Resistencia de materiales Oruro bolivia Facultad Nacional de Ingenieria

Introduccion a la

Resistencia de Materiales

Hugo Mercado C.

Oruro, 2010

Indice general

1. Generalidades 1

1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Casos de Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2. Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.3. Traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.4. Rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1. Leyes de Newton - 1687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Grado de Hiperestaticidad Externa . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9. Equilibrio Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9.1. Analisis espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9.2. Analisis en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10. Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11. Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11.1. Deformacion Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11.2. Deformacion Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Estado Tensional de la Partıcula 25

2.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Estado Tensional Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1. Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2. Esfuerzos en una cara A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Estado Tensional Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Estado Tensional Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5. Cırculo de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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iv INDICE GENERAL

3. La Seccion Transversal 413.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Centroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3. Momentos de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4. Traslacion de Ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5. Rotacion de Ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6. Ejes Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7. Secciones Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.8. M. de I. Mınimo Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.8.1. Primer metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8.2. Segundo metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. Estructuras Isostaticas 574.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. Estructuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3. Isostaticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1. Estructura continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.2. Estructura discontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.3. Anillos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.4. Apoyos elasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.5. Grado de Hiperestaticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5. Flexion 735.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2. Equilibrio del Elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.1. Equilibrio de Fuerzas Longitudinales (Normales) . . . . . 765.2.2. Equilibrio de Fuerzas Transversales (Cortantes) . . . . . . 775.2.3. Equilibrio de Momentos Flectores . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3. Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4. Flexion Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4.2. Determinacion de la curvatura

Flexion Desviada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4.3. Ejes Principales - Flexion Desviada . . . . . . . . . . . . . 865.4.4. Ejes Principales - Flexion Recta . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5. Flexion No Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Prefacio

Debido a la amplitud de los temas que abarca la Resistencia de Materialesy la profundidad con que pueden ser estos estudiados, no se pretende que elpresente trabajo llegue mas alla que una introduccion. Es mas bien el texto guıadel curso de Resistencia de Materiales, primera parte, que imparte el autor enla Facultad de Ingenierıa de la Universidad Tecnica de Oruro.En cualquier campo de la ingenierıa se deben emplear ciertos conocimientos queestudia la Resistencia de Materiales, de ahı que los alumnos del mencionadocurso siguen distintas carreras, no obstante, el enfoque que se da a los temasesta dirigido al analisis estructural antes que a las ciencias que estudian laproduccion de los materiales, por tal razon se comienza con la presentacion delos temas afines a la estatica y no a la quımica u otros. Sin que esto quiera decirque los conceptos presentados no son necesarios en todos los campos.Justamente por lo anterior se incluyen algunos temas con el objeto de uniformarlos conocimientos de la variedad de alumnos que deben usar este material.

v

vi INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Generalidades

1.1. Objetivo

En su definicion mas general se puede admitir que la Resistencia de Materi-ales es la ciencia que estudia la relacion entre los esfuerzos y las deformacionespresentes en todos los cuerpos.Entonces se trataran estos conceptos como una introduccion al estudio de laTeorıa de la Elasticidad, es decir, se estudiaran los temas afines desde unaperspectiva basica, en sus aspectos fundamentales.Para conseguir un acercamiento fluido, se repasaran las definiciones y principiosque deberıan ser conocidos previamente, aunque en forma concisa.

1.2. Principios fundamentales

El estudio presente se lo realiza admitiendo que el comportamiento de loscuerpos es tal que cumple los requerimientos de los siguientes principios funda-mentales:

Principio de unicidad.- Se admite que los modelos fısicos y matematicos us-ados en el analisis de los problemas de la Resistencia de Materiales ad-miten un sola solucion. Dicho de otro modo, un cuerpo en equilibrio bajola accion de dos grupos de solicitaciones identicas, desarrollan las mis-mas deformaciones y esfuerzos en cada caso, independientemente de otrosparametros.

Principio de las deformaciones pequenas.- Todo cuerpo se deforma bajola accion de las cargas, por tanto el estudio del cuerpo en lo que hace a lascondiciones de equilibrio, etc. debe tomar en cuenta tales deformaciones.Sin embargo, se admite que es correcto analizar un cuerpo como inde-formable cuando las deformaciones son tan pequenas que los resultadosdel analisis del cuerpo deformado son semejantes a los hallados sin tomaren cuenta las deformaciones.

1

2 CAPITULO 1. GENERALIDADES

Es ası que el Analisis Estructural se lo realiza en el campo de las Defor-maciones de Primer Orden cuando se cumple el principio de las deforma-ciones pequenas. En el caso contrario se requiere analizar al cuerpo en elambito de las Deformaciones de Segundo Orden. Este curso se limita a lasdeformaciones de primer orden.

Principio de superposicion de efectos En general las deformaciones y es-fuerzos se deben a varias causas; bajo ciertas circunstancias se puede admi-tir que el resultado final es la suma de los efectos de cada una de las causastomadas individualmente. Basicamente este principio se cumple cuando larelacion causa/efecto responde a una expresion matematica lineal. Ahorabien, la linealidad tiene dos manifestaciones, es dependiente del materi-al estudiado y de la forma del cuerpo, se habla entonces de Linealidadmaterial y Linealidad geometrica respectivamente. Estos conceptos serananalizados oportunamente.

1.3. Casos de Estudio

Por la forma en que se enfoca su estudio, se clasifican los cuerpos en tresgrupos:

Elementos unidimensionales Son aquellos que presentan semejanza en dosde sus dimensiones, siendo la tercera mucho mayor. Como podemos veren la Fig.1.1, se tiene:

a ∼= b ≪ l

En general el eje del elemento es medido a lo largo de la longitud l, pu-

Figura 1.1: Elemento unidimensional

diendo ser este eje una linea recta o una curva cualquiera.Para analizar estas barras se separa la llamada tajada elemental, haciendodos cortes perpendiculares al eje, separados una distancia diferencial delarco dz. Al estudiar esta tajada se presentan ecuaciones diferenciales ordi-narias que se solucionan por simple integracion, este es el tipo de elementosque se estudiara en adelante.

1.4. VECTORES 3

Elementos bidimensionales En estos, como en los anteriores, dos de sus di-mensiones son aproximadamente iguales, en cambio, la tercera es muchomas pequena, en la Fig.1.2 se observa:

a ∼= b ≫ e

Para su estudio se separa una partıcula elemental haciendo dos cortes a

Figura 1.2: Elemento bidimensional

lo largo de la dimension a, separados una distancia diferencial dx, y otrosdos cortes sobre la dimension b a distancia dy, de modo que el volumenestudiado es un diferencial de segundo orden, con lo que las ecuacionesresultantes son a derivadas parciales, cuya solucion requiere del AnalisisNumerico, en general.

Elementos tridimensionales Como es logico aquı se trata con elementoscuyas tres dimensiones son aproximadamente iguales, ver la 1.3:

a ∼= b ∼= c

En su estudio, la partıcula por analizar se separa del cuerpo haciendotres pares de cortes, un par por cada dimension del cuerpo, generando unvolumen diferencial de tercer orden, definiendo por tanto ecuaciones difer-enciales parciales con caracterısticas semejantes al caso anterior, estandopor esto fuera del alcance definido.

1.4. Vectores

Si bien la definicion matematica de vector es muy amplia, para cumplir elobjetivo senalado se usara la acepcion fısica que define al vector como una en-tidad determinada por tres caracterısticas: Magnitud, direccion y sentido.


Figura 1.3: Elemento tridimensional

La Direccion de un vector es la recta de accion sobre la que se manifiesta,aunque existen vectores que cambian de direccion en el espacio en queactuan y en el tiempo, en un instante dado y en una posicion determinada,su direccion siempre sera una recta.

Su Maqnitud es el tamano del ente que se esta definiendo; siendo que unvector en general representa un concepto abstracto, para estudiarlo se usala representacion concreta de su magnitud como un segmento de su rectade accion, esto quiere decir que, a cierta escala, una determinada longitudde dicha recta representa su magnitud, como se ve en la Fig.1.4.

Sentido es la orientacion de un vector, es decir hacia donde se dirige la acciondel mismo; en la representacion grafica que se esta utilizando, esta car-acterıstica esta representada mediante una o dos cabezas de flecha en elextremo apropiado de su magnitud.

A continuacion se analizan algunos vectores que se usaran en el futuro. Seles da especial atencion por cuanto estan mencionados en las Leyes de Newton.

Cabe resaltar que cada uno de estos estos vectores ocupan espacios tridi-mensionales, de modo que se puede usar cualquier sistema de referencia paradescribir matematicamente sus caracterısticas. En este texto, salvo circunstan-cias especiales, se empleara un sistema Cartesiano Ortogonal Dextrogiro,es decir, tres ejes mutuamente perpendiculares, orientados de modo que satisfa-gan la regla de la mano derecha, usando la concepcion del algebra vectorial, lascomponentes de cada vector, en cada uno de los ejes de referencia, son suficientespara describir completamente al vector.

1.4.1. Fuerza

Es un vector cuya manifestacion es modificar el estado de reposo o movimien-to de los cuerpos, de acuerdo con las Leyes de Newton que se veran a contin-uacion.

1.4. VECTORES 5

Figura 1.4: Caracterısticas de un vector

El caso mas conocido de una fuerza es la atraccion que existe entre dos cuerpos(masas); como es sabido, cuando una de dichas masas es la tierra, esta inter-accion se llama gravedad. Toda vez que los hombres estan en contacto con latierra, dicha atraccion se manifiesta en ellos y se la llama peso, es ası que lafuerza deja de ser un concepto abstracto y es algo concreto en el entendimientodel hombre, a diferencia de la mayorıa de los vectores, que son entes abstractosestudiados por sus manifestaciones concretas o tangibles. En realidad, la granmayorıa de los casos que estudia la Resistencia de Materiales tiene que ver confuerzas gravitatorias.

Usando la notacion vectorial, las componentes de la fuerza en cada eje dereferencia la describen, asi:

~F = Fxi + Fyj + Fzk (1.1)

1.4.2. Momento

El concepto de momento nace cuando se estudia el efecto de una fuerza sobreun punto material (cuerpo) (Centro de Momentos) ubicado fuera de la recta deaccion de la fuerza. Entonces:

La direccion del vector momento esta definida por la recta perpendicularal plano formado por la recta de accion de la fuerza y su brazo. Se defineal brazo como la distancia mas corta entre la fuerza y dicho centro demomentos, como se admite en la geometrıa euclidiana, la distancia mınimaentre la recta y un punto esta sobre la recta perpendicular a la fuerza yque pasa por el punto. Como puede verse en la Fig.1.5Aunque es corriente mostrar la direccion del momento como un arco decircunferencia ubicado en el plano recien mencionado, debe estar claro queeste arco solo indica el plano al que es perpendicular la recta de acciondel momento, que es verdaderamente su direccion. En el futuro se prefiere


Figura 1.5: Vector Momento

emplear la representacion de la direccion del momento mediante su realrecta de accion, para correlacionar al momento con la rotacion, como causay efecto, segun se vera oportunamente.

La magnitud de un momento es el producto de la magnitud de la fuerzapor el brazo.

Finalmente, su sentido esta dado por la regla de la mano derecha, quedice: el momento se orienta hacia donde apunta el dedo mayor de la manoderecha, cuando el dedo menique ocupa la direccion de la fuerza y la palmade la mano representa el brazo.

Cuando este analisis se realiza en el espacio, no es facil usar el algebra clasicay la geometrıa para calcular las magnitudes involucradas en la descripcion ante-rior, en tal caso sera mejor emplear el Algebra Vectorial y definir: El momentode una fuerza es el producto vectorial de la fuerza y cualquier radio vector ~r queresulta de unir el centro de momento con el vector fuerza.

~M = ~r × ~F (1.2)

Como quiera que los vectores que dan lugar al momento: fuerza y distancia,son expresados en espacios tridimensionales, el vector momento tambien ocupaotro espacio tridimensional, por tanto se escribe:

~M = Mzi + Myj + Mzk (1.3)

1.4. VECTORES 7

1.4.3. Traslacion

En esta ocasion definiremos la traslacion como el cambio de posicion de uncuerpo, en el que cualquier recta que une dos de sus puntos se mantiene paralelaa sı misma durante el movimiento. Por lo anterior, todos los puntos del cuerpose desplazan una misma longitud que resulta ser la magnitud del vector y endirecciones paralelas.Como el movimiento se desarrolla en un espacio tridimensional que no es ajeno alque ocupan las personas, el concepto de vector desplazamiento es muy concreto,igual que en el caso de la fuerza.En notacion vectorial, ver Fig.3.2:

~δ = δxi + δyj + δzk (1.4)

Figura 1.6: Traslacion de un cuerpo

1.4.4. Rotacion

Se presenta cuando todos los puntos del cuerpo se mueven describiendo cırcu-los alrededor de una recta unica: el eje de rotacion. Por tanto, cualquier rectaperpendicular al eje, que corta al mismo en cualquier punto, describe un angulodurante el movimiento, el cual se mide en un plano perpendicular a el eje derotacion y corresponde a la magnitud del vector rotacion. La direccion de di-cho vector es el eje de rotacion y su sentido esta dado por la regla de la manoderecha, es decir: esta indicado por el dedo mayor de la mano derecha, cuandola palma y el dedo menique realicen el mismo movimiento que la recta que rota,antes descrita.Este vector esta dado por, ver Fig.1.7:

~θ = θxi + θyj + θzk (1.5)


Figura 1.7: Rotacion de un cuerpo

1.5. Grados de Libertad

Habiendo analizado los vectores de traslacion y rotacion, resulta compren-sible asegurar que todo cuerpo rıgido (que no se deforma), cuando se muevelo hace en esos dos espacios, por tanto son necesarios solo dos vectores paradescribir su movimiento, como quiera que cada uno es tridimensional se diceentonces que:

La cantidad de movimientos libres o Grados

de Libertad que tiene un cuerpo en el espa-cio es de seis, tres componentes para medirsu traslacion y otros tres que expresan surotacion

1.6. Condiciones de equilibrio

El primer paso para analizar una estructura es establecer bajo que circun-stancias se cumplen las condiciones de equilibrio en ella, como el equilibrio tieneque ver con el movimiento, la masa, etc., de principio se repasan ciertas defini-ciones.

La mecanica es la rama de la fısica que estudia el equilibrio de los cuerpos enreposo o movimiento y comprende la Estatica y la Dinamica.

La Estatica estudia el estado de reposo de los cuerpo o su movimiento uni-forme (velocidad constante).

La Dinamica comprende el movimiento acelerado de un cuerpo y puede hac-erlo desde dos enfoques:

1. La Cinematica cuyo campo de estudio es la geometrıa del movimien-to.

2. La Cinetica que utilizando los conocimientos de la cinematica, losaplica al estudio del movimiento y las fuerzas como causa y efecto.

1.6. CONDICIONES DE EQUILIBRIO 9

Como se estudia en los cursos de fısica, fue Sir Issac Newton (1642-1727)quien planteo por primera vez las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos,y son las bases en que se asienta el desarrollo de dicha ciencia. Se debe establecerel marco en que se plantea este curso: velocidades muchısimo menores a la dela luz y en elementos macroscopicos, a tal escala es obligatoria la aplicacion dedichas leyes y los resultados alcanzados son exactos.

1.6.1. Leyes de Newton - 1687

Generalmente estas tres leyes son enunciadas de este modo [Hibbeler,2004,pag. 3]:

Primera Ley.- Una partıcula en reposo, o moviendose en lınea recta con veloci-dad constante, permanecera en este estado siempre que no este sometidaa una fuerza desbalanceada.

Segunda Ley.- Una partıcula sobre la que actua una fuerza F desbalanceadaexperimenta una aceleracion a que tiene la misma direccion de la fuerza ymagnitud directamente proporcional a la fuerza. Por la generalidad de suaplicabilidad se prefiere esta otra forma de enunciarla: La fuerza (momen-to) que actua sobre una partıcula es proporcional a la razon de cambio,con respecto al tiempo, del momentum lineal (rotacional) de la partıcula.

Tercera Ley.- Las fuerzas mutuas de accion y reaccion entre dos partıculasson iguales, opuestas y colineales.

Entendiendose como “momentum” a la cantidad de movimiento del cuerpo:

Momentum lineal viene siendo el producto de la masa por la velocidad linealm dδ/ dt. Donde δ es la magnitud de la traslacion del cuerpo.

Momentum angular corresponde al producto del momento de inercia de lamasa, respecto del eje de rotacion, por la velocidad angular: Im dθ/ dt,aquı θ es la magnitud del angulo que gira el cuerpo.

Entonces la segunda ley puede escribirse en sus dos partes:

Movimiento de Traslacion∑

F = ddt

(m dδ

dt

)

Movimiento de Rotacion∑

M = ddt

(Im

dθdt

)

En el futuro se considera que la masa es constante, luego este factor puedesalir del termino a derivar. Toda vez que el los desplazamientos lineales δ yrotacionales θ se descomponen en tres ejes de referencia para su analisis alge-braico, las ecuaciones de equilibrio recien anotadas tambien deben plantearseen las tres direcciones de cada espacio de movimiento, entonces, las ecuaciones


de equilibrio de un cuerpo en el espacio son seis, necesarias y suficientes.

Condiciones De Equilibrio Dinamico:

Traslaciones:

∑

Fx = md2δx

dt2(1.6a)

∑

Fy = md2δy

dt2(1.6b)

∑

Fz = md2δz

dt2(1.6c)

Rotaciones:

∑

Mx = Imx

d2θx

dt2(1.7a)

∑

My = Imy

d2θy

dt2(1.7b)

∑

Mz = Imz

d2θz

dt2(1.7c)

Cuando el objetivo es conseguir que un cuerpo se mantenga en reposo, debecumplirse que la aceleracion sea nula, en cuyo caso se anularıan los segundosmiembros de las relaciones anteriores, es decir:

Condiciones De Equilibrio Estatico:

Traslaciones:

∑

Fx = 0 (1.8a)∑

Fy = 0 (1.8b)∑

Fz = 0 (1.8c)

Rotaciones:

∑

Mx = 0 (1.9a)∑

My = 0 (1.9b)∑

Mz = 0 (1.9c)

Son muchos los casos en que todas las fuerzas del sistema estan en un plano yno concurren en un punto del mismo, entonces, por la definicion, las direccionesde todos los momentos de las fuerzas son perpendiculares a dicho plano. En estascircunstancias son solo tres las direcciones en que puede darse el movimiento:dos traslaciones en la direccion de las fuerzas coplanares y una rotacion el direc-cion del momento, luego, esta claro que solo son tres las ecuaciones de equilibrionecesarias y suficientes, no se plantean condiciones de equilibrio en las direc-ciones donde no hay ni fuerzas ni momentos.Por ejemplo, si las fuerzas ocupan solo el plano XY , los momentos estan en eleje Z, o sea:

C. De E. Estatico Sistema Coplanar no Concurrente:

Traslaciones:

∑

Fx = 0 (1.10a)∑

Fy = 0 (1.10b)

Rotaciones:

∑

Mz = 0 (1.11a)

Siguiendo en este camino, cuando sea apropiado, se puede tambien particu-larizar el analisis a casos especiales como los siguientes:

1.7. APOYOS 11

Sistema de Fuerzas Concurrentes en el Plano.- Como ensena la fısica, eneste caso la resultante de fuerzas no puede ser un momento, entonces noes apropiado plantear la condicion de equilibrio en esa direccion, por tantoseran dos las condiciones de equilibrio necesarias y suficientes.

Sistema de Fuerzas Colineales.- Es un caso particular del anterior, aquı ex-iste un solo grado de libertad y una sola condicion de equilibrio.

Es necesario resaltar que en la naturaleza se presentan situaciones dondealgunos de los grados de libertad estan restringidos en tanto que los demas man-ifiestan desplazamientos, es decir, en algunas direcciones existe reposo mientrasque en el resto se da el movimiento. En casos como este, en las direcciones dondehay movimiento el equilibrio es dinamico y sera estatico en el resto. Lo que debequedar claro es: en cada direccion se cumplen siempre las leyes de Newton, portanto son siempre seis las condiciones de equilibrio en el espacio, tres en el plano,etc.

Para terminar este repaso, se recuerda que cualquier condicion de equilibriode fuerzas puede ser reemplazada por dos condiciones de suma de momentos, porejemplo, en el caso del Sistema de Fuerzas No Concurrente visto recien (Ec.1.10y 1.11), se pueden emplear indistintamente cualquiera de los tres grupos decondiciones de equilibrio siguientes:

∑Fx = 0

∑Fx = 0

∑MA

z = 0∑

Fy = 0∑

MBz = 0

∑MB

z = 0∑

MCz = 0

∑MC

z = 0∑

MCz = 0

1.7. Apoyos

Para conseguir que una estructura este en reposo es necesario transferir ha-cia la tierra las cargas que intentan moverla, dicho de otro modo, a la escalahumana, el unico cuerpo en reposo perfecto es la tierra y es capaz de imponersu quietud a cualquier cuerpo unido a ella. Entonces, la interaccion entre tierray estructura se realiza por medio de elementos especiales que se llaman apoyos.Como existen seis grados de libertad en el espacio, se puede restringir el movimien-to en cada una de dichas direcciones. En la realidad, a veces se busca restringir elmovimiento en algunas direcciones, dejando al cuerpo libre de moverse en otras,por esto se construyen los apoyos de modo que satisfagan tales exigencias. Enadelante usaremos principalmente los siguientes tipos:

Apoyo Empotrado.- Cuando un cuerpo se une firmemente a tierra, este vıncu-lo es de continuidad por lo que la tierra transmite su inmovilidad al mis-mo. Sin hacer hincapie en las caracterısticas fısicas del apoyo, solo interesasaber que impide todo movimiento del cuerpo por medio de la generacionde las Reacciones de Apoyo. En la Fig.1.8 se muestra el caso de un elemen-to prismatico empotrado a tierra, suponiendo que el analisis se lo realizaen el plano XY , antes de producirse la union solo existen tres libertades


de movimiento, el Grado de Libertad es tres GL = 3, cuando se pro-duce la union se estan restringiendo esos desplazamientos: δx, δy y θz, porla Segunda Ley de Newton se requieren las reacciones Rx, Ry y Mz paraanular dichas magnitudes. Toda vez que las cargas actuantes definiran losvalores de las cargas reactivas, estas son halladas utilizando las condicionesde equilibrio correspondientes, ver Ec. 1.10 y 1.11.

Figura 1.8: Apoyo empotrado

Aquı se deben hacer ciertas puntualizaciones importantes:

1. Solo una fuerza es capaz de restringir un desplazamiento lineal (traslacion)y ambos vectores deben tener la misma direccion: la reaccion Rx re-stringe el desplazamiento δx, ası como un momento restringe un giro(desplazamiento rotacional) solo cuando ambos tienen la misma di-reccion: Mz esta asociado con θz .

2. Si antes de empotrase el cuerpo tenıa tres grados de libertad, una vezunido a tierra el cuerpo los ha perdido, cuando son iguales los gradosde libertad y las restricciones se produce la isostaticidad.

3. Se llama Grado de hiperestaticidad externo GHE a la diferencia entrelas restricciones impuestas a un cuerpo RE y su grado de libertad GL:

Grado de Hiperestaticidad Externa = Numerode restricciones - Grado de Libertad

GHE = RE − GL

En este caso:GHE = 3 − 3 = 0 Isoestatico

4. Cuando un apoyo produce tres restricciones se llama Apoyo de Ter-cera Especie, un empotramiento es un apoyo de tercera especie.

Apoyo articulado fijo.- Tambien llamado apoyo fijo, es el que restringe sololos movimientos traslacionales, es decir, entre el cuerpo y la tierra se inter-pone la articulacion, este vınculo aislador impide que la restriccion al giro

1.7. APOYOS 13

actue sobre el cuerpo, es decir, no puede impedir la rotacion por medio delmomento reactivo, quedando el cuerpo en libertad de rotar. Si se usa laFig.1.9(a), que representa lo mismo que la Fig.1.9(b), como ejemplo de unanalisis en plano XY , se puede ver que la rotacion θz esta presente porqueel momento reactivo Mz no llega al cuerpo por causa de la articulacion.Nuevamente se resalta:

Figura 1.9: Apoyos de Primera y Segunda Especie

1. Cuando existe una articulacion en la union, la interaccion de momen-tos entre el cuerpo y la tierra es nula (Mz = 0).

2. Al no existir el momento reactivo Mz el cuerpo mantiene una de lastres libertades que tenıa, pero pierde la posibilidad de moverse en xe y porque la tierra genera las reacciones Rx y Ry. Toda vez que estetipo de apoyo genera dos restricciones se lo denomina de SegundaEspecie

3. Cuando el cuerpo tiene mayor grado de libertad que restricciones sellama hipoestatico, su grado de hiperestaticidad externo es menorque cero:

GHE = RE − GL


entonces:

GHE = 2 − 3 = −1 Hipoestatico de primer grado

4. En estructuras hipoestaticas, en las direcciones de movimiento re-stringido, las reacciones condicionan un equilibrio estatico, en lasdirecciones que mantienen su libertad de movimiento se cumpliranlas condiciones de equilibrio dinamico.

Apoyo empotrado guiado.- Es tambien un apoyo de Segunda Especie porqueası como en el anterior se permite la rotacion, en este se permite una delas dos traslaciones posibles (cuando se analiza el comportamiento en enplano) ver Fig.1.9(c), o dos de las tres disponibles cuando se analiza elespacio. Entonces, la fuerza reactiva que potencialmente puede desarrollarla tierra, no alcanza al objeto apoyado por la existencia de un dispositivoespecial que los independiza, es un vınculo de aislamiento tierra/objeto enla direccion de la traslacion libre.

Apoyo articulado movil.- Es la combinacion de los dos anteriores, en esteapoyo existe una rotacion latente, por la presencia de la articulacion, y unatraslacion probable por la plataforma de desplazamiento, como en el apoyoguiado, ver Fig.1.9(d). Cuando se estudia el plano, se sabe que el Gradode Libertad es tres, habiendo dos libertades de movimiento habilitadas,el caso es que existe una sola restriccion, esto dice que el apoyo es dePrimera Especie. En este caso:

GHE = 1 − 3 = −2 Hipoestatico de segundo grado

Otros apoyos especiales.- En esta categorıa podemos englobar a todos losapoyos construidos para propositos especıficos que no son satisfechos porlos anteriores.Por ejemplo, cuando se necesita restringir parcialmente un movimiento, esdecir generar una restriccion no absoluta al movimiento, es posible crearun resorte cuya rigidez sea tal que permita un desplazamiento controlado,generando al mimo tiempo una reaccion de apoyo. Habiendo movimientostraslacionales y rotacionales, hay tambien un resorte adecuado en cadacaso. A saber:

1. Resorte Helicoidal es aquel que restringe un desplazamiento trasla-cional generando un fuerza que restringe aquel, por cada unidadde longitud desplazada. Como se sabe, la rigidez es definida comola relacion entre la reaccion y el desplazamiento, en este caso susunidades serıan [Unidades de fuerza/Unidades de longitud]. Su rep-resentacion esquematica se muestra en la Fig.1.9(e).

2. Resorte Espiral esta fabricado para restringir la rotacion del cuerpoen la medida que genera un momento reactivo por unidad de rotacion.Este resorte esta representado en la Fig.1.9(f), y las unidades de su

1.8. GRADO DE HIPERESTATICIDAD EXTERNA 15

rigidez son [Unidades de momento/Unidades de giro (angulo general-mente en radianes)].

1.8. Grado de Hiperestaticidad Externa

Finalmente se deja en claro que un cuerpo puede estar restringido por masde un apoyo, de cualquier tipo. En funcion a la cantidad de restricciones RE quegeneren entre todos los apoyos, y dependiendo tambien del Grado de Libertadque tenga el cuerpo: seis en el espacio, tres en el plano, etc., se dice que depen-diendo de estas cantidades se tratara de estructuras isoestaticas, hipoestaticaso hiperestaticas externamente. A saber:

Grado de Hiperestaticidad Externa: GHE = RE − GLEstructura hipoestatica: GHE < 0Estructura isoestatica: GHE = 0Estructura hiperestatica: GHE > 0

En lo que sigue se estudian exclusivamente lasEstructuras Isoestaticas e Hiperestaticas

1.9. Equilibrio Interno

Hasta aquı se ha tratado el equilibrio externo, sus condiciones y apoyosnecesarios, a continuacion la Resistencia de Materiales debe establecer el com-portamiento del cuerpo en su interior, en otras palabras conocer sus esfuerzos ydeformaciones. Estos dos conceptos se estudian en la siguiente seccion, pero sepuede adelantar que sus magnitudes dependen de las llamadas cargas internas.

1.9.1. Analisis espacial

Con el proposito de ejemplificar con claridad, de principio usaremos el casode una viga en el plano. En la Fig.1.10(a) se observa una viga apoyada en susextremos 1 y 2. Las condiciones de equilibrio permiten determinar que el cuerpoesta en reposo cuando los apoyos generan las reacciones apropiadas: V1 ,H1 yV2, equilibrando ası las cargas externas actuantes.

Ahora bien, la carga actuante distribuida a lo largo del eje z de la barra estransmitida hacia los apoyos por medio de los esfuerzos que se desarrollan en lasfibras del cuerpo, y estos estan ligados a las deformaciones que experimentandichas fibras. Para estudiar el fenomeno se debe cortar el cuerpo; por ejemplo,cortando la viga transversalmente a su eje a una distancia z + dz del extremo1, se obtienen los dos cuerpos independientes mostrados en las Fig.1.10(b) y (c)que tienen ambas un extremo cortado donde las fibras han sido interrumpidas,y por tanto no pueden transmitir sus esfuerzos a la otra parte, esto implicaque se produce el desequilibrio de ambos cuerpos. Como aun no se conoce el


regimen de esfuerzos que existıa, se acostumbra reemplazarlos por un conjuntode fuerzas y momentos que restituyen el equilibrio, estas son las llamadasCargas Internas M N y Q, que corresponden a las resultantes de los esfuerzos,como se vera mas adelante.

Figura 1.10: Viga en el plano: Equilibrio Externo - Interno

Como se vio en la Sec. 1.5, cuando se estudia el espacio existen seis gradosde libertad, tres asociados a desplazamientos lineales y tres a rotaciones, en-tonces se necesitan seis cargas que restrinjan estos desplazamientos y corrijanel desequilibrio generado al separar las partes. Entonces se deben imponer tresfuerzas que impiden las traslaciones del cuerpo y tres momentos que controlanlos desplazamientos rotacionales.Generalmente se estudian estos vectores usando un sistema de referencia carte-siano ortogonal dextrogiro. En cualquier caso, referidos a un sistema de ejes ono, universalmente se atribuyen sentidos fijos a estas cargas internas, bajo lallamada Convencion de Signos de la Resistencia de Materiales. Debe quedarclaro que existen dos planos cortados, asociados cada uno a una de las partes,ademas, por la tercera ley de Newton (Sec. 1.6.1), segun el principio de acciony reaccion, los sentidos de las cargas internas son contrarios en cada uno de losplanos, entonces la convencion de signos a emplear debe contemplar este hecho.

Para aclarar estos conceptos se refiere a la Fig.1.11 donde se ve la parteizquierda de un elemento unidimensional prismatico de eje recto que ha sidocortado en dos planos frontales paralelos al plano XY , separados una distan-

1.9. EQUILIBRIO INTERNO 17

cia dz, en otras palabras es la misma viga anterior cuyo analisis se extiendeal espacio. Notese que el origen de coordenadas es el centroide de la cara enel extremo izquierdo (punto 1 de la Fig.1.10) y que el eje z corresponde al ejedel elemento. Entonces se nota que la cara cortada mas alejada del origen decoordenadas esta siendo senalada por el eje z, a esta cara se la llamara A+

z ,se establece que en dicho plano las cargas internas positivas tienen el mismosentido de los ejes paralelos, tanto fuerzas Fx, Fy y Fz , como momentos Mx,My y Mz. Igualmente se destaca la existencia de las fuerzas externas positivasactuantes sobre el cuerpo qx y qy, cuyo valor es variable como se ve, por claridadno se incluye la carga qz

Figura 1.11: Cargas Internas - Analisis espacial

El valor de las Cargas Internas depende de las cargas externas actuantesy reactivas existentes en la parte del cuerpo investigado y puede ser halladoempleando las mismas Condiciones de Equilibrio utilizadas para calcular lasreacciones externas. Siendo seis el Grado de Libertad, son seis las Condicionesde Equilibrio Estatico y siendo seis las Cargas Internas, se tiene siempre unsistema de ecuaciones simultaneas determinado.

Recordando que las cargas internas son las resultantes de de los esfuerzos delas fibras, en el siguiente cuadro se plantea la relacion existente entre estos dossistemas de vectores, dicha correspondencia se estudiara en este curso.


CARGA INTERNA ⇒ ESFUERZO INTERNO

Px F. Cortante ⇒ τzx E. CortantePy F. Cortante ⇒ τzy E. CortantePz F. Normal ⇒ σz E. NormalMx M. Flector ⇒ σz E. NormalMy M. Flector ⇒ σz E. NormalMz M. Torsor ⇒ τzy E.Cortante

1.9.2. Analisis en el Plano

Es conveniente estudiar las anteriores relaciones particularizando al caso enque el eje del elemento y las cargas estan alojadas en el plano Y Z, en este casola fuerza Fy recibe el nombre de Fuerza cortante o simplemente Cortante, y sela reconoce con las letras V o Q, ver la Fig.1.10, la fuerza Fz se denomina FuerzaNormal o Normal a secas, reconocida por N y el unico momento presente, quees flector, se llama simplemente Momento y su sımbolo es la letra M .

Todos los conceptos planteados hasta aquı seran revisados en el siguienteejercicio:

Ejercicio 1.1 Calcular las reacciones externas y las cargas internas a lo largode la viga mostrada en la Fig ejercicio 1

1.10. Esfuerzo

El estudio del efecto de una fuerza sobre un cuerpo se realiza considerando,ademas de la magnitud de la fuerza, el area sobre la que esta distribuida. Seentiende que no tiene el mismo efecto una fuerza actuando sobre un area grandeque sobre un area pequena. Esta idea queda clara cuando se trata, por ejemplo,de un chinche de pared que esta siendo empujado por el dedo. Como se sabe elchinche tiene dos extremos con areas muy diferentes, el que se presiona con eldedo es amplia, en cambio el que se coloca en la pared tiene area muy pequena,es una punta aguda. No obstante que en ambos extremos se ejerce la mismafuerza (principio de accion/reaccion), en el extremo agudo la presion es casiinfinita porque el area es ınfima, en cambio en el dedo la presion es pequenadebido al area grande donde se distribuye la fuerza

Cuando el area estudiada pertenece al exterior del cuerpo, o borde libre, larelacion entre la fuerza y el area generalmente se llama presion, en el caso deque el area sea interior, es decir sea producida por un corte como el realizado enla Sec. 1.9, dicha relacion se denomina mas propiamente esfuerzo, si bien estasdenominaciones no son universales, seran usadas de preferencia en este texto ycon dicho significado. Existe otra nomenclatura que sera evitada, como tension

1.10. ESFUERZO 19

por ejemplo, que a veces se toma como sinonimo de fuerza y por eso puedecausar confusion.

Otro aspecto a considerar es que no necesariamente la distribucion de lafuerza es uniforme, un caso muy claro es el de una piscina, cuando el piso dela misma es horizontal, en cada punto del mismo el alto del agua h es igual, siel peso especıfico γ del agua es constante, esta claro que la presion del agua psobre el fondo es la misma, p = hγ = constante. Dicho de otro modo, cuando secalcula la fuerza (el peso) del agua, este es proporcional al area de la base delprisma que define el volumen considerado: P = Ahγ, luego, si se quiere calcularla presion, hay que dividir el peso entre el area, es decir:

p =P

A

=Ahγ

A= hγ

Es necesario aclarar que se usa la misma letra para dos conceptos distintos,por una parte la letra p minuscula representa la presion, en tanto que la letraP mayuscula es el nombre de la fuerza, debera recordarse en el futuro que lasletra minusculas en general representan esfuerzos o presiones y las mayusculasfuerzas o momentos.Tambien es oportuno recalcar que, cuando la presion es constante, se puedeutilizar cualquier tamano de area, porque la fuerza crecera proporcionalmentecomo en el caso de la piscina recien visto.Ahora bien, supongase que el fondo de la piscina es inclinado, entonces el altode agua no es el mismo en cualquier punto, esta claro que para un area finitade cualquier tamano existen distintas alturas, o lo que es igual: existen distintaspresiones....¿Se debe emplear el peso promedio? o ¿donde actua la fuerza?. Pararesponder con exactitud se emplea un area infinitesimal con lo que ahora escorrecto suponer que en cualquier lugar de la misma existe la misma altura,naturalmente, el peso asociado es tambien infinitesimal, entonces por mediode la integracion se responderan las preguntas anteriores y otras tambien. Noobstante que el peso es infinitesimal, la presion no lo es por el area diferencial:

Presion uniforme: p =P

A

Presion variable: p =dP

dA

Se analizara una partıcula del cuerpo que consiste en un paralelepıpedo el-emental, las dimensiones de sus aristas son: dx, dy y dz haciendo referencia aun sistema cartesiano ortogonal dextrogigo, ver la Fig.1.12. Las seis caras de lapartıcula son producto de otros tantos cortes realizados perpendicularmente a


cada eje, por ejemplo, existen dos caras perpendiculares al ejes x, se llamara pos-itiva a la cara que esta siendo senalada por el eje: A+

x y negativa a su opuestaA−

x lo propio con los otros dos ejes.En cada cara actua un vector de esfuerzos, dicho vector tambien sera estudia-do con referencia al mismo sistema, por tanto el vector de esfuerzos tiene trescomponentes en cada cara:

Figura 1.12: Esfuerzos sobre partıcula elemental

Esfuerzo Normal σi.- Es la componente del esfuerzo en direccion perpendic-ular a la cara Ai, tambien llamado esfuerzo traccionante, cuando elesfuerzo estira las fibras o Esfuerzo compresivo en caso contrario.

Esfuerzo Cortante τij .- Es aquel esfuerzo coplanar con la cara i cuya direc-cion es paralela al eje j. Esta claro que en cada cara existiran dos esfuerzoscortantes, por ejemplo en la cara A+

x actuan:

τxy Esfuerzo en la cara x paralelo al eje y

τxz Esfuerzo en la cara x paralelo al eje z

Se trata entonces de diez y ocho vectores de esfuerzos, cada uno con nombreindividual, en la figura se muestran solo los que pertenecen a las caras positivas.Para el manejo algebraico se admite la siguiente convencion de signos:

En todas las caras positivas, los esfuerzospositivos tienen el mismo sentido de losejes paralelos. En toda cara negativa, los es-fuerzos positivos tienen sentidos contrarios alos de los ejes correspondientes

En el siguiente capıtulo se estudiaran en detalle los esfuerzos que aquı solose han enunciado.

1.11. DEFORMACIONES 21

1.11. Deformaciones

Al igual que en el caso de los esfuerzos, ahora se definiran las deformacionesy se esboza su relacion con los esfuerzos. Debido a que es muy facil confundirlasvamos a establecer la diferencia entre dos ideas afines:

Traslacion y Rotacion.- Como se vio en la seccion Sec. 1.4 estos vectoresson una longitud y un giro que medıan el movimiento de todo el cuerpo,manteniendo su forma original. Aquı ampliaremos la idea al movimientode alguna parte del cuerpo: punto, plano, etc., durante la deforma-cion, En forma generica esos vectores se denominaran desplazamientostraslacionales y rotaciones en el futuro.

Deformacion.- Como su nombre lo indica, este fenomeno implica un cambiode forma del cuerpo, para que se produzca es necesario que los puntosdel mismo se muevan de forma distinta. Como tales movimientos son vec-tores de desplazamiento, de puntos o de planos especıficos, en el futurose entendera que la deformacion es el cambio de forma del cuerpo que sedebe al desplazamiento diferenciado de sus partes.

A objeto de simplificar el analisis se consideran separadamente los distin-tos tipos de deformacion, considerando que el final se pueden acumular efectosporque se admite la vigencia del principio de superposicion, ver Sec. 1.2.

1.11.1. Deformacion Longitudinal

Sea la misma partıcula elemental considerada lıneas arriba, en la Fig.1.13se ve que la ubicacion de la partıcula esta dada antes de la deformacion por elpunto P , cuya posicion respecto del sistema de ejes de referencia es ~P (x, y, z),cuando se produce la deformacion del cuerpo, las longitudes x, y y z cambianen las magnitudes u, v y w respectivamente, es decir, la longitud x se alargauna longitud u, etc., de modo que toda la partıcula se mueve, entonces la nuevaposicion del elemento esta dada por el punto P1, luego, el vector deformacionlongitudinal del cuerpo es ~δ(u, v, w), el cambio de posicion de la partıcula.Estas deformaciones se llaman Deformaciones Longitudinales o Axiales

Ahora bien, la partıcula misma se deforma de modo que su dimension dxse alarga du, igualmente el lado dy sufre un alargamiento dv y dz lo hace undw. Las nuevas dimensiones de las aristas son: dx + du, dy + dv y dz + dw.Se llama Deformacion Unitaria Longitudinal ǫ a la relacion entre el incrementode longitud y la longitud inicial , entonces:

ǫx =du

dxǫy =

dv

dyǫz =

dw

dz(1.12)

Cuando las deformaciones sean funciones de las coordenadas x, y y z:

du =∂u

∂xdx dv =

∂v

∂ydy dw =

∂w

∂zdz (1.13)


Figura 1.13: Deformaciones longitudinales

Entonces reemplazando 1.13 en 1.12:

ǫx =∂u

∂xǫy =

∂v

∂yǫz =

∂w

∂z(1.14)

Es oportuno hacer las siguientes puntualizaciones:

La deformacion unitaria ǫ es muy pequena, del orden del milesimo en lamayorıa de los materiales empleados en las estructuras, cuando el esfuerzosobre las fibras no llega al de rotura.

La deformacion unitaria ǫ puede ser considerada constante en muchos ca-sos, pero ademas puede ser solo funcion de la coordenada correspondiente.Por ejemplo u es, en ciertos casos, funcion de x y es constante a lo largode x, en cuyo caso, por integracion se establece que es lo mismo considerarun incremento diferencial o uno discreto, es decir:

ǫx =∂u

∂x=

du

dx=

u

x

Cuando esto se cumple suele usarse la siguiente nomenclatura:

ǫi =∆Li

Li

1.11. DEFORMACIONES 23

Entendiendose por ∆Li el incremento de la longitud Li en cualquier eje i.

La deformacion unitaria ǫ es funcion de los Esfuerzos Normales σx, σy y σz

como se vera oportunamente.

1.11.2. Deformacion Transversal

Partiendo de la partıcula deformada por los alargamientos recien anal-izados, ahora se trata de las los cambios de posicion que sufre las fibras endireccion transversal a su longitud. En principio se asume que cada arista semueve manteniendose recta y sin cambiar de longitud, por tanto las caras per-manecen planas.Como se ve en la Fig.1.14 la arista dx + du sufre una rotacion γx debido aldesplazamiento transversal dvx, este angulo es muy pequeno porque el catetoopuesto es mas pequeno que el adyacente, por tanto, tan γx = γx, entonces,extendiendo estos criterios a la arista perpendicular dy + dv se tiene:

Figura 1.14: Deformacion transversal o angular

tan γx = γx =dvx

dx + dutan γy = γy =

duy

dy + dv

Como antes, las deformaciones transversales dvx y duy pueden ser funcionesde las coordenadas x, y y z, en cuyo caso:


dvx =∂v

∂xdx duy =

∂u

∂ydy

Ademas, dx ≫ du, entonces dx + du ∼= dx; tambien dy ≫ dv, o seady + dv ∼= dy, por tanto:

γx =∂v∂x

dx

dx=

∂v

∂xγy =

∂u∂y

dy

dy=

∂u

∂y

Finalmente, el cambio del angulo recto que habıa entre las aristas analizadas,llamado Deformacion angular γxy es la suma de los angulos que gira cada lado:

γxy = γx + γy =∂u

∂y+

∂v

∂x(1.15)

Deformaciones semejantes se presentan en los planos XZ y ZY , entonces secompleta la definicion de las Deformaciones transversales o angulares con lassiguientes relaciones:

γxz = γx + γz =∂u

∂z+

∂w

∂xγyz = γy + γz =

∂v

∂z+

∂w

∂y(1.16)

Otra vez se hace necesario puntualizar:

Las deformaciones transversales son muy pequenas y en muchos casos sedesprecia su efecto en la deformacion total de los cuerpos.

Las deformaciones transversales rara vez son constantes a lo largo de losejes y su determinacion es bastante compleja, es ası que para su estudiose apela a simplificaciones de calculo que seran vistas mas adelante.

Las deformaciones transversales γxy, γxz y γyz son ocasionadas por losesfuerzos cortantes en las caras: τxy, τyx, τxz, τzx, τyz y τzy , como severa oportunamente.

Capıtulo 2

Estado Tensional de laPartıcula

2.1. Objetivo

En este capıtulo se estudia la accion de los esfuerzos sobre las caras deuna partıcula, las condiciones bajo las que esta en equilibrio, cuantos esfuerzosindependientes definen completamente el estado tensional de la partıcula, cualesson los esfuerzos sobre la partıcula cuando se consideran caras rotadas, etc. Secomienza analizando el Estado Tensional Espacial para luego particularizar yprofundizar el Estado Tensional Plano, consiguiendo una secuencia comprensibledel tema.

2.2. Estado Tensional Espacial

En la Sec.1.10 se definieron los dos tipos de esfuerzo actuantes en las caras deuna partıcula y su nomenclatura, la misma que se puede observar en la Fig.2.1,en este capıtulo partiremos de la hipotesis que estos esfuerzos son iguales enmagnitud y de sentido contrario en caras paralelas, siendo estas de dimensionesinfinitesimales: dx, dy y dz, por esta razon se admite que los esfuerzos estanuniformemente distribuidos sobre las caras.

2.2.1. Condiciones de equilibrio

Toda vez que la partıcula esta en el espacio, tiene Grado de Libertad GL = 6,por tanto se deben cumplirse seis condiciones de equilibrio (Subsec.1.6.1) cuan-do se emplea el algebra clasica, sin embargo, por facilidad aquı emplearemos elalgebra vectorial, por tanto solo se consideran las dos condiciones de equilibrio:suma de los vectores fuerza y momento igual a cero.

25

26 CAPITULO 2. ESTADO TENSIONAL DE LA PARTICULA

Figura 2.1: Esfuerzos en la partıcula

Como se dijo, el esfuerzo es la relacion entre fuerza y el area, p = dPdA

,entonces se ha de asociar una fuerza dTij a un esfuerzo τij actuando en la caradAi en direccion de j y la fuerza normal dNi al esfuerzo σi actuando en la caradAi normalmente a dicho plano, asi:

Esfuerzo: σi =dNi

dAi

Entonces: dNi = σi dAi

Esfuerzo: τij =dTij

dAi

Entonces: dTij = τij dAi

Como se dijo lıneas arriba, para un manejo mas facil de las fuerzas y mo-mentos se empleara el algebra vectorial para su determinacion, asi, si el vectorbrazo es ~b = bx i + by j + bz k, y la fuerza ~F = Fx i + Fy j + Fz k, entonces elvector momento sera:

{M} = ~b × ~F =

i j kbx by bz

Fx Fy Fz

(2.1)

Equilibrio de Fuerzas

Para sistematizar los calculos se determina la fuerza en cada cara y luego sesuma el vector actuante en dos caras paralelas, por ejemplo, primero las carasA+

x y A−

x , luego A+y y A−

y , etc. Ası:

2.2. ESTADO TENSIONAL ESPACIAL 27

CARA A+x :

dF = dNx i + dTxy j + dTxz k

Donde:

dNx = dAxσx dTxy = dAxτxy dTxz = dAxτxz

En la CARA A−

x se tienen las mismas areas y esfuerzos y lo unico que cambiaes el sentido, por tanto se tienen dos dF identicos y de sentido contrario, y susuma es cero. Este mismo analisis se repite en los otros dos pares de caras, Ay

y Az , por tanto se declara que para conseguir el equilibrio de fuerzas solo debecumplirse que los esfuerzos sean iguales en caras paralelas.

Equilibrio de Momentos

Por claridad realizaremos el calculo de los momentos para cada cara sepa-radamente y luego sumaremos el momento por pares de caras paralelas, es decir,primero las caras A+

x y A−

x , luego A+y y A−

y , etc. En Efecto:

Cara A+x :

dbx = dx i +1

2dy j +

1

2dz k

dF = dNx i + dTxy j + dTxz k

dM =

(1

2dy dTxz −

1

2dz dTxy

)

i

−

(

dxdTxz −1

2dz dNx

)

j

+

(

dxdTxy −1

2dy dNx

)

k

Cara A−

x :

dbx = 0 i +1

2dy j +

1

2dz k

dF = − ( dNx i + dTxy j + dTxz k)

dM = −

(1

2dy dTxz −

1

2dz dTxy

)

i

+

(

0 dTxz −1

2dz dNx

)

j

−

(

0 dTxy −1

2dy dNx

)

k

De modo que sumando los momentos anteriores se tiene:

∑

dM = dM1 = − dxdTxz j + dxdTxy k (2.2)

Igualmente, en las caras y:


Cara A+y :

dby =1

2dx i + dy j +

1

2dz k

dF = dTyx i + dNy j + dTyz k

dM =

(

dy dTyz −1

2dz dNy

)

i

−

(1

2dxdTyz −

1

2dz dTyx

)

j

+

(1

2dxdNy − dy dTyx

)

k

Cara A−

y :

dby =1

2dx i + 0 j +

1

2dz k

dF = − ( dTyx i + dNy j + dTyz k)

dM = −

(

0 dTyz −1

2dz dNy

)

i

+

(1

2dxdTyz −

1

2dz dTyx

)

j

−

(1

2dxdNy − 0 dTyx

)

k

Sumando, como antes, los momentos anteriores se tiene:

∑

dM = dM2 = dy dTyz i − dy dTyx k (2.3)

Por ultimo, en las caras z:

Cara A+z :

dbz =1

2dx i +

1

2dy j + dz k

dF = dTzx i + dTzy j + dNz k

dM =

(1

2dy dNz − dz dTzy

)

i

−

(1

2dxdNz − dz dTzx

)

j

+

(1

2dxdTzy −

1

2dy dTzx

)

k

Cara A−

z :

dbz =1

2dx i +

1

2dy j + 0 k

dF = − ( dTzx i + dTzy j + dNz k)

dM = −

(1

2dy dNz − 0 dTzy

)

i

+

(1

2dxdNz − 0 dTzx

)

j

−

(1

2dxdTzy −

1

2dy dTzx

)

k

Otra vez se suman los momentos anteriores:

∑

dM = dM3 = − dz dTzy i + dz dTzx j (2.4)

Ahora se puede por fin sumar los momentos resultantes en cada una de lascaras: Ec.2.2, Ec.2.3 y Ec.2.4:

dM = (dy dTyz − dz dTzy) i

+ (− dxdTxz + dz dTzx) j

+ (dxdTxy − dy dTyx) k

(2.5)

Debiendo ser cero el momento resultante, deben ser nulos los modulos encada uno de los ejes, para comenzar, el modulo del momento en el Eje x:

2.2. ESTADO TENSIONAL ESPACIAL 29

0 = dy dTyz − dz dTzy

0 = dy dxdzτyz − dz dxdyτzy

τyz = τzy

Repitiendo el mismo procedimiento en los otros ejes se llega a la demostraciondel Teorema de Cauchi:

τxy = τyx

τxz = τzx

τyz = τzy

(2.6)

Considerando la hipotesis aceptada: los esfuerzos son iguales en caras op-uestas, se infiere que es necesario el conocimiento de nueve de los diez y ochoesfuerzos, pero si ademas se conoce que los esfuerzos cortantes son iguales porparejas (Teorema de Cauchi), entonces se puede anotar el siguiente corolario:

El estado tensional de una partıcula en espacioesta determinado si se conocen los siguientesseis esfuerzos independientes:

σx τxy = τyx

σy τyz = τzy

σz τzx = τxz

(2.7)

2.2.2. Esfuerzos en una cara A

Ahora se trata de determinar los esfuerzos que existen en la partıcula en unacara cualquiera A conocidos los seis esfuerzos mencionados lıneas arriba. Parael efecto se hace un corte inclinado en la partıcula separando una esquina delcubo, como se ve en la Fig.2.2. Para un manejo vectorial mas simple, la cara Aque se ha cortado, cuyo esfuerzo ρ se desea conocer, esta definida por un vectorde magnitud A en direccion y sentido del versor ~u perpendicular a la cara.Una vez conocido el vector ρ se podran determinar los esfuerzos componentesNormal σ y cortante τ , en direccion de ~u (perpendicular al plano) y sobre elplano, respectivamente.

Para calcular dicho esfuerzo ρ se planteara en equilibrio de la partıcula queahora es un tetraedro, al efecto se sabe que las caras que permanecen del par-alelepıpedo original son las caras negativas dAx, dAy y dAz, donde actuan losesfuerzos positivos correspondientes, de sentido contrario a los ejes de referencia.En la Fig.2.3 se muestra el cuerpo visto desde atras, por claridad no se indicantodos los nueve esfuerzos en dichas caras.


Figura 2.2: Esfuerzos en Cara A

Figura 2.3: Caras negativas

2.3. ESTADO TENSIONAL PLANO 31

Se asume conocida la inclinacion del area dA, por medio de los cosenos

directores l, m, n de ~u y su tamano∣∣∣d ~A

∣∣∣ = dA, es decir:

~u = l i + m j + m k d ~A = dAx i + dAy j + dAz k

Como se sabe, el producto escalar de dos vectores es el modulo de un vectorproyectado sobre el otro, entonces, se puede demostrar que:

dAx = d ~A •~i = dA l dAy = d ~A •~j = dAm dAz = dA • ~k = dAn (2.8)

Del mismo modo, el vector buscado ~ρ se define por sus componentes en cadaeje:

~ρ = ρx i + ρy j + ρz k

Para calcularlo se usan las tres condiciones de equilibrio estatico, suma de fuerzasen cada eje. Como antes se consideran las caras separadamente y suego se suman,para comenzar, en el eje x:

Cara Ax Cara Ay Cara Az

dNx = dAxσx dTyx = dAyτyx dTzx = dAzτzx

Cara A

dRx = dAρx

Reemplazando en estas ecuaciones los valores de las areas definidas en lasecuaciones 2.8 y sumando

∑Fx = 0:

dAρx = dAσx l + dAτyx m + dAτzx n

Simplificando el area se halla el valor buscado de ρx, realizando el mismoprocedimiento para los ejes y y z se obtienen las siguientes relaciones:

ρx = σx l + τyx m + τzx n

ρy = τxy l + σy m + τzy n

ρz = τxz l + τyz m + σz n

(2.9)

Una vez hallado el vector ρ se puede entonces proyectarlo sobre la normal a lacara A y sobre el plano mismo, sin embargo, para conseguir un avance paulatino,a partir de este punto se particulariza el analisis al plano.

2.3. Estado Tensional Plano

Se considera la misma partıcula de siempre, sin embargo la hipotesis es queno existen esfuerzos en la direccion z:

σz = 0 τxz = τzx = 0 τyz = τzy = 0


En tal circunstancia:~ρ = ρx i + ρy j

Y las Ecs.2.9 quedan:

ρx = σx l + τyx m ρy = τxy l + σy m (2.10)

Aquı es oportuno destacar:

El estado tensional de una partıcula en elplano esta determinado si se conocen los sigu-ientes tres esfuerzos independientes:

σx τxy = τyx

σy

(2.11)

Mas aun, no habiendo esfuerzos en z la cara A, donde se quiere hallar elesfuerzo ρ, esta cara es ahora un plano paralelo al eje z. Para hallar la normal σy el cortante τ en esta cara se define un nuevo sistema de referencia cartesianoortogonal dextrogiro: como antes u en la direccion de la normal al plano A, estambien la direccion del vector que ahora se llama σu y el eje v en la direccionperpendicular donde se aloja el vector τuv. Como puede observarse, se mantienela misma nomenclatura y es ası que ahora se tiene la misma partıcula en dosposiciones distintas de sus caras, ver las Figs. 2.4 y 2.5.

Figura 2.4: Estado Tensional Plano

Dado que el angulo α desde el eje x hasta llegar al u es el mismo que desdey hasta v, se tiene que los cosenos directores adquieren los siguientes valores:

l = cos(α) m = cos(90 − α) = sinα

Luego las componentes de ρ en los ejes x y ahora se escriben:

2.3. ESTADO TENSIONAL PLANO 33

Figura 2.5: Caras U y V

ρx = σx cosα + τyx sinα ρy = τxy cosα + σy sin α (2.12)

Realizando la conocida transformacion de ejes, del sistema xy al uv, ver laFig.2.6, se tiene:

ρu = σu = ρx cosα + ρy sinα

ρv = τuv = −ρx sinα + ρy cosα(2.13)

Figura 2.6: Rotacion de ejes

Reemplazando 2.12 en 2.13 y ordenando:

σu = σx cos2 α + σy sin2 α + 2τxy sin α cosα

τuv = −(σx − σy) sin α cosα + τxy(cos2 α − sin2 α)(2.14)

En adelante se prefiere modificar las Ecs.2.14, reemplazando las siguientesigualdades:

cos2 α =1

2(1 + cos 2α) sin2 α =

1

2(1 − cos 2α)


sin α cosα =1

2sin 2α

Llegando a las siguientes expresiones:

σu =σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2α + τxy sin 2α

τuv = −σx − σy

2sin 2α + τxy cos 2α

(2.15)

Ahora solo queda por determinar los esfuerzos en la cara perpendicular Av:σv y τvu. Por el teorema de Cauchi τvu = τuv ya determinado y para calcular σv

se debe aumentar 90o al angulo α en la ecuacion de σu. Como se conoce: sin(2α+180) = − sin α, tambien cos(2α+180) = − cosα, reemplazando estas igualdadesen la ecuacion de σu como se dijo y anadiendo esta nueva ecuacion a las Ecs.2.15se tiene finalmente la SOLUCION DEL PROBLEMA GENERAL:

σu =σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2α + τxy sin 2α (2.16a)

σv =σx + σy

2−

σx − σy

2cos 2α − τxy sin 2α (2.16b)

τuv = τvu = −σx − σy

2sin 2α + τxy cos 2α (2.16c)

Estas son las ecuaciones que permiten hallar los esfuerzos en las caras Au y Av

de la partıcula, cuando estas caras han rotado un angulo dado α respecto de lascaras iniciales Ax y Ay, este problema ha sido llamado lıneas arriba ProblemaGeneral. En el futuro tambien se usaran las siguientes igualdades:

S =σx + σy

2D =

σx − σy

2(2.17)

Una igualdad muy util se encuentra sumandolas ecuaciones 2.16a y 2.16b:

σx + σy = σu + σv (2.18)

2.4. Estado Tensional Principal

Uno de los objetivos de este Capıtulo es determinar cuales son los esfuerzosnormales maximos en las caras rotadas de la partıcula, conociendo el Estadotensional plano (ETP) de la misma. Este es el denominado PROBLEMA IN-VERSO [Pisarenko,1979].Como se observa en las Ecs.2.16a y 2.16b los esfuerzos normales son funcion delos esfuerzos conocidos del ETP y de un angulo variable α, luego, para deter-minar cual serıa el esfuerzo normal maximo, primero se debe hallar el angulo arotar αp, este sera la raız de la ecuacion dσu/ dα = 0:

2.5. CIRCULO DE MOHR 35

dσu

dα= −

σx − σy

2sin 2α + τxy cos 2α = 0 (2.19)

La solucion que admite esta ecuacion es:

tan(2αp) =2τxy

σx − σy

=τxy

D(2.20)

Reemplazando el valor hallado para 2α en la Ec.2.16a se deberıa hallar unmaximo (o un mınimo) de la funcion σu, que es el objetivo propuesto. Al re-specto vale observar que si se pretende maximizar la otra funcion σv, se llegarıatambien a la misma ecuacion 2.19 y por tanto al mismo valor de la raız αp. Lainterpretacion que cabe es: reemplazando el valor de esta raız en las funcionesσu y σv se llegara alternativamente a un maximo en un caso y a un mınimo enel otro o viceversa.Todavıa se debe hacer otro comentario sumamente importante, observando laEc.2.19 resulta identica a la funcion τuv (Ec.2.16c) igualada a cero, por eso,reemplazando la raız hallada 2α en dicha ecuacion el resultado sera: τuv = 0.Entonces se debe remarcar:

Cuando se reemplaza el valor de la raız 2αp

en las ecuaciones 2.16 el resultado es:

σu = maximo o mınimo

σv = mınimo o maximo

τyz = 0

En estas circunstancias los unicos esfuerzos son perpendiculares a las carasy estan sobre los ejes x y, por eso, a este estado se llama tambien EstadoTensional Biaxial. Por otra parte, se ha demostrado que estos esfuerzos son elmaximo y el mınimo, respectivamente, por tal razon son los llamados EsfuerzosPrincipales, asimismo, los ejes u y v y las caras correspondientes tambien seranllamadas “Principales”.

2.5. Cırculo de Mohr

En la anterior seccion se planteaba el problema de hallar el Estado Ten-sional Biaxial (ETB) conocido el Estado Tensional Plano (ETP), ahora bien,puede plantearse tambien la necesidad de hallar un ETP partiendo de un ETB,a cuyo caso se denomina Problema Directo. Aunque su solucion parezca triv-ial, servira para demostrar la validez de la solucion general por el metodo graficollamado Cırculo de Mohr.

En efecto, para resolver el P. Directo es suficiente anular el ultimo terminode las Ecs.2.16, ya que se parte de un ETB, en el cual el esfuerzo cortante esnulo, es decir:


σu =σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2α (2.21a)

σv =σx + σy

2−

σx − σy

2cos 2α (2.21b)

τuv = τvu = −σx − σy

2sin 2α (2.21c)

Se pretende demostrar que los valores de los esfuerzos σu, y τuv son lascoordenadas de un punto perteneciente al cırculo construido siguiendo el pro-cedimiento indicado a continuacion, para cualquier valor de la variable α.

Se conoce que un cırculo esta determinado por su centro y un punto cualquieradel mismo. Entonces, si admitimos que un punto de la circunferencia debe sernecesariamente el par ordenado (σx, τxy), se ubica este punto usando el sistemade ejes mostrado en la Fig.2.7: sobre las abscisas se miden a escala los esfuerzosnormales σ y sobre las ordenadas los cortantes τ , hacia abajo los positivos, enel grafico se halla de este modo el punto X (midiendo σx sobre el eje de las ab-scisas por ser τxy = 0). Para determinar el centro de la circunferencia se ubicael punto Y midiendo el esfuerzo σy y dividiendo entre dos la distancia entre losesfuerzos normales (el segmento XY ) definiendo ası el punto M, centro de lacircunferencia. Ahora es posible dibujar el cırculo empleando el punto X y elcentro M. Para uso futuro se define el eje x uniendo dichos puntos, como se veen la figura mencionada.Una vez trazado el cırculo, se puede determinar cualquier par ordenado (σu, τuv)midiendo el angulo 2α a partir del eje x, considerando anti horarios los angu-los positivos, definiendo ası el Eje u y donde corta a la circunferencia esta puntoU de coordenadas buscadas (σu, τuv).

Para demostrar lo anterior se calcula el radio de la circunferencia y luego lacoordenada del centro de la circunferencia, finalmente las coordenadas buscadasusando las proyecciones del radio MU y el angulo 2α, a saber:

Y M = MU =σx − σy

2⇒ OM = σy + Y M =

σx + σy

2= σM

MP = MU cos 2α ⇒ OP = OM + MP = σu

UP = MU sin 2α = τuv

Habiendo hallado graficamente lo mismo que las Ecs.2.21a y 2.21c. Se resaltaque en el ejemplo dibujado al angulo 2α es negativo, por tanto lo es tambiensin 2α entonces el cortante determinado resulta positivo y es dibujado sobre lacoordenada τ > 0.

Respecto de los esfuerzos en las caras Av, por el Teorema de Cauchi τuv = τvu

y observando la Ec.2.21b se ve que para calcular σv, se debe restar OM −MP ,lo que se consigue graficamente prolongando el Ejeu hasta intersectar la cir-cunferencia, este punto tiene por abscisa σv. Aquı es importante destacar que,


Figura 2.7: Cırculo de Mohr

si bien el punto recien determinado define sin duda el esfuerzo normal σv, nosucede ası con el signo del esfuerzo τvu, esto muestra que, para la convencionde signos adoptada, el Cırculo de Mohr contiene al par ordenado de la cara Au:(σu, τuv), no ası al de la cara perpendicular Av.

Ejercicio 2.1 Una partıcula esta sometida al Estado Tensional Plano ETP in-dicado en la Fig.2.8(a) (Posicion A). Luego de rotar un angulo α sus carastienen los esfuerzos indicados en la Fig.2.8(b) (Posicion B). Calcular:

a) El angulo α que rotaron las caras.

b) Los esfuerzos desconocidos en la Posicion A.

c) Los esfuerzos principales de la partıcula, es decir los esfuerzos normalesmaximo y mınimo.

c) El esfuerzo cortante maximo.

Aunque el enunciado lleve a pensar que los ejes de inicio x, y deberıan serasignados a la partıcula en la Posicion A, se puede observar que la mayorıa delos datos corresponden a la Posicion B, por tanto, asignando los ejes x, y a estaposicion se conoce absolutamente el ETP de inicio y las unicas incognitas sonlos angulos α correspondientes a cada inciso. Este proceder esta mostrado en laFig.2.9


Figura 2.8: Datos Ejercicio 2.1

Figura 2.9: Eleccion de Ejes de Referencia


SOLUCION ANALITICA

Inciso a. Reemplazando los datos indicados en la Fig.2.9 en las Ecs.2.17:

S =σx + σy

2= 60 kg/cm2 D =

σx − σy

2= 120 kg/cm2

Reemplazando S y D en la ecuacion 2.16a:

60 = 120 cos2α − 50 sin2α

Resolviendo la ecuacion se hallan los siguientes resultados:

tan 2α = 0,8359 ⇒ 2α = 39,89o

tan 2α = −11,745 ⇒ 2α = −85,13o

Siendo estos los angulos incognita.

Inciso b. Conocido el angulo a rotar, para hallar los esfuerzos de la PosicionA lo unico que se debe hacer es reemplazar dichos angulos en las ecuaciones 2.16,obteniendo los esfuerzos buscados, observese que se ha reproducido el esfuerzoσu = 120 kg/cm2:

σu = 120 kg/cm2 σv = 0 kg/cm2 τuv = τvu = −115,32 kg/cm2

Inciso c. Debe ser hallado primero el angulo 2αp, Ec.3.9:

2αp = arctan2τxy

σx − σy

= arctanτxy

D= −22,62 kg/cm2

Nuevamente se reemplaza este angulo en las Ecs.2.16:

σu = 190 kg/cm2 σv = −70 kg/cm2 τuv = τvu = 0,0 kg/cm2

maximo mınimo

Inciso d. Como se deduce del Cırculo de Mohr, los esfuerzos cortantes maxi-mo y mınimo se hallan en caras que rotan 2α = 90o a partir de los ejes principalesen sentido positivo o negativo, dependiendo del ETP de inicio, por tanto, parahallar el angulo a partir de cualquier cara debe usarse el angulo 2α = 2αp±90o,en nuestro caso 2α = 2αp − 90o = −112,62o, y de las Ecs.2.16:

σu = 60 kg/cm2 = σv = σM = S τuv = τvu = −130 kg/cm2

maximo

SOLUCION GRAFICASiguiendo el procedimiento indicado, primero se ubica el punto X(σx, τxy), luego

la coordenada del centro de la circunferencia σM = S =σx+σy

2 = 60 kg/cm2,


Figura 2.10: Cırculo de Mohr Ejercicio 2.1

con el centro y el punto central se dibuja el cırculo y se pueden resolver todoslos incisos como se ve en la Fig.2.10:

Con objeto de identificar el resultado que corresponde a cada inciso se hadibujado los ejes correspondientes ua, uc y ud respectivamente. Se recomiendapracticar este procedimiento.

Capıtulo 3

La Seccion Transversal

3.1. Objetivo

En el desarrollo de los temas de la Resistencia de Materiales, demostrandolos teoremas y aplicando sus principios se encuentran ciertas expresiones, rela-tivas al area de la seccion transversal, que es necesario evaluar. En este capıtulose plantea la determinacion del Centroide y los Momentos de Inercia.Cuando se desea estudiar las cargas internas y su distribucion sobre las fibrasde un elemento unidimensional, se realiza un corte perpendicular al eje del mis-mo, o perpendicular a la tangente si el eje es una lınea curva, como se vio enel acapite 1.9.1, producto de dicho corte es el area llamada Seccion transversal(por su condicion de perpendicularidad), y es de ella que se estudian sus car-acterısticas. En la Fig.1.11 se vio un area rectangular como ejemplo de dichaseccion transversal.

Figura 3.1: Seccion Transversal

41

42 CAPITULO 3. LA SECCION TRANSVERSAL

3.2. Centroide

Se adopta la definicion simple: El Centroide es un punto donde, se puedeasumir, esta concentrada el area de una figura plana, si se emplea un sistemade referencia cartesiano, este punto esta definido por dos coordenadas y para sudeterminacion se emplea el siguiente procedimiento.Por ejemplo, para conocer la posicion del Centroide C de la figura plana mostra-da en la Fig.3.1, se calcula de principio la coordenada yc. Con el fin de usar algu-nas propiedades de las fuerzas, se convertira al area en un vector, atribuyendolela direccion y sentido del eje x, entonces el problema se reduce a calcular la posi-cion de la resultante “A” de infinitas areas diferenciales “ dA”, como se ve enla figura mencionada. Para el efecto se empleara el Teorema de Varignon: “Lasuma de los momentos de las componentes de un sistema de fuerzas es igual almomento de su resultante”. O sea:

M =

∫

A

y dA = yc

∫

A

dA

De donde se puede despejar la coordenada buscada yc. Realizando las mismasoperaciones con respecto al eje y se puede obtener tambien xc. Empleando in-distintamente la nomenclatura xc = x, se tiene:

xc = x =

∫

AxdA

∫

AdA

yc = y =

∫

Ay dA

∫

AdA

(3.1)

Cuando se analizan secciones compuestas por figuras simples, que se adicio-nan o restan, es posible usar la definicion de centroide y considerar cada areacomponente concentrada en su propio centroide, de modo que se tendra unacantidad discreta de areas cuyos momentos se deben sumar, es decir:

xc = x =

∑n

i=1 xiAi∑n

i=1 Ai

yc = y =

∑n

i=1 yiAi∑n

i=1 Ai

(3.2)

Una aplicacion numerica se presenta mas adelante. Debido al tratamientovectorial que se da al area, los numeradores de las Ecs.3.1 y 3.2 son llamadosMomentos de Primer Orden del area o tambien Momentos Estaticos.Un importante corolario que se puede inferir de las anteriores ecuaciones es: Silos ejes x, y fueran centroidales, entonces deberıan ser nulas las distancias xc = 0y yc = 0, por tanto los numeradores de dichas ecuaciones serıan nulos tambien,dicho de otro modo:

3.3. MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN 43

La condicion necesaria para que un sistema de ejessea centroidal es que los Momentos de Primer Ordendel area sean nulos.

∫

A

xdA = 0

∫

A

y dA = 0 (3.3)

n∑

i=1

xiAi = 0

n∑

i=1

yiAi = 0 (3.4)

3.3. Momentos de Segundo Orden

En general son tambien llamados Momentos de Inercia, a diferencia de losM. de Primer Orden, al area se multiplica por la distancia a los dos ejes dereferencia o en su caso, si se toma un eje unico, sera multiplicada dos veces porla distancia a dicho eje, aunque tambien se puede tomar como referencia unpunto, llamado polo. Se reconocen las siguientes definiciones:

Ixx = Ix =

∫

A

y2 dA Momento de Inercia

Iyy = Iy =

∫

A

x2 dA Momento de Inercia

Ixy =

∫

A

x y dA Producto de Inercia

I0 =

∫

A

r2 dA M. Inercia Polar

De la Fig.3.1 se deriva que r2 = x2 + y2, por tanto se puede deducir:

I0 = Ix + Iy

Como en el caso de los M. de Primer Orden, los M. de Inercia de las seccionescompuestas, en general se calculan sumando los momentos de todas las compo-nentes. Para tal proposito se emplean las dos transformaciones de ejes que sepresentan a continuacion.

3.4. Traslacion de Ejes

En todos los manuales de R. de Materiales se pueden hallar los M. de In-ercia respecto de Ejes Centroidales xc yc. Es por eso que se desea plantear unprocedimiento que, partiendo de dichos valores, permita hallar los momentosde inercia respecto a ejes paralelos trasladados distancias conocidas xc = x yyc = y, ver la Fig.3.2.


Figura 3.2: Traslacion de Ejes

El siguiente cambio de variable surge de la figura mencionada:

x = xc + u y = yc + v

Para comenzar se pretende hallar el Producto de Inercia Ixy, a partir de Ixyc

para lo cual se realiza el cambio de las variables que aparecen en la definicionde la inercia buscada, como se indica lıneas arriba:

Ixy =

∫

A

x y dA =

∫

A

(xc + u)(yc + v) dA

= xc yc

∫

dA

︸︷︷︸

A

+xc

∫

v dA

︸︷︷︸

0

+yc

∫

u dA

︸︷︷︸

0

+

∫

u v dA

︸︷︷︸

Ixyc

= Ixyc+ xc yc A

¿Por que a dos de las integrales anteriores se les dio el valor de cero?... Realizandosustituciones semejantes en las definiciones de los Momentos de Inercia Ix e Iy

se demuestra un teorema importante, el Teorema de Steiner:

Ix = Ixc+ y2 A

Iy = Iyc+ x2 A

Ixy = Ixyc+ x y A

(3.5)

Que permite lo deseado: transferir los momentos de inercia desde los ejescentroidales (Ixc

, Iyce Ixyc

) hasta ejes paralelos cualquiera (Ix, Iy e Ixy) yviceversa.

De acuerdo con la demostracion que se vera en la Sec.3.7, sin importar cuales el area a considerar y tampoco su ubicacion respecto del sistema de ejes, porel hecho de estar la variable y o x elevada a exponentes par en la definicion delos Momentos de Inercia Ix e Iy , dichos momentos siempre son positivos, portanto, se infiere el siguiente corolario:

3.5. ROTACION DE EJES 45

De todos los Momentos de Inercia para ejes paralelosx e y, los mınimos son los que corresponden a ejescentroidales.

Ixc< Ix Iyc

< Iy

3.5. Rotacion de Ejes

El proposito de este procedimiento es: a partir del conocimiento de los M.de Segundo Orden para un sistema de referencia cartesiano ortogonal x, y (Ix,Iy e Ixy), hallar los momentos correspondientes a ejes cartesianos u, v giradosun angulo α dado (Iu, Iv e Iuv), ver la Fig.3.3.

Figura 3.3: Rotacion de Ejes

El cambio de variable apropiado es el mismo empleado en la Sec.2.3

u = x cos α + y sin α v = −x sinα + y cosα

Que utilizado en la definicion de los momentos de segundo orden buscados da:

Iu =

∫

A

v2 dA = Ix cos2 α + Iy sin2 α − 2Ixy sin α cosα

Iv =

∫

A

u2 dA = Ix sin2 α + Iy cos2 α + 2Ixy sinα cosα

Iuv =

∫

A

u v dA = (Ix − Iy) sin α cosα + Ixy(cos2 α − sin2 α)

Nuevamente se introducen en estas ecuaciones las mismas igualdades empleadasen la Sec.2.3:

cos2 α =1

2(1 + cos 2α) sin2 α =

1

2(1 − cos 2α)


sin α cosα =1

2sin 2α

Hallando de esta manera los valores de los momentos respecto de los ejes u, v apartir de los momentos respecto de los ejes iniciales x, y:

Iu =Ix + Iy

2+

Ix − Iy

2cos 2α − Ixy sin 2α (3.6a)

Iv =Ix + Iy

2−

Ix − Iy

2cos 2α + Ixy sin 2α (3.6b)

Iuv =Ix − Iy

2sin 2α + Ixy cos 2α (3.6c)

Cabe destacar la semejanza de estas ecuaciones con las halladas en la Sec.2.3,pag.34. Puede observarse que reemplazando los M. de Inercia en lugar de losesfuerzos se obtienen las mismas ecuaciones, a saber: Ix ⇒ σx; Iy ⇒ σy y−Ixy ⇒ τxy.En lo que sigue se usaran tambien las siguientes igualdades:

S =Ix + Iy

2D =

Ix − Iy

2

Es necesario destacar una igualdad muy util,sumando las ecuaciones 3.6a y 3.6b:

Ix + Iy = Iu + Iv (3.7)

3.6. Ejes Principales

Para disenar las piezas es necesario establecer los ejes para los cuales los M.de S. Orden se minimizan y son maximos, siendo las Ecs.3.6 funciones de lavariable α, el valor que debe rotar el eje x, para alcanzar la posicion u, de modoque el momento Iu sea maximo (mınimo) es la raız de la ecuacion conseguidaderivando la funcion 3.6a e igualandola a cero:

I′

u = −D sin 2α − Ixy cos 2α = 0 (3.8)

Por tanto la raız que se halla para esta ecuacion define el angulo buscado:

tan 2αp = −Ixy

D(3.9)

Como en el caso de los esfuerzos, se debe destacar que derivando la Ec.3.6b eigualandola a cero se obtiene la misma ecuacion 3.8, mas aun, esta es tambienigual a la Ec.3.6c cuando se la iguala a cero, por tanto se infiere:

3.7. SECCIONES SIMETRICAS 47

Cuando se reemplaza el valor de la raız 2αp

(Ec.3.9) en las ecuaciones 3.6 el resultado es:

Iu = maximo o mınimo

Iv = mınimo o maximo

Iuv = 0

Una vez mas se observa que, como era de esperar, es posible usar todos losprocedimientos empleados en las secciones 2.3, 2.4 y 2.5, usando el Cırculo deMohr con el solo cambio de ubicar el Producto de Inercia sobre el eje de lasabscisas, apuntando hacia arriba.

3.7. Secciones Simetricas

Cuando se trata de determinar el centroide de una figura que admite un ejede simetrıa, como la mostrada en la Fig.3.4, si se elije el eje x coincidiendo conel de simetrıa, se puede observar que a cada lado del eje las areas son identicasy tambien yc1 = −yc2, por tanto la suma de los momentos de primer orden seanula:

∑Ai yi = 0, que es la condicion de Eje Centroidal, Ec.3.4.

Figura 3.4: Figura Simetrica

Para calcular sus momentos de inercia, se divide esta figura en dos partesiguales, en cuadrantes distintos, ver Fig.3.4 A1 y A2, y se procede a determinar


Ix = I1x + I2

x , donde los superındices responden al numero del area correspondi-ente. Para la Fig. A1:

I1x =

∫

A1

y2 dA =

∫

y2 dxdy =

∫ a

x=0

dx

(∫ f(x)

y=0

y2 dy

)

=

∫ a

x=0

dx1

3y3∣∣f(x)

0=

1

3

∫ a

x=0

(f(x))3

dx

Igualmente, para la Fig. A2:

I2x =

∫

A2

y2 dA =

∫

y2 dxdy =

∫ a

x=0

dx

(∫ 0

y=−f(x)

y2 dy

)

=

∫ a

x=0

dx1

3y3∣∣0

−f(x)=

1

3

∫ a

x=0

[

0 − (−f(x))3]

dx

=1

3

∫ a

x=0

(f(x))3

dx = I1x

Cabe resaltar que I1x = I2

x, de modo que cuando una figura cambia de posicion,yendo de un cuadrante a otro, rotando alrededor del eje x, los momentos deinercia respecto al eje x no cambian, de modo que es suficiente calcular uno dedichos momentos: Ix = 2 I1

x = 2 I2x.

Realizando el calculo correspondiente a Iy = I1y + I2

y :

I1y =

∫

A1

x2 dA =

∫

x2 dxdy =

∫ a

x=0

x2 dx

(∫ f(x)

y=0

dy

)

=

∫ a

x=0

x2 dx y|f(x)0 =

∫ a

x=0

x2 (f(x)) dx

Por otro lado, para A2:

I2y =

∫

A2

x2 dA =

∫

x2 dxdy =

∫ a

x=0

x2 dx

(∫ 0

y=−f(x)

dy

)

=

∫ a

x=0

x2 dx y|0−f(x) =

∫ a

x=0

x2 [0 − (−f(x))] dx

=

∫ a

x=0

x2 (f(x)) dx = I1y

Acaba de demostrarse que cuando se produce el cambio de posicion que estamosanalizando, tampoco cambia el valor del momento de inercia respecto del ejey, por tanto: Iy = 2 I1

y = 2 I2y . Finalmente tratamos el calculo del producto de

inercia Ixy = I1xy + I2

xy:

I1xy =

∫

A1

xy dA =

∫

xy dxdy =

∫ a

x=0

xdx

(∫ f(x)

y=0

y dy

)

=

∫ a

x=0

xdx1

2y2

∣∣∣∣

f(x)

0

=1

2

∫ a

x=0

x (f(x))2

dx

3.8. M. DE I. MINIMO ABSOLUTO 49

Siguiendo el mismo procedimiento en el caso de A2:

I2xy =

∫

A2

xy dA =

∫

xy dxdy =

∫ a

x=0

xdx

(∫ 0

y=−f(x)

y dy

)

=

∫ a

x=0

xdx1

2y2∣∣0

−f(x)=

1

2

∫ a

x=0

x[

0 − (−f(x))2]

dx

= −1

2

∫ a

x=0

x (f(x))2

dx = −I1xy

Queda demostrado entonces que para figuras simetricas respecto del eje x elproducto de inercia es el mismo pero de signo contrario. Reuniendo los resultadosanalizados hasta aquı se puede generalizar y destacar la siguiente herramientaeficaz.

Cuando una figura cambia de cuadrante, rotandoalrededor de cualquier eje de referencia, se debe es-perar un cambio de signo en el valor del Producto deInercia Ixy , no ası en los Momentos de Inercia Ix oIy que permanecen constantes.

Del mismo modo, se quiere resaltar la importancia del Eje de Simetrıa:

Todo eje de Simetrıa es un Eje Centroidal.Todo eje de simetrıa es un Eje Principal Ixy = 0.

3.8. M. de I. Mınimo Absoluto

Toda vez que con las transformaciones de ejes vistas en las Secs.3.4 y 3.6 selogra, en cada caso, minimizar uno de los M. de Inercia, realizando sucesivamenteambas transformaciones se alcanza el llamado “minimo minimorum” de dichoMomento:

Como se sabe: de todos los Momentos de Inercia paraejes paralelos x e y, los mınimos son los que corre-sponden a ejes centroidales, haciendo rotar estos ejesel angulo 2αp, para llegar a los Ejes PrincipalesCentroidales, se logra minimizar una vez mas unode los M. de Inercia, obteniendose los ejes uc y vc quedefinen el mınimo absoluto del Momento de Inercia.

Para realizar estas transformaciones se siguen alternativamente uno de los pro-cedimientos que se explican a continuacion.

3.8.1. Primer metodo

En este metodo se deben seguir los siguientes pasos:


Figura 3.5: Componente Ai

1.Dividir la figura en componentes Ai y calcular para cada una:

Su area Ai

Las distancias xi, yi desde su propio centroide hasta los ejes de ref-erencia provisionales x, y, ver Fig.3.5

Los M. de Segundo Orden (MSO) Ixci, Iyci, Ixyci para su ejes cen-troidales xci, yci

Calcular los Momentos de Primer Orden (MPO) del area: xi Ai, yi Ai

2.Calcular el centroide de la figura completa empleando las Ec.3.2:

xc = x =

∑n

i=1 xiAi∑n

i=1 Ai

yc = y =

∑n

i=1 yiAi∑n

i=1 Ai

3.Calcular los MSO Iix, Ii

y, Iixy para los ejes de referencia provisionales x, y,

de cada componente, a partir de los MSO centroidales anteriores. Para talefecto se emplea Steiner:

Iix = Ixci + y2

i Ai

Iiy = Iyci + x2

i Ai

Iixy = Ixyci + xi yi Ai

4.Determinar los MSO Ix, Iy , Ixy para los ejes de referencia provisionalesx, y, de toda la figura, sumando los MSO de las componentes calculadasen el paso 3.


Ix =

n∑

i=1

Iix

Iy =

n∑

i=1

Iiy

Ixy =

n∑

i=1

Iixy

5.Calcular los MSO Ixc, Iyc, Ixyc para los ejes de referencia centroidales xc, yc

de toda la figura, aplicando Steiner a la inversa, es decir llevando desdelos ejes cualquiera x, y a los centroidales xc, yc:

Ixc = Ix − y2 A

Iyc = Iy − x2 A

Ixyc = Ixy − x y A

Consiguiendose de este modo la primera minimizacion.

6.Se calcula el angulo 2αp que deben rotar los ejes centroidales xc, yc parallegar a la posicion u, v de modo que para esta posicion se maximice unMomento de Inercia, el otro se minimice y el Producto de Inercia sea nulo,ver Secs.3.5 y 3.6. Habiendo minimizado por segunda vez, se ha conseguidoel Mınimo absoluto de los Momentos de Inercia, para Ejes Centroidalesprincipales. Es decir, del las Ecs.3.9 y 3.6:

tan 2αp = −Ixyc

Ixc−Iyc2

Iu =Ixc + Iyc

2+

Ixc − Iyc

2cos 2αp − Ixyc sin 2αp

Iv =Ixc + Iyc

2−

Ixc − Iyc

2cos 2αp + Ixyc sin 2αp

Iuv =Ixc − Iyc

2sin 2αp + Ixyc cos 2αp = 0

(3.10)

3.8.2. Segundo metodo

No obstante de repetirse los pasos 1,2 y 6 del primer metodo, incluiremosinextenso todo el procedimiento:

1.Dividir la figura en componentes Ai y calcular para cada una:

Su area Ai

Las distancias xi, yi desde su propio centroide hasta los ejes de ref-erencia provisionales x, y, ver Fig.3.5

Los M. de Segundo Orden (MSO) Ixci, Iyci, Ixyci para su ejes cen-troidales xci, yci


Calcular los Momentos de Primer Orden (MPO) del area: xi Ai, yi Ai

2.Calcular el centroide de la figura completa empleando las Ec.3.2:

xc = x =

∑n

i=1 xiAi∑n

i=1 Ai

yc = y =

∑n

i=1 yiAi∑n

i=1 Ai

3. y 4.Calcular los MSO Iixc, I

iyc, I

ixyc de cada componente Ai para los ejes

de referencia centroidales totales xc, yc, a partir de los anteriores MSOpara ejes centroidales locales xci, yci. Este paso es similar al del primermetodo, la diferencia es que ya no se lleva a los ejes provisionales x, y sinodirectamente a los centroidales totales xc, yc. Para tal efecto se empleaSteiner, pero no se usan las distancias xi, yi como en el metodo anterior,sino las diferencias ∆xi = xi − x; ∆yi = yi − y, ver la Fig.3.5.

∆xi = xi − x

∆yi = yi − y

Iixc = Ixci + ∆2

yi Ai

Iiyc = Iyci + ∆xi2 Ai

Iixyc = Ixyci + ∆xi ∆yi Ai

5.Determinar los MSO Ix, Iy , Ixy para los ejes de referencia provisionalesx, y, de toda la figura, sumando los MSO de las componentes calculadasen el paso combinado 3/4.

Ixc =n∑

i=1

Iixc

Iyc =

n∑

i=1

Iiyc

Ixyc =n∑

i=1

Iixyc

6.Se calcula el angulo 2αp que deben rotar los ejes centroidales xc, yc parallegar a la posicion u, v de modo que para esta posicion se maximice unMomento de Inercia, el otro se minimice y el Producto de Inercia sea nulo,ver Secs.3.5 y 3.6. Habiendo minimizado por segunda vez, se ha conseguidoel Mınimo absoluto de los Momentos de Inercia, para Ejes Centroidales


principales. Es decir, del las Ecs.3.9 y 3.6:

tan 2αp = −Ixyc

Ixc−Iyc2

Iu =Ixc + Iyc

2+

Ixc − Iyc

2cos 2αp − Ixyc sin 2αp

Iv =Ixc + Iyc

2−

Ixc − Iyc

2cos 2αp + Ixyc sin 2αp

Iuv =Ixc − Iyc


A continuacion se aplican estos procedimientos en un ejemplo numerico:

Ejercicio 3.1 Determinar los Momentos de Segundo Orden (MSO) para EjesCentroidales Principales del area transversal indicada en la Fig.3.6.

Figura 3.6: Ejercicio 3.1

El problema sera resuelto por ambos metodos, para ello la figura sera divididaen cuatro componentes cuyas caracterısticas se hallan en las tablas de cualquiermanual de R. de Materiales, como se muestra en la Fig.3.7.

Figura 3.7: Componentes ai Ejercicio 3.1


Observese que el componente A2, el cuadrante de circunferencia, se restara delos otros dos componentes, los datos necesarios para proceder con los metodospresentados antes son:

Comp. A1 A2 A3

bx 8 8 10

by 8 8 8

xi 4 4*r/3/π 8+10/3

yi 4 8-4*r/3/π 2*8/3

Ai bx ∗ by r2π/4 bx ∗ by/2

Ixci bx ∗ b3y/12 0,0549 ∗ r4 bx ∗ b3

y/36

Iyci b3x ∗ by/12 0,0549 ∗ r4 b3

x ∗ by/36

Ixyci 0 0,0165 ∗ r4 b2x ∗ b2

y/72

Cuadro 3.1: Datos Ejercicio 3.1

Toda vez que las formulas para el area y los MSO seran obtenidos de tablasque aparecen en los manuales de R. de Materiales, si en la referencia de dondese toma estos datos las figuras aparecen en otros cuadrantes, para adecuar lasformulas a cualquier ubicacion, no se cambian los signos de los M. de Inerciapero sı del Producto de Inercia, correspondiendo un cambio de signo por cadarotacion.

Pasos 1 y 2 A continuacion se reunen en la Tabla 3.2 los calculos quecorresponden a los pasos 1 y 2, que son comunes a ambos metodos. Notese quelas columnas 4 y 5 se calculan despues de determinar el centroide y solo seemplearan en el Metodo 2, posteriormente.

1 2 3 4 5

Comp. Ai Ai xi Ai yi xi − x yi − y

A1 64.0 256.0 256.0 -6.02 -0.43

A2 -50.3 -170.6 -231.4 -6.63 0.18

A3 40.0 453.3 213.3 1.31 0.91

Total 53.7 538.7 237.9

Cuadro 3.2: Pasos 1 y 2: Areas, MPO, ∆x y ∆y


Con los totales de las columnas 1, 2 y3 se pasa a calcular el centroide de lafigura total:

xc = x =

∑n

i=1 xiAi∑n

i=1 Ai

=538,6

53,74= 10,03cm

yc = y =

∑ni=1 yiAi∑n

i=1 Ai

=237,9

53,74= 4,43cm

A partir de aquı se diferencian los procedimientos.

METODO 1Pasos 3 y 4Nota: Para el area A2, que se debe quitar, los resultados parciales son indicados

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Comp. Ixci Aiy2i Ii

x Iyci Aix2i Ii

y Ixyci Aixiyi Iixy

A1 341.3 1024.0 1365.3 341.3 1024.0 1365.3 0.0 1024.0 1024.0

A2 224.9 1065.7 -(1290.0) 224.9 579.5 -(804.3) 67.6 785.9 -(853.4)

A3 142.2 1137.7 1280.0 222.0 5137.7 5360.0 88.9 2417.7 2506.6

Total 1354.7 5921.0 2677.2

Cuadro 3.3: Metodo 1.- Pasos 3 y 4

entre parentesis en las columnas 3, 6 y 9; siendo restados estos de los otrossubtotales de dichas columnas.Paso 5. MSO Centroidales Con los ultimos resultados:

Ixc = Ix − y2 A = 1354,7 − 53,74 ∗ 4,432 = 301,63 cm4

Iyc = Iy − x2 A = 5921,0 − 53,74 ∗ 10,032 = 521,08 cm4

Ixyc = Ixy − x y A = 2677,2 − 53,74 ∗ 4,43 ∗ 10,03 = 292,60 cm4

Paso 6. MSO Centroidales Principales Ahora se aplican las Ecs.3.10que definen los M. de Inercia maximo y mınimo absoluto, que es el objetivobuscado:

2αp = tan−1(−Ixyc

Ixc−Iyc2

) = 69,44 o

Iu =Ixc + Iyc

2+

Ixc − Iyc

2cos 2αp − Ixyc sin 2αp = 98,85 cm4

Iv =Ixc + Iyc

2−

Ixc − Iyc

2cos 2αp + Ixyc sin 2αp = 723,86 cm4

Iuv =Ixc − Iyc



METODO 2Pasos 1 y 2 Estan resumidos en la Tabla 3.2Pasos 2,4 y 5 Al igual que en el metodo anterior, se reunen los calculos en

la siguiente Tabla 3.4:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Comp. Ixci Ai∆2yi Ii

xc Iyci Ai∆2xi Ii

yc Ixyci Ai∆xi∆yi Iixyc

A1 341.3 11.7 353.0 341.3 2322.9 2664.2 0.0 164.6 164.6

A2 224.9 1.6 -(226.4) 224.9 2209.0 -(2433.0) 67.6 -59.2 -(8.3)

A3 142.2 32.9 175.0 222.2 68.5 290.7 88.9 47.4 136.3

Total 301.6 521.1 292.6

Cuadro 3.4: Metodo 2.- Pasos 3, 4 y 5.

Paso 6. MSO Centroidales Principales Siendo iguales los resultadosobtenidos hasta aquı en ambos metodos, el paso seis es identico tambien.

Capıtulo 4

Estructuras Isostaticas

4.1. Objetivo

En este capıtulo se estudiaran los procedimientos para el calculo de lasreacciones o Cargas Externas Reactivas y las Cargas Internas en estructurasplanas, sin embargo, algunos comentarios se extienden a las espaciales cuandosea conveniente, entonces:

Los elementos constituyentes de la estructura son unidimensionales, comose define en 1.3 y son coplanares.

Las direcciones de todas las fuerzas existentes estan contenidas en el planode los elementos y todos los momentos tienen su direccion perpendicularal mismo.

Cuando se resuelve la estatica de las estructuras isostaticas se consider-an las barras indeformables, esto por haber aceptado la Hipotesis de lasDeformaciones Pequenas, ver la Sec. 1.2

Complementando el punto anterior se debe recalcar que, toda vez que searequerido, se pueden calcular las deformaciones de la estructura en basea las cargas internas recien calculadas. Las estructuras a estudiar en estecapıtulo deben deformarse en el plano que las contiene.

Para mejor comprension del ambito de estudio se hace referencia a la siguienteclasificacion.

4.2. Estructuras Planas

En la Fig.4.1 se observan tres estructuras que responden a la clasificaciongeneralmente aceptada:

57

58 CAPITULO 4. ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

Figura 4.1: Estructuras Planas

MARCOS O PORTICOS PLANOS. Estan formados por elementos uni-dimensionales contenidos todos en un plano que tambien contiene a lasfuerzas actuantes y es perpendicular a los momentos, actuantes y reac-tivos, como puede verse en la Fig.4.1(a). Bajo estas circunstancias las de-formaciones se produciran en el mismo plano, cuando se cumplen algunascondiciones adicionales que se anotaran oportunamente.

ARMADURAS O CERCHAS PLANAS. Cumplen todos los requisitos delos porticos planos, pero adicionalmente se requiere que las uniones entreelementos componentes sea por medio de articulaciones,como se obser-va en la Fig.4.1(b). Normalmente se transfiere la accion de las cargas entramos de elementos hacia los nudos. En estas circunstancias barras estansometidas exclusivamente a cargas internas normales. Aunque se puede in-ferir que las cerchas son un caso particular de los porticos, se las clasificaen otro grupo por ser este el tratamiento clasico.

PARRILLAS. Son tambien estructuras formadas por elementos unidimen-sionales contenidos en un plano, pero, a diferencia de los porticos, lasfuerzas que las solicitan son perpendiculares a dicho plano, ver Fig.4.1(c).Por esa causa los momentos internos son ahora de dos tipos: Flectores yTorsores. Si bien historicamente este clase de estructuras no era estudiada,actualmente los reglamentos de diseno dan importancia a su estudio. Nose contempla su analisis en el presente capıtulo.

4.3. ISOSTATICIDAD 59

Para resolver los porticos y parrillas, se comienza por comprender la isostati-cidad y establecer si los conocimientos de la estatica son o no suficientes pararesolver determinado problema. Posteriormente se muestran los procedimientospara cumplir el objetivo anotado.

4.3. Isostaticidad

4.3.1. Estructura continua

En la Fig.4.2 se observa una barra de eje quebrado que esta empotradaen el suelo. Si esta barra se analizarıa en el espacio, tuviera seis libertades demovimiento (Sec. 1.5), en este capıtulo se analizan estructuras planas, por tantodeben considerarse solo tres grados de libertad, GL = 3, sin embargo, toda vezque esta conectada con tierra, el empotramiento se encarga de quitarle todasesas libertades, como se vio en 1.7. Queda claro entonces que las reaccionesde apoyo de la estructura pueden ser determinadas mediante la aplicacion delas Condiciones de Equilibrio Estatico: toda vez que el Grado de Libertad estres, existen Tres Ecuaciones de equilibrio y son tambien tres las restriccionesnecesarias, que genera cada cual una reaccion de apoyo por calcular, es decir:Tres Incognitas H1, V1, M1, se tiene entonces un Sistema de Ecuaciones De-terminado. Este es el caso de las Estructuras Externamente Isostaticas,ver Sec. 1.8.Debe recordarse que, de las tres libertades de movimiento que poseen las estruc-turas planas, dos son de movimiento traslacional, que requieren restricciones defuerza H1, V1, y un movimiento es rotacional, restringido por el momento M1.

Figura 4.2: Barra Empotrada - Isostatica

Ahora bien, si a la estructura anterior se le asigna otro apoyo empotrado co-mo se ve en la Fig.4.3 suceden dos cosas: Por una parte se le quitan otras tres lib-ertades de movimiento, aumentando a seis las restricciones: H1, V1, M1, H4, V4, M4.Toda vez que el grado de libertad se mantiene en tres, existen tres restricciones


superabundantes o redundantes hiperestaticas, ver Sec. 1.7:

GHE = RE − GL = 6 − 3 = 3

Figura 4.3: Barra biempotrada: Un anillo

Por otra parte, puede observarse que la tierra y la barra quebrada formanun anillo cerrado, cuyo indicador es el numero uno encerrado en un triangulo,por tanto se infiere que:

Todo anillo cerrado continuo es tres veces hiper-estatico cuando la estructura es plana, cuando la es-tructura es espacial un anillo cerrado es seis veceshiperestatico.

4.3.2. Estructura discontinua

La Fig.4.4 muestra la misma estructura que se viene analizando con dosdiferencias fundamentales.

Existe una liberacion externa en el punto 1, mostrada como una pequenacircunferencia, como se conoce, esto implica que existe una discontinuidaden dicho punto, es decir, mientras la tierra es inmovil, la barra mantienesu libertad de moverse rotacionalmente.Lo anterior tiene una consecuencia a nivel de la reaccion de apoyo quedebıa impedir este giro. La barra puede rotar en dicho punto porque la re-striccion de momento que antes existıa ha sido anulada por la articulacion:M1 = 0. Esto implica que ha disminuido el grado de hiperestaticidad ex-terna porque existe una liberacion externa LE.

Tambien se ha introducido una liberacion interna en el punto 2 , co-mo antes, esta liberacion automaticamente disminuye el grado de hiper-estaticidad, pero, como en este caso la liberacion es interna, LI, se


Figura 4.4: Estructura con liberaciones

comienza a discriminar la condicionante y se define que ha disminuidoen un grado la Hiperestaticidad Interna. Por el hecho de que el giro esindependiente entre ambas barras unidas a la articulacion, debe compren-derse que el momento interactivo que antes existıa en dicho punto hasido anulado por dicha articulacion.Notese que esta consecuencia no puede apreciarse en la grafica por cuantoel momento es una carga interna y estas pueden observarse solo cuando secorta la barra. Ver Sec. 1.9. Es conveniente resumir lo anterior:

Una articulacion entre la estructura y el suelo anula el momento interactivoy disminuye en uno el Grado de Hiperestacidad Externa, GHE, porquese conoce el momento reactivo correspondiente. Cuando la articulacion esinterna, la carga interna de momento es conocida M = 0, disminuyendoası el Grado de Hiperestaticidad Interna, GHI.

Un apoyo movil independiza el movimiento traslacional entre el suelo y laestructura, anulando la interaccion de fuerzas entre estos dos cuerpos,como uno de ellos es la tierra, entonces es nula la fuerza reactiva cuyadireccion corresponde a la plataforma de desplazamiento, como se ve en laFig.4.5 (Nudo 1) la reaccion horizontal el nula, disminuye por esta causael grado de hiperestaticidad externa. Tambien se extiende este criterio alcaso de una liberacion interna de movimiento traslacional, entre dos barrascomponentes como se ve en el Nudo 2 de la citada figura 4.5, disminuyendoen este caso la hiperestaticidad interna, por cuanto en este caso se conoceuna carga interna. Como se conoce, en este caso, la carga interna anuladaes la componente de fuerza en direccion de la plataforma de desplazamiento(vertical en la figura).


Figura 4.5: Liberaciones traslacionales

4.3.3. Anillos Internos

En la Fig.4.6 se ve la estructura bajo estudio a la cual se le ha anadido unbarra entre los puntos A y B, cuyas consecuencias se desea analizar:

Figura 4.6: Anillo interno

Son ahora varias barras unidimensionales formando una estructura plana.

Son dos los anillos presentes ahora en la estructura, un anillo es externo (latierra que une los apoyos forma parte del anillo) y el segundo es interno,esto implica que la hiperestaticidad interna ha crecido en tres unidades.

La liberacion externa LE en el punto 1 disminuye en uno la cantidad derestricciones, disminuyendo de este modo la hiperestaticidad externa.


el Grado de Hiperestaticidad externo entonces no habrıa cambiado, sien-do como antes:

GHE = RE − GL = 5 − 3 = 2

La liberacion interna LI en el punto 2 disminuye en una unidad la Hiper-estaticidad interna.

El Grado de Hiperestaticidad Interno ha cambiado notoriamente, por unlado ha sido incrementado en tres, por haberse creado un anillo internoAI, pero se disminuye en uno por la existencia de la liberacion LI en elpunto 2.

GHI = 3 AI − LI = 3 ∗ 1 − 1 = 2

El Grado de Hiperestaticidad Total es la suma de las anteriores:

GH = GHE + GHI = 2 + 2 = 4

A continuacion se presentan casos en los que se generalizan los conceptosanteriores aplicandolos a situaciones comunes.

Ejercicio 4.1 Estudiar el comportamiento de nudos con liberaciones entre to-dos o algunos de los elementos que se unen a ellos.

Figura 4.7: Ejercicio 4.1Distintas libertades en A y B

Sea la Fig.4.7, que muestra a la anterior estructura con las siguientes modi-ficaciones:


En el punto A se ha modificado el vınculo de continuidad que unıa a las tresbarras que concurren en el.Si se considera que la articulacion pertenece a cualquiera de las barras,quedan entonces dos barras libres para rotar independientemente de ella,por tanto son dos las libertades internas que genera esta articulacion.

En el punto B se ha modificado el vınculo de continuidad que unıa a las tresbarras, a diferencia del caso anterior, debe notarse que dos barras son to-davıa continuas, de modo que cualquier rotacion de una barra tambien sedebe producir en la que es continua a ella. La tercera barra es libre derotar independiente de las anteriores.Si, como antes, consideramos que la articulacion es parte de la barra in-dependiente, entonces las dos barras continuas seran libres de rotar con-juntamente, en consecuencia se cuenta con una unica liberacion en estecaso. Sucederıa lo mismo si la articulacion se soldarıa al otro elemento, detodos modos solo un elemento es libre respecto del otro.

El Grado De Hiperestaticidad Externo no ha cambiado por cuanto lasliberaciones se han dado en un nudo interno.

La barra que une A y B tiene articulaciones en ambos extremos y se la con-sidera en forma especial porque si bien forma un anillo interno aumentandoen tres el GHI, al mismo tiempo sus articulaciones de extremo generan doslibertades de movimiento, disminuyendo en dos el GHI, resumiendo:

Toda barra biarticulada aumenta una unidad al Gra-do de Hiperestaticidad Interno GHI.

Debe notarse que, adicionalmente, en el nudo A se ha introducido unaliberacion que disminuye en uno el GHI, no ası en el nudo B, porque laarticulacion existente esta ya considerada en la barra Biarticulada.

El grado de Hiperestaticidad es en este caso:

GHE = RE − GL = 5 − 3 = 2

GHI = 3 AI − LI = 3 ∗ 1 − 4 = −1

GH = 3 A − L = 3 ∗ 2 − 5 = 1

Habiendo por tanto verificado que la suma de las H. Externa e Interna es la H.Total.Antes de seguir, es oportuno resaltar un hecho importante. Si todo anillo es tresveces hiperestatico y si toda articulacion elimina un grado de hiperestaticidad,consecuentemente todo anillo que contiene tres articulaciones sera isostatico,entonces se puede extender este criterio:

Toda estructura formada por un conjunto de unoo mas anillos que tienen tres articulaciones esisostatica. Es el caso tıpico de las Cerchas o Estruc-turas en Celosıa.



Ejercicio 4.2 Analizar el caso de un nudo conectado a tierra, unido a la vez avarios elementos con movimientos independientes entre ellos.

Como un nuevo caso considerese la Fig.4.8, ahora la barra biarticulada seune al nudo 1 que tambien se vincula con tierra, es un nudo externo. En es-tas circunstancias el analisis indica que de las tres reacciones potenciales en elapoyo del nudo 1 el momento es nulo, por tanto se tiene una libertad externaLE = 1, ahora bien, al interior de la estructura el conjunto que tiene la libertadexterna recien considerada, esta formado por dos barras que pueden rotar in-ternamente, independientemente una de la otra, entonces se debe consideraruna liberacion interna LI = 1 como se ve en la figura, luego, la determinaciondel GH serıa:

GHE = RE − GL = 5 − 3 = 2

GHI = 3 AI − LI = 3 ∗ 1 − 3 = 0

GH = 3 A − L = 3 ∗ 2 − 4 = 2

4.3.4. Apoyos elasticos

Ahora se estudia el caso de los resortes, como se vio en la Sec.1.7, son dostipos de apoyos elasticos a considerar:

Resorte Helicoidal que restringe parcialmente el desplazamiento lineal enla direccion del eje de la helice, como se ve en la Fig.4.9(a), la cargaP (Px, Py, Pz) actua sobre un apoyo elastico consistente en una helice, enun nudo generico i. por ahora se acepta sin justificacion que:

La Fuerza actuante Py ha de ser resistida por el suelo mediante lareaccion de apoyo Yi, porque el resorte es capaz de transmitir fuerzasa lo largo de su eje. No obstante, para que esto suceda el resorte debe


Figura 4.9: Apoyos elasticos

deformarse en la direccion de la fuerza transmitida, se acepta que larelacion entre la fuerza Py y la deformacion δy es un valor constantellamado Rigidez o Constante del resorte.

El resorte es incapaz de transmitir hacia el suelo la fuerza Px per-pendicular a su eje, por ello la reaccion Xi = 0 es nula. Esto mismosucede con el momento Pz, que al no ser trasmitido al suelo generareaccion de momento nula Zi = 0.

Por lo anterior, un apoyo de este tipo genera solo una restriccion yes de primera especie, dicho de otro modo, provee dos liberacionesexternas LE = 2

Resorte Espiral como el mostrado en la Fig.4.9(b), se fabrica para transmitirexclusivamente momento Pz perpendicular al plano de la espiral, sobre eleje Z de la figura, generando el momento reactivo Zi.Como antes, un resorte espiral es un apoyo de primera especie por cuantorestringe solo el movimiento rotacional y otorga dos libertades de movimien-to traslacional, LE = 2.

Desde el punto de vista de la hiperestaticidad, los anteriores conceptos llevanal siguiente razonamiento: si a una estructura se le anade un apoyo elastico,automaticamente se le anaden tres grados de hiperestaticidad por el hecho deformar un nuevo anillo, sin embargo, simultaneamente tambien se le otorgan doslibertades de movimiento, disminuyendo ası su hiperestaticidad en dos grados.Entonces:

Todo apoyo elastico o resorte aumenta una unidadal Grado de Hiperestaticidad Externo.Todo resorte que une dos puntos de la estructuraaumenta una unidad al Grado de HiperestaticidadInterno.


4.3.5. Grado de Hiperestaticidad

Reuniendo el criterio del anillo tres veces hiperestatico, la disminucion dela hiperestaticidad por cada liberacion y las restricciones externas se puederesumir:

El Grado de Hiperestaticidad Total GH es la diferencia de la hiperestati-cidad de todos los anillos que forma la estructura: 3 A menos las libertadesL = LE + LI (entre el suelo y la estructura LE y entre barras LI). LaHiperestaticidad Total tambien es igual a la suma de la HiperestaticidadExterna mas la Hiperestaticidad Interna, que se definen a continuacion.

El Grado de Hiperestaticidad Interno GHI es la diferencia de la hiper-estaticidad de todos los anillos internos (tres veces el numero de anillosinternos AI), menos las libertades internas LI (entre barras de la estruc-tura)

El Grado de Hiperestaticidad Externo GHE es igual a la cantidad de re-stricciones menos el Grado de Libertad de la estructura (GL=3 en estruc-turas planas, GL=6 en el espacio).

H. Externa

GHE = RE − GL (4.1a)

H. Interna

GHI = 3 AI − LI (4.1b)

H. Total

GH = 3 A − L (4.1c)

GH = GHE + GHI (4.1d)

Sin embargo, considerando los casos especiales de la barra biarticulada y losresortes, muchas veces resulta mas claro el analisis si, antes de definir el numerode anillos y las liberaciones internas y externas, aislamos de la estructura lasbarras biarticuladas y los resorte. Como se vio antes, esto implica que estamosrestando un grado de hiperestaticidad externa por cada resorte aislado, y tam-bien un G. de H. Interno por cada barra biarticulada.Al hacer esto, la estructura restante es mas facil de estudiar y al grado dehiperestaticidad de esta estructura parcial habrıa que anadir la cantidad de B.Biarticuladas BBy Resortes aislados RR para conocer el GH de la estructurainicial. Obviamente, para calcular el Grado de Hiperestaticidad de la estructurarestante, GHR, se deben emplear solo los anillos restantes AR tanto como laslibertades restantes LR, es decir: GHR = AR−LR. Entonces a la Ec. 4.1 habrıaque anadir otra ecuacion alternativa para el G. de H. Total:



H. Externa

GHE = RE − GL (4.2a)

H. Interna

GHI = 3 AI − LI (4.2b)

H. Total

GH = 3 A − L (4.2c)

GH = 3 AR − LR︸︷︷︸

GHR

+BB + RR (4.2d)

GH = GHE + GHI (4.2e)

Se quiere insistir que en la ecuacion 4.2d, GHR simboliza el Grado de Hiper-estaticidad de la estructura restante, que es mas facil de analizar, si la E. inicialfuera hiperestatica, cuando se emplea el Metodo de la Flexibilidad que sera es-tudiado posteriormente.A continuacion se practica la aplicacion de ambos procedimientos.

Ejercicio 4.3 Determinar el Grado de Hiperestaticidad de la estructura mostra-da en la Fig,4.10.

1. Separando B. Biarticuladas BB y resortes RR de la estructura restante.

2. Considerando las barras biarticuladas y los resortes con la totalidad de laestructura.

1. Separando B. Biarticuladas y resortes de la estructura restante

Siendo una estructura plana GL = 3, ademas, en la Fig.4.11 se determinaque son siete las restricciones externas o apoyos RE = 7, a saber: V 1, H1,V 2, H2.M2, V 2 y H6, por tanto: GHE = 7 − 3 = 4.Para determinar mas facilmente el numero de anillos y liberaciones se hacereferencia nuevamente a la Fig.4.11, donde se establece:


Figura 4.11: Ejercicio 4.3 (1)

Anillos restantes: 1,2,3 y 4 AR =4

Anillos internos restantes: 3 y 4 AIR =2

Liberaciones restantes: en 1,3 y 5 LR =4

Liberaciones internas restantes: en 5 LIR =1

Para determinar los anillos y libertades totales, haciendo referencia a la Fig.4.12,se debe anadir un anillo interno por cada barra biarticulada excluida (6 y 7 enla figura) y un anillo por cada resorte (5 en la figura); tambien se anadiran dosliberaciones internas por cada BB excluida (en los nudos 2,3,4 y 5), luego:

Anillos en total A =4 + 2 + 1 = 7

Anillos internos en total AI =2 + 2 = 4

Liberaciones en total L =4 + 2 ∗ 2 + 2 = 10

Liberaciones internas en total LI =1 + 2 ∗ 2 = 5


Con estos datos se tiene:

G. de Hiperestaticidad Externa GHE =RE − GL = 7 − 3 = 4

G. de Hiperestaticidad Interna GHI =3 AI − LI = 3 ∗ 4 − 5 = 7

G. de Hiperestaticidad Total GH =3 AR − LR︸︷︷︸

GHR

+BB + RR

=3 ∗ 4 − 4︸︷︷︸

8

+2 + 1 = 11

G. de Hiperestaticidad Total GH =GHE + GHI = 7 + 4 = 11

Figura 4.12: Ejercicio 4.3 (2)

2.- Se considera la estructura en su totalidadYa se conocen los datos necesarios para calcular el GH empleando la ecuacion4.2c:

G. de Hiperestaticidad Total GH =3 A − L = 3 ∗ 7 − 10 = 11

Ejercicio 4.4 Determinar el Grado de Hiperestaticidad de la estructura mostra-da en la Fig.4.13(a).

1. Separando B. Biarticuladas BB y resortes RR de la estructura restante.

2. Considerando las barras biarticuladas y los resortes con la totalidad de laestructura.

En la Figura indicada se ve que la cantidad de restricciones externas GHE =3, tambien se sabe que GL = 3.Por otro lado, en la Fig.4.13(c) se observan las barras biarticuladas 6/3 y 7/4 sep-aradas del cuerpo principal; mostrando en la Fig.4.13(b) la estructura restante,


Figura 4.13: Ejercicio 4.4: Cercha planaNota: Ver la justificacion de estas cantidades en el texto que continua.


de la cual se extraen los siguientes datos:

Anillos restantes: 1 a 7 AR =7

Anillos internos restantes: 1 a 6 AIR =6

Liberaciones restantes LR =18 + 3 = 21

Liberaciones internas restantes LIR =2 ∗ 8 + 2 = 18

Como antes, para determinar en numero de anillos y libertades en total, a losvalores anteriores se anadira un anillo por cada BB, dos en este caso; no existien-do ningun resorte, no existe anillo externo adicional. En numero de liberacionestambien aumenta en dos por cada BB.

Anillos en total A =7 + 2 = 9

Anillos internos en total AI =6 + 2 = 8

Liberaciones en total L =21 + 2 ∗ 2 = 25

Liberaciones internas en total LI =18 + 2 ∗ 2 = 22

Con estos datos se tiene, resolviendo simultaneamente ambas alternativas:

G. de Hiperestaticidad Externa GHE =RE − GL = 3 − 3 = 0

G. de Hiperestaticidad Interna GHI =3 AI − LI = 3 ∗ 8 − 22

G. de Hiperestaticidad Total GH = 3 AR − LR︸︷︷︸

GHR

+BB + RR

= 3 ∗ 7 − 21︸︷︷︸

0

+2 = 2

G. de Hiperestaticidad Total GH =3 A − L = 3 ∗ 9 − 25 = 2

G. de Hiperestaticidad Total GH =GHE + GHI = 0 + 2 = 2

Capıtulo 5

Flexion

5.1. Objetivo

En el presente Capıtulo se estudia la relacion entre los esfuerzos y la cargainterna de Momento, pudiendo este estar acompanado o no de fuerzas internasNormales y Cortantes. Se vera que los esfuerzos estan ligados a las deformacionesde las fibras. Usando el mismo ejemplo que en la Sec.1.9, pag.15, se puede ver enla Fig.5.1(a) una viga con Cargas Externas Actuantes que son equilibradas porCargas Externas Reactivas que se originan en los apoyos. Una vez establecidoel equilibrio externo, es necesario conocer las Cargas Internas y su relacion conlos Esfuerzos y Deformaciones, para lo cual se aplica generalmente el siguienteprocedimiento.

1. Se corta el elemento a la distancia z+ dz donde se quiere establecer el valorde las cargas internas. Al interrumpir el flujo de esfuerzos que transcurrıaa traves de las fibras se produce el desequilibrio, quedando las partes sep-aradas habilitadas para moverse Figs.5.1(b) y (c). Este movimiento, queen el espacio tiene seis componentes: tres traslaciones o movimientos lon-gitudinales y tres rotaciones o movimientos angulares, se impide medianteotras tantas Cargas internas: Tres fuerzas y tres momentos que impidenlos movimientos traslacionales y rotacionales asociados de cada una delas partes. De este modo, se tienen seis incognitas (las cargas internas)y seis ecuaciones (las del equilibrio estatico), siendo por tanto el sistemade ecuaciones determinado y posible la solucion de las incognitas. Si bienexisten dos cuerpos libres y por tanto dos grupos de seis cargas y ecua-ciones, debe recordarse que las cargas internas son correspondientementeiguales en magnitud y direccion en cada una de las caras cortadas, varian-do unicamente el sentido, por tanto es suficiente usar uno de los cuerpos.

2. Una vez determinadas las cargas internas, quedan por conocer los esfuer-zos y deformaciones, ese es el proposito de este estudio, en particular estecapıtulo trata de los esfuerzos relacionados con el momento y la fuerza

73

74 CAPITULO 5. FLEXION

cortante.Particularmente, en el presente texto se trata el problema anterior es-tudiando un Elemento Unidimensional. Para este objetivo se separadel cuerpo un porcion muy delgada, cortando en dos planos infinitamentecercanos, perpendicularmente al eje del elemento, resultando con ello dosSecciones Transversales en las que actuan las cargas internas men-cionadas.

Figura 5.1: Cargas Externas e Internas

5.2. Equilibrio del Elemento

Lıneas arriba se dijo que a objeto de analizar la flexion se procede a aislardel cuerpo una parte infinitamente delgada, denominada Tajada Diferencialrealizando dos cortes perpendiculares al eje del elemento, definiendo de estemodo las llamadas secciones transversales. Esto ha sido mencionado ya en laSec.1.9, de modo que ahora se completa la Fig.1.11, incluyendo la carga actuanteqz y las cargas internas de ambas secciones transversales. Ver la Fig.5.2.

Siendo esta tajada diferencial parte de un cuerpo en equilibrio, debe tambienestarlo, por tanto se usaran las condiciones de equilibrio para demostrar algunasrelaciones muy utiles. Siendo seis los Grados de Libertad del cuerpo seran seislas condiciones de equilibrio. Con relacion a esta figura se desea recalcar:

La convencion de signos requiere establecer primero un sistema de ejes de

5.2. EQUILIBRIO DEL ELEMENTO 75

Figura 5.2: Tajada Diferencial - Cargas Externas e Internas

referencia cartesiano ortogonal, como se ve en la mencionada figura, seelige el sentido del eje y de modo que la convencion de signos que aquı seplantea, coincida con la convencion de signos de la Resistencia de Mate-riales. Luego se define que la cara positiva es la mas alejada del origen decoordenadas. En ella las cargas internas son positivas si tienen el mismosentido de los ejes de referencia. En la cara opuesta, llamada cara negati-va, las cargas internas son positivas cuando su sentido es opuesto al de losejes de referencia. Las cargas externas activas son positivas siempre quesu sentido coincida con el de los ejes. Su magnitud puede ser expresadacomo funcion de la variable z.

El tamano del cambio de magnitud de todos los vectores implicados, entrecara y cara, es un diferencial. Esto debido a la distancia infinitamentepequena entre dichas secciones transversales.

Las cargas concentradas no son tomadas en cuenta por cuanto producen dis-continuidades, entonces los cortes se realizan antes de llegar a un puntodonde existas dichas cargas. Ademas, en estos lugares se producen concen-traciones de esfuerzos cuyo valor debe ser determinado por metodos quecaen fuera de los alcances del presente texto. Dicho de otro modo, se adop-ta como valido el principio de Saint-Venant ([Mansilla,1952, Pag.23]): “Lafuerza aplicada a una parte de la estructura ocasiona tensiones, las cuales,excepto en una region vecina a tal parte, dependen casi enteramente de laaccion resultante y no de la forma como actua esa fuerza”.

La forma de la Seccion transversal puede ser cualquiera, aquı se toma co-mo ejemplo la figura rectangular. De principio se consideran solo elementosprismaticos, vale decir elementos cuya seccion transversal sea constante alo largo de la variable z.


El Eje z corresponde al eje del elemento cuando este es recto, o a su tangentecuando es una curva. Como se demostrara, el eje del elemento es la lıneaformada por los centroides de las secciones transversales. De principio seconsidera solamente elementos de eje recto o de pequena curvatura, quepuedan ser considerados aproximadamente rectos.

Por el Principio de Superposicion que se adopto al principio del texto, sepueden analizar separadamente los efectos de cada carga interna y luegosuperponer sus efectos.

La tajada diferencial se ha movido y se ha deformado antes de alcanzarla posicion de equilibrio, estos desplazamientos y deformaciones son pequenos(de primer orden) y por tanto, por el Principio de las Pequenas Deforma-ciones, las condiciones de equilibrio se plantean sobre la posicion y formainicial del cuerpo no deformado.

Conviene recordar la clasificacion de las cargas internas que se dio en laSec.1.9, y su correspondencia con los esfuerzos que se propone hallar:

CARGA INTERNA ⇒ ESFUERZO INTERNO

Px F. Cortante ⇒ τzx E. Cortante

Py F. Cortante ⇒ τzy E. Cortante

Pz F. Normal ⇒ σz E. Normal

Mx M. Flector ⇒ σz E. Normal

My M. Flector ⇒ σz E. Normal

Mz M. Torsor ⇒ τzy E.Cortante

Por consideraciones de orden, los Momentos Torsores Mz no seran consideradosen este capıtulo.

5.2.1. Equilibrio de Fuerzas Longitudinales (Normales)

Aunque se vio el analisis de las cargas internas de traccion/compresion en elcapıtulo anterior, por motivos de orden se incluye aquı el equilibrio de fuerzaslongitudinales, normales a la seccion transversal. Separando las fuerzas actu-antes e internas que sean colineales con el eje z se obtiene la Fig.5.3. Se consideraque la carga actuante qz actua directamente sobre el eje de la barra, es decir, laaltura del elemento es pequena frente a su longitud, de modo que los momentosgenerados por tal carga son despreciables frente a los producidos por las cargastransversales.

La condicion de equilibrio adecuada es∑

Fz = 0, entonces se debe hallarla resultante de la carga actuante distribuida variable a lo largo de z, esta sera

5.2. EQUILIBRIO DEL ELEMENTO 77

Figura 5.3: Cargas Normales

considerada la suma de una carga rectangular cuya resultante vale qx ∗ dz, masla carga aproximadamente triangular dqz ∗ dz /2, siendo esta ultima diferencialde orden superior sera obviada, entonces:

−Pz + qz ∗ dz + (Pz + dPz) = 0 ⇒dPz

dz= −qz (5.1)

Lo cual significa que: “La pendiente de la funcion Carga Interna Normal Pz(z),en cualquier lugar dado por la variable z, tiene el valor negativo de la funcionde la carga actuante qz(z) en dicho lugar”.

5.2.2. Equilibrio de Fuerzas Transversales (Cortantes)

Fuerzas en el Eje Y

Tambien se han aislado en la Fig.5.4 las fuerzas proyectadas sobre el ejey, y los momentos Mx que estas producen. Debe cumplirse que

∑Fy = 0,

entonces debe hallarse la resultante de las cargas distribuidas qy, igualmentese descompone la figura en una componente rectangular qy ∗ dz y la partesuperior, aproximadamente triangular: dqy ∗ dz/2, infinitamente mas pequenaque la primera, por tanto despreciable, con lo cual:

−Py + qy ∗ dz + (Py + dPy) = 0 ⇒dPy

dz= −qy (5.2)

Siendo la conclusion igual a la de las cargas normales, es decir: “La pendiente dela funcion Carga Interna Cortante Py(z), en un punto dado z es igual al valorde la funcion de Carga Actuante qy(z) en dicho lugar, con el signo contrario”.

Fuerzas en el eje X

Siendo igual el procedimiento al de los casos anteriores, se puede inferir sindificultad que:

−Px + qx ∗ dz + (Px + dPx) = 0 ⇒dPx

dz= −qx (5.3)


Figura 5.4: Cargas en el plano Y Z

Con la misma relacion entre la pendiente de la funcion cortante Px(z) y lafuncion de carga qx

5.2.3. Equilibrio de Momentos Flectores

Momentos Mx

Una vez alcanzada la posicion de equilibrio la tajada ya no rota, entonces lasuma de momentos debe ser nula, se toma centro de momentos el punto dondeel eje incide en la cara izquierda del cuerpo de la Fig.5.4, y recordando que lacarga distribuida fue descompuesta en un rectangulo diferencial de primer ordeny un triangulo diferencial de segundo orden, no considerado, se tiene:

Mx + qy dz1

2dz + (Py + dPy) dz − (Mx + dMz) = 0

Despreciando diferenciales de segundo orden: ⇒dMx

dz= Py (5.4)

Una vez mas se resalta la relacion demostrada: “La pendiente del diagrama demomentos Mx(z) en un punto z es igual al valor de la fuerza cortante Py en esamisma abscisa”.

Momentos My

Realizando un procedimiento semejante, pero ahora sumando los momentosde direccion y, incluyendo los que producen las cargas cortantes Px, se puededemostrar:

dMy

dz= −Px (5.5)

Tambien aquı se menciona la relacion conocida: “La pendiente del diagrama demomentos My(z) en un punto z es igual al valor negativo de la fuerza cortantePx en esa misma abscisa”. Resumiendo:

5.3. CLASIFICACION 79

La pendiente del diagrama de fuerzas cortantes (nor-males) es numericamente igual al valor de la funcionde carga distribuida transversal (longitudinal) en lamisma abscisa.

La pendiente del diagrama de momentos flectores esnumericamente igual al valor de la funcion cortanteen dicha abscisa.

Consecuentemente, cuando la fuerza cortante es nulaen un punto, la pendiente del diagrama de momentoses nula, es decir se ha alcanzado un maximo o unmınimo del momento en dicha abscisa.

Mas aun, cuando la fuerza cortante es nula en untramo del elemento, el momento es constante en di-cho tramo. A este estado se llama Flexion Pura oUniforme.

5.3. Clasificacion

En funcion a la presencia o no de determinadas cargas internas se suele usarla siguiente clasificacion, sera esta la empleada en lo que continua.

Denominacion M. Flector F. Cortante F. Normal

Flexion Uniforme (Pura) Existe

Flexion No Uniforme Existe Existe

Flexion Compuesta Existe Existe Existe

Es necesario resaltar que no es esta denominacion ni la unica ni la mas usual, porejemplo, en [Feodosiev,1985, Pag.142] y [Pisarenko,1979, Pag.227], a la FlexionNo Uniforme se la denomina Flexion Transversal, etc.Por otra parte, en cualquiera de las clases de flexion mencionadas arriba, puedeproducirse la deformacion sobre el plano formado por el eje del elemento yuno de sus ejes principales de inercia, en cuyo caso la flexion se clasifica comoFlexion Recta, caso contrario se llamarıa Flexion desviada

5.4. Flexion Pura

5.4.1. Generalidades

Se trata de establecer los esfuerzos y deformaciones de un elemento unidi-mensional y prismatico sometido a la accion de un momento constante a lo largo


de un tramo del mismo. Para eso se analiza la tajada diferencial ya conocida y sevisualiza al momento actuante sobre ella como un par de fuerzas, si el momentoes positivo, entonces las fuerzas de la parte superior ocasionan compresion sobrelas fibras, en cambio las fibras de la zona inferior estaran sometidas a traccion,ver la Fig.5.5(a).

Figura 5.5: Deformacion por Momento.

En esas circunstancias es posible afirmar que las fibras superiores se acor-tan y las de abajo, en cambio se alargan, entonces se puede inferir que algu-nas no sufren ninguna deformacion. Yendo mas lejos, es posible asumir quelos alargamientos y acortamientos van siendo cada vez mayores a partir de unlınea que no se alarga ni se acorta, entonces, la seccion transversal que eraplana antes de la deformacion lo seguira siendo despues de la deformacion ysolo habra rotado. Considerando que esto es verdad, se admitira que la formarectangular que tenıa la tajada diferencial se convierte en una cuna como la dela Fig.5.5(izquierda), luego, si se juntan las tajadas adyacentes se puede ver queel eje recto del elemento ha tomado la forma de un arco Fig.5.5(derecha).Esta hipotesis de las secciones transversales planas, antes y despues de la de-formacion, que se confirma experimentalmente, puede ser explicada si tomamosel tramo sobre el que el momento es constante, si se toma el arco formado y seanaliza los desplazamientos de los puntos del plano que divide en dos el elemen-to arqueado, por estar estos puntos en el plano de simetrıa, no pueden moverseni a izquierda ni a derecha, por tanto permanecen en el plano que los contenıaantes de la deformacion. Este mismo criterio puede ser aplicado cuando se tomala mitad del tramo anterior, o la mitad de esa mitad, etc. entonces esta claroque los puntos coplanares antes de la deformacion pertenecen al mismo planodespues de la deformacion, solo que estos planos han rotado como se ve enla figura ya mencionada. Ademas todos estos arcos deberıan tener un mismoradio de curvatura, el que es hallado matematicamente y confirmado experi-mentalmente. En la Fig.5.6 se pueden observar algunas lıneas caracterısticas delfenomeno estudiado.

La lınea Neutra es la lınea que pertenece a la seccion transversal y es el ejede rotacion de la misma.

El Eje Neutro es la fibra del cuerpo que no sufre ninguna deformacion, ni sealarga ni acorta.

El Plano Neutro es el plano formado por la lınea neutra y el eje neutro.

5.4. FLEXION PURA 81

Figura 5.6: Rotacion de la Seccion Transversal

La longitud dz sufre una elongacion ∆dz en la fibra definida por la coordena-da z, como se ha estudiado, la relacion entre el alargamiento y la longitudinicial es la Deformacion Unitaria ǫ = ∆ dz

dz

Antes de seguir es necesario hacer algunas consideraciones tocantes a las rela-ciones geometricas de los arcos de circunferencia. Estudiando la Fig.5.7 se hallanlas siguientes relaciones (L = 2a):

Figura 5.7: Arco de circunferencia

r2 = a2 + h2 r = h + f ⇒ r =L2 + 4f2

8f

Haciendo m = f/L y tan θ = pendiente maxima en cualquier extremo:

r = L1 + 4m2

8mcos θ =

1 − 4m2

1 + 4m2

A continuacion se muestran algunos valores que ilustran las anteriores relaciones:


m r/L θ Arco/L

1/4 0.625000 53.130102 1.159119

1/16 2.031250 14.250033 1.010384

1/32 4.015625 7.152669 1.002602

1/48 6.010417 4.771888 1.001157

Puede observarse que, para relaciones f/L como las que admiten los reglamen-tos de diseno de estructuras en la Ingenierıa Civil, el arco y la cuerda tienenlongitudes aproximadamente iguales.

5.4.2. Determinacion de la curvaturaFlexion Desviada

Aunque generalmente se hace la primera aproximacion al tema analizandola Flexion Recta, se estima que comenzar estudiando la flexion desviada nosignifica mayor confusion.

Figura 5.8: Curva en el espacio

En consecuencia, en la Fig,5.8 se muestra el eje ABC de una barra que se hacurvado en el espacio. Para analizar este curva se analizan separadamente lascurvaturas en los Planos ZX y ZY . Es decir, un punto B cualquiera se desplazaen el plano ZX un distancia x hasta alcanzar la posicion B”, entonces, si todoslos puntos hacen lo mismo, eje se ha curvado en este plano, tal curvatura sedenomina ky. Lo mismo ha sucedido en el plano perpendicular ZY, esta vez seha desarrollado la curvatura kx.Para analizar la curvatura kx considerese la barra de la Fig.5.9, cuyo eje es el

segmento ABCD que se ha curvado hasta alcanzar la posicion AB′C′D. Como sedijo, el eje de un elemento es aquella fibra que no cambia de longitud, entonces,si el segmento ABCD no ha cambiado de longitud y se ha curvado, los puntosA y B deberıan haberse acercado. Efectivamente esto ha sucedido, sin embargo,considerando que se ha adoptado el Principio de las Deformaciones Pequenas,la flecha es mucho menor que la longitud y por tanto el cambio de posicion es


muy pequeno (del acapite anterior, la cuerda y el arco son aproximadamenteiguales para relaciones pequenas f/L), por tanto en el futuro se considera quedichos puntos no se han movido.Como puede verse, realizando los cortes transversales en B′ y C′ se obtiene latajada diferencial comentada anteriormente. Este elemento se ha trasladado a laposicion A′B′ y se ha deformado, acortandose las fibras superiores y alargandoselas inferiores. En el grafico se destaca:

La pendiente θa en A es positiva para los ejes de referencia adoptados.

La pendiente θ en B′ es negativa, y se ve que las pendientes disminuyen a lolargo del eje z, por tanto matematicamente la curvatura es negativa.El cambio de pendiente en la longitud dz es dθ, o sea un decremento.

El alargamiento de las fibras inferiores y el acortamientos de las superi-ores tiene que haberse producido a causa de un momento positivo.

Los alargamientos en las fibras son considerados positivos, de acuerdo a laconvencion adoptada en el anterior capıtulo.

Un Sistema de Referencia movil Z ′Y ′ ha sido adoptado con origen en B′ yel eje Z ′ tangente a la curva. Notese que, para coordenadas y positivas seda un alargamiento en la fibra, deformacion positiva, la nueva longitud dela fibra es ds′. En cambio, el segmento BC = dz ha cambiado de posicion

y se ha curvado sin alargarse: B′C′ = ds = dz.

Figura 5.9: Curvatura kx

Resumiendo, el problema que se pretende resolver es: “Dada una barraprismatica unidimensional sometida a la accion de dos momentos Mx y My,hallar las curvaturas kx y ky de su deformada y la posicion del eje z, la fibraque no se deforma”.Como se sabe, empleando la Ley de Hooke estudiada en el capıtulo anterior:


ǫ =∆L

L=

ds′ − ds

dsǫ =

σ

EDe la Figura: ds′ = (ρ + y) dθ ds = ρ dθ

Entonces: ǫ =(ρ + y) dθ − ρ dθ

ρ dθ⇒ ǫ =

y

ρ

Pero1

ρ= kx ⇒ ǫ = kx y

Toda vez que hasta aquı solo se ha considerado la geometrıa, para pasar auna expresion algebraica se debe recordar que son positivas la elongacion y lacoordenada y, en cambio la curvatura es negativa, por tanto: ǫ = −kx y.Realizando el mismo analisis en el plano de deformacion ZX , para considerarla curvatura ky, puede concluirse que ǫ = −ky x, de modo que para tomar encuenta el efecto de las dos curvaturas al mismo tiempo se deben acumular lasdeformaciones unitarias, asi:

ǫ = −(kx y + ky x) (5.6)

Habiendo definido la deformacion unitaria en funcion de las incognitas, em-pleando ahora la Ley de Hooke se tendra la relacion entre esfuerzos y deforma-ciones, con lo cual se puede usar el hecho de que los esfuerzos son la distribucionde las cargas internas sobre la seccion transversal, es decir: La suma de fuerzases nula por ser nula la fuerza normal actuante, del mismo modo, la suma delos momentos sobre cada uno de los ejes debe ser igual a los momentos actu-antes Mx My, de este modo se tendran tres ecuaciones con las tres incognitasya mencionadas. Ver la Fig.5.10:

Figura 5.10: Esfuerzos Normales

σ = ǫE dN = σ dA dN = −E(kx y + ky x) dA


∫

A

dN =

∫

A

−E(kx y + ky x) dA = 0 (5.7a)

∫

A

y dN =

∫

A

−E(kx y + ky x)y dA = Mx (5.7b)

∫

A

xdN =

∫

A

−E(kx y + ky x)xdA = −My (5.7c)

Desarrollando la Ec.5.7a, y considerando que las curvaturas son constantesen el ambito de la integracion:

−E(kx

∫

A

y dA + ky

∫

A

xdA) = 0 ⇒kx

ky

= −

∫

AxdA

∫

Ay dA

Considerando que la fraccion del primer miembro puede tomar cualquier valor,en cambio la fraccion del segundo miembro puede solo tomar un unico valor yes independiente de las curvaturas, la unica posibilidad para que se cumpla laigualdad es que se trate de una indeterminacion, es decir:

∫

A

xdA = 0

∫

A

y dA = 0

Toda vez que lo anterior se cumple solo cuando los ejes X e Y son centroidales,la conclusion es que el Eje Neutro del elemento, la fibra que no se deforma,es la union de los centroides de las secciones transversales. Para determinar lascurvaturas, se deben desarrollar las ecuaciones 5.7b y 5.7c:

−E(kx

∫

A

y2 dA + ky

∫

A

xy dA) = Mx

E(kx

∫

A

xy dA + ky

∫

A

x2 dA) = My

Entonces:

kx Ix + ky Ixy = −Mx/E (5.8a)

kx Ixy + ky Iy = My/E (5.8b)

Resolviendo las ecuaciones 5.8 se obtienen las curvaturas:

kx =MxIy + MyIxy

(I2xy − IxIy)E

(5.9a)

− ky =MyIx + MzIxy

(I2xy − IxIy)E

(5.9b)

Conviene resaltar lo siguiente:


El Momento Mx puede causar ambas curvaturas kx y ky, aun siel momento My = 0, a condicion de que los ejes de referenciano sean Ejes Principales Ixy 6= 0, dicho de otro modo:

Para Ejes Centroidales Principales Ixy = 0, cada momentosolo produce curvatura en el plano correspondiente: el Mo-mento Mx que es perpendicular al Plano ZY, producira unacurvatura kx en ese mismo plano, igualmente, el momentoMy que es perpendicular al Plano ZX , genera curvatura ky

en ese mismo plano. Ambos casos se clasifican como FlexionRecta

Las curvaturas kx y ky son constantes en el caso estudiado: El-emento Unidimensional Prismatico, Homogeneo e Isotropi-co. La curva desarrollada es una circunferencia.

La ecuacion de la curva adoptada por el eje del elemento re-quiere emplear la definicion matematica de la curvatura, co-mo se vera posteriormente.

Una vez hallada la posicion del eje neutro y las curvaturas, se conoce indi-rectamente el esfuerzo en una fibra cualquiera, ubicada en la posicion (x, y), enefecto, reemplazando las curvaturas en la deformacion unitaria ǫ y esta en la leyde Hooke σ = ǫE se halla la llamada:

ECUACION GENERAL DE LA FLEXION:

σ =MyIx + MxIxy

I2xy − IxIy

x −MxIy + MyIxy

I2xy − IxIy

y (5.10)

Reordenando en funcion de los Momentos:

σ =Ixyx − Iyy

I2xy − IxIy

Mx −Ixyy − Ixx

I2xy − IxIy

My (5.11)

5.4.3. Ejes Principales - Flexion Desviada

Toda vez que las anteriores relaciones son largas y morosas en su aplicacion,es corriente simplificarlas y estudiar la flexion desviada adoptando como ejes dereferencia los Ejes Principales Centroidales, en cuyo caso, se sabe que Ixy = 0,entonces:

kx = −Mx

IxEky =

My

IyE(5.12)

σ =Mx

Ix

y +My

Iy

x (5.13)

5.5. FLEXION NO UNIFORME 87

El estudio de la Flexion Desviada amerita un tratamiento extenso que se re-alizara mas adelante.

5.4.4. Ejes Principales - Flexion Recta

Para familiarizarse con los aspectos concernientes a la flexion es apropia-do simplificar aun mas las ecuaciones de gobierno, por tanto, es usual estudiarinicialmente la accion de un momento proyectado sobre un Eje Principal Cen-troidal, sea por ejemplo Mx 6= 0 y My = 0, en cuyo caso se tiene:

kx = −Mx

IxE(5.14)

σ =Mx

Ix

y (5.15)

5.5. Flexion No Uniforme

Debido a que el momento actuante en las piezas rara vez es constante, elestudio de la flexion debe contemplar la relacion Momento-Cortante, es decirla Flexion No uniforme. Donde existe una fuerza cortante el momento cambiade valor, entonces la relacion esfuerzo-deformacion debe cambiar. Si bien estoes un hecho, tambien es cierto que, para las relaciones alto/ancho comunmenteempleadas el efecto del cortante en la deformacion es pequeno con relacion al delos momentos, por tanto es bastante exacto admitir que los puntos de la secciontransversal, que antes de la deformacion pertenecen a un plano, luego de la de-formacion siguen perteneciendo al plano, pero rotado alrededor del llamado EjeNeutro, [Gere,1986, Pag.247], entonces los esfuerzos normales σ determinadosrecien son los mismos cuando se anade el efecto de la fuerza cortante1.En base a tal hipotesis se puede hallar el valor de los esfuerzos contantes debidosa las Fuerzas Internas Transversales Px y Py. Entonces, como se puede ver en laFig.5.11, si existe incremento en el momento flector entre las caras de la tajadadiferencial, tambien aumentara el esfuerzo, si el momento crece un diferencial,el incremento del esfuerzo tambien lo sera.

Si en ambas caras de la tajada diferencial se dibuja un area A1 identica, decualquier forma y tamano, dentro de sus lımites, sobre estas actuan fuerzas nor-males dN = σ dA y d(N + dN) = (σ + dσ) dA, como se observa en la Fig.5.12.Aislando un prisma cuya base sea el area A1, este debe estar en equilibrio,pero en ambas caras base de este prisma existen diferentes fuerzas, entonceses necesario que en el perımetro cortado del prisma se desarrollen fuerzas cuyaresultante dT anule la carga normal desequilibrada dN , en efecto, planteandoel equilibrio de las fuerzas en direccion del eje del elemento

∑Fz = 0:

1Aunque fue J. Bernoulli (1654-1705) quien propusiera inicialmente la relacion entre lacurvatura y el momento flector, posteriormente L. Euler (1707-1783), Parent, Saint Venant(1797-1886) y otros hicieron aportaciones y correcciones a las hipotesis y conclusiones.


Figura 5.11: Incremento de las Cargas Normales

Figura 5.12: Esfuerzos cortantes perimetrales

5.5. FLEXION NO UNIFORME 89

−N − dT + (N + dN) = 0 ⇒ dT = dN =

∫

A1

dσ dA (5.16)

De la Fig.5.12, considerando inicialmente un arco diferencial dS1, donde elcortante tiene el valor τ , el mismo que puede variar a lo largo del perımetro S1

pero es constante a lo largo de la longitud dz, el diferencial de fuerza dT puedeser calculado por integracion sobre la longitud del arco mencionado.

dT =

∫

S1

τ dz ds = dz

∫

s1

τ ds ⇒dT

dz=

∫

s1

τ ds = f (5.17)

Esta expresion recien determinada es el llamado Flujo de Cortante = f , esla variacion de la fuerza contante a lo largo del eje. Recordando que dT = dNy reemplazando 5.16 en 5.17:

f =dT

dz=

dN

dz=

∫

A1

dσ

dzdA (5.18)

Diferenciando la Ec.5.11:

dσ

dz=

Ixyx − Iyy

I2xy − IxIy

dMx

dz−

Ixyy − Ixx

I2xy − IxIy

dMy

dz(5.19)

Reemplazando en 5.19 las Ecs. 5.4 y 5.5:

dσ

dz=

Ixyx − Iyy

I2xy − IxIy

Py +Ixyy − Ixx

I2xy − IxIy

Px (5.20)

Reemplazando 5.20 en 5.18:

f =Ixy

∫

A1xdA − Iy

∫

A1y dA

I2xy − IxIy

Py +Ixy

∫

A1y dA − Ix

∫

A1xdA

I2xy − IxIy

Px (5.21)

Llamando S1x =

∫

A1

y dA S1y =

∫

A1

xdA

a los momentos de primer orden del area A1 respecto de los Ejes Centroidalesx e y respectivamente y reemplazando en 5.21:

f =IxyS1y − IyS1x

I2xy − IxIy

Py +IxyS1x − IxS1y

I2xy − IxIy

Px (5.22)

Una vez mas se comienza el analisis de los esfuerzos cortantes considerandoel caso particular de la flexion recta, entonces, si Px = 0 y los ejes son principalesIxy = 0:

f =S1x

Ix

Py (5.23)

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