Facultad de IngenieraAyudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales RESUMENEDO S 1. -ECUACIONESDIFERENCI ALES DEPRIMERORDEN 1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES ) ( ) ( y h t gdtdy = c dt t gy hdy+ = } }) () ( 1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES (a)) ( c by ax fdxdy+ + = Hacemosc by ax z + + =dxdyb adxdz+ = Remplazando se obtiene: ) (z bf adxdz+ =*ecuacin de variables separables (b)|.|

\|=xyfdxdy

Hacemos xyz =2xy xdxdydxdz = Remplazando se obtiene: xz z fdxdz =) (*ecuacin de variables separables 1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE 0 ) , ( ) , ( = + dy y x N dx y x Mes exacta ssi: xNyMcc=cc (*) Luego, existe una funcin f tal que: ) , () , (y x Mxy x f=cc

) , () , (y x Nyy x f=cc As: (a) ) ( ) , ( ) , ( y g dx y x M y x f + =} (b) ) ( ) , ( ) , ( y h dx y x N y x f + =} De no cumplirse la igualdad dada en (*), la ecuacin no es exacta y se busca el factor integrante (a) Si ) (1x fxNyMN=||.|

\|cccc entonces se tiene el factor integrante: }= =dx x fe x h y x u) () ( ) , ( (b) Si ) (1y gxNyMM=||.|

\|cccc entonces se tiene el factor integrante: }= =dy y fe y h y x u) () ( ) , ( 1.3.- ECUACIONES LINEALES Son de la forma: ) ( ) ( t b y t adtdy+ = ((

+ } }=}c dt t b e e t ydt t a dt t a) ( ) () ( ) ( *Frmula de Leibniz 1.4.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN ALCASO LINEAL 1.4.1.- ECUACIN DE BERNOULLI ny x f y x pdxdy) ( ) ( = +con1 = nMultiplicando la ecuacin por ny y luego haciendo el cambio ny z=1 se obtiene: ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( x f n z x p ndxdz = + *Ecuacin Lineal Facultad de IngenieraAyudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales 1.4.2.- ECUACIN DE RICCATI ) ( ) ( ) (2x f y x q y x pdxdy= + +Se requiere de solucin particular) (1x y . As, hacemos el cambio de coordenadas ) (1) ( ) (1x zx y x y + =y obtenemos una ecuacin lineal. 1.5.- APLICACINDE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 1.5.1.-REACCIONES QUMICAS DE PRIMER ORDEN Y DESINTEGRACIN Se tienen los siguientes parmetros y condiciones: 0x : Cantidad inicial en gramos) (t x : Nmero de gramos presentes en el instante t dtdx: Ritmo de crecimiento de x dtdx : Ritmo de decrecimiento de x k : Constante de proporcionalidad De esta forma, si k>0, la ecuacin diferencial que describe el proceso qumico es: kxdtdx= kte x t x= 0) ( Denominamos semivida al tiempo requerido para que la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual est dado por: kT) 2 ln(= 1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS ) (t N : Cantidad de bacterias en el instante t N t b N t a muertes s nacimientodtdN) ( ) ( = = }= dt t b t ae N t N)) ( ) ( () 0 ( ) ( Con) (t a y ) (t b proporcin de nacimientos y muertes respectivamente 1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON La velocidad con que se enfra una sustancia en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura de la sustancia y el aireSe tiene : ) (t Ts: Temperatura de la sustancia en el instante t mT : Temperatura del medio(aire) constante Luego, la ecuacin diferencial que modela el fenmeno es: | || |ktm s m sm sse T T T t TT t T kdtdT + = =) 0 ( ) () ( 1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS ) (t x : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo teV : Velocidad de entrada del fluido al estanquesV : Velocidad de salida del fluido del estanqueeC : Concentracin de entrada del soluto al estanquesC : Concentracin de salida del soluto del estanqueoV : Volumen inicial de fluido en el estanque0x : Cantidad inicial de soluto en el estanque s s e eC V C V t x = ) ( ' Donde: ) () (t vt xCs = t V V V t vs e o + = ) ( ) ( ; Facultad de IngenieraAyudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales Para los 2 tanques de la figura: ) (1t x :Cantidaddesolutoenelestanque1de capacidad V1en el tiempo t. ) (2t x :Cantidaddesolutoenelestanque2de capacidad V2en el tiempo t. Considerando:EntradadefluidoporlallaveAarazndeblts/min, entoncesporlallaveByCsalesolucinarazndeb lts/min. Tenemos as el sistema de ecuaciones diferenciales: 22112111) ( ') ( 'xVbxVbt xxVbt x = = Resolviendo la primera ecuacin se encuentra x1(t) para remplazar en la segunda ecuacin. 2. -ECUACIONESDIFERENCI ALESDE SEGUNDOORDEN 2.1.- ECUACIONES LINEALESDE SEGUNDO ORDEN ) ( ) ( ' ) ( ' ' ) (2 1 0x y x a y x a y x a | = + + FORMA NORMAL ) ( ) ( ' ) ( ' '2 1x g y x p y x p y = + + 2.1.2.- ECUACIN LINEAL HOMOGNEA 0 ) ( ' ) ( ' '2 1= + + y x p y x p y ) ( ) ( ) (2 2 1 1x y c x y c x yh+ = Donde: y1 e y2 soluciones particulares LI Conociendo y1(x), la otra solucin particular y2(x) la calculamos segn: }}=dxx yex y x ydx x p21) (1 2) () ( ) (1* Frmula de Abel 2.3.- ECUACIONES LINEALESHOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES 0 ' ' '2 1 0= + + y a y a y a Calculamos: 02 120= + + a k a k a* Ecuacin Caracterstica (a) 0 > Ak1, k2 races reales y distintas Luego x k x khe c e c x y2 12 1) ( + = (b)0 = Ak1=k2 races reales iguales Luego x k x khxe c e c x y1 12 1) ( + = (c)0 < Ak1, k2 races complejas con: | o i k = Luego )] ( ) cos( [ ) (2 1x sen c x c e x yxh| |o+ = 2.4.- ECUACIN DE EULER 0 ' ' '2 120= + + y a y x a y x a Con: a0,a1,a2 constantes reales, a00 Hacemos: te x =t tedxdtedtdx= = Adems :dxdtedtdydtdedtdydxddxdtdtdydxdyt t|.|

\| = |.|

\| = |.|

\| = ' ' ||.|

\| =||.|

\| = dtdydty de e edtdyedty dyt t t t22222' ' Facultad de IngenieraAyudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales Remplazandoseobtieneunaecuacinde coeficientesconstantescuyaecuacin caracterstica es: 0 ) (2 0 120= + + a k a a k a (a)0 > Ak1, k2 races reales y distintas Luego 2 12 1) (k khx c x c x y + = (b)0 = Ak1=k2 races reales iguales Luego ( ) x x c x c x yk khln ) (1 12 1+ = (c)0 < A 0 > Ak1, k2 races complejas con:| o i k = Luego ))] ln( ( )) ln( cos( [ ) (2 1x sen c x c x x yh + = | |o 2.5.- MTODO DE VARIACINDE CONSTANTES ) ( ) ( ' ) ( ' '2 1x f y x p y x p y = + + Buscamos solucin particular de la ecuacin anterior del tipo: ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1x y x c x y x c x yp+ = Luego, c1(x) y c2(x) deben satisfacer el sistema: ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( '0 ) ( ) ( ' ) ( ) ( '2 2 1 12 2 1 1x f x y x c x y x cx y x c x y x c= += + Cuyas soluciones son: } = dxx Wx y x fx c) () ( ) () (21

}= dxx Wx y x fx c) () ( ) () (12 Con: ) ( ' ) ( ') ( ) () (2 12 1x y x yx y x yx W = 2.6.- MTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Se aplica para encontrar una solucin particular de ecuaciones del tipo: | |+ = + + ) ( ) ( ) cos( ) ( ' ' '2 1 0x q sen x Q x q x P e y a y a y ai i i ix ri donde a0 a1 a2 ri y qi ctes reales, Pi(x) y Qi(x) polinomios. En la siguiente tabla se ilustra algunos ejemplos especficos de f(x) de la ecuacin con su respectiva forma de solucin particular. Suponiendo que ninguna funcin en la solucin particular supuesta es una solucin de la ecuacin diferencial homognea asociada. Regla de multiplicacin: Si alguna yp contiene trminos que duplican los trminos en yh, entonces yp se debe multiplicar por xn, donde n es el entero positivo mnimo que elimina esa duplicacin.