1

RESISTENCIA. Tracción y Compresión I Tracción y compresión monoaxial. Definición.Recordemos la relación entre tensiones y esfuerzos internos.

N nx d ; Ty xy d ; Tz xz d ;

Mx xz y xy z d ; My nx z d ; Mz nx y d

Diremos que un prisma mecánico esta sometido a tracción o compresión monoaxial cuando al cortarlo por cualquiera de sus secciones, perpendiculares a la línea media, la resultante de las tensiones solo tiene componente perpendicular a la sección (N) siendo nulas las demás y también el momento resultante es decir:

N nx d ; ; xy d 0 ; xz d 0

xz y xy z d 0 ; nx z d 0 ; nx y d 0

Estas condiciones no son suficientes para determinar las tensiones debidas a N. Se necesitan hipótesis adicionales.

Hipótesis de Bernouilli.- Las secciones planas antes de la deformación se mantienen planas después de la deformación y paralelas a si mismas.

Esta hipótesis implica: a) Tensiones cortantes nulas ; b) Tensiones normales ctes en la sección

N nx d nx d nx ; nx N

2

RESISTENCIA. Tracción y Compresión IDiagrama de esfuerzos normales.En general el Esfuerzo Normal depende de la sección del prisma mecánico considerada, lo mismo que el área de la sección. Si “s” es la coordenada que me dice en que sección estoy será:

; nx

N sN N s s s

s

La representación gráfica de la función N(s) es el diagrama de solicitaciones normales, y la de la función nx (s) es el de tensiones normales.

Cuando el prisma mecánico es recto la coordenada genérica “s” pasa a ser “x”

EJEMPLO

3

RESISTENCIA. Tracción y Compresión ITensiones y deformaciones en la tracción monoaxial.Puesto que la única tensión distinta de cero es nx, la matriz de tensiones, válida en todos los puntos es:

1

2

3

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

nx nx

T

Mediante la matriz de tensiones se puede calcular el vector tensión para cualquier plano.

Las leyes de Hooke generalizadas dan en este caso, para las deformaciones: (s = x)

x 1E nx

N (x)E (x) ; y z

N (x)E (x) ; xy xz yz 0

Las deformaciones en general serán funciones de “x” lo mismo que las tensiones. La representa-ción gráfica de estas funciones son los diagramas de deformaciones.

1 0 00 0 00 0 0

cos sen

0

1 cos 00

4

RESISTENCIA. Tracción y Compresión IDesplazamientos.Debido a las deformaciones, una sección cualquiera tendrá un desplazamiento respecto de una sección fija. Consideramos una sección a distancia “x” de la sección fija, su desplazamiento será la suma de las deformaciones de todas las rebanadas infinitesimales que hay entre la sección fija y ella.

Deformación de un elemento de longitud “dx”

·xdu dxDesplazamiento de un elemento a distancia “x”.

u 0

xdu

0

xx dx

0

x nx

E dx 0

xN (x)

E (x) dx u u x

Diagrama de desplazamientos: Representación gráfica de la función u(x). En general no coincide con el de deformaciones.

Deformación total de una barra de longitud “L” = Desplazamiento de su extremo libre

L 0

Ldu

0

LN (x)

E (x) dx

L 0

LN

E dx NE

0

Ldx L NL

E

Si N(x) =cte y (x) = cte

5

RESISTENCIA. Tracción y Compresión I Tensiones y deformaciones debidas al peso propio.Consideremos una barra de sección cte. sobre la que actúa solo su propio peso (densidad ).

Esfuerzo:

N x x

Tensión:

xx

Deformación :x

E E

Desplazamiento:

2 2

2

L L

x x x

xdx dx L x

E E

X=0

2

0 2x

L

E

6

RESISTENCIA. Tracción y Compresión IPeso Propio. Cálculo simplificado.El efecto del peso propio pude abordarse de forma simplificada, suponiendo aplicado el peso total del prisma “P” en su c.d.g.

Peso de la barra

P L

Tensiones

; / 2P

L L x L

Deformaciones

L

E E

Deformación total = desplazamiento del extremo

2

2 2 2

L L LL

E E

Aunque los valores en los extremos coinciden, los diagramas son diferentes, por lo que este método es valido únicamente para calcular los valores en los extremos.

7

RESISTENCIA. Tracción y Compresión ISólido de igual resistencia.Las tensiones van aumentando hacia el empotramiento. Para idealizar el diseño, cuando el peso propio es importante, hemos de variar la sección para conseguir que en todas las secciones sea: = e = cte.

Condición: Peso rebanada = Incremento de cargaSi “dx” es muy pequeño puede despreciarse el peso de las zonas rayadas.

Incremento de carga

Carga d d

Peso rebanada

Peso = dx

d dx

ln lnxd x

dx C C e

0 0

00

0x C

F F

xFe

8

RESISTENCIA. Tracción y Compresión IEnergía de Deformación en Tracción y compresión monoaxial.Utilizando la expresión que da la energía de deformación en función de los términos de la matriz de tensiones y teniendo en cuenta que:

nx

N x

x

Única tensión distinta de cero

WV1

2E nx2 ny

2 nz2 2 nx ny ny nz nz nx 1

2G xy2 xz

2 yz2 dx dydz

Sustituyendo

W 0

l1

2E N 2(x) 2(x) dx dy dzW V

12E N (x)

(x)

2

dx dy dz

W 0

l 12E N 2(x)

2(x) dx 0

l 12E N 2(x)

(x) dx

Para integrar la última expresión es necesario conocer las leyes que dan N(x) y (x).

En el supuesto que: N(x) = cte = N y (x) = cte = se tiene:

W 0

L N 2

2E dx N 2L2E