de la estructura y llega a la base, sin embargo los elementos con los que se establecieron correspondencia no son congruentes, ejemplo rectángulo---sólido.


65

6.2.1 Representaciones verbales orales

Tabla 10.Grabación uno

SITUACIÓN

En este momento en el salón donde estas que solidos puedes observar y cuáles son sus características.

DIALOGO Luis Jiménez: “yo estoy colocado por lo menos el tablero que es de forma rectangular la escuadra que es forma triangular. ¿Es así? ¿Así la puedo hacer?” Profesor: “Pero hay más cosas en el salón” Luis Jiménez: “si exacto.”

ANÁLISIS En este relato vemos de nuevo una asociación que deja por fuera la unidad significante de espacio y dimensión, se puede pensar que cuando se realiza la visualización por partes y no las observan globalmente, esto se convierte en un obstáculo en el camino a la aprehensión del concepto matemático.


Tabla 11Grabación dos

SITUACIÓN

¿Si fuéramos a desbaratar estas figuras como quedarían?

.

DIALOGO Faidy: “Profe por lo menos ósea tocaría dibujarla como queda desbaratada” Profesor: “¿Cómo quedaría esa figura si usted la desbaratará?” Faidy: “Por eso la dibujo desbaratada ya.”

ANÁLISIS En este relato se evidencia que la transformación de un registro de representación a otro con la correspondencia de sus atributos, genera un fenómeno de inseguridad y duda. Así se puede percibir dentro de las pautas de la grabación.


Tabla 12.Grabación tres

SITUACIÓN

Aquí también tenemos algunas figuras recortables menciona o dibuja que figura se podría construir con todos o con cada uno de estas.

DIALOGO

Rene Josué: “profe falta una (le falta al taller) de la de arriba”. Profesor: “¿seguro?” Rene Josué: “porque si esta se sube esta, esta, esta. Quedaría una caja y ¿la tapa?”

66

Profesor: “¿podría ser?

ANÁLISIS En este relato hay una coherencia en el dialogo, sin embargo, la apreciación de Rene deja ver que no se alcanza el nivel en una fase conceptual como menciona Vygotsky (1960, 1962), la pregunta que realizo era coherente en su momento con la interpretación que realizaba, pero la visualización que realizo mostraba un esquema global.


6.2.2 Representación geométrica



Congruencia y no congruencia

(Font, 2009)Clasifica las representaciones externas en dos grandes grupos:

Figura 28.Las digitales, discretas, de carácter alfanumérico


Las digitales, discretas, de carácter alfanumérico, la sintaxis de las cuales viene

descrita por una serie de reglas de procedimiento.

67

Figura 29.Representaciones analógicas


Las representaciones analógicas, continuas, de tipo gráfico o geométrico, la sintaxis

de las cuales viene dada por reglas de composición y convenios de interpretación.

De allí que al observar estas transformaciones de sistemas de representación se

puede pensar que el uso de un sistema de referencia, como fue la cuadricula para

estas primeras representaciones se hizo de contexto dinámico y geométrico.

Cuando se les propone la situación que con este plano que imagen construiría

(realiza el dibujo y si puede le pones el nombre)

Figura 30.Representación semiótica


68

Se analiza que en esta forma de representación se pretende explorar en los

estudiantes la capacidad de transformación de un lenguaje plano en dos dimensiones a

una representación semiótica en tres dimensiones o un desarrollo plano y un sólido.

Se observó gran ausencia de respuestas; lo que me lleva a pensar que los estudiantes

no dominaban la construcción de estos sólidos porque de hecho el tiempo fue

suficiente ya que la entrega del material fue voluntaria.

Figura 31.Prisma de base pentagonal y la pirámide de base hexagonal


Dentro de las figuras que presentaron mayor complejidad en su elaboración estaba el

prisma de base pentagonal y la pirámide de base hexagonal

Los resultados de este ejercicio nos dejan ver en algunos de los estudiantes se

necesita un esquema de cuadricula para la elaboración de algunas figuras, mientras

que otros en su elaboración no presentaron una correspondientes geométrica con los

atributos que cada plano ofrecía con la elaboración del solidos puesto que diseñaron

bases rectangulares cuando no existían condiciones para ello; de allí que también se

observó que el cilindro fue la figura que se realiza con mayor facilidad, pero la

posibilidad de acompañar las representaciones semióticas con la respectiva

representación semántica escrita no fue posible sino para una sesta parte de la

población estudiada.

69

Figura 32.Bases rectangulares


Figura 33.Interpretación a la luz de Duval


La interpretación a la luz de Duval de estas representaciones geométricas nos

evidencia que algunos estudiantes pueden llegar a la etapa de tratamiento pero que la

gran mayoría de los estudiantes de la población, no supera la etapa de formación de

sistemas semióticos y otros que no están ni asociando los atributos que allí se

presentaron para su elaboración en la red de atributos.

Dentro de las grabaciones los estudiantes preguntaban “¿será profe que esto será

así?” esto nos deja percibir que no existía seguridad en su elaboración y la forma de

confirmar era la de mirar a un compañero y realizar su comparación.

En este ejercicio se obtuvo una totalidad de respuestas, un fenómeno a tener en cuenta

es que la gran mayoría de la población realiza sus representaciones tomando como un

70

atributo fundamental el uso de rectángulos puesto que en este ejercicio y en el anterior

se percibió bastante este fenómeno.

A la luz de Duval la mayoría de los estudiantes pueden ubicarse en la etapa de

tratamiento cuando el cambio de registro se realiza del solido al desarrollo plano.

Aunque se percibió que algunos de ellos asocian la representación semántica de los

sólidos solo algunos atributos que estos poseen como lo son sus caras.

6.3 PROCESO DE CONVERSIÓN Tabla 13. Unidades significantes


TRAZOS Aunque los trazos no están bien definidos, los segmentos de recta tiene la intencionalidad de mostrar parte todo

CORRESPONDENCIA GEOMÉTRICA.

La asociación de las respectivas láminas obtenidas luego de la construcción de un desarrollo plano muestra la correspondencia de seis posiblemente cuadrados asociados con seis caras cuadradas.

UNIDADES SIGNIFICANTES Volumen Esta unidad significante no se hace evidente puesto las medidas están variantes.

71

6.3.1 Representaciones verbales escritas.

Figura 34.Organización sintáctica, relación con las figuras


La organización sintáctica de esta frase se no puede poner en correspondencia término

a término en relación con las figuras planas; puesto que el uso de la palabra

“diferentes” no permite la coherencia, en la descripción de un rectángulo, pues no

puede tener dos alturas diferentes

En la descripción del cuadrado si se puedeponer en correspondencia término a

término, lo que no sucede en el párrafo como señala Duval, citado por (Ospina García,

2012) la correspondencia semántica que daría el sentido y la armonía al párrafo esta

desviada puesto que claramente se evidencia la ausencia de la unidad significante en

su totalidad solido (y se refleja algunas características aisladas, incoherentes.)

Figura 35.Ausencia de la unidad significante


72

Al observar las imágenes que se tomaron de muestra podemos percibir que esa

asociación de redes geométricas de la misma noosfera de los estudiantes se encuentra

un planteamiento ambiguo o bifurcado o simplemente no existe relación en su

visualización puesto que para algunos estudiantes sólidos la relación se hace con

figuras bidimensionales abstractas y en otras con sólidos asociados, pero se puede

percibir que existen asociaciones que no presentan ningún tipo de atributo en común

como un globo con un heptágono, o una más cercana de un pitillo con un prisma al

parecer en este punto, la vinculación de Duval nos ubica de nuevo en la clasificación

del sistema semiótico de formación. Para (Ospina García, 2012)no existiría una

univocidad semántica terminal puesto que no es clara la relación de correspondencia.

Figura 36.Sistema semiótico de formación


Unidades Significantes


Organización de unidades significantes.

Figura 37. Congruencia y no congruencia


73

En esta representación las frases asociadas que se establecen de manera horizontal

en el párrafo no son consecuentes con la asociación vertical aunque horizontal hay una

asociación de objetos y características elementales, vertical hay una disociación de

figuras geométricas y sólidos.

Aunque existen relaciones internas en cada frase la correspondencia semántica que se

establece para este párrafo, no es consecuente con lo que puede establecer en el

contexto general del mismo, se evidencia la gran dificultad de cambiar el registro de

representación. (Duval, , 2006)

Unidades Significantes.

Figuras sólidas.

Figuras planas

Volumen

Figura 38. Figura solidas, planas volumen.


En esta representación escrita sin bien, existe correspondencia semántica vertical entre

la unidad significante elemental, entienda esta como <característica del objeto> que

presentan los objetos observados por el estudiante; la coherencia en relación con la

asociación horizontal que establece el estudiante muestra el desconocimiento de las

unidades significantes de espacio y dimensión.

74

“El salón completo es un cuadrado tiene todo los lados.” Muestra que no, existe igual

orden de aprehensión de las unidades significantes y establece que en este sistema

de representación no existe correspondencia semántica.

Unidades Significantes.

Objeto.

Objeto matemático

Congruencia semántica

Figura 39.Objeto, matemático, semántica


Si bien es cierto que como menciona(Guzmán R, 1998) El traslado entre registros se

trata de la confrontación de representaciones de naturaleza diferente de un mismo

objeto. Este traslado da lugar a fenómenos de congruencia y no congruencia

semántica. Al observar esta representación podemos ver que el estudiante ya

menciona como evidente la unidad significante global (solido), además centra su

atención en identificar esa red de atributos que pueden asociarse a su descripción. De

aquí que esta representaciones verbal escrita que satisfacen los criterios de

congruencia. Y donde se puede establecer los objetos matemáticos que intervienen en

las prácticas matemáticas, y los emergentes de las mismas, según el nivel de

visualización del estudiante puede ser asociado desde diferentes facetas.

75

Figura 40.Correspondencia semántica vertical y horizontal,


En esta representación verbal se identifica un nivel de correspondencia semántica

vertical y horizontal, además las unidades significantes espacio dimensión, se

evidencia claramente

Esta es de las representaciones verbales escritas que satisfacen los criterios de

congruencia semántica como lo manifiesta (Duval, , 2006) cuando en un cambio de

registro se alcanza la conservación del orden de organización de las atributos

significantes. La identificación y asociación se realizan con base en la selección de un

sólido y la asociando de un objeto concreto.

6.3.2Representaciones verbales orales

Tabla 14. Grabación 1.

SITUACIÓN

Representa mediante una figura las siguiente situación Un acuario donde se pueda ubicar y girar libremente un caimán de 2 metro de largo, 50 cm de ancho y 40 cm de gordo.

DIALOGO Diego molano. “Profe mide dos metro de largo entonces pa´ que se pueda mover libremente, le pongo tres metros y de ancho como mide dos metros, aaa no de ancho mide 50 cm y como dice que da la vuelta, Profesor ¿eso cuanto seria? Diego molano: pues eso sería más o menos…….mmmm. Si de largo mide dos metros, da la vuelta, ósea, vuelve y queda de largo pero en lo ancho, ¿noooo? Profesor ¡no se! ¿Usted qué dice?, ¿Entonces cuánto le va a poner? Diego molano: pues no sé.

ANÁLISIS En este relato es evidente un alcance en el nivel de abstracción cuando pone en evidencia la unidad significante de espacio y dimensión, “Si de largo mide dos

76

metros, da la vuelta, ósea, vuelve y queda de largo pero en lo ancho” que como menciona L. S. Vygotsky (1960, 1962) citado por (D´amore, 2001) el desarrollo conceptual del individuo en su fase conceptual se fundamenta en que primero va de lo concreto a lo figurativo, de lo lógico a lo abstracto. Lo que nos deja identificar que este estudiante presento una congruencia semántica en esta grabación.


6.3.3 Representación grafica

Tabla 15.Proyección


ARMONÍA EN EL

DISEÑO Esta representación

logra realizar una intervención vistosa asociada al uso de diversos recursos

geométricos ESPACIO

la representación logra el propósito de mostrar un objeto tridimensional


LÍNEA

El uso de líneas rectas y curvas en correspondencia con la creación de prismas, y solidos geométricos irregulares determina que hay un avance en la construcción geométrica tridimensional


La proyección de una figura geométrica sobre un plano, desde un punto (al que

llamamos centro o vértice de proyección), será la intersección con el plano, de los

distintos rayos proyectantes que pasan por el centro de proyección y cada uno de los

puntos de la figura (Gómez Aracil, 2015), así vemos que la representación cumple con

un nivel de congruencia entre los dos registros de representación.

Para esta imagen los trazos son un poco imprecisos pues no hay una seriedad en los

mismos. Con uso de reglas no de instrumentos de dibujo.

77

Tabla 16.Proyección 2


Proyección

Espacio

Congruencia geométrica

A diferencia de la anterior grafica los trazos en esta imagen, junto con la proyección de las mismas, el espacio, no ofrecen una correspondencia geométrica tridimensional como lo exige el problema.


“fenómeno de no congruencia, el cual se da entre las representaciones deun mismo objeto que provienen de sistemas semióticos diferentes y el pasaje entre ellas noes inmediato” (Duval, 1999). Para este caso vienen del mismo registro de representación pero la conversión está sujeta a la visibilidad del sujeto.


6.3.4 Representación geométrica




Figura 41. Semántica, Congruencia y no congruencia

78

En la elaboración de estos diseños los estudiantes plantearon desarrollos planos interesantes,

donde se pudo observar que a ellos se les facilita más la elaboración plana, que la construcción

de sólidos en espacio tridimensional.

Desde la dinámica de la representación de Duval la transformación de un registro de

representación a otro registro de representación de un sólido en su respectivo desarrollo

plano, ubica a la gran mayoría de los estudiantes en el proceso de conversión pues que se

vinculan en sus construcciones atributos que se relacionan directamente de una figura

tridimensional a una figura plana

6.3.5Representación de objeto matemáticos concretos

El patrón dibujado en la parte izquierda de la figura permite construir el cubo de la

derecha.

Dibujar la letra, en su posición correcta, que debe aparecer en cada una de las caras

del cubo que se muestra que ha sido obtenido usando el mismo patrón

Tabla 17. Construcción de cubos

En este ejercicio sucedió algo diferente; para la solución de esta situación varios de los muchachos lo que hicieron no fue conjeturar en su nivel abstracto el espacio y la ubicación de cada letra, como lo menciona L. S. Vygotsky (1960, 1962) citado por (D´amore, 2001) sino que lo volvieron un ejercicio tangible es decir con papel recortado hicieron el cubo, lo que deja ver de lado, que no realizaron abstractamente lo solicitado, si no que tuvieron que pasar a una etapa de modelación concreta como lo muestran las fotos. Esto implica, desde nuestro entendimiento, la utilización de diferentes Enfoques para construcción de un sistema de registro, entre ellos: elcampo de las representaciones semióticas y la modelación como aspectointegrador de distintas representaciones y en el contexto real donde muchas veces sedesprenden las situaciones

79

matemáticas. La asociación de rotar, girar, trasladar, etc. En el espacio es un factor constante de ausencia en este taller que se interesó en indagar la relación geometría, contexto y nociones básicas de los sólidos.


80

7. CONCLUSIONES

Desde la Identificación de procesos de tratamiento y conversión de las

representaciones semióticas de sólidos geométricos que hacen de los estudiantes, se

concluye que el contexto de la situación influye en los registros de representación y en

las transformaciones que utilizan los estudiantes para resolverlas, asimismo los

estudiantes aunque algunos identificaron en lassituaciones las unidades significantes

no las visualizan en correspondencia con los otros registros, sin embargo el registro

privilegiado para estaconversión es el registro gráfico escrito, por las numerosas

unidades significantes que posee, y también porque es el recurso cuando no dominan

otros registros de representación, pero también es evidente la no correspondencia de

estas con el registro gráfico de construcción de imágenes, entre ellas la construcción

de solidos desde un desarrollo plano, losvalores que toma cada una de las variables,

cuando pasan de un sistema de representación a otro son de no congruencia aunque

conservaban los atributos iníciales no de conversión. Así como lo fundamental para una

aprehensión conceptual de los objetosmatemáticos”(Duval R. , 1999).

En este proyecto investigativo se logróreconocer el concepto de solido geométrico que

poseen los estudiantes de educación media de la institución Modelia a partir de las

representaciones semióticas, no siendo más que sencillamente la unión de una serie

de figuras planas, sin relacionarse con la misma esencia del concepto, como si la suma

de las partes construyera la esencia del ser.

Dentro del análisis que pueden conjeturar estas aproximaciones al concepto que

poseen

La no asociación de diferentes sistemas de representación, cuando se

relacionaban objetos sólidos con desarrollos planos, e imágenes

correspondientes

81

La relación de los elementos cotidianos de su entorno con un signo verbal o

nombre

La representación gráfica de los sólidos estaba sujeta directamente al uso

generalizado de cuadrados y rectángulos solamente.

No está disponible la capacidad para rotar un sólido en el espacio si no era un

objeto concreto, puesto que cuando debió de hacerse este fenómeno,

construyeron de manera tangible el sólido.

Dentro de los registro semióticos que se analizaron el de mayor correspondencia

y congruencia fue lo redactado, lo grafico referente al diseño de sólidos fue no

congruente en la mayoría de los talleres, y la expresión verbal a través de audios

dejo ver la inseguridad para preguntar algo en concreto.

El ejercicio de hacer diferentes formas de representación de un problema,

pueden tener efectos positivos tanto en facilitar el procesamiento de información,

ayudando a la memoria de corto plazo, como en el hallazgo de relaciones entre

contextos, y de esta manera facilitar tanto la generalización y la transferencia del

aprendizaje para aplicarla ensituaciones concretas.

De allí que (Duval R. , 1999, pág. 181) en el marco de su teoría, exprese que las

dificultades para transitar entre representacionespueden ser interpretadas como la

consecuencia de una deficiente conceptualización delobjeto matemático.

82

RECOMENDACIONES

Es necesario incluir situaciones geométricas que permitan articular diferentes registros

de representación para que los estudiantes adquieran un pensamiento adecuado que

les permita alcanzar una mejor conceptualización de los sólidos.

Se debe incorporar la representación como una herramienta didáctica que permita a

los estudiantes acercarse a los objetos matemáticos y a las situaciones físicas

particulares y relacionarlas con las representaciones semióticas adecuadas de tal

manera que los acerquen al concepto matemático.

Es importante continuar con las investigaciones en torno a las representaciones

semióticas de los conceptos matemáticos y en particular en el campo de la geometría,

ya que estas representaciones son las que permiten el acceso a dichos conceptos

debido a la naturaleza abstracta de esta ciencia, es fundamental para la enseñanza en

el logro de procesos de comprensión en los estudiantes tal como lo plantea Duval

desde su teoría de las representaciones semióticas.

El análisis de los procesos de tratamiento y conversión entre representaciones

semióticas han sido uncampo poco explorado en investigación de la didáctica de las

matemáticas, en el contextodel aula escolar, y es posible que muchas de las

dificultades en el aprendizaje de las matemáticas sedeba al desconocimiento que los

docentes poseen sobre las representaciones y la carga cognitiva que ellas traen, es por

ello que este trabajo extiende la invitación a continuarinvestigando en este tema.

83

REFERENCIAS

Acevedo Caicedo, Myriam Margarita;. (2007). Fundamentación Conceptual Area Matematicas. Bogota: Icfes.

D´Amore, B. (2001). Una Contribución Al Debate Sobre Conceptos Y Objetos. Barcelona, España].: Uno.

D’amore , B. (2004). Conceptualización, Registros De Representaciones Semióticas Y Noética: Interacciones Constructivisticas En El Aprendizaje De Los Conceptos Matemáticos E Hipótesis Sobre Algunos Factores Que Inhiben La Devolución. Uno. Barcelona, España., 90-106.

Duval, R., (1992), Gráficas y Ecuaciones: la articulación de dos registros. En E. Sanchez (Ed.), Antología en Educación Matemática, (pp. 125-139). México: Sección de Matemáticas Educativa del CINVESTAV-IPN.

Duval R. (1998), Signe et objet (I). Trois grandes étapes dans la problématique des rapports entre répresentations et objet. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. 6, 139-163

DUVAL, Raymond. (2006) Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 2006, vol. 9, no 1, p. 143-168.

Font, (2009). Algunos puntos de vista sobre las representaciones en didáctica de las matemáticas. Colección Digital Eudoxus, (11).

Gairín, J. M. (1998). Sistemas De Representación De Números Racionales Positivos Un Estudio Con Maestros En Formación. Tesis Doctoral, Universidad De Zaragoza, 13.

Godino, J. D., & Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactique des Mathématiques. 14, 3, 325-355.

84

Godino, J. D. (2002). Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática. Recherches en Didactique des Mathématiques. 22, 2/3, 237-284.

Gómez Aracil, E. (2 De 6 De 2015). Engoar.Com Escuela Universitaria De Ingenierias De Málaga. Obtenido De Engoar.Com Escuela Universitaria De Ingenierias De Málaga: Http://Engoar.Com/Diedrico2.Pdf

Gutiérrez Otálora, S. I., & Parada Landazábal, D. A. (2007). Caracterización De Tratamientos Y Conversiones: El Caso De La Función Afín En El Marco De Las Aplicaciones. Bogotá D.C: Universidad Pedagógica Nacional. Facultad De Ciencia Y Tecnología. Departamento De Matemáticas.

Guzmán R, I. (1998). Registros De Representación, El Aprendizaje De Nociones Relativas A Las Funciones: Voces De Estudiantes. Revista Latinoamericana De Investigacion En Matematica Educativa,, 5-21

Lozano, F. A., & Rios, M. Y. (1997). Errores Presentados Por Los Estudiantes Del Semestre B-96 De La Licenciatura En Matemáticas Y Física De La Universidad Del Tolima Al Representar El Concepto De Función. Ibagué: Universidad Del Tolima.

Men. (7 De Junio De 1998). Lineamientos De Matematicas. Santa Fe De Bogotá, D.C.,.

Miranda, A. (1998). Dificultades Del Aprendizaje De Las Matemáticas: Un Enfoque Evolutivo. España: Aljibe.

Moreno Chandler, L. R. (2011). Dificultades De Aprendizaje En Matemática. Panama: Caiddam Panamá, Departamento De Matemática Universidad De Panamá.

Muños, J., & Tobon, L. (1998). Representaciones Semioticas Del Concepto De Funcion Real De Variable Real, En Estudiantes De Grado 11 Del Colegio Americano De Ibagué. Ibagué: Universidad Del Tolima.

Muñoz Algarra, J. M., & Tobon Torres, L. (1998). Representaciones Semioticas Del Concepto De Funcion Real De Variable Real, En Estudiantes De Grado 11 Del Colegio Americano De Ibagué. Ibagué: Universidad Del Tolima

http://engoar.com/Diedrico2.Pdf

85

Ospina García, D. (2012). Las Representaciones Semióticas En El Aprendizaje Del Concepto Función Lineal. Manizales-Colombia: Universidad Autónoma De Manizales.

Planchart, O. (2002). La visualización y la modelación en la adquisición del concepto de función (Doctoral dissertation, Tesis doctoral. Instituto de Ciencias de la Educación. Unidad de Matemática Educativa. Cuernavaca, México).

Retamal, I. G. (1998). Registros de representación, el aprendizaje de nociones relativas a funciones: voces de estudiantes. RELIME. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa, 1(1), 5-21.

Sandoval, Y (2012) Las representaciones geométricas como herramienta para la construcción del significado de expresiones y operaciones algebraicas, desarrollado con alumnos del octavo grado del Instituto "San José del Pedregal" Tesis-Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán (Honduras) (P. 6)

Sierpinska A. (1990), Some remarks on understanding in mathematics, For the Learning of Mathematics, 10, 3, 24-36

Tamayo Alzate, Ó. E. (2006). Representaciones Semióticas Conceptuales En La Enseñanza De Las Ciencias Y Las Matemáticas. Revista Educación Y Pedagogía. Vol Xviii Núm 45. Universidad De Antioquia. Facultad De Educación, 37-49.

86

ANEXOS

87

Anexo A. Taller de solidos

REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE SÓLIDOS QUE …repository.ut.edu.co/bitstream/001/1561/1/Trabajo de...

Documents

Transcript of REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE SÓLIDOS QUE …repository.ut.edu.co/bitstream/001/1561/1/Trabajo de...