Investigacin OperativaResumenOrganizaciones dedicadas al gerenciamiento de proyectos.Actualmente son 30 los miembros de la IFORSC (International Federation of Operational Research Societies), y cada pas a su vez, cuenta con su propia sociedad de Investigacin de OperacionesPerspectiva General de la Investigacin de operaciones.Orgenes.En Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial al encomendar a un grupo de cientficos la toma de decisiones acerca de la mejor utilizacin del material blico. Al trmino de la guerra, las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil.Usos de la Investigacin de Operaciones. Procesos de formacin de existencia Procesos de lneas de espera Proceso de asignacin de recurso Proceso de sustitucin Proceso competitivo Proceso combinado Proceso de simulacinModelado.Son representaciones idealizadas, que extraen la esencia de la materia de estudio, muestran interrelaciones y facilitan su anlisis.Los modelos se clasifican como: ICNICOS son la representacin en forma fsica del sistema real, en una escala aumentada o reducida ANLOGOS son descriptivos, adems que representan cualidades y propiedades del modelo y esencialmente requieren la sustitucin de estas propiedades por otras, con la finalidad de poder manipular al modelo. Al trmino del problema, la solucin es interpretada de acuerdo al sistema original SIMBLICOS O MATEMTICOS hacen uso de smbolos (signos, letras, nmeros, colores,..) y funciones matemticas para representar las variables de decisin y sus relaciones que determinan el comportamiento del sistema.Formulacin de problemas.Implica definir el alcance del problema que se investiga. Es una funcin que se debe hacer entre todo el equipo de IO. Su resultado final ser identificar tres elementos principales del problema de decisin que son:1) La descripcin de las alternativas de decisin.2) La determinacin del objetivo del estudio.3) La especificacin de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.Construccin de modelos.Implica traducir la definicin del problema a relaciones matemticas. Si el modelo que resulte se ajusta a uno de los modelos matemticos normales como puede ser la programacin lineal, se puede llegar a una solucin empleando los algoritmos disponibles. En forma alternativa, si las relaciones matemticas son demasiadas complejas como para permitir el clculo de una solucin analtica, puede ser que el equipo de investigacin de operaciones opte por simplificar el modelo y usar un mtodo heurstico, o que el equipo pueda recurrir al uso de una simulacin, si es aproximada. En algunos casos se podr necesitar una combinacin de modelos matemticos, de simulacin y heursticas para resolver el problema de decisionesDerivacin de soluciones; prueba del modelo y la solucinLa solucin del modeloEs, con mucho, la fase ms sencilla de todas las de la investigacin de operaciones, porque supone el uso de algoritmos bien definidos de optimizacin. Un aspecto importante de la base de solucin del modelo es el anlisis de sensibilidad. Tiene que ver con la obtencin de informacin adicional sobre el comportamiento de la solucin ptima cuando el modelo sufre ciertos cambios de parmetros. Se necesita en especial el anlisis de sensibilidad cuando no se pueden estimar con exactitud los parmetros del modelo. En esos casos es importante estudiar el comportamiento de la solucin ptima en las proximidades de los parmetros estimadosValidacin del modeloComprueba si el modelo propuesto hace lo que se quiere que haga. Un mtodo frecuente para comprobar la validez de un modelo es comparar su resultado con datos histricos. Si el modelo propuesto representa un sistema nuevo, se podr recurrir a una simulacin, como herramienta independiente para verificar los resultados del modelo matemticoImplementacin de la solucinImplica la traduccin de los resultados a instrucciones de operacin, emitidas de forma comprensible para las personas que administraran el sistema recomendado. La carga de esta tarea la lleva principalmente el equipo de investigaciones

Modelo de RedesAlcance, terminologaUna red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). La notacin para describir una red es (N,A), donde N es el conjunto de nodos y Aes el conjunto de arcos.N = {1,2,3,4,5}A = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,5), (3,4), (3,5), (4,2), (4,5)}

Figura 1Ejemplo de una red (N,A)Un Flujo es el tipo de informacin u objetos transportados en una red. Con cada red se asocia algn tipo de flujo.En general el flujo en una red est limitado por la capacidad de sus arcos, que pueden ser finitos o infinitos.Se dice que un arco es dirigido u orientado si permite flujo positivo en una direccin y flujo cero en la direccin opuesta.Una red dirigida tiene todos sus arcos dirigidos.Una ruta es una sucesin de arcos distintos que unen dos nodos pasando por otros nodos, independientemente de la direccin de flujo en cada arco. Una ruta forma un ciclo si conecta un nodo consigo mismo, pasando por otros nodos. Un ciclo es dirigido si consiste en una ruta dirigida.Una red conectada es aquella en que cada dos nodos distintos estn enlazados al menos por una ruta.Un rbol es una red conectada que puede consistir solo en un subconjunto de todos los nodos de ella, donde no se permiten ciclos, y un rbol de expansin es un rbol que enlaza todos los nodos de la red, sin permitir ciclos

Figura 2 rbol

Figura 3 rbol de expansinReglas para construir una red:A cada actividad le corresponde una fechaA cada actividad le corresponde un nico par de nodosAl comenzar la actividad preguntar:Actividades precedentesActividades posterioresActividades concurrentesTipos de problemas:Problema de la ruta ms cortaSe trata de encontrar la ruta ms corta (o de menor costo) entre el nodo inicial y el nodo final.rbol de expansin MximoEl rbol de expansin mnima, enlaza los nodos de una red, en forma directa o indirecta, con la mnima longitud de las ramas enlazantes. flujo de costo Mnimo

Introduccin a CPM y PERTMTODO CPM.El objetivo es contar con un mtodo analtico para programar las actividades en un proyecto.Campo de aplicacin.Construccin, programacin, I+D, preparacin de propuestas y presupuestos, mantenimiento e instalacin de centros de cmputos / sistemas, Produccin de pelculas campaas polticas, operaciones quirrgicas complejas etc.Objetivos.El objetivo primario es determinar la probabilidad de cumplir con fechas de entrega especficas.Seala en que puntos debe hacerse mayor el mayor esfuerzo para no tener retrasos.Un tercer objetivo es evaluar el efecto de los cambios en el programa.Fases de planeacin de un proyecto con CPM o PERT1. Definir actividades del proyecto, sus relaciones de precedencia y sus necesidades de tiempo.2. Construir la red del proyecto que muestre las relaciones de precedencia entre las actividades.3. Clculo de la red4. Construccin del cronogramaRepresentacin en redUtiliza una red de proyecto para visualizar grficamente las interrelaciones entre sus elementos, mostrando todas las relaciones de precedencia.1. Cada arco representa una actividad, cada nodo un evento.2. Dos nodos no pueden estar conectados directamente por ms de un arco.3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben contestar las siguientes preguntas cuando se agrega a la red cada actividad:a. Qu actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual?b. Qu actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual?c. Que actividades deben ejecutarse en forma concurrente o simultnea con la actividad actual?Actividades ficticiasEs una actividad que requiere tiempo cero, el arco que representa a esta actividad se muestra como una flecha se muestra como una flecha punteada que indica esa relacin de precedenciaClculo de fechas tempranas, tardas, intervalos de flotamiento, mrgenes libres y totales.Tiempo ms prximo (): es el tiempo estimado en el que ocurrir el evento si las actividades que lo preceden comienzan lo ms pronto posible.Los tiempos ms prximos se obtienen al efectuar una pasada hacia adelante a travs de la red comenzando por los eventos iniciales y trabajando hacia adelante en el tiempo, hasta los eventos finales.Por cada evento se hace un clculo del tiempo en el que ocurrir cada uno, si cada evento precedente inmediato ocurre en su tiempo ms prximo y si cada actividad que interviene consume exactamente su tiempo estimado.La iniciacin del proyecto se debe etiquetar con el tiempo 0.Cuando solo una actividad lleva a un evento, el tiempo ms prximo es la suma del tiempo ms prximo del evento inmediato anterior y el tiempo de la actividad que interviene.Cuando dos o ms actividades llevan a un evento, el tiempo ms prximo es el mximo de estas sumas que incluyen a cada evento precedente inmediato y la actividad que interviene.

Tiempo ms lejano (): es el ltimo momento estimado en el que puede ocurrir un evento, sin retrasar la terminacin del proyecto ms all de su tiempo ms prximo.Se obtiene sucesivamente para los eventos al efectuar una pasada hacia atrs a travs de la red, comenzando con los eventos finales y trabajando hacia atrs en el tiempo hasta los iniciales.Para cada evento se hace un clculo del tiempo final en el que puede ocurrir de manera que los que le siguen ocurran en su tiempo ms lejano, si cada actividad involucrada consume exactamente su tiempo estimado.Cuando solo una actividad sale de un evento, el tiempo ms lejano es la diferencia entre el tiempo del evento inmediato siguiente y el tiempo de la actividad que interviene.Cuando dos o ms actividades salen de un evento, el tiempo ms lejano es el mnimo de estas diferencias entre las actividades inmediatas posteriores.

Actividad crtica: Una actividad es crtica si satisface tres condiciones:1. 2. 3. Las condiciones indican que los tiempos ms tempranos y ms tardos de ocurrencia de los nodos i y j son iguales, y que la duracin Dij se ajusta exactamente al intervalo especificado de tiempoLas actividades crticas de una red deben formar una trayectoria no interrumpida que abarque toda la red, desde el inicio hasta el final.Holgura: Es la holgura de tiempo dentro del intervalo asignado para la actividad no critica.Holgura Total: Es el exceso del intervalo de tiempo definido por el tiempo ms temprano de ocurrencia del evento i hasta el tiempo ms tardo de ocurrencia del evento j en la duracin (i, j) Holgura Libre: Es el exceso del intervalo de tiempo definido desde el tiempo ms temprano de ocurrencia del evento i hasta el tiempo ms temprano de ocurrencia del elemento j durante la duracin (i, j) Por definicin, HLij HTijReglas de la bandera Roja: Para una actividad (i, j) no critica, se marca con una bandera roja si su HL < HT. Esto solo importa si se decide demorar el inicio de la actividad respecto de su tiempo temprano de inicio, en cuyo caso se debe poner atencin a los tiempos de inicio delas actividades que salen del nodo j para evitar conflictos en el programa.Construccin del cronogramaCmo se deben programar las actividades no crticas dentro de sus intervalos respectivos?En el caso normal es preferible comenzar toda actividad no critica lo ms temprano posible. De este modo quedaran perodos de holgura en el momento oportuno al final del intervalo asignado, que se pueden usar para absorber demoras inesperadas en la ejecucin de la actividad. Sin embargo, podr ser necesario demorar el inicio de una actividad no crtica, despus de su tiempo ms temprano.Si se pueden programar todas las actividades no criticas lo ms temprano posible, el programa resultante es factible, automticamente. En caso contrario, se pueden violar algunas relaciones de precedencia si se demoran actividades no crticas despus de su tiempo temprano.

PERTDifiere de CPM en que basa la duracin de una actividad en tres estimaciones1. Tiempo optimista a, donde se supone que la ejecucin va extremadamente bien.2. Tiempo ms probable m, donde se supone que la ejecucin se hace bajo condiciones normales. Intenta ser la estimacin ms realista de la moda de la distribucin de probabilidad para el tiempo de la actividad3. Tiempo pesimista b, donde se supone que la ejecucin va extremadamente mal.Esta informacin para todas las actividades se utiliza para estimar la probabilidad determinar el proyecto en la fecha programada.Se hacen dos suposiciones para convertir m, a y b en estimaciones del valor esperado te y la varianza 2 del tiempo que requiere la actividad.

Suposicin 1: La dispersin entre a y b es 6 desviaciones estndar, es decir 6 = b a. en consecuencia, la varianza del tiempo de una actividad es

El razonamiento para esto es que se considera que las colas de muchas distribuciones de probabilidad estn ms o menos a 3 desviaciones estndar de la media, de manera que existe una predisposicin de alrededor de 6 desviaciones estndar entre las colas.Para obtener la estimacin del valor esperado te, tambin es necesaria una suposicin sobre la forma de la distribucin de probabilidad.

Suposicin 2: La distribucin de probabilidad del tiempo de cada actividad es aproximadamente una distribucin beta.

Distribucin Beta

Este tipo de distribucin tiene una sola moda (m) y dos puntos terminales (a y b), en donde se supone que 0 a b. As, se ajusta bien a las definiciones de los tres tiempos estimados, y da una forma razonable para la distribucin de los tiempos de las actividades.Bajo estas suposiciones, el valor esperado del tiempo de una actividad es aproximadamente

Una vez que se usaron las suposiciones para obtener el tiempo esperado y la varianza de cada actividad, se necesitan tres suposiciones adicionales para poder calcular la probabilidad de terminar el proyecto a tiempo.

Suposicin 3: los tiempos de las actividades son variables aleatorias estadsticamente independientes.

As, se est suponiendo el punto de su distribucin en el que ocurra el tiempo de una actividad en particular no influye en el punto de su distribucin en el que los tiempos de otras actividades ocurrirn. En ciertos casos, la suposicin puede violarse en cierto grado porque algn evento inesperado puede causar que los tiempos de varias actividades ocurran en el mismo lado de sus valores esperados.

Suposicin 4: como una aproximacin, suponga que la ruta crtica siempre requiere un tiempo total mayor que cualquier otra trayectoria.

Esta suposicin es solo una aproximacin porque, en realidad, los retrasos sustanciales a lo largo de la trayectoria pueden causar que su tiempo total transcurrido sea mayor que para la ruta crtica.No obstante la suposicin 4 es optimista, ya que con frecuencia la ruta crtica resulta ser la ms larga y, cuando no, por lo general estar muy cerca de la ms larga.Estas dos suposiciones proporcionan la siguiente aproximacin conveniente para estimar el valor esperado y la varianza del tiempo del proyecto.

Tiempo del proyecto: bajo la suposicin 4, el tiempo del proyecto es igual a la suma delos tiempos esperados para las actividades sobre la ruta crtica. La varianza de una suma de variables aleatorias estadsticamente independientes es la suma de sus varianzas. En consecuencia, la varianza del tiempo del proyecto es la suma de las varianzas de los tiempos de las actividades de la ruta crtica.

Suposicin 5: la distribucin de probabilidad del tiempo del proyecto es una distribucin normal.

La lgica de la suposicin 5 es el teorema del lmite central de la teora de probabilidad. Bajo la suposicin 3 y 4, el tiempo del proyecto es la suma de ciertas variables aleatorias independientes (los tiempos de las actividades en la ruta crtica). Aunque se ha supuesto que estas variables aleatorias individuales tienen una distribucin beta. La suma de estas variables aleatorias no sigue una distribucin beta. De hecho, la versin general del teorema del lmite central establece que la distribucin de probabilidad de una suma de muchas variables aleatorias independientes es aproximadamente normal bajo una amplia variedad de condiciones. As, la suposicin 5se cumple como una aproximacin razonable.Por lo tanto, despus de usar las suposiciones 3 y 4 para obtener la media y la varianza, la suposicin 5 da una forma directa para encontrar la probabilidad aproximada de que el tiempo del proyecto sea menor que el tiempo de terminacin programadoComparacin con CPMEl PERT es en particular apropiado cuando se maneja mucha incertidumbre al predecir los tiempos de las actividades y cuando es importante controlar de una manera efectiva la programacin del proyecto; por ejemplo la mayor parte de los proyectos de investigacin y desarrollo caen dentro de esta categora. Por otro lado, el CPM resulta muy apropiado cuando se pueden predecir bien los tiempos de las actividades (quiz con base en la experiencia) y cuando estos tiempos se pueden ajustar con facilidad, al igual que cuando es importante planear una combinacin apropiada entre el tiempo y el costo del proyecto. Este ultimo tipo lo representan muchos proyecto s de construccin y mantenimientoDuracin Esperada.DesviacionesDistribucin BetaDistribucin Normal de tiemposPlaneacin y control de proyectos con PERT.Construccin de programas de tiempoEstimacin de probabilidades de finalizacin.1

2

3

1

2

4

5

3

m

j

n

o

m

j

n

o

1

2

3

4

5