Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales

RESUMEN EDO’S

1.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE PRIMER ORDEN

1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

)()( yhtgdt

dy cdttg

yh

dy )(

)(

1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

(a) )( cbyaxfdx

dy

Hacemos cbyaxz

dx

dyba

dx

dz

Remplazando se obtiene:

)(zbfadx

dz *ecuación de variables separables

(b)

x

yf

dx

dy

Hacemos x

yz

2x

yxdx

dy

dx

dz

Remplazando se obtiene:

x

zzf

dx

dz

)(*ecuación de variables separables

1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE

0),(),( dyyxNdxyxM

es exacta ssi:

x

N

y

M

(*)

Luego, existe una función f tal que:

),(),(

yxMx

yxf

),(),(

yxNy

yxf

Así: (a) )(),(),( ygdxyxMyxf

(b) )(),(),( yhdxyxNyxf

De no cumplirse la igualdad dada en (*), la ecuación no

es exacta y se busca el factor integrante

(a) Si )(1

xfx

N

y

M

N

entonces se tiene el

factor integrante:

dxxf

exhyxu)(

)(),(

(b) Si )(1

ygx

N

y

M

M

entonces se tiene el

factor integrante:

dyyf

eyhyxu)(

)(),(

1.3.- ECUACIONES LINEALES

Son de la forma:

)()( tbytadt

dy

cdttbeetydttadtta

)()()()(

*Fórmula de Leibniz

1.4.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN AL CASO LINEAL

1.4.1.- ECUACIÓN DE BERNOULLI

nyxfyxpdx

dy)()( con 1n

Multiplicando la ecuación por ny

y luego haciendo el

cambio nyz 1

se obtiene:

)()1()()1( xfnzxpndx

dz *Ecuación Lineal

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1.4.2.- ECUACIÓN DE RICCATI

)()()( 2 xfyxqyxpdx

dy Se requiere de solución

particular )(1 xy . Así, hacemos el cambio de

coordenadas )(

1)()( 1

xzxyxy y obtenemos una

ecuación lineal.

1.5.- APLICACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

1.5.1.- REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER ORDEN Y DESINTEGRACIÓN

Se tienen los siguientes parámetros y condiciones:

0x : Cantidad inicial en gramos

)(tx : Número de gramos presentes en el instante t

dt

dx: Ritmo de crecimiento de x

dt

dx : Ritmo de decrecimiento de x

k : Constante de proporcionalidad De esta forma, si k>0, la ecuación diferencial que describe el proceso químico es:

kxdt

dx

ktextx 0)(

Denominamos semivida al tiempo requerido para que

la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual está

dado por:

kT

)2ln(

1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS

)(tN : Cantidad de bacterias en el instante t

NtbNtamuertessnacimientodt

dN)()(

dttbta

eNtN))()((

)0()(

Con )(ta

y )(tb proporción de nacimientos y muertes

respectivamente

1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

“La velocidad con que se enfría una sustancia en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura de la sustancia y el aire”

Se tiene :

)(tTs : Temperatura de la sustancia en el instante t mT :

Temperatura del medio(aire) constante

Luego, la ecuación diferencial que modela el fenómeno es:

kt

msms

ms

s

eTTTtT

TtTkdt

dT

)0()(

)(

1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS

)(tx : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo t

eV : Velocidad de entrada del fluido al estanque

sV : Velocidad de salida del fluido del estanque

eC : Concentración de entrada del soluto al estanque

sC : Concentración de salida del soluto del estanque

oV : Volumen inicial de fluido en el estanque

0x : Cantidad inicial de soluto en el estanque

ssee CVCVtx )('

Donde: )(

)(

tv

txCs

tVVVtv seo )()(;

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Para los 2 tanques de la figura:

)(1 tx : Cantidad de soluto en el estanque 1 de

capacidad V1 en el tiempo t.

)(2 tx : Cantidad de soluto en el estanque 2 de

capacidad V2 en el tiempo t. Considerando: Entrada de fluido por la llave A a razón de b lts/min, entonces por la llave B y C sale solución a razón de b lts/min. Tenemos así el sistema de ecuaciones diferenciales:

2

2

1

1

2

1

1

1

)('

)('

xV

bx

V

btx

xV

btx

Resolviendo la primera ecuación se encuentra x1(t) para remplazar en la segunda ecuación.

2.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE SEGUNDO ORDEN

2.1.- ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

)()(')('')( 210 xyxayxayxa

FORMA NORMAL

)()(')('' 21 xgyxpyxpy

2.1.2.- ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA

0)(')('' 21 yxpyxpy

)()()( 2211 xycxycxyh

Donde: y1 e y2 soluciones particulares LI

Conociendo y1(x), la otra solución particular y2(x) la calculamos según:

dxxy

exyxy

dxxp

2

1

)(

12)(

)()(

1

* Fórmula de Abel

2.3.- ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES

0''' 210 yayaya

Calculamos:

021

2

0 akaka * Ecuación Característica

(a) 0 k1, k2 raíces reales y distintas

Luego xkxk

h ececxy 21

21)(

(b) 0 k1=k2 raíces reales iguales

Luego xkxk

h xececxy 11

21)(

(c) 0 k1, k2 raíces complejas con: ik

Luego )]()cos([)( 21 xsencxcexy x

h

2.4.- ECUACIÓN DE EULER

0''' 21

2

0 yayxayxa

Con: a0,a1,a2 constantes reales, a0≠0

Hacemos: tex tt e

dx

dte

dt

dx

Además :

dx

dte

dt

dy

dt

de

dt

dy

dx

d

dx

dt

dt

dy

dx

dy tt

''

dt

dy

dt

ydeee

dt

dye

dt

ydy tttt

2

22

2

2

''

Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales

Remplazando se obtiene una ecuación de coeficientes constantes cuya ecuación

característica es:

0)( 201

2

0 akaaka

(a) 0 k1, k2 raíces reales y distintas

Luego 21

21)(kk

h xcxcxy

(b) 0 k1=k2 raíces reales iguales

Luego xxcxcxykk

h ln)( 11

21

(c) 0 0 k1, k2 raíces complejas con: ik

Luego

))]ln(())ln(cos([)( 21 xsencxcxxyh

2.5.- MÉTODO DE VARIACIÓN DE CONSTANTES

)()(')('' 21 xfyxpyxpy

Buscamos solución particular de la ecuación anterior del tipo:

)()()()()( 2211 xyxcxyxcxy p

Luego, c1(x) y c2(x) deben satisfacer el sistema:

)()(')(')(')('

0)()(')()('

2211

2211

xfxyxcxyxc

xyxcxyxc

Cuyas soluciones son:

dxxW

xyxfxc

)(

)()()( 2

1 dxxW

xyxfxc

)(

)()()( 1

2

Con: )(')('

)()()(

21

21

xyxy

xyxyxW

2.6.- MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

Se aplica para encontrar una solución particular de ecuaciones del tipo:

)()()cos()(''' 210 xqsenxQxqxPeyayaya iiii

xri

donde a0 a1 a2 ri y qi ctes reales, Pi(x) y Qi(x) polinomios.

En la siguiente tabla se ilustra algunos ejemplos específicos de f(x) de la ecuación con su respectiva forma de solución particular.

Suponiendo que ninguna función en la solución particular supuesta es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

Regla de multiplicación: Si alguna yp contiene términos que duplican los términos en yh, entonces yp se debe multiplicar por xn, donde n es el entero positivo mínimo que elimina esa duplicación.