La Gaceta de la RSME, Vol. 22 (2019), Núm. 2, Págs. 403–419 403

Reseña de libros

«Problemas de Análisis Matemático»,de Fernando Bombal Gordón, Luis Rodríguez Marín y

Gabriel Vera Botí

Esta obra es el resultado de un profundo proceso de revisión,actualización y corrección de los tres volúmenes de laconocida obra de F. Bombal, L.R. Marín y G. Vera, «Problemasde Análisis Matemático», publicada por la Editorial AC entrelos años 1987 y 1988. Son numerosas las generaciones deprofesores y estudiantes de análisis matemático que la hantenido como obra de referencia. Su reaparición, adaptadaa las nuevas titulaciones, es una muy buena noticia: paraEdiciones Electolibris es un gran honor poder ofrecerla denuevo y haber contado con la confianza de los autores.En este volumen los problemas giran en torno a losespacios métricos y el cálculo diferencial. El segundovolumen incluye problemas de cálculo integral.

9 788494 306099

ISBN 978-84-943060-9-9

e-lectoibris Bombal • R. Marín • Vera

Problemas deAnálisis Matemático

1. Cálculo diferencial

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Esta obra es el resultado de un profundo proceso de revisión,actualización y corrección de los tres volúmenes de laconocida obra de F. Bombal, L.R. Marín y G. Vera, «Problemasde Análisis Matemático», publicada por la Editorial AC entrelos años 1987 y 1988. Son numerosas las generaciones deprofesores y estudiantes de análisis matemático que la hantenido como obra de referencia. Su reaparición, adaptadaa las nuevas titulaciones, es una muy buena noticia: paraEdiciones Electolibris es un gran honor poder ofrecerla denuevo y haber contado con la confianza de los autores.En este volumen los problemas giran en torno a losespacios métricos y el cálculo diferencial. El segundovolumen incluye problemas de cálculo integral.

9 788494 306099

ISBN 978-84-943060-9-9

e-lectoibris Bombal • R. Marín • Vera

Problemas deAnálisis Matemático

1. Cálculo diferencial

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Título: Problemas de Análisis Mate-mático. Vol. 1: Cálculo diferen-cial. Vol. 2: Cálculo integral.

Autores: Fernando Bombal Gordón,Luis Rodríguez Marín y GabrielVera Botí

Editorial: Ediciones e-LectoLibris, co-edición con la RSME

Fecha de publicación: 2017Páginas: 367 (vol. 1) y 336 (vol. 2)ISBN: 978-84-946150-8-5

Resulta difícil explicar en qué con-siste el vínculo que, muchos años des-

pués, mantenemos con algunos librosque manejamos durante nuestra etapauniversitaria. Sea porque despertaronnuestro interés sobre esto, revelaron labelleza de aquello o nos ayudaron a en-tender lo de más allá, a menudo volve-mos a ellos en busca de refugio seguro.De algún modo siguen ejerciendo so-bre nosotros una cierta forma de auto-ridad.

Esta reseña tiene como objeto ce-lebrar la reedición de uno de esos tex-tos: la colección de problemas de cálcu-lo diferencial e integral de los profeso-res Fernando Bombal, Luis Rodríguezy Gabriel Vera. Excelente en muchosaspectos, la obra tiene algunas parti-cularidades que merecen ser conocidasantes de pasar a describir con detallesu contenido.

El origen. Nadie ignora los proble-mas a los que se enfrentaba la universi-dad española en tiempos del franquis-mo: mal dotada económicamente, conplanes de estudios y sistemas de en-señanza obsoletos y un profesorado, amenudo, mal preparado, por citar so-lo algunos. Durante la década de los60, el movimiento estudiantil reclamócon insistencia reformas que mejorasen

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este estado de cosas pero exigió tam-bién cambios de otra naturaleza: que sepermitiera la libertad de organizacióny de expresión, que se reconociera elderecho de huelga y que se rehabilita-ra a los compañeros represaliados. Enúltima instancia, que la universidad seconvirtiera en un espacio de libertad.Mientras esto sucedía, los estudiantesiban tomando conciencia del papel sig-nificativo que podían desempeñar en lavida política del país.

Durante esos años se produjo unaumento considerable del alumnado.En la Universidad de Madrid —que apartir de 1970 adoptó el nombre deUniversidad Complutense de Madrid—los estudiantes matriculados en Análi-sis Matemático (segundo de matemá-ticas) y Matemáticas (primero de físi-cas) sumaban más de 500. José Anto-

nio Fernández Viña, recién llegado aldepartamento de Teoría de Funcionescomo profesor agregado, impulsó en elcurso 1968–69 un cambio de programaen ambas asignaturas con el fin de re-novar contenidos, métodos y bibliogra-fía. En el caso de esta última, más quede renovación hay que hablar de am-pliación porque, hasta ese momento, lalista de libros recomendados se reducíacasi exclusivamente al texto de Ricar-do San Juan.1 Entre las nuevas refe-rencias estaban el Cálculo en varieda-des de Spivak y el Functions of SeveralVariables de Fleming, que aún hoy sesiguen utilizando.

Dos jóvenes profesores del cita-do departamento, Fernando Bombal yLuis Rodríguez, comenzaron por esaépoca a redactar notas de teoría y ho-jas de problemas que luego editaba conciclostil la delegación de alumnos. Laidea funcionó bien y las hojas tuvieronenseguida una excelente acogida entrelos estudiantes, pero el invento no du-ró mucho. La máquina, según cuentaFernando Bombal, funcionaba igual debien imprimiendo panfletos de oposi-ción al régimen, que eran acogidos consimilar entusiasmo por la tropa estu-diantil. Las autoridades, sin embargo,mostraban poca inclinación hacia esetipo de literatura (y ninguna hacia elanálisis matemático), de modo que lapolicía terminó cerrando aquella im-prenta.

Poco tiempo después, ambos profe-sores recibieron la propuesta de una pe-queña editorial, AC, que publicaba ma-

1Que el propio autor no tenía en gran aprecio, según escribió Sixto Ríos en la necrológica pu-blicada en la Revista de la Real Academia de Ciencias en 1970. Dice Ríos que constituye unaestimable obra didáctica, aunque San Juan mantiene en ella «una postura notablemente conserva-dora, que podría resumirse en esta frase que algunos de sus colaboradores le escucharon en algunaocasión: “Cauchy podría entender fácilmente todo lo que se ha realizado en lo que va de siglo conel nombre de Análisis moderno, a menos que, aburrido del ropaje verbal de algunos matemáticoscontemporáneos, decidiera regresar a su tumba a la media hora de escuchar.”».

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nuales universitarios, para reunir aque-llas hojas de problemas en un libro.Aceptaron, poniendo como condiciónque el precio de venta no fuera exce-sivo. En la aventura se les unió GabrielVera y el contrato de edición lo firma-ron los tres en Madrid, en octubre de1972. El libro, dedicado al cálculo di-ferencial y cuya portada se reproducemás abajo, se publicó en 1974. Las en-tregas del material se fueron hacien-do por partes y los tres autores nuncadispusieron de un original completo, loque dificultó luego las posteriores edi-ciones. En la primera se tiraron 4000ejemplares y fue tal el éxito que pron-to se adoptó como texto de problemasen toda España y América Latina.

La prevista ampliación del textocon un segundo volumen se fue apla-zando debido a diversas circunstancias.A principios de los 80, la editorial co-menzó a tener dificultades para hacerefectivo el pago de los derechos, a pe-sar de que el libro seguía vendiéndosebien y teniendo una amplia difusión.La situación de la empresa fue a peor

y una comisión de acreedores terminópor hacerse cargo de la gestión. Sin quesepamos muy bien cómo, lograron con-vencer a los autores para acometer laya mencionada ampliación.

El texto original necesitó de una re-novación profunda debido a los cam-bios de contenido en los programas delas asignaturas de análisis matemáticoy la conveniencia de añadir un segun-do volumen (!) de cálculo integral. Lanueva edición, publicada también porla editorial AC, apareció entre 1987 y1988. Aunque recogía gran parte delmaterial anterior, la revisión fue tanextensa que prácticamente se convir-tió en una obra nueva, que fue divididaen tres tomos: los dos primeros dedica-dos al cálculo diferencial y el tercero alcálculo integral. En 2002 la EditorialAC fue comprada por Thomson, queofreció a los autores un contrato parareeditar los libros. El problema es queno tenían un original que presentar ydecidieron rechazar la propuesta.

La presente edición. Comoquie-ra que esos textos se habían dejado deeditar y estaban totalmente agotados,los autores tenían en mente desde ha-ce tiempo el proyecto de acometer unasegunda revisión, que se vio posterga-da por la prematura desaparición deLuis Rodríguez en 2011. Finalmente,Fernando Bombal y Gabriel Vera hanllevado a cabo la tarea apoyados porSalvador Sánchez-Pedreño. El resulta-do acaba de aparecer en dos tomos edi-tados por Electolibris: el primero con-tiene gran parte de los dos primeros vo-lúmenes publicados por AC y el segun-do recoge el contenido del tercero.

Como en la edición anterior, se si-gue echando en falta todo lo relativoal cálculo vectorial: integrales de líneay superficie y aplicaciones de los teore-

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mas de Green, Gauss y Stokes. Durantelas décadas de los 70 y 80 el tema no te-nía la importancia que tiene hoy en losprogramas docentes de las asignaturasde análisis matemático. Estaba inclui-do al final de la parte de integración,habitualmente la última del curso, yen muchas ocasiones no daba tiempoa verlo o su contenido se reducía a in-tegrales de línea y una versión senci-lla del teorema de Green. Los autorestuvieron previsto abordarlo en el con-texto de la integración en variedadespero, en palabras de Gabriel, «habíaque solventar la dificultad de conciliarla sencillez y la claridad de las ideascon el excesivo rigor que nos habíamosimpuesto. Fue pasando el tiempo y notuvimos ocasión de reunirnos para pla-nificar la tarea pendiente, y así quedóla cosa».

El trabajo en esta edición ha consis-tido en una reorganización del material—suprimiendo gran parte del tema deespacios métricos y normados, que aho-ra se reduce a los dos primeros capítu-los del primer volumen— que resultamás natural. El resto de temas tam-bién han sido revisados y actualizados,suprimiendo algunos problemas redun-dantes o poco interesantes, y añadien-do otros nuevos. Además de corregirnumerosas erratas, se han detectado ycorregido errores de cálculo y se han re-dactado soluciones más sencillas de al-gunos problemas, completado tambiénlos preliminares teóricos de algunos ca-pítulos.

Los colores de la portada de estareedición —rojo y gris verdoso— sontan parecidos a los que tenían las por-tadas de los tres volúmenes de AC quela coincidencia no puede interpretarsesino como un guiño para nostálgicos.La estructura interna sigue siendo la

misma: cada capítulo comienza con unresumen de los resultados teóricos co-rrespondientes —sin demostraciones—al que siguen un número variable deejercicios cuidadosamente resueltos y,finalmente, un bloque de ejercicios pro-puestos para su resolución. No hubieraestado de más haber incluido un índi-ce analítico al final de cada volumen afin de facilitar al lector la búsqueda deinformación.

La novedad, en sintonía con lostiempos, es que demostraciones, suge-rencias y soluciones a los problemaspropuestos al final de cada capítulo es-tán disponibles en una página web. Enlos casos en los que no se incluye la so-lución completa, se dan indicaciones oúnicamente el resultado final, pero es-tos son los menos. La organización esbuena: sobre la lista de problemas sepuede cliquear en el que te interesa yse abre otra pestaña con el enunciadoy la solución.

El texto de la obra, por cierto, nose encuentra disponible en versión elec-trónica.

El planteamiento. ¿Qué tiene es-ta obra que la hace diferente a muchosotros repertorios de ejercicios que exis-ten en la literatura matemática? En elprólogo al texto de 1974, Enrique Li-nés ofrece una reflexión sobre esta cues-tión. Señala que la mayoría de los li-bros de problemas tienen como finali-dad «entrenar» al estudiante para quealcance destreza y maestría en el mane-jo de herramientas de cálculo. Pero eltrabajo de un matemático no consisteúnicamente en el manejo de estas he-rramientas sino también —aunque Li-nés no lo dice explícitamente— en elmanejo de ideas. Y entonces prosigue:

«Los autores de este libro [. . .] co-nocen bien cuál ha de ser el sentido de

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un ejercicio o un problema. Se presen-ta al estudiante una situación, que hade colocar en el cuadro de sus cono-cimientos. Después pasará a analizartodos sus detalles apreciando, en ca-da caso, las proposiciones aplicables ylas que no lo son; y cuando no tuvie-ra ninguna proposición que encajara enel caso propuesto, habrá de buscar unasolución más directa y más personal.En este sentido, toda cuestión plantea-da en una clase práctica es una inves-tigación inicial. Este es el estilo queha de tener la enseñanza práctica de laMatemática. No se trata solamente dellegar a una destreza algorítmica, sinode alcanzar un hábito de pensamientodeductivo, analítico y creador.»

Estas consideraciones de Linés sonacertadas, tanto en lo particular comoen lo general. Muchos ejercicios de es-ta colección representan verdaderos re-tos, porque los ejemplos se han escogi-do buscando lo patológico y no la apli-cación rutinaria de los resultados teó-ricos. En consecuencia, el nivel del tex-to es alto. O muy alto, si tenemos encuenta que el nivel de las enseñanzas dematemáticas ha ido descendiendo conlos años. Tanto en los problemas prác-ticos como en los teóricos, la resoluciónde los ejercicios requiere de una ciertamadurez en el manejo y comprensiónde los conceptos y resultados. No hayrecetas, cada problema ha de ser es-tudiado individualmente y requiere laaplicación de los resultados teóricos deuna forma específica.

Lo original del enfoque estriba enque los problemas no están puestos conla única intención de complementar ala teoría, sino para explorar las sutile-zas propias de cada resultado teórico yaclarar ciertos aspectos en su compren-sión. Hay que tener en cuenta, además,

que la teoría proporciona estructura yorganización a una colección tan exten-sa de problemas. La idea, simple peroefectiva, se ha copiado después con éxi-to en otras obras del mismo estilo.

El contenido. El primer volumenestá dedicado al cálculo diferencial. Elcapítulo 1 trata de espacios métricos,límites, continuidad y completitud, es-pacios normados y espacios vectoria-les con producto escalar. Las normas p(1 ≤ p ≤ ∞) en Rn sirven para ilustrarla equivalencia de normas y se introdu-cen los espacios de funciones clásicos`∞(Γ) y Cb(X), donde Γ es un con-junto cualquiera y X un espacio métri-co arbitrario. Los ejercicios son de tipopráctico y teórico, pero abundan másestos últimos. El cálculo de límites me-diante el cambio a coordenadas pola-res o el estudio de la función distanciaa un conjunto en un espacio métricocualquiera son ejemplos en una y otracategoría. Aparecen también la conti-nuidad uniforme y el teorema del pun-to fijo para aplicaciones contractivas enespacios métricos completos.

El capítulo 2 está dedicado a com-pacidad, conexión y funciones conti-nuas definidas en conjuntos con estaspropiedades. Entre los ejercicios resuel-tos están los relativos a la equivalenciade todas las normas en Rn y la conti-nuidad de todas las aplicaciones linea-les definidas en esos espacios.

El capítulo 3 se ocupa de funcio-nes diferenciables y derivadas de or-den superior. Junto a los conceptos dediferenciabilidad de una función defi-nida en un abierto de Rn con valoresen Rm, matriz jacobiana, derivada par-cial, direccional y gradiente, se presen-tan la condición suficiente de diferen-ciabilidad, el teorema del valor medio,el de los incrementos finitos y las diver-

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Los autores en 2003 (de izquierda a derecha, Luis Rodríguez Marín, Fernando Bom-bal y Gabriel Vera). Cortesía de Gabriel Vera.

sas reglas de diferenciación. Las deriva-das de orden superior, las funciones declase Cp y el resultado sobre la igual-dad de las derivadas parciales cruzadascuando estas son continuas cierran elapartado de resultados teóricos. En losejercicios prácticos se estudia, en ejem-plos concretos, la existencia de deriva-das direccionales y la diferenciabilidady continuidad de las derivadas parcia-les de funciones de dos o tres variables.

El capítulo 4 está dedicado a losteoremas de la función inversa e implí-cita, el concepto de dependencia fun-cional y los difeomorfismos o cambiosde variable. A continuación se resuel-ven problemas prácticos: comprobarque se cumplen las hipótesis del teo-rema de la función inversa o implícita,obtener explícitamente una inversa lo-cal, calcular derivadas parciales de or-den uno y dos de alguna función inver-sa o implícita y determinar la regióndel dominio de la función donde se pue-de aplicar el teorema de la función in-versa. En otros no se puede aplicar elteorema de la función inversa y hay quededucir de otra forma la existencia o no

de una inversa local. Algunos proble-mas involucran cambios de variable enecuaciones en derivadas parciales, in-variancia de un determinado operadorpor la transformación de Lorentz, su-cesiones iteradas para aproximar unafunción implícita o la forma del opera-dor laplaciano en coordenadas polares.

En el capítulo 5 se tratan la fórmu-la de Taylor, los máximos y mínimosrelativos de una función, y las condi-ciones necesarias o suficientes para suexistencia en términos de la matriz hes-siana. Además de ejercicios prácticosde cálculo, aparecen otros en los quehay que utilizar el desarrollo de Tay-lor para obtener ciertas acotaciones delas derivadas parciales o demostrar laanaliticidad de la función, o se propo-ne el desarrollo de Taylor de una com-posición de funciones, por ejemplo. Enalgunos casos se estudian también losextremos absolutos. Para la obtenciónde extremos no siempre pueden apli-carse directamente resultados teóricosy han de hacerse razonamientos par-ticulares analíticos o geométricos. Seplantea también el estudio de extremos

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relativos en funciones implícitas y lacaracterización de la convexidad parafunciones diferenciables (de clase C2)a través de la diferencial (la diferencialde orden dos, respectivamente).

El capítulo 6 y último del primervolumen está dedicado a extremos con-dicionados. En una primera parte seexponen los conceptos de variedad dife-renciable en Rn, espacio tangente, teo-rema de los multiplicadores de Lagran-ge y un par de condiciones suficientespara extremos condicionados: el mé-todo de las funciones implícitas y eldel espacio tangente. Entre los proble-mas resueltos aparecen la diagonaliza-ción de una matriz simétrica utilizan-do técnicas de este capítulo, el cálculode puntos de máxima y mínima distan-cia a un punto dado en una variedad,de máximos y mínimos absolutos enun variedad, de extremos relativos ensubconjuntos compactos (no necesaria-mente variedades) de Rn cuya fronterase divide en una unión finita de conjun-tos en cada uno de los cuales se apli-ca el teorema de los multiplicadores deLagrange. Se consideran también pro-blemas de cálculo de regiones del plano(o sólidos) con área (o volumen) máxi-ma bajo ciertas restricciones de igual-dad. Entre los más teóricos cabe desta-car el teorema de Hadamard relativo auna acotación para el determinante deuna matriz.

El segundo volumen, en el que seaborda el cálculo integral, comienzacon el capítulo 7, que está dedicado ala integral de Riemann para funcionesde una y varias variables: integrales in-ferior y superior, funciones integrables,criterio de integrabilidad de Riemann ypropiedades fundamentales de la inte-gral. Se repasan también los conceptosde medida nula y contenido nulo y los

teoremas de Lebesgue (caracterizaciónde las funciones integrables Riemann),fundamental del cálculo integral e inte-gración por partes (para funciones deuna variable), cambio de variable dela integral, y Fubini. Los ejercicios quesiguen son prácticamente en su totali-dad de carácter teórico: corolarios so-bre el criterio de integrabilidad de Rie-mann, acotaciones o igualdades paraciertas integrales, existencia de primi-tivas, permutación del límite bajo elsigno integral, integrabilidad de ciertasfunciones patológicas e integración ite-rada.

El capítulo 8 trata sobre cambio devariable de la integral de Riemann parafunciones de varias variables y aplica-ciones geométricas. Los problemas secentran en el cálculo de integrales enconjuntos medibles Jordan y las pro-piedades de estos conjuntos, el cambiode variable y sus ejemplos más nota-bles (coordenadas polares, cilíndricas yesféricas), y el cálculo de volúmenes ybaricentros, entre otras cosas.

El capítulo 9 se ocupa de las inte-grales impropias, los diversos tipos deconvergencia (puntual, uniforme y uni-forme sobre compactos) de sucesionesy series de funciones, así como de laspropiedades de estas con respecto a laintegración y la derivación. Las funcio-nes definidas por integrales ordinarias eimpropias y la derivación bajo el signointegral también encuentran su acomo-do en esta sección. Entre los problemasresueltos más llamativos están los re-lativos a la construcción de series defunciones que son continuas y no sonderivables en ningún punto. Se echanen falta más ejercicios resueltos de in-tegrales impropias de varias variables.

En el capítulo 10 encontramos la in-tegral de Lebesgue para funciones de

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una variable: medida exterior y medidade Lebesgue en R, funciones simples,medibles e integrables, lema de Fatou,teoremas de la convergencia monótonay dominada. Los preliminares teóricosterminan con la relación entre la inte-gral de Riemann y la de Lebesgue. En-tre los problemas resueltos más nota-bles están la prueba de que L1(E) conla norma ‖ · ‖1 es un espacio de Ba-nach para cualquier conjunto E ⊂ Rmedible Lebesgue, la densidad del es-pacio de las funciones escalonadas yel espacio de la funciones continuas enL1([0, 1]), el teorema de Egoroff, la re-lación entre la convergencia en casi to-do punto de una sucesión de funcionesy la convergencia en la norma ‖ ·‖1, asícomo algunos teoremas de continuidady derivación bajo el signo integral defunciones definidas por integrales parala integral de Lebesgue.

El segundo volumen termina conun apéndice dedicado a recordar algu-nos de los métodos de integración parafunciones de una variable (sustitución,partes, integración de funciones racio-nales, método de Hermite, integraciónde funciones racionales en ciertas ex-presiones, algunas binómicas, y algu-nas racionales en senos y cosenos, etc.)

seguidos de un surtido de ejercicios re-sueltos y por resolver aplicando esosmétodos.

A modo de conclusión. Lo escri-to hasta aquí puede resumirse diciendoque Problemas de Análisis Matemáticoes una obra extraordinaria con un ca-rácter singular. Aun con sus defectos,se trata de un clásico que durante añosha servido para la formación de nume-rosas generaciones de estudiantes y co-mo referencia obligada para sus profe-sores de análisis matemático. Es posi-ble que hoy responda más a las nece-sidades de estos que a las de aquellos,pero en todo caso siempre puede ser-vir como un magnífico complemento aotros libros de menor nivel y como retopara alumnos avanzados.

Agradecimientos. Esta reseña nohubiera sido posible sin los datos quenos ha facilitado Gabriel Vera por co-rreo, la información que (junto a lasdos imágenes de las portadas que apa-recen en el texto) nos ha proporcio-nado Fernando Bombal —en forma depresentación en PowerPoint y duranteuna larga y amena conversación en unavisita suya a la UAM—, y los comen-tarios de diversos colegas.

Mar Jiménez Sevilla, Dpto. de Análisis Matemático, Universidad Complutense de MadridCorreo electrónico: marjim@mat.ucm.es

José Pedro Moreno, Dpto. de Matemáticas, Universidad Autónoma de MadridCorreo electrónico: josepedro.moreno@uam.es

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«Singularities, Algebraic Geometry, Commutative Algebra,and Related Topics: Festschrift for Antonio Campillo on the

Occasion of his 65th Birthday»,editado por Gert-Martin Greuel, Luis Narváez Macarro y

Sebastià Xambó-Descamps

Gert-Martin Greuel  Luis Narváez MacarroSebastià Xambó-Descamps Editors

Singularities, Algebraic Geometry, Commutative Algebra, and Related TopicsFestschrift for Antonio Campillo on the Occasion of his 65th Birthday

Título: Singularities, Algebraic Geo-metry, Commutative Algebra,and Related Topics: Festschriftfor Antonio Campillo on the Oc-casion of his 65th Birthday

Editores: Gert-Martin Greuel, LuisNarváez Macarro y SebastiàXambó-Descamps

Editorial: SpringerFecha de publicación: 2018Páginas: xvi+604ISBN: 978-3-319-96826-1 (papel), 978-

3-319-96827-8 (electrónico)

Este libro, como indica su subtí-tulo, conmemora la figura de Antonio

Campillo, catedrático de Álgebra en laUniversidad de Valladolid. La iniciati-va de publicarlo surgió de forma na-tural como consecuencia del homenajeque tuvo lugar en su honor del 19 al23 de junio de 2017 durante el CuartoEncuentro Conjunto de la Real Socie-dad Matemática Española y la Socie-dad Matemática Mexicana. Dos sesio-nes especiales y dos conferencias plena-rias del Encuentro, así como una jor-nada científica adicional el día 23, es-tuvieron dedicadas a la celebración deeste homenaje.

La elaboración de este volumen,principalmente por parte de los edito-res y también de todos los que han co-laborado, ha gozado de una dedicacióny esmero que reflejan el respecto tan-to académico como personal a la figu-ra de Antonio Campillo. Como mues-tra, aunque sea anecdótica, sirva recor-dar que la presentación del libro en laUniversidad de Valladolid tuvo lugar el26 de noviembre de 2018, precisamen-te el día del 65 cumpleaños del profesorCampillo.

Antonio Campillo comienza su vidaacadémica en la Universidad de Valla-dolid, donde obtiene la Licenciaturaen Ciencias Matemáticas en 1976 yel título de Doctor en 1978. Despuésde estancias postdoctorales en Colum-bia y Harvard, obtiene un puesto de

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Agregado en la Universidad de Sevillaen 1983, donde acaba siendo Catedrá-tico de Geometría y Topología, y en1984 obtiene su Cátedra actual en elárea de Álgebra en la Universidad deValladolid. Este pequeño esbozo debiografía académica no refleja la pro-funda dedicación del profesor Campi-llo a las Matemáticas, dedicación quees principalmente investigadora y do-cente, pero también de servicio: basterecordar que de 2009 a 2015 ha sidopresidente de la RSME. Se pueden en-contrar más detalles de la biografía deAntonio Campillo en la entrada a sunombre en ArbolMat (https://www.arbolmat.com/antonio-campillo/)o, mucho mejor, en el primer capítulode este libro, escrito por F. Monse-rrat y S. Xambó-Descamps, donde sedescriben aspectos de su vida hasta laactualidad.

Pero hemos venido hasta aquí parahablar de este libro, que se puede consi-derar un reflejo de la impronta que vadejando A. Campillo en las Matemá-ticas. Después del prólogo escrito poruno de los editores, G-M. Greuel, y dela biografía antes mencionada, vienen26 contribuciones de distintos autores,muchos de ellos colaboradores de A.Campillo, y todos ellos colegas de pro-fesión que han querido contribuir al vo-lumen. En total, en este volumen apa-recen 54 autores distintos.

Cada una de las 26 contribucioneses una aportación reciente de la inves-tigación de los autores, que se agrupanen cinco bloques temáticos: Singulari-dades las diez primeras, Geometría Al-gebraica las cinco siguientes, otras cin-co dedicadas al Álgebra Conmutativa,los Códigos Algebraicos aparecen entres contribuciones, y las últimas tresdedicadas a otros temas que no se en-

marcan en los anteriores. Esta variedadde contenidos entra dentro del amplioabanico de campos cubiertos por la in-vestigación del profesor Campillo.

1. Singularidades1.– La primera contribución está escri-ta por G-M. Greuel y presenta distin-tos resultados sobre equisingularidadde curvas. Se describen brevemente losresultados de A. Campillo sobre desa-rrollos de Hamburger-Noether. Estosdesarrollos permiten definir exponen-tes característicos para curvas planasdefinidas sobre un cuerpo algebraica-mente cerrado de cualquier caracterís-tica. También se trata la clasificaciónde singularidades de hipersuperficies yse termina el capítulo con el estudio dela determinación finita de hipersuper-ficies, caracterizada recientemente entérminos del número de Milnor y el nú-mero de Tjurina.2.– La segunda contribución, escritapor E. R. García Barros, P. D. Gon-zález Pérez y P. Popescu Pampu, es-tudia superficies normales y analíticassobre los complejos, en concreto aque-llas superficies tales que el grafo dualasociado a su resolución de singulari-dades es de tipo árbol. Para estas su-perficies S y fijada una rama de curvaL en S, los autores definen una fun-ción UL(A, B) usando teoría de inter-sección, y demuestran que UL es unaultramétrica en el espacio de las ramasanalíticas de S distintas de L. Este re-sultado generaliza un teorema anteriorde A. Płoski para series convergentesen dos variables.3.– B. Teissier es el autor de la terceracontribución, que presenta dos obser-vaciones relacionadas con la geometría

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tórica. La primera trata del uso de de-formaciones de variedades tóricas queen el punto especial dan lugar a unavariedad que no es tórica. Estas defor-maciones pueden ser útiles para infe-rir resultados sobre la fibra especial enfunción del comportamiento de las fi-bras tóricas, donde los cálculos son mássencillos. La segunda observación estu-dia los preórdenes aditivos de Zr y surelación con límites proyectivos de va-riedades tóricas.4.– El siguiente capítulo está firmadopor E. R. García Barroso y A. Płoski;en él estudian la fórmula de Milnor querelaciona el número de Milnor de unacurva plana, el número de puntos do-bles y el número de ramas de la curva.En característica positiva esta igualdades una desigualdad y están caracteriza-das las curvas para las que se tiene laigualdad. Los autores repasan resulta-dos conocidos sobre este tema y refinanun teorema suyo anterior que caracte-riza las curvas «tame».5.– El capítulo firmado por J. Oliva-res está dedicado al estudio de foliacio-nes del plano proyectivo. El problemaque se trata es si los puntos singulares(o un subconjunto) de la foliación de-terminan la foliación en sí misma. Sepresenta un resultado, basado en tra-bajos anteriores con A. Campillo, sobreel grado mínimo de un subesquema dellugar singular que determina la folia-ción.6.– La sexta contribución está escritapor P. Cassou-Noguès y M. Raibaut yestudia la fibra de Milnor motívica decurvas planas. Se da una expresión deesta fibra de Milnor en función de polí-gonos de Newton, que son objetos com-binatorios. Los autores deducen tam-bién una fórmula para el cálculo de la

característica de Euler de la fibra deMilnor usando esos polígonos de New-ton, que generaliza un resultado ante-rior de Kouchnirenko.7.– El siguiente capítulo, de D. Duartey D. G. Tripp, estudia el uso de la mo-dificación de Nash en la resolución desingularidades. Para una curva, es co-nocido que con la iteración sucesiva dela modificación de Nash se acaba obte-niendo una resolución de singularida-des de la curva. Los autores estudianel caso de curvas tóricas y dan, entreotros resultados, una cota para el nú-mero de iteraciones necesarias para ob-tener el resultado final.8.– La contribución número ocho, fir-mada por M. González Villa, G. Ken-nedy y L. J. McEwan, da una fórmularecursiva para la fibra de Milnor mo-tívica de una curva plana en funciónde sus exponentes de Puisseux. Tam-bién dan una fórmula recursiva para elespectro de Hodge.9.– El capítulo firmado por L. NarváezMacarro está dedicado a las llamadasaplicaciones de sustitución. Dada unak-álgebra A (en general no conmutati-va), se consideran series de potenciascon coeficientes en A. Las aplicacionesde sustitución tienen las propiedadesnecesarias para que tenga sentido lasustitución de las variables de la seriede potencias por otras series. Se desa-rrollan fórmulas y propiedades de estasaplicaciones de sustitución y se apli-can al caso de la derivadas de Hasse-Schmidt.10.– La contribución número diez, deD. Sulca y O. Villamayor Uriburu, estádedicada al problema de la resoluciónde singularidades sobre un cuerpo per-fecto de característica p ≥ 0. Se estudiael uso de la función multiplicidad de

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una variedad X y cómo se describe ellugar de puntos de multiplicidad máxi-ma en función de la máxima multiplici-dad de hipersuperficies escogidas ade-cuadamente para X. El método permi-te dar una resolución de singularidadesen el caso de característica cero.

2. Geometría Algebraica11.– La primera contribución del blo-que dedicado a la Geometría Algebrai-ca está firmada por B. L. de la RosaNavarro, G. Failla, J. B. Frías Medina,M. Lahyane y R. Utano. Este capítuloestudia las superficies platónicas, queson superficies tales que el monoide delas clases de sus divisores efectivos estáfinitamente generado y además el planoproyectivo es un modelo mínimo de lasuperficie de tal modo que los diviso-res anticanónicos efectivos forman untriángulo. Los autores demuestran queel anillo de Cox de las superficies pla-tónicas está finitamente generado.12.– La segunda contribución de estebloque, de E. Artal Bartolo, J. I. Co-golludo Agustín y J. Martín Morales,estudia superficies racionales. En con-creto, las superficies tóricas regladas yracionales. Los autores dan una des-cripción del grupo de Picard de estassuperficies S y calculan los grupos decohomología de los haces OS(D), don-de D es un divisor de Weyl de S.13.– L. Costa y R. M. Miró Roig fir-man la siguiente contribución, que es-tudia los fibrados de Ulrich de P2. Unfibrado de Ulrich, que se define parauna variedad lisa proyectiva Y y un di-visor muy amplio de Y , es un fibradovectorial que cumple una cierta condi-ción de anulación de su cohomología.En este capítulo se caracterizan los en-teros r y d para los que existe un fibra-

do de Ulrich de rango r para el planoproyectivo y el divisor que define la in-mersión de Veronese de grado d de P2.14.– El siguiente capítulo, de M. R.González Dorrego, está dedicado a lassingularidades de Kodaira, un tipo es-pecial de superficies obtenidas a partirde una fibración de curvas. Se estudianlas curvas regulares que pueden apare-cer en este tipo de superficies.15.– El último capítulo del bloque deGeometría Algebraica, firmado por S.López de Medrano, estudia interseccio-nes transversales de cuádricas reales ycomplejas. Este estudio lleva a descu-brir propiedades de la matriz de Van-dermonde obtenida con las raíces de launidad.

3. Álgebra Conmutativa16.– El bloque de Álgebra Conmuta-tiva comienza con la contribución deA. Arratia, dedicada a problemas deoptimización asociados a un complejosimplicial. En concreto, maximizar unafunción lineal en las caras del comple-jo simplicial. Se estudia cuándo la sali-da del algoritmo «greedy» da una res-puesta óptima y su relación con la pro-piedad de ser Cohen-Macaulay de álge-bras asociadas al problema combinato-rio.17.– La segunda contribución del blo-que, de L. F. Matusevich e I. Ojeda, es-tudia la relación entre las congruenciasen Nn y los ideales binomiales. Se re-pasan resultados que permiten deducirpropiedades de una congruencia a par-tir de un ideal binomial que la realice.18.– La siguiente contribución está fir-mada por G. Cortiñas, C. Haesemeyer,M. E. Walker y C. A. Weibel, y es-tá dedicada al estudio de la K-teoría

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de esquemas monoide. Los autores de-muestran el teorema de dilatación paraciertos esquemas monoide. En particu-lar, se tiene el teorema de dilataciónpara esquemas monoide tóricos sobreun anillo conmutativo regular, que ge-neraliza el teorema ya conocido paraesquemas afines conmutativos y regu-lares sobre un cuerpo.19.– La cuarta contribución del bloquede Álgebra Conmutativa, de S. D. Cut-kosky, estudia las valoraciones de Abh-yankar, que son aquellas para las que ladesigualdad de Abhyankar para valora-ciones es una igualdad. En este capítu-lo, el autor estudia si el anillo graduadode un anillo local A a lo largo de unavaloración de Abhyankar es finitamen-te generado. Se caracterizan los anillosA regulares de dimensión dos para losque se tiene respuesta positiva y se danejemplos en los que el anillo graduadono es finitamente generado.20.– La última contribución de estebloque, firmada por P. Gimenez, J.Martínez Bernal, A. Simis, R. H. Villa-rreal y C. E. Vivares, estudia el álgebrade Rees de las potencias simbólicas deun ideal monomial. También se carac-teriza cuándo el álgebra asociada a undigrafo es Cohen-Macaulay, y se prue-ba que existe una dualidad de Alexan-der para grafos orientados transitivos.

4. Códigos Algebraicos21.– El bloque dedicado a los CódigosAlgebraicos comienza con la contribu-ción de J. I. Farrán, que estudia asin-tóticamente el cociente entre el númerode puntos racionales de curvas irredu-cibles y su género. En la literatura seconocen cotas superiores e inferiores deeste límite, pero su valor exacto excep-to en casos particulares no se conoce.

En este capítulo, el autor prueba queeste límite se puede expresar tambiénusando curvas reducidas, no irreduci-bles pero con el número de componen-tes irreducibles acotado.22.– En la segunda contribución de es-te apartado, de C. Galindo, F. Her-nando, F. Monserrat y R. Pellikaan, seconstruye una serie de Poincaré en va-rias variables asociada a un código li-neal sobre Fq. Los autores demuestranque la serie de Poincaré y el polinomiode Tutte asociados a un código contie-nen los dos la misma información so-bre el código. La pregunta natural, sila serie de Poincaré es un invariantecompleto, tiene respuesta afirmativa siy sólo si q = 2 o q = 3.23.– La última contribución del bloquede códigos, de D. Ruano, estudia lasformas bilineales sobre cuerpos finitosy cómo su clasificación da lugar a unadescomposición geométrica de un códi-go lineal. Esto permite extender la es-tructura métrica de los códigos tóricosa códigos cualesquiera.

5. Otros24.– El último bloque comienza con lacontribución de A. García, L. Palaciosy C. Signoret, que se dedica al estu-dio del álgebra de funciones continuasy acotadas de un espacio Hausdorff Xen un álgebra A pseudoconvexa. Losautores prueban que algunas propieda-des del álgebra A son heredadas por elespacio de funciones.25.– La siguiente contribución, de R.G. Campos, prueba que las funcionestheta son soluciones de una ecuacióndiferencial en derivadas parciales frac-cionaria que generaliza las ecuacionesde difusión.

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26.– La última contribución de estebloque, y del volumen, está firmadapor G. González Sprinberg. Comienzacon la historia del número áureo y lasucesión de Fibonacci, para continuarcon la introducción de las fraccionescontinuas y su interpretación geomé-trica en el plano. Esta interpretacióngeométrica da lugar a la generalizaciónde las fracciones continuas a dimensión

superior, y se dan algunos resultadosen dimensión tres.

En este volumen, cada capítuloes interesante por sí mismo. Además,también es una buena representaciónde la influencia de A. Campillo en loscampos de las Matemáticas en los quese han dividido las distintas contribu-ciones.

Santiago Encinas, Dpto. de Matemática Aplicada, Instituto de Investigación en Mate-máticas, Universidad de ValladolidCorreo electrónico: sencinas@maf.uva.esPágina web: http://www.singacom.uva.es/~santi/index_ES.html

«Giovanni Battista Guccia: Pioneer of InternationalCooperation in Mathematics»

de Benedetto Bongiorno y Guillermo P. Curbera

Título: Giovanni Battista Guccia: Pio-neer of International Coopera-tion in Mathematics

Autores: Benedetto Bongiorno y Gui-llermo P. Curbera

Editorial: SpringerFecha de publicación: 2018Páginas: xxii+301ISBN: 978-3-319-78666-7 (papel) y 78-

3-319-78667-4 (electrónico)

Comencemos por hablar de los au-tores. Benedetto Bongiorno ha sido ca-tedrático de análisis matemático en laUniversidad de Palermo desde 1976hasta su jubilación en 2012. Fue miem-bro del comité científico de la Unio-ne Matematica Italiana y es Editor

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Adjunto del Journal of MathematicalAnalysis and Applications desde el año2000. B. Bongiorno es miembro de laAcademia de Ciencias, Letras y Artesde Palermo desde 1980 y —lo que quizásea más relevante en relación a la obraque nos ocupa— fue Vicepresidente delCircolo Matematico di Palermo entre1983 y 1997. Guillermo Curbera es ca-tedrático de análisis matemático de laUniversidad de Sevilla. Fue Editor Ge-neral de la RSME desde 2006 hasta2009 y es Conservador de los archi-vos históricos de la Unión MatemáticaInternacional (IMU). Esta faceta suyade conocedor y amante de la evoluciónhistórica de la componente internacio-nal del avance de las matemáticas, quees en la que se encuadra el libro reseña-do, es bien reconocida y comenzó consu labor como comisario de la exposi-ción «Los ICM a través de la historia»que se organizó como parte de las acti-vidades del ICM2006 en Madrid; expo-sición muy pertinente por ser el cele-brado en España el vigésimoquinto delos Congresos Internacionales de Mate-máticos. Como continuación y profun-dizando en los contenidos de la exposi-ción, Curbera escribió el precioso libro«Mathematicians of the World, Unite!:The International Congress of Mathe-maticians –A Human Endeavor», pu-blicado en 2009 por A K Peters, y quefue regalo oficial a los premiados con lamedalla Fields en el ICM2010.

Ya con el libro en nuestras manos,nos asaltan algunas preguntas: ¿quiénserá este elegante caballero decimonó-nico que tan directamente nos miradesde la portada?, ¿qué habrá hechoGuccia para suscitar el interés de losautores y moverles a realizar el enor-me esfuerzo documental necesario paraconstruir esta obra? Intentaré contes-

tar a estas preguntas sin desvelar mu-cho, ya que no quiero reducir el suspen-se de los lectores a los que, dicho sea deantemano, recomiendo vivamente estetexto que se lee como una novela.

Esta obra es a la vez biografía e his-toria de las instituciones y la comunica-ción científicas, no por capricho de losautores, sino porque la vida de Guc-cia y la de los primeros treinta añosdel Circolo Matematico di Palermo yde su revista los Rendiconti del Circo-lo Matematico de Palermo, están de talforma entretejidas que es imposible en-tender cualquiera de ellas sin conocerla otra.

Giovanni Battista Guccia fue unmatemático nacido en Palermo en1855, cuando todavía el Reino de lasDos Sicilias no formaba parte del Reinode Italia, que se fundó en 1861. Guccianació en el seno de una rica familia sici-liana, emparentada con la nobleza, enconcreto con el Marquesado de Gan-zaria. Esta situación privilegiada des-de el punto de vista económico y sociales muy relevante para el desarrollo desu actividad como matemático ya quele permitió, no solo estudiar en Roma,sino también viajar por Europa duran-te varios meses al año, dedicarse a lainvestigación antes de tener una vincu-lación con la Universidad, financiar consu propia fortuna una gran parte de losgastos del Circolo, e incluso fundar unaimprenta para asegurar la calidad y larapidez en la producción de los Rendi-conti. Los autores nos ayudan a enten-der este contexto histórico y familiaren el primer capítulo, con referencias aobras de historia pero también con lamención como referente de uno de losmiembros más famoso de la familia deGiovanni Guccia: su tío Giulio FabrizioTomasi, Príncipe de Lampedusa, per-

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sonaje principal de la novela «El Gato-pardo» de Guiseppe Tomasi de Lampe-dusa de la que, por cierto, Anagramaha sacado hace unas semanas una bue-na reedición corregida.

Tras comenzar sus estudios de in-geniería en la universidad de su ciudadnatal, Guccia decidió cambiar a una ca-rrera de matemáticas en la Universidadde Roma, atraído por la figura de Lui-gi Cremona, a quien conoció durante laparticipación del importante geómetraen la reunión de la Sociedad Italianapara el Desarrollo de las Ciencias, ce-lebrada en Palermo en 1875. Cremonale dirigió más tarde su tesis doctoral,defendida en 1880. El campo de la te-sis de Guccia y de su obra posterior esla geometría algebraica. Como indicanlos autores, «Guccia comenzó su carre-ra científica en el lugar correcto y en ladirección correcta», pero con el tiem-po y por diversas razones, los promete-dores inicios no llegaron a cuajar y suactividad investigadora podemos decirque cesa en 1895, casi coincidiendo consu acceso a la cátedra en la Universi-dad de Palermo, de la que era profesordesde 1889.

Entre las razones por las que su in-vestigación fue quedando relegada a unsegundo plano se encuentran sin du-da su delicada salud y la necesidad deatender a los negocios familiares pero,de una manera muy especial, su entre-ga a la creación del Circolo en 1884y la puesta en marcha y dirección delos Rendiconti, a partir de 1887. Estadedicación fue creciendo a la par quela asociación y la revista aumentabansu prestigio internacional hasta formarparte de la élite en ambos terrenos; si-tuación que estaba en un momento ál-gido cuando fue bruscamente truncadaa finales de 1914, justo tras celebrar los

treinta años de la fundación del Cir-colo, por dos acontecimientos indepen-dientes y ambos desgraciados: el tem-prano fallecimiento de Guccia y el co-mienzo de la Primera Guerra Mundial.

Bongiorno y Curbera nos conducen,en los capítulos cuarto, quinto y sexto,por este esforzado ascenso del Circolodesde una asociación de 27 amantes delas matemáticas —solo nueve de elloseran matemáticos profesionales: cincoprofesores universitarios y cuatro pro-fesores de instituto— creada por unjoven doctor sin conexión con la uni-versidad, hasta una sociedad interna-cional con 924 miembros de los cua-les 618 eran extranjeros; con diferen-cia la mayor y con mayor porcentajede extranjeros del mundo en 1914. Allínos cuentan cómo el enorme esfuerzopersonal y económico de Guccia, uni-do a su conocimiento de lo que se es-taba haciendo en los centros punterosde Europa, a su convencimiento de laimportancia de la cooperación interna-cional de los matemáticos, a su poderde persuasión, a su amistad tempranacon grandes matemáticos como Poin-caré o Mittag-Leffler, y al diseño queingenió de interdependencia entre aso-ciación y revista, dieron como resulta-do algo que parece un milagro: una so-ciedad de marcado carácter internacio-nal con sede en una ciudad de provin-cias, situada en la periferia de Europay alejada de los grandes centros don-de se estaban desarrollando los avancesmatemáticos espectaculares del cambiode siglo, que editaba una revista en laque publicaban los matemáticos másimportantes del momento y que se re-cibía en los mejores centros de inves-tigación. Una revista que se codeabacon sus contemporáneas como Journalfür die reine und angewandte Mathe-

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matik, Journal de Mathématiques Pu-res et Appliquées o Acta Mathematica.

En estos capítulos del libro se rela-ta también cómo la celebración de losprimeros ICM —Zurich (1897), París(1900), Heidelberg (1904), y especial-mente el que tuvo lugar en Roma en1908 y en el que Guccia estuvo profun-damente involucrado— supuso para elprotagonista de esta obra una confir-mación de que sus ideas de internacio-nalización estaban en sintonía con lostiempos y eran compartidas por mu-chos e importantes matemáticos. Estoscongresos le sirvieron de inspiración yacicate, pero a la vez fueron una fuentede decepciones para Guccia.

Resulta muy útil para entender es-ta aventura de Guccia y su impresio-nante resultado conocer el contexto in-ternacional que se explica muy bien enel tercer capítulo del libro. Y resultabastante triste ver en el capítulo sépti-mo el rápido declive del Circolo y susRendiconti, que sobrevivieron con mu-chas dificultades en el ambiente, pocopropicio a la colaboración internacio-nal, que se vivió tanto durante las dosguerras mundiales como en el periodode entreguerras. Finalmente, Circolo yRendiconti sucumbieron en el bombar-deo aliado de Palermo en 1943, ya queno pudieron superar los daños sufridospor la sede y la imprenta.

Felizmente, los archivos y parte delas bien nutridas biblioteca y hemero-teca se rescataron y depositaron en laUniversidad de Palermo, lo que ha per-mitido a los autores conocer los detallesde esta apasionante historia; no corrie-ron la misma suerte los archivos perso-nales y familiares de Guccia, que handesaparecido, lo que les ha obligado abuscar detalles de su vida y de su abun-dante correspondencia en fuentes muydiversas por toda Europa.

El Circolo se reconstruyó ligado ala Universidad de Palermo y los Rendi-conti iniciaron una nueva serie en 1952,pero ya sin comparación con lo que lle-garon a ser en los primeros años delsiglo XX.

Y finalmente, para aquellos lectoresdel libro cuya curiosidad se haya con-vertido en interés, el estupendo apéndi-ce documental ofrece una buena fuentede información.

En resumen, es este un libro dife-rente, bien documentado, interesante yentretenido, ideal para desengancharseun rato de las clases y de la investiga-ción en nuestros temas preferidos y quecomparte con las obras clásicas el valorde presentarnos personajes y situacio-nes que, a pesar de las diferencias en laforma, nos resultan muy familiares enel fondo.

Olga Gil Medrano, Departament de Matemàtiques, Universitat de ValènciaCorreo electrónico: olga.gil@uv.es