Respuesta libre y forzada de un circuito RL

Respuesta Libre

Respuesta Libre de un Circuito RLPara determinar las ecuaciones que permitan determinar la respuesta libre de un circuito RL se va ha analizar el circuito de la figura 1.

Figura 1. Circuito eléctrico para el cálculo de la respuesta Libre en un Circuito RL.

SOLUCION.

Análisis para t ¿¿.

Es importante el recalcar que en este tiempo se calculan únicamente las condiciones iniciales ocasionadas por la fuente o fuentes de corriente directa que pueda tener el circuito. En el estado permanente la bobina se va ha sustituir por un

corto circuito; la condición inicial que tiene una bobina es: corriente, iL (0− ) . El circuito en este tiempo se muestra en la figura 2.

Figura 2. Circuito eléctrico para el cálculo de las condiciones iniciales de la bobina.

Se determinan las condiciones iniciales que pueda tener el circuito, por cualquiera de los métodos ya conocidos (Ley de Ohm, Leyes de Kirchhoff, mallas, nodos, divisor de voltaje, divisor de corriente, intercambio de fuentes, superposición, etc.)

Análisis para t=0 .

En esta condición solo se hacen los cambios de posición del o los interruptores que tenga en su configuración el circuito.

Para el circuito de la figura 1, el interruptor S1 esta cerrado por lo que se abre; el

interruptor S2 esta abierto por lo que se cierra.

Análisis para t ¿0 .¿

El circuito que se tiene que analizar será siempre en donde queden los elementos almacenadores de energía (Capacitor y/o Bobina). En la figura 3, se muestra el

circuito eléctrico para calcular las respuestas de i (t ) ; vL (t ) y vR ( t ) para t ¿0 .¿

Figura 3. Circuito eléctrico final para calcular las respuestas en t ¿0 .¿

Aplicando Ley de Kirchhoff de Voltaje al circuito de la figura 3, para encontrar a vL (t ) .

vL (t )+vR (t )=0 (1)

donde:

vL( t )=Ldi( t )dt

vR( t )=Ri ( t )

Si se sustituyen los valores de vC ( t ) y vR ( t ) en la ecuación (1), se tiene.

L di( t )dt

+Ri( t )=0

(2)

Si se utiliza el operador D= d

dt , la ecuación (2) queda de la siguiente manera:

LDi( t )+Ri (t )=0 (3)

Al factorizar la ecuación (3) en función de i (t ) y ordenar los términos, esta queda:

(D+ RL ) i( t )=0

(4)

Por ser una ecuación diferencial de primer orden y homogénea, la solución para este tipo de ecuaciones, esta dada por la ecuación siguiente:

i( t )=KeDt (5)

El valor de la raíz para la ecuación (5) se determina de la manera siguiente:

(D+ RL ) i( t )=0 ⇒ D+R

L=0 ∴ D=− R

L .

Al sustituir el valor de l raíz en la ecuación (5), esta queda de la siguiente forma:

i( t )=Ke−RLt

(6)

Para el calculo de la constante K; se evalúa la ecuación (6) en t=0 .

i(0 )=KeRL

(0 ) =K ⇒ K=i(0)

se sabe que: i(0 )=iL(0−) ; entonces: K=iL(0−). Si sustituimos el valor de K en la ecuación (6), se obtiene la ecuación para determinar el valor de la corriente en la bobina.

i( t )=iL(0−)e−RLt [A ; Ampers ]

(7)

Para determinar el valor de la del voltaje en la bobina; se sabe que: vL ( t )=L di ( t )

dt ; se tiene:

vL ( t )=L ddt

[iL ( 0− )e−RLt ]=L{−( RL )[ iL (0−)e

− RLt]}=R iL (0−)e

− RLt

Por lo tanto:

vL (t )=−R iL (0−)e−RLt [V ;Volts ]

(8)

Si se desea conocer la ecuación para determinar el valor del voltaje en la

resistencia; se sabe que: vR( t )=R i (t ) . Sustituyendo se obtiene:

vR( t )=R i ( t )=Ri L (0− )e−RLt

por lo tanto:

vR( t )=RiL (0− )e−RLt [V ;Volts ]

(9)

Constante de tiempo de un circuito RL.

La constante de tiempo de un circuito RL se obtiene de la ecuación:

τ= LR

[ s; segundos ]

(11)

Puede considerarse que la respuesta libre de un circuito es cero cuando el tiempo transcurrido es de cinco constantes de tiempo; t=5 τ .

Respuesta Natural