1

Anlisis Matemtico I CBC Lic. Figueroa, Mara Virginia

FUNCIONES

Ejemplo:

2

FUNCIN INVERSA

FUNCIN LINEAL

3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS

4

Clasificacin de los sistemas lineales:

5

FUNCIN CUADRTICA

6

7

SISTEMAS MIXTOS

EJEMPLO:

8

POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI

9

FACTOREO DE POLINOMIOS

10

TEOREMA DE GAUSS

Una vez que se tienen las posibles races se procede a reemplazar en el polinomio original por dichos valores. Aquel valor que anule el polinomio ser raz. Con ese valor se hace Ruffini.

11

Ejemplo de casos combinados:

FUNCIONES POLINMICAS DE GRADO MAYOR A DOS

Una funcin polinmica es de la forma

2

0 1 2( ) ...n

nf x a a x a x a x

en donde 0 1 2, , , . . ., na a a a son constantes llamadas coeficientes, y n que es el exponente

ms alto se llama el grado del polinomio.

Observe que las funciones constantes, lineales y cuadrticas son funciones polinmicas de grado

cero, uno y dos, respectivamente. El grado n de una funcin polinmica indica la forma general

de su grfica y determina el nmero de races.

Un polinomio de grado n tiene hasta n races reales y distintas.

Si queremos determinar, por ejemplo, de cada uno de los siguientes polinomios cul es el nmero

mximo de races reales, nos queda:

8x4xf n = 1 puede presentar hasta 1 raz real

2x3x5xf 24 n = 4 puede presentar hasta 4 races reales

7x3x2xf 16 n = 16 puede presentar hasta 16 races reales

12

Ejemplo:

13

De las funciones polinmicas se puede decir que:

El grado representa el nmero total de races que puede tener. Hay diferentes tipos de races: imaginarias y reales. Las races pueden presentar multiplicidad (se pueden repetir).

El grado indica el nmero mximo de races reales que puede tener un polinomio.

El trmino independiente indica la ordenada al origen.

La forma general de la grfica est dada por el grado (par o impar), la multiplicidad de sus races y el coeficiente principal.

FUNCIN MDULO

14

Ejemplo:

FUNCIN EXPONENCIAL

FUNCIN LOGARTMICA

Recordemos antes algunas cosas sobre logaritmos

15

Funcin logartimica

16

Viene bien recordar algo sobre ecuaciones exponenciales y logartmicas:

17

18

FUNCIN RACIONAL

19

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

FUNCIONES HOMOGRFICAS

20

Ejemplo:

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

21

22

23

24

: Funcin costo: () = + , donde es el costo variable por unidad y (, , , )

Funcin costo medio: C() =()

Funcin ingreso: () = , donde p es el precio.

Funcin ingreso medio: I() =()

Funcin beneficio o ganancia: () = () ()

Funcin beneficio medio: B() =()

25

FUNCIN LINEAL: Aplicaciones econmicas

OFERTA Y DEMANDA

26

27

LMITES

Ejemplo 1. Con la grfica y una tabla de valores.

Qu le sucede a f(x) = x2 + 3 cuando x se acerca a 3?

Solucin: La figura 1.1 corresponde a la grfica de esta funcin.

En ella podemos ver que entre ms cerca se encuentren de 3 los

valores de x, entonces los valores de f(x) se encuentran ms

cercanos a 12.

La tabla 1.1 de valores refuerza esa percepcin grfica.

Tabla 1.1

Hacia 3 por la izquierda 3 Hacia 3 por la derecha

x 2,5 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 3,5

f(x) 9,5 11,41 11,9401 11,994001 12,006001 12,0601 12,61 15,25

Hacia 12 por la izquierda 12 Hacia 12 por la derecha

Podemos ver que a medida que tomamos valores de x ms prximos a 3, tanto para valores

mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f(x) se aproximan a 12.

Ejemplo 2. Con la grfica y una tabla de valores

Si f(x) = 24

2, a qu valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?

Solucin: La figura 1.2 muestra la grfica de la funcin.

Podemos ver que an cuando la grfica presenta una ruptura

(hueco) en el punto (2, 4), las imgenes de valores de x muy

cercanos a 2 son muy cercanas a 4. Tambin una tabla de valores

utilizando valores de x prximos a 2 tanto por la izquierda

(menores que 2) como por la derecha (mayores que 2), nos

convence de esa situacin , ver la Tabla 1.2

Tabla 1.2

Hacia 2 por la izquierda 2 Hacia 2 por la derecha

x 1,5 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,5

f(x) 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5

Hacia 4 por la izquierda 4 Hacia 4 por la derecha

As, de la tabla 1.2 deducimos que los valores de f(x) se aproximan a 4 cuando los valores

de x se aproximan a 2.

28

Ejemplo 3. Por la derecha y por la izquierda

Consideremos ahora la funcin g(x) = ||

.

En su grfica vemos que por la derecha de 0 las imgenes son 1,

mientras que por la izquierda de 0 las imgenes son -1, la grfica

presenta un "salto" y entonces las imgenes no se acercan a un

mismo valor. Podemos ver que el lmite no existe. Hagamos una

tabla como las de los ejemplos anteriores para verlo de otra

manera, ver Tabla 1.3

Tabla 1.3

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha

x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5

g(x) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

Hacia -1 por la izquierda Hacia 1 por la derecha

Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por la izquierda de 0

entonces g(x) se hace -1, pero al tomar valores por la derecha de 0 entonces g(x) se hace 1.

Esto es: la tendencia difiere segn el lado en que tomemos los valores.

Ejemplo 4. Crecimiento ilimitado

Ahora hagamos lo mismo para f(x) = 1

, para valores de x cercanos a 0.

En la figura 1.4 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la

derecha, la grfica de la funcin "sube ilimitadamente" sin

aproximarse a ningn valor en particular. Si vamos por la izquierda de

0, la grfica de la funcin "baja ilimitadamente'' y tampoco se

aproxima a ningn valor en particular.

La tabla 1.4 tambin indica esa tendencia.

Tabla 1.4

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha

X -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5

g(x) -2 -10 -100 -1000 1000 100 10 2

Hacia por la izquierda Hacia + por la derecha

Viendo la tabla 1.4 y pensando en valores de x an ms prximos a 0 es fcil convencerse

que si vamos por el lado derecho los valores de f(x) crecen ilimitadamente (se dice que

crecen sin cota) y si vamos por el lado izquierdo los valores decrecen ilimitadamente

(decrecen sin cota).

29

Comentario sobre los ejemplos anteriores

Estos cuatro ejemplos tienen cosas en comn y cosas en las cuales difieren:

En primer lugar, tienen en comn el hecho de que tenemos un valor dado de x (es decir un valor de x previamente fijado) digamos x = c y, luego, consideramos valores de x cada vez ms prximos a c, tanto valores mayores que c (por la derecha) como valores menores que c (por la izquierda).

En el ejemplo 1, x tiende a 3; en el ejemplo 2, x tiende a 2; en los ejemplos 3 y 4, x tiende a 0.

En segundo lugar, en los ejemplos 1 y 2, a medida que nos aproximamos al valor dado de x, no importa si lo hacemos por la izquierda o por la derecha, los valores de f(x) se van aproximando a un valor fijo L. La situacin completa se expresa as:

"El lmite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L"

Simblicamente se escribe

lim

() =

Se tiene entonces que 2

3lim 3 12x

x

lim2

2 4

2= 4

En el ejemplo 3 tenemos una situacin diferente. En este caso, cuando x tiende a 0 por la derecha entonces g(x) tiende a 1, pero cuando x tiende a 0 por la izquierda se tiene que g(x) tiende a -1. En estas circunstancias se dice que el lmite de g(x) cuando x tiende a 0 no existe. Es decir

lim0+

||

= 1 lim

0

||

= 1 entonces lim

0

||

=

Finalmente, en el cuarto ejemplo tampoco existe el lmite de f(x) cuando x tiende a 0, porque la tabla no presenta tendencia hacia ningn valor fijo sino que las imgenes crecen o decrecen sin lmite a medida que aproximamos x a 0. Esto es:

lim0+

1

= + lim

0

1

= entonces lim

0

1

=

De acuerdo con lo anterior damos la siguiente definicin intuitiva de lmite:

Decimos que el lmite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a

c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a

L.

30

31

32

lgebra de lmites

33

Lmites indeterminados

Hay 7 casos de indeterminacin:

A continuacin mostraremos cmo salvar indeterminaciones.

34

35

36

37

Las asntotas obl icuas son rectas de ecuacin:

= + donde = lim

()

y = lim

[() ]

Slo hal laremos las asntotas obl icuas cuando no haya asntotas

horizontales.

38

=

[ +

] =

[ +

]

=

[( + )

] =

+ ( )

=

+

=

+ +

= =

=

= +

CONTINUIDAD

Supongamos que f es una funcin que est definida en algn intervalo abierto que contenga a c. Decimos que la funcin f es continua en x=c si se tienen las siguientes condiciones:

1. Existe f(c), esto es: c est en el dominio de f y tiene imagen.

2. Tambin existe .

3. Adems .

Si f no es continua en c se dice que es discontinua en c.

Clasificacin de los puntos de discontinuidad:

1) Primer grado, o evitable. Se suele dar cuando por error damos un valor que no corresponde en el punto, por ejemplo:

5 xsix 13

5 xsi 6

5 xsi 1x

)x(f

ya que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha tambin, luego sera lgico decir que en 5 debera tomar el valor 6, y no 6 como figura.

39

2) Segundo grado, primera especie, o inevitable de salto finito. Se suele dar cuando la funcin est definida por zonas y en el lmite de alguna zona no coinciden los valores por la derecha y por la izquierda, por ejemplo:

7 xsix 13

7x5 si 6

5 xsi 1x

)x(f

se ve que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha el valor 6, hay un salto de 12 unidades. Lo mismo pasa en 7.

3) Segundo grado, segunda especie, o inevitable de salto infinito. Se suele dar en funciones definidas por zonas, cuando en alguna de las zonas la funcin tiende a infinito, por ejemplo:

7 xsi 7x

x13

7x5 si 6

5 xsi 1x

)x(f

en este caso al acercarnos a 7 por la derecha la funcin tiende a .

7 xsi 12x

x13

7x5 si 6

5 xsi 1x

)x(f

en este caso en los lmites de zona no hay problemas, pero en el tercer tramo, es decir, para x 7, en x = 12, la funcin tiende a infinito.

Ejemplos:

40

41

DERIVADA

42

Interpretacin geomtrica de la derivada en un punto

43

44

45

46

47

48

49

Reglas de derivacin

Mtodo de la derivada logartmica

Este mtodo se puede usar para calcular cualquier derivada, pero fundamentalmente se

utiliza en las derivadas de: Funciones potencio-exponenciales.

Ejemplo1:

Calculo de la derivada de: 12)3()( xxxf

1 Tomamos logaritmo neperiano del primer y segundo miembro y desarrollamos al

mximo utilizando las propiedades de los logaritmos:

12)3()( xxLnxfLn por lo tanto )3()1()( 2 xLnxxfLn

50

2 derivamos el primer y segundo miembro de la expresin resultante:

xxxLnx

xf

xf

3

3).1()3(2

)(

)( 2

3 Se despeja f(x) y se sustituye f(x) por su valor inicial:

1

22

)3()1(

)3(2)(

xx

x

xxLnxxf

Ejemplo2:

Calculo de la derivada de: xsenxLnxf 2)()(

1 Tomamos logaritmo neperiano del primer y segundo miembro y desarrollamos al

mximo utilizando las propiedades de los logaritmos:

xsenxLnLnxfLn 2)()( por lo tanto )()2()( xLnLnxsenxfLn

2 derivamos el primer y segundo miembro de la expresin resultante:

xLn

xxsenxLnLnxxf

xf

1

).2()(2cos2)(

)(

3 Se despeja f(x) y se sustituye f(x) por su valor inicial:

xsenxLnxLnx

xsenxLnLnxxf 2)(

2)(2cos2)(

51

52

: Funcin costo marginal: Es el cambio en el costo total que se produce cuando la cantidad producida se incrementa en en un unidad () = ()

Funcin ingreso marginal: Es el cambio en el ingreso total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa en en un unidad () = ()

Funcin beneficio marginal: Es el cambio en la ganancia total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa en en un unidad () = ()

Elasticidad de la demanda

Para calcular la elasticidad de la demanda utilizaremos la siguiente frmula:

()

= |()

()|

53

Clasificacin de los bienes segn su elasticidad:

Una elasticidad demanda inferior a cero significa que el bien es inferior o tpico.

Una elasticidad demanda entre cero y uno significa que el bien es normal de primera

necesidad.

Una elasticidad demanda mayor que uno significa que el bien es normal de lujo.