PROBLEMAS DE

MATEMÁTICAS II

Salinas Aquije T.W.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

PROBLEMA1

Si ∫ x xx dx=A y ∫ x2 xx dx , calcular: N=∫ x2 xx ln x dx en términos de A, B y x

A=∫ x xx dx

u=xx dv=xdx

du=xx ( ln x+1)dx v= x2

2

A= x2

2xx−∫ x2

2xx ( ln x+1 )dx

A= x2

2xx−1

2∫ x2 x x ln x dx−1

2∫ x2 x x dx

A= x2

2xx−1

2N−1

2B

N=x2 xx+B−2 A

PROBLEMA2

∫ X (arcsenx)2

√1−x2dx+∫ x2 arcsenxdx

I 1=∫ x (arcsenx)2

√1−x2dx

u=(arcsenx )2 dv= xdx

√1−x2

du=2arcsenxdx

√1−x2 v=−√1−x2

I 1=−√1−x2 ( arcsenx )2+2∫√1−x2 arcsenxdx

√1−x2

I 1=−√1−x2 ( arcsenx )2+2∫arcsenxdx

I 1=−√1−x2 ( arcsenx )2+2 xarcsenx+2√1−x2+C

I 2=∫ x2arcsenxdx

u=arcsenx dv=x2 dx

du= dx

√1−x2 v= x3

3

I 2=x3

3arcsenx−1

3∫ x3

√1−x2dx

u=x2 dv= xdx

√1−x2

du=2 xdx v=−√1−x2

I 2=x3

3arcsenx−1

3¿)

I 2=x3

3arcsenx+ 1

3x2 √1−x2+ 2

9(1−x2)√1−x2+C

I=arcsenx (2 x−arcsenx√1−x2+ x3

3 )+√1−x2( x2

3+ 2

9(1−x2)+2)+C

PROB 31:

I=∫ a+tgx1−atgx

dx

a=tgy

I=∫ tgy+tgx1−tgytgx

dx=∫ tg ( x+ y ) d ( x+ y )=−ln ¿cos (x+ y)∨+C

I=−ln|cosxcosy−senxseny|+C

cosy= 1

√a2+1 seny= a

√a2+1

I=−ln| cosx

√a2+1−

asenx

√a2+1|+C

PROB 33: I=∫e ln ¿¿ ¿¿¿¿I=∫¿¿¿¿

ln x=u dxx

=du

I=∫ u2+u+2(u+2)(u−2)2 du

u2+u+2(u+2)(u−2)2 =

Au+2

+ Bu−2

+ C(u−2)2

A=−1 B=2C=7

I=−∫ duu+2

+2∫ duu−2

+7∫ du

(u−2 )2=−ln|u+2|+2 ln|u−2|− 7

u−2+C

I=−ln|ln x|+2 ln|ln x−2|− 7ln x−2

+C

PROB 34: I=∫( X2−2 X+8X √ X−4

+xarccos1x )dx

I=∫ x2−2x+8x √x−4

+∫ xarcsecxdx

x−4=t2 u=arcsecx dv=xdx

dx=2tdt du= dx

x √ x2−1 v= x2

2

I=∫ (t 2+4)2−2 (t 2+4 )+8

t (t2+4)2tdt+ x2

2arcsecx−∫ x2 dx

2x √ x2−1

I=2∫(( t2+4 )−2+ 8t 2+4 )dt+ x2

2arcsecx−∫ xdx

2√x2−1

I=2( t 3

3+4 t−2t +4 arctg

t2 )+ x2

2arcsecx−1

2√ x2−1+C

t=√ x−4

PROB 35: I=∫ ab (acosx+bsenx ) dx

(b2−a2 ) (senx )2+absen2 x+a2

I=∫ ab (acosx+bsenx )dx

b2(senx)2+2absenxcosx+a2(cosx)2 =∫ab(acosx+bsenx )dx

(acosx+bsenx)2 =∫ ab dxacosx+bsenx

cosx=1−t2

1+ t2 senx= 2 t1+t 2 dx= 2dt

1+t2

I=ab∫2dt

1+ t2

a1−t 2

1+t2 +b2 t

1+t2

=−2ab∫ dta t2−2bt−a

=−2 ab∫ dt

(√a t−ba )

2

−√ a2+b2

a

2

I=−2ab

√a∫

d (√a t−ba )

(√a t−ba )

2

−√ a2+b2

a

2= −ab

√a2+b2ln|at−b−√a2+b2

at−b+√a2+b2|+C

PROB 37: I=∫¿¿¿u=¿¿ dv=dx

du=2 ln ( x+√1+x2 )

x+√1+x2 (1+x

√1+x2 )dx v=x

du=2 ln(x+√1+x2)

√1+x2dx

I=x (ln (x+√1+x2 ))2−∫ 2 x ln ( x+√1+x2 )dx

√1+x2

I=x (ln (x+√1+x2 ))2−2∫ ln (x+√1+x2) d( x2+1)

2√1+x2

u=ln(x+√1+x2) dv=d (x2+1)

2√1+x2

du=1

x+√1+x2 (1+x

√1+x2 )dx v=√1+ x2

du= dx

√1+x2

I=x (ln (x+√1+x2 ))2−2(√1+ x2 ln (x+√1+x2)−∫ √1+x2 dx

√1+x2)

I=x (ln (x+√1+x2 ))2−2¿

PROB 38: I=∫ 1+2x−x2−x12−2 x

32+x5 /2

(1+x2) (1+x )2(1−x12)

dx

I=∫ (1+2x−x2 )−x12 (1+2 x−x2)

(1+x2) (1+x )2(1−x12 )

dx=∫ (1+2 x−x2 )(1−x12 )

(1+x2) (1+x )2(1−x12)

I=∫ (1+2 x−x2 )(1+x2) (1+x )2

dx

(1+2 x−x2 )(1+x2) (1+x )2

= A1+x

+ B(1+x )2 +

Cx+D(1+x2)

A=1 B=−1C=−1

I=∫ dx1+ x

−∫ d ( x+1 )( x+1 )2

−∫ ( x−1 ) dx

x2+1=ln|x+1|+ 1

x+1−(∫ xdx

x2+1−∫ dx

x2+1)

I=ln|x+1|+ 1x+1

−12∫ d (x2+1)

x2+1−arctgx

I=ln|x+1|+ 1x+1

−12

ln|x2+1|−arctgx+C

PROB 39: I=∫ xxx

xx ln x (1+ ln x+( x ln x )−1)dx

u=xx x

ln u=xx ln xduu

=[x x ( ln x+1 ) ln x+ xx

x ]dx

du=xxx

xx ln x ( ln x+1 )+xxx xx

xdx

∫ du=∫ x xx

xx ln x (1+ ln x+ (x ln x )−1)dx

I=∫du=u+C=xxx

+C

PROB 40: I=∫ 2(2− x)2

3√ 2−x2+x

dx

u3= 2+x2−x

3 u2 du= 4 dx

(2−x)2

I=2∫ 3 u4(2−x )2

4 (2−x )2du=3

2∫u4 du=3u5

10+C= 3

10( 2+x2−x

)5

+C

41.- I=∫√a x2+1¿¿¿

I=∫ x √a+ 1x2 ¿¿¿

Resolviendo la integral por partes:

u=ln(a+ 1x2 )dv=√a+ 1

x2 .dxx3

du= −2dx

x3(a+ 1x2 )

v=−13

(a+ 1x2 )

32

I=−13 (a+ 1

x2 )32 ln(a+ 1

x2 )−23∫(a+ 1

x2 )32 dx

x3(a+ 1x2 )

I=−13 (a+ 1

x2 )32 ln(a+ 1

x2 )−23∫(a+ 1

x2 )12 d (a+ 1

x2 )I=−1

3 (a+ 1x2 )

32 ln(a+ 1

x2 )−23 (a+ 1

x2 )32 .

23

I=−(a+ 1x2 )

32 [ 1

3ln(a+ 1

x2 )+ 49 ]+C

42.-

I=∫ dx(2−senx)(3−senx)

Haciendo un cambio de variable:

senx= 2t

1+ t2→ tg( x

2 )=t

x=2 arctg (t ) →dx=( 2 dt

1+t2 )I=∫ dt

(2−2 t

1+t 2 )(3−2 t

1+t 2 ).( 2

1+t2 )I=∫ (1+t 2)dt

(t 2−t+1)(3 t 2−2 t+3)Resolviendo por Fracciones Parciales:

(1+t 2)dt

(t 2−t+1)(3 t 2−2 t+3)= At+B

t2−t+1+ Ct+D

3 t 2−2 t+3

1+t 2=t3 (3 A+C )+t2 (−2 A+3 B−C+ D )+ t (3 A−2 B+C−D )+(3 B+D) 3 A+C=0 ;−2 A+3 B−C+D=1 ;3 A−2B+C−D=0 ;3B+ D=1 C=0 ; A=0 ; D=−2 ;B=1

I=∫ dt

t2−t +1−2∫ dt

3 t 2−2 t+3

I=∫ dt

(t−12)

2

+ 34

−2∫ dt

(√3 t− 1√3

)2

+ 83

I=∫d (t−1

2)

(t−12)

2

+(√ 34)

2 −2√3

∫d (√3 t− 1

√3)

(√3 t− 1

√3)

2

+(√ 83)

2

I=2

√3arctg ( 2

√3 (t−12 ))− 2

√3√3

2√2arctg ( √3

2√2 (√3 t−1

√3 ))I= 2

√3arctg ( 2

√3 (tg( x2 )−1

2 ))− 1√2

arctg ( 12√2 (3 tg( x

2 )−1))+C

44.- Probar que:

I=∫ senx

xndx= −senx

(n−1) xn−1+ 1

n−1∫cosx

xn−1dx

Resolviendo la integral por partes: x−n dx=dv u=senx

v= x1−n

1−n→ v=

−1

(n−1) xn−1 du=cosx dx

∫u dv=uv−∫ vdu

∫ senx

xndx= −senx

(n−1)xn−1−∫ −cosx

(n−1) xn−1dx

I=∫ senx

xndx= −senx

(n−1) xn−1+ 1

n−1∫cosx

xn−1dx

45.-

I=∫ dx

(1+x ) 3√1+3 x+3 x2

I=∫ dx

(1+x ) 3√(x+1)3−x3=∫ dx

(1+ x)2 3√1−( xx+1

)3

Haciendo un cambio de variable:x

x+1=t →

( x+1 )−x

(x+1)2dx=dt →

dx

( x+1)2=dt

Remplazando en I:

I=∫ dt3√1−t3

Por el Teorema de Chebyishev (CASO III):

∫ xm(a+b xn)p dx

Sim+1

n+ p esun número entero , hacemos (a+b xn)p=tN xn

∫ t 0(1−t3)−13 dt

0+13

−13=0entonces hacemos 1−t 3=t 3u3

u3=1−t3

t3

Derivando:3 u2 du=3 t−4 dt

u2 du=t−4 dtEnI :

∫ dt3√1−t 3

=∫ u2 t 4 dutu

I=∫ udu

u3+1Por Fracciones Parciales

u

u3+1= A

u+1+ Bu+C

u2−u+1u=u2 ( A+B )+u (C+B−A )+( A+C)

A=−13

;B=13

;C=13

I=∫ uduu3+1

=−13∫ du

u+1+1

3∫ (u+1)du

u2−u+1

¿−13

ln (u+1 )+ 16

ln (|u2−u+1|)+ 13√3

arctg (2 u−1

√3 )+C

Donde u= 3√ 1−t 3

t 3

5)

6)

11)

12)

1)

3)

52) I=∫ cos3 x+2 cosx+12+cosx

dx

I=∫ [cos2 x−2cosx ¿+6− 11cosx+2

]dx ¿

I=∫ (cos2 x ) dx−2∫cosx . dx+6∫dx−11∫ dxcosx+2

2 cos2 x=1+cos2 x cos2 x=1+cosx2

I=12∫ (1+cos2 x ) dx−2 senx+6 x−¿11∫ dx

cosx+2¿

Analizamos el último factor:

∫ dxcosx+2

z=tgx2

x=2 arctgz

dx= 2

1+z2dz

Por lo tanto sabemos que: cosx=1−z2

1+z2

=∫ 1

1−z2

1+ z2 +2.

21+ z2 dz=2∫ 1+z2

3+z2 .1

1+z2 dz=2∫ dz

z2+√32=2.

1√3

arctg ( z√3 )+C

¿ 2√33

arctg( z

√3 )+C Donde : z=tgx2

Por lo tanto:

I=12

x+14

sen2 x−2 senx+6 x−11[2√33

arctg( 1

√3. tg

x2 )]+C

I=132

x+ 14

sen2 x−2 senx−22√33

arctg( 1

√3. tg

x2 )+C

56) ∫ dx

√ x−x2

∫ dx

√ x−x2=∫ dx

√ x (1+x )

¿∫ x−12 . (1−x )

−12 . dx

m=−12

n=1 p=−12

m+1n

+ p Є Z

t 2=1−xx

−2t . dt= 1

x2. dx

¿∫ x−12 .( 1−x

x )−12 . x

−12 . dx

¿∫ x−1 .(1−xx )

−12 . dx=∫ x ( 1−x

x )−12 .

dxx2

¿∫( 1

t 2+1 ) . (t 2 )−1

2 . (−2 t . dt )=−2∫ 1

t2+1. dt

¿−2arctg ( t )+C

60) ∫ dxcscx+cotx

¿∫ dx1

senx+

cosxsenx

=∫ senxcosx+1

. dx

¿−∫ d(cosx)cosx+1

=−ln|cosx+1|

61) ∫ dx

√ x3 3√1+4√x3

=∫dx

x32 .(1+x

34 )

13

=∫ x−32 .(1+x

34 )

−13 . dx

binomio diferencial:

∫ xm .(a+b . xn)p . dx

m=−32

n=34

p=−13

m+1n

+ p Є Z

t3=

1+x34

x34

x−74 . dx=−4 t

2.dt

¿∫ x−32 .¿¿

¿∫ x−32 . x

−14 .t−1 . dx=∫ x

−74 . t−1 . dx

¿∫−4 t2 . t−1 . dt=−4∫ t . dt=−4 ( t2

2¿)¿

¿−2.t 2 donde t=1+x−34

66) ∫ dx

x3 5√1+ 1x

¿∫ x−14

5 . (1+x )−15 . dx

m=−145

n=1 p=−15

m+1n

+ p Є Z

t 5=1+xx

5 t 4 . dt=−x−2 . dx

¿∫ x−14

5 . x−15 .(1+x

x )−15 . dx=∫(1+x

x )−15 .

dxx3

¿∫ 1x

.(1+xx )

−15 .

dx

x2=∫ ( t5−1 ) . (t 5 )

−15 . (−5 t 4 ) . dt

¿−5∫ t3 . ( t5−1 ). dt=−5∫ (t 8−t 3 ) . dt

¿ −59

t 9+ 54

t4+C donde t= 5√ 1+ xx

67) ∫ dx

1+√ x+√x+1x=t 2 dx=2t . dt

¿∫ 2t . dt

1+ t+√ t 2+1=∫ [1+t−√t 2+1 ] dt

¿ t+ t 2

2−1

2t √ t2+1−1

2ln|t +√ t2+1|+C

Donde : t=√ x

69) ∫√(x−5)2

(9−x)9 dx

=∫ ( x−5 ) ( 9−x )−9

2 . dxHacemos un cambio de variable: 9-x=u -dx=duX=9-u

¿∫ (9−u−5 ) . (u )−9

2 (−du )=−∫ (4−u ) . (u )−9

2 . du

¿−∫ 4 u−92 . du+∫ u

−72 . du=−4.

u−72

−72

+u

−52

−52

+C

¿ 87

u−72 −2

5u

−52 +C

Donde: u=9−x

59) ∫7cscx .cosx

sen2 xdx

¿∫7cscx . ctgx . cscx

Sea u=cscxdu=−cscx . ctgx . dxReemplazando:

¿−∫ 7u . du=−7u

ln 7+C=−7cscx

ln 7+C

48) Sea I (m, n)=∫ secm x . tgn x . dx ,m,n Є N

Probar que: I (m, n)=sec m x .tgn−1 x

m+n−1−( n−1

m+n−1) I (m, n−2 )

sea: u=secm−1 x . tgn−1 xdu={[(m-1)secm−2 x . secx . tgx ¿ tgn−1 x+secm−1 x [(n−1 ) tgn−2 x . sec2 x ]}dxSea: dv=secx . tgx . dx v=secxPor partes:

∫ secm x . tgn x . dx=(sec¿¿m−1 x .tgn−1 x )secx−∫ secx [ (m−1 ) secm−1 x .tgn x+ (n−1 ) secm+1 x . tgn−2 x ] dx¿

∫ secm x . tgn x . dx=secm x . tgn−1 x−(m−1 )∫ secm x .tgn xdx−(n−1)∫ secm+2 x . tgn−2 x dx

m∫ secm x . tgn x .dx=secm x . tgn−1 x−(n−1 )∫ secm x . tgn−2 x (1+tg2 x ) dx

m∫ secm x . tgn x .dx=secm x . tgn−1 x−(n−1 )∫ secm x . tgn−2 x .dx−(n−1 )∫ secm x . tgn x . dx

(m+n−1 )∫ secm x . tgn x . dx=secm x .tgn−1 x−(n−1)∫ secm x . tgn−2 x .dxDe aquí obtenemos que:I (m, n)=∫ secm x . tgn x . dx

I (m, n−2)=∫ secm x . tgn−2 x .dx

I (m, n)=sec m x .tgn−1 x

m+n−1−( n−1

m+n−1) I (m, n−2 )

49)∫ 4.dx¿¿ ¿

¿∫ 4. dx

[9 x (1+x )2−x (1+x )2(arcsen(√ xx+1 ))

2]12

¿∫ 4.dx

[ x (1+x )2]2 . [32−(arcsen(√ xx+1 ))

2

]12

¿∫ 4.dx

√x (1+ x ) .[32−(arcsen (√ xx+1 ))

2

]12

Sea: u=arcsen(√ xx+1 )

du= dx

√x (x+1)Reemplazando:

¿∫ 4.du

√32−u2=4∫ du

√32−u2

Hacemos el siguiente cambio: u=3 senθdu=3cosθ .dθDe esto obtenemos que: √32−u2=3cosθ

¿4∫ 3 cosθ . dθ3cosθ

=4∫ dθ=4 θ+C=4 arcsen( u3 )+C

¿4 arcse n( arcsen(√ xx+1 )

3)+C

50) ∫ sen4 x . dx

(sen4 x+cos4 x )(4 cos2 x−1)sen4 x .dx=2 sen2 x .cos 2x . dx=sen 2 x . cos2 x .d (2 x )=−cos 2x . d (cos2 x)

sen4 x+cos4 x=1−2 sen2 x . cos2 x=1− sen22 x2

=2−sen22 x2

=1+cos2 2 x2

4 cos2 x−1=2 (2 cos2 x−1 )+1=2 cos2 x+1

¿∫ −cos 2x . d (cos2 x)

( 1+cos2 2 x2 ).2 cos2 x+1

=−2∫ cos2 x .d (cos 2x )(1+cos2 2 x ).2 cos2 x+1

u=cos2 x

¿−2∫ u . du

(1+u2 ) . (2u+1 )=−∫ u . du

(1+u2) .(u+12)

u

(1+u2 ) .(u+12)= Au+B

1+u2+ C

u+12

Operando obtenemos los siguientes valores:

A=25

B=45

C=−25

¿∫25

u+ 45

1+u2 du+∫−25

u+12

du=25∫

u+2

1+u2 du−25∫

du

u+12

¿ 25¿

¿ 15

ln|1+u2|+ 45

arctg (u )−25

ln|u+12|+C

¿ 15

ln|1+cos22 x|+ 45

arctg (cos2 x )−25

ln|cos2 x+ 12|+C

57) Dado : I n=∫ xn

√1−x2dx

Encontrar f(n) g(n) de modo que la siguiente expresión se cumpla:

nI n=f (n ) I n−2−g(n )√1−x2 …(α)haremos: x=senθ √1−x2=cosθdx=cosθ . dθ

I n=∫ sennθ . cosθ .dθcosθ

=∫ sennθ . dθ

Sea: u=senn−1θ dv=senθ .dθdu=(n−1 ) senn−2 θ . cosθ . dθ v=−cosθ

∫ sennθ . dθ=−senn−1θ . cosθ−∫ (−cosθ ) . (n−1 ) . senn−2θ . cosθ .dθ

∫ sennθ . dθ=¿−senn−1 θ . cosθ+(n−1)∫ senn−2θ . cos2θ . dθ ¿

∫ sennθ . dθ=¿−senn−1 θ . cosθ+(n−1)∫ senn−2θ . (1−sen2θ ) . dθ ¿

∫ sennθ . dθ=¿ (n−1 )∫senn−2θ . dθ−(n−1)∫ sennθ . dθ−¿ senn−1θ . cosθ¿¿n .∫ sennθ . dθ=(n−1)∫ senn−2θ . dθ−senn−1θ . cosθ

dθ= dxcosθ

= dx

√1−x2x=senθ√1−x2=cosθ

n .∫ xn

√1−x2. dx= (n−1 ) .∫ xn−2

√1−x2. dx−xn−1 .√1−x2

De aquí obtenemos que:

I n=xn

√1−x2. dx

I n−2=∫ xn−2

√1−x2. dx

n . I n=(n−1 ) . I n−2−xn−1 .√1−x2

comparando en (α):f (n )=n−1

g( n)=xn−1

De esas dos relaciones obtenemos:f (n ) . g(n )=(n−1 ) . xn−1

46) M=∫ 1−√1+x+ x2

x+√1+x+x2dx

Haremos: √1+x+x2=x+t 1+x+x2=x2+2 tx+t 2

x= 1−t2

2t−1

dx=(−2 t ) (2 t−1 )−(1−t2 ) (2 )

(2 t−1 )2dt=

−2 (t 2−t+1 )(2t−1 )2

dt

M=∫1−( 1−t 2

2 t−1+t )

1−t 2

2 t−1+( 1−t2

2 t−1+t)

.(−2 ) (t 2−t+1 )

(2 t−1 )2dt

¿∫2 t−1−1+t 2−2 t2+t

2t−12−2t 2+2t 2−t

2t−1

.(−2 ) (t2−t+1 )

(2 t−1 )2dt

¿∫ (−t2+3 t−2 )2−t

(−2 ) .(−2 ) ( t2−t +1 )

(2 t−1 )2dt=∫ (2−t ) (t−1 ) (−2 )(t 2−t+1)

(2−t ) (2 t−1 )2dt

¿−2∫ t 2−2 t2+2 t−1(2 t−1 )2

dt=−24∫ t3−2t 2+2t−1

(t−12 )

2 dt

*) t3−2t 2+2t−1

(t−12)

2 =(t−1 )+ 34

(t−1)

(t−12)

2

M=−24 [∫ (t−1 )dt +

34∫

t−1

(t−12 )

2 dt ]¿−1

2¿

¿−12 [ (t−1)2

2+ 3

4 ( ln|t−12|−1

2(−1)

( t−12) )]+C

¿−12 [ (t−1)2

2+ 3

4ln|t−1

2|+ 3

δ (t−12) ]+C

∴M=−(t−1)2

4−3

8ln|t−1

2|− 316 (t−1

2 )−1

+C Donde: t=√1+x+x2−x

51) Sea I (m, n)=∫ xm .(x+a)n .dx

Probar que: I (m, n)=1

m+n+1[xn ( x+a )n+1−ma I ( m−1, n) ]

sea: u=xm.(x+a)n−1

du=[m . xm−1 . ( x+a )n−1+ (n−1 ) . xm . ( x+a )n−2 ] dxSea: dv=( x+a ) dx

v=(x+a)2

2

∫ xm .(x+a)n . dx=xm. (x+a)n−1 .(x+a)2

2−∫ ( x+a )2

2. [m . xm−1 . ( x+a )n−1+ (n−1 ) . xm. ( x+a )n−2 ] dx

2.∫ xm.(x+a)n . dx=xm .(x+a)n+1−m.∫ xm−1 . ( x+a )n+1 . dx−( n−1 ) .∫ xm . ( x+a )n . dx

(n+1 )∫ xm . ( x+a )n . dx=xm .(x+a)n+1−m∫ xm−1 . ( x+a )n . ( x+a ) . dx

(n+1 )∫ xm . ( x+a )n . dx=xm .(x+a)n+ 1−m∫ xm . (x+a )n . dx−ma∫ xm−1 . ( x+a )n . dx

(m+n+1 ) .∫ xm . ( x+a )n . dx=xm .(x+a)n+1−ma∫ xm−1. ( x+a )n . dx

Se sabe que : I (m, n)=∫ xm . (x+a )n . dx

I (m−1 ,n )=∫ xm−1. ( x+a )n . dx

Por lo que obtenemos: I (m, n)=1

m+n+1[xn ( x+a )n+1−ma I ( m−1, n) ]

58) I n=∫(2−2 x2)n2 . dx , n es impar

I n=∫2n2 .(1−x2)

n2 . dx=2

n2∫(1−x2)

n2 . dx

Sea: x=senθ √1−x2=cosθdx=cosθ . dθ 1−x2=cos2 θ

I n=2n2 .∫(cos2θ)

n2 . cosθ . dθ=2

n2 .∫ cosn+1θ . dθ ….. (α)

∫cosn+1θ . dθ

Integramos por partes: u=cosn θ dv=cosθ . dθ

du=n . cosn−1 θ . (−senθ ) .dθ v=senθ

∫cosn+1θ . dθ=senθ .cosn θ−∫ senθ . n .cosn−1 θ . (−senθ ) . dθ

∫cosn+1θ . dθ=senθ .cosn θ+n∫ cosn−1 θ . sen2θ . dθ

∫cosn+1θ . dθ=senθ .cosn θ+n∫ cosn−1 θ .(1−cos¿¿2¿θ) . dθ ¿¿

∫cosn+1θ . dθ=senθ .cosn θ+n .∫ cosn−1 θ . dθ−n .∫cosn+1 θ . dθ

(n+1)∫ cosn+1θ .dθ=senθ . cosn θ+n .∫ cosn−1 θ . dθ

∫cosn+1θ . dθ= senθ . cosnθn+1

+ nn+1

∫cosn−1θ . dθ

Luego reemplazamos en (α):

I n=2n2 .∫cosn+1θ . dθ=2

n2 .

senθ . cosnθn+1

+2n2 .

nn+1

.∫ cosn−1θ .dθ

2n2 .∫cosn+1θ .dθ=2

n2 .

senθ .cosnθn+1

+2n2 .

nn+1

.( 2n−2

2

2n−2

2 ).∫cosn−1θ .dθ

2n2 .∫cosn+1θ . dθ=2

n2 .

senθ . cosnθn+1

+ 2nn+1

(2n−2

2 .∫cosn−1θ .dθ)

Sabemos que: I n=2n2 .∫cosn+ 1θ . dθ

I n−2=2n−2

2 .∫cosn−1θ .dθPor lo que obtenemos:

I n=2n+2 . x .(1−x2)

n2

n+1+

2 nn+1

I n−2

47) M=∫ 2 ( 1+ x4 )−56 . ( 1+x3+x4+x7 )

43+1

x53 .(x+x4)

43

. dx

¿∫ 2. (1+x4 )−56 .[(1+x3 ) . (1+x4 )]

43+1

x53 . x

43 .(1+x3)

43

dx

¿∫ 2. (1+x4 )12 . (1+x3 )

43 +1

x3 . (1+x3 )43

. dx=2∫ (1+x4 )12

x3 . dx+∫ dx

x3 . (1+x3 )43

¿2∫ x−3 . (1+x4 )12 . dx+∫ x−3 . (1+x3 )

−43 . dx

Separamos en dos partes:

A=∫ x−3. (1+x4 )12 . dx

m=−3 n=4 p=12

m+1n

+ pЄ Z

Sea: 1+x4= z2 . x4

x−4=z2−1−4 x−5 . dx=2 z . dz

dx=−2 z . dz

4 x−5

dx= −z .dz

2(z2−1)54

A=∫ ( z2−1 )34 . [ z2. ( z2−1 )−1 ]

12 .(−z .dz)

2.(z2−1)54

¿∫ ( z2−1 )34 . (z ) . ( z2−1 )

−12 . (−z ) . dz

2.(z2−1)54

=∫−z2 .¿¿¿

¿ −12

.∫ z2−1+1z2−1

. dz=−12

.∫(1+ 1z2−1 ) . dz=−1

2¿¿

¿ −12 [ z+1

2ln|z−1

z+1|]donde : z=√ x−4+1

B=∫ x−3 . (1+ x3 )−43 . dx

m=−3 n=3 p=−43

m+1n

+ pЄ Z

Sea: 1+x3=z3 . x3

x−3=z3−1−3. x−4 . dx=3 z2 . dz

dx=−z2 .dzx−4

dx=−z2

¿¿

B=∫(z3−1) . [ z3. ( z3−1 )−1 ]−4

3 .(−z2. dz )

(z3−1)43

¿∫ ( z3−1 ) .(z )−4 .(z3−1)43 .

(−z¿¿2)

(z3−1)43

. dz=∫−(z3−1)z2 . dz=−¿¿¿

¿−[ z2

2− z−1

−1 ]=−z2

2−1

zdonde : z=

3√x−3+1

Finalmente reemplazamos en M:

M=−[√x−4+1+12

ln|√x−4+1−1

√x−4+1+1|]+[−3√ x−3+12

− 13√ x−3+1 ]+C

M=−√x−4+1−12

ln|√x−4+1−1

√ x−4+1+1 |− 3√ x−3+12

−1

3√ x−3+1+C