Resolución de circuitos eléctricos por el método Zbus

7/27/2019 Resolucin de circuitos elctricos por el mtodo Zbus

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Resuelto por Antony Garca Gonzlez de Panama Hitek

Prob lem a Prop ue sto Mtod o ZBus

Encontrar el voltaje en los nodos 1, 2 y 3 del siguiente circuito.

El primer paso para resolver un circuito por el mtodo de matrices es

asegurarse de transformar las fuentes de voltaje en serie con resistencias a

fuentes de corriente en paralelo.

Se divide el valor de la fuente de voltaje entre la resistencia en serie y seobtiene lo siguiente:


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Ahora es momento de construir las matrices de este problema.

La primera matriz que debemos construir es la de corriente. Debe ser una

matriz de dimensin nx1, e s d ec ir n f ila s p o r 1 c o lum na, donde n est

determinado por el nmero de nodos que haya en el circuito, en este caso

3.

Lo primero que se construye es la matriz de corrientes ya que al hacer la

transformacin de fuentes se obtienen las tensiones que conforman la matriz

de corrientes del problema.

Para este ejemplo, dichas corrientes son:

= . = = La matriz de corriente sera la siguiente:


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3


= = 83.390200

Ahora el siguiente paso es obtener la matriz de Admitancia. Dicha matriz

tendr una dimensin nxn donde n, como ya dijimos, es el nmero de nodos

del circuito, en este caso 3.

= 1 12 1321 2 2331 32 3 Para construir esta matriz hay que analizar nodo por nodo.

Nodo 1

Colocamos las admitancias (en este caso las conductancias o el inverso de

las resistencias) que llegan al nodo 1.

1=

1

12 = 1 213 = 1 3


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=

+

=

(Admitancia en nodo 1)

Para la admitancia entre el nodo 1 y el nodo 2 debemos tomar en cuenta lo

siguiente:


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Hay un solo elemento entre el nodo 1 y el nodo 2. Al valor que resulte de la

admitancia entre un nodo y otro se le debe invertir el signo. La admitancia

entre el nodo 1 y 2 ser:

=

Entre el nodo 1 y el nodo 3 no existe ningn tipo de conexin, por lo que la

admitancia entre 1 y 3 es 0.

= Ahora se introducen estos valores en la matriz de admitancia.

= 760 110 021 2 2331 32 3

Se debe hacer el mismo trabajo para todos y cada uno de los nodos.


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Nodo 2

=

+

+

=

Entre el nodo 2 y el nodo 1 hay una resistencia de 10 Ohm. El signo se debe

invertir. La admitancia entre el nodo 2 y 1 ser:

=

Entre el nodo 2 y el nodo 3 la admitancia hay una resistencia de 15 Ohm. La

admitancia (con signo invertido) es:

=


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Remplazando en la matriz tenemos:

=7

60

1

100

110 53300 11531 32 3

Nodo 3


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La admitancia en 3:

3=

1

35+

1

15=

Entre el nodo 3 y el nodo 1 no hay conexin, por lo tanto:

= Entre el nodo 3 y el nodo 2 la admitancia (con signo invertido) es:

32=

Con esto completamos la matriz de admitancia.

=

Ahora solo necesitamos una ltima matriz, la de voltajes, los cuales no

conocemos por lo que los dejamos expresados. Dicha matriz ser de

dimensin nx1.

=

Utilizando la Ley de Ohm, podemos establecer la siguiente ecuac in:

=


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Donde R es la resistencia, que es igual al inverso de la conductancia que es

la parte real de la admitancia. Como estamos trabajando con nmeros

reales, la parte imaginaria de la admitancia es cero, as que el inverso de la

resistencia ser la admitancia.

= 7

60 110

0

1

10

53

300

1

15

0 115 221

83.390

200

=

Si resolvemos este sistema matricial, obtenemos los voltajes de cada nodo.

Existen diferentes mtodos para resolver este sistema. Yo usar MatLab para

este ejemplo.

Primero declaramos la matriz de los voltajes. Como estn expresados,necesitamos dec lararlos como smbolos.

Usamos el comando V# = sym(v#).


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Con esto dec laramos la matriz de vectores:


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Ahora dec laramos la matriz de corrientes:

Luego la matriz de admitancias:

Ahora ejecutamos el siguiente comando:

inv(Y)*I==V

Invertimos la admitancia, multiplicamos por la corriente e igualamos al

voltaje.


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Los voltajes obtenidos son:

=

.

= . = .Estos resultados los podemos comprobar utilizando el simulador:

Si medimos los voltajes en el diagrama original con las fuentes en serie

tambin obtenemos el mismo resultado:


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Este mtodo es vlido tanto para elementos lineales en el dominio de los

nmeros reales como para elementos no lineales cuyas admitancias son

nmeros complejos.

Para las matrices no es necesario utilizar MatLab: puede utilizarse

calculadoras programables u otro software disponible.

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