Resumen Extenso Corriente Continua

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 Tema 7. Circuitos de corriente continua. 7.1 Intensidad y densidad de corriente. Ecuación de continuidad. 7.2 Conductividad eléctrica. Ley de Ohm. 7.2.1 Asociación de resistencias 7.3 Energía de la corriente eléctrica. Ley de Joule. 7.4 Fuerza electromotriz 7.4.1 Asociación de generadores 7.5 Condensadores 7.5.1 Asociación de condensadores 7.5.2 Energía almacenada en un condensador cargado 7.6 Carga y descarga de un condensador 7.7 Reglas de Kirchhoff 7.8 Análisis de circuitos 7.9 Bibliografía 7.10 Problemas  Nota: El contenido de estos apuntes pretende ser un resumen de la materia desarrollada en el curso. Por ello, el alumno debe de completarlo con las explicaciones y discusiones llevadas a cabo en clase y con la bibliografía recomendada. 7.1 Intensidad y densidad de corriente. Ecuación de continuidad. Se define corriente eléctrica como un flujo de cargas positivas y/o negativas, cuyo sentido coincide con el sentido del flujo de las cargas positivas. En un conductor los portadores de carga son e - , por lo que se toma como sentido de la corriente el sentido contrario al de los portadores (criterio internacional). Sea una superficie A atravesada por una carga Q. La corriente eléctrica que atraviesa dicha superficie viene definida por la intensidad de corriente I, la cual se define como el cociente entre la carga neta que atraviesa dicha superficie y el tiempo empleado: t Q  I =  (1) si Q es función del tiempo, es decir, Q = Q(t), la intensidad también depende del tiempo,  por lo que definimos: dt dQ  I =  (2) La unidad de la intensidad de corriente en el sistema internacional es el Amperio (A)

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Tema 7. Circuitos de corriente continua. 7.1 Intensidad y densidad de corriente. Ecuacin de continuidad. 7.2 Conductividad elctrica. Ley de Ohm. 7.2.1 Asociacin de resistencias 7.3 Energa de la corriente elctrica. Ley de Joule. 7.4 Fuerza electromotriz 7.4.1 Asociacin de generadores 7.5 Condensadores 7.5.1 Asociacin de condensadores 7.5.2 Energa almacenada en un condensador cargado 7.6 Carga y descarga de un condensador 7.7 Reglas de Kirchhoff 7.8 Anlisis de circuitos 7.9 Bibliografa 7.10 Problemas Nota:Elcontenidodeestosapuntespretendeserunresumendelamateria desarrolladaenelcurso.Porello,elalumnodebedecompletarloconlas explicacionesydiscusionesllevadasacaboenclaseyconlabibliografa recomendada. 7.1 Intensidad y densidad de corriente. Ecuacin de continuidad. Sedefinecorrienteelctricacomounflujodecargaspositivasy/onegativas,cuyo sentido coincide con el sentido del flujo de las cargas positivas. En un conductor los portadores de carga son e-, por lo que se toma como sentido de la corriente el sentido contrario al de los portadores (criterio internacional). Sea una superficie A atravesada por una carga Q. La corriente elctrica que atraviesa dicha superficie viene definida por la intensidad de corriente I, la cual se define como el cociente entre la carga neta que atraviesa dicha superficie y el tiempo empleado: tQI= (1) si Q es funcin del tiempo, es decir, Q = Q(t), la intensidad tambin depende del tiempo, por lo que definimos: dtdQI = (2) La unidad de la intensidad de corriente en el sistema internacional es el Amperio (A) Consideremos un volumen de seccin A y longitud x. Si n es el nmero de portadores de carga por unidad de volumen, el nmero de portadores de carga en el volumen anterior es nAx, siendo la carga Q = nAxq(3) donde q representa la carga de cada portador. Sustituyendo (3) en (1) resulta: I = nAqvD (4) vD se denomina velocidad de derivacin o velocidad media de los portadores de carga, lacualnocoincideconlavelocidadlibredelosportadores,debidoaqueensu movimiento, las cargas chocan con los tomos del material, producindose una perdida de energa cintica que se transforma en calor. Si suponemos que por cada tomo hay un portador,MNn =siendo N el nmero de Avogadro, la densidad y M el peso molecular. Sustituyendo en (4): q ANI MvD= (5) Lose-queconstituyenlacorrienteelctricaenelinteriordeunconductorsemueven porlaaccindeuncampoelctricoEr,locualesposibleyaquelasituacindel conductor no es de equilibrio electrosttico. a m E q Frr r= = (6) Emq a t a t a v t a v v v0 0 Drr r r r r r r r= = = + = + = = (7) donde representa el tiempo medio entre colisiones. Densidad de corriente La densidad de corrienteJr se define como la intensidad de corriente por unidad de rea. A ddIJ rr= (8) Considerando la ecuacin (4) Dv nq Jrr= (9) Ladensidaddecorrienteenelconductorseoriginaporlapresenciadeuncampo elctricoEr cuando se aplica una d.d.p. en los extremos del conductor. Si la d.d.p. es cte, tambin lo esEr y por tantoJr, cumplindose: E Jr r= (10) siendolaconductividaddelconductor,lacualnodependedelcampoEryesuna constante que depende de la naturaleza del material. m nq2= (11) Ecuacin de continuidad Entodofenmenoelctricosecumpleelprincipiodeconservacindelacarga.Por tanto,sideunvolumenVlimitadoporunasuperficiecerradaSemanancargas,la variacincrecientedelacargaenelmedioexteriorhadeserigualalavariacin decreciente de la carga en el medio interior a la superficie. dVtdVdtddtdQS d J IV V S = = = =r r(12) Aplicando el teorema de Gauss: 0tJ 0 dVtJV=+ =|.|

\|+ r r(13) Delaecuacindecontinuidadesposibledeterminarlacondicindecontornoparala densidad de corriente. Aplicaciones: 1.- La cantidad de carga que pasa a travs de una superficie cuya rea es 1 cm2 vara con eltiemposegnlaexpresinQ(t)=3t2-4t+2.a)Culeslacorrienteinstantneaa travsdelasuperficieenelinstantet=0,5s?b)Culeselvalordeladensidadde corriente? 2.-Enunmomentodado,ciertosistematieneunadensidaddecorrientedadapor ( ) k z j y i x A J3 3 3r r r r+ + =siendoAunaconstantepositiva.Determine:a)Cualessonlas unidades de A; b) Cual es en ese instante la razn del cambio de la densidad de carga en el punto P(2,-1,4) 7.2 Conductividad elctrica. Ley de Ohm. LosmaterialesquecumplenlarelacinE Jr=sedicequesiguenlaleydeOhm,es decir,sedenominanmaterialeshmicos.Paradichosmaterialespodemosrelacionarla diferenciadepotencial(V)aplicadaenlosextremosdelconductorconlaintensidad de corriente I producida por ella: lAIlJEl Edx V V Vbaa b= = = = =(14) AlR =representa la resistencia del conductor y se mide en ohmios (), luego IR V = (15) La resistividad del conductor es la inversa de la conductividad 1= . En general es muy baja, por lo que es muy alta. Para el cobre a 20C, = 1.7x10-8 ohmio.m. Laresistividaddeunconductorvaraconlatemperatura,aumentandocuando aumenta T: ( ) | |0 0T T 1 (T) + = (16) 0 es la resistividad a una temperatura de referencia T0 representa el coeficiente de temperatura de resistividad 01 T = (17) Aunqueelcrecimientodeconlatemperaturaeslineal,nomantieneeste comportamiento a temperaturas bajas, siendo en dicho caso de tipo exponencial. Para ciertos metales, la resistividad se hace cero por debajo de un valor de temperatura (25K)denominadotemperaturacrtica.Dichosmetalessedenominan superconductores.Unadelascaractersticasmsnotablesdelossuperconductoreses que una vez que se ha originado una corriente elctrica en su interior, sta se mantiene aunque la d.d.p. sea cero, ya que R =0. (Ver seminario de exposicin de trabajos) Como: ( ) | | ( ) | |0 0 0 0T T 1 T T 1 AlAl(T) R(T) + = + = = R(18) siendo R0 la resistencia del conductor a la temperatura de referencia T0. 7.2.1 Asociacin de resistencias DadounsistemaformadopornresistenciasRi,siempreesposibleencontraruna resistencia nica que equivalga a las que forman la asociacin, que recibe el nombre de resistencia equivalente Re. 7.2.1.1 En serie Is = Ii = cte(19) Vs = =n1 iiV(20) Re = =n1 iiR (21) 7.2.1.2 En paralelo Is = =n1 iiI (22) Vs = Vi = cte(23) ==n1 iieRR1(24) 7.2.1.3 Mixta Es una combinacin de las asociaciones serie-paralelo. Aplicaciones: 1.- Un hilo conductor de seccin circular tiene un dimetro de 1mm, una longitud de 1m yunaresistenciade10.Siladensidaddeloselectronesesde1029e-/m3,estimeel tiempo medio requerido para que un electrn recorra el conductor cuando se conecta a los terminales del mismo una diferencia de potencial de 1V. 2.-Determinelaresistividaddelcobreapartirdelosdatossiguientes:unad.d.p.de 1,2V produce una corriente de 1,8A en un alambre de cobre cuya longitud es de 100m y 0,18cm de dimetro. 7.3 Energa de la corriente elctrica. Ley de Joule. ConsideremosunsegmentodeconductorcilndricodelongitudlyseccinS.Si aplicamosunadiferenciadepotencialensusextremos,talqueVA>VB,elefectoes como si la carga q entrase al potencial VA y saliera al potencial VB. El cambio en la energa potencial es: U = U(B) U(A) = (VB VA)(25) y la perdida de energa en el conductor es: -U = U(A) U(B) = q (VA VB)= q V(26) La rapidez con que se pierde energa es la potencia disipada en el conductor: IV VtqtUP = = = (27) ComoIVt IVdt Pdt WdtdWPt0t0= = = = (28) Siendo el calor desprendido en la resistencia (ley de Joule): Q(t) = 0,24 I2Rt(29) Generalizacin de la ley de Joule Eltrabajorealizadoporlafuerzaqueactasobreunacargaqenelinteriordeun conductor cuando esta se desplaza una distanciar dr, al aplicar una d.d.p. V = VA - VB en los extremos es: r d E q r d F dWrrrr = = (30) Paraunvolumendvquecontienenportadoresdecargaporunidaddevolumen,el trabajo realizado para trasladar las cargas viene definido por: dv dtE J ndv dtv E q ndv r d E q dW = = =rrrr (31) La potencia transformada en calor en el volumen V es: = = =Vdv E J P dv E JdtdWdPr r r r(32) 7.4 Fuerza electromotriz Paramantenerunacorrienteelctricaenelinteriordeunconductoresnecesario disponer de un dispositivo capaz de suministrar energa elctrica. Una batera o generador es cualquier dispositivo capaz de aumentar la energa potencial de las cargas que circulan por el conductor. Si el campo elctrico generado por la batera enelinteriordelconductoresEr,eltrabajoparatrasladarlaunacargaqdentrodel conductor viene definido por la ecuacin (30), siendo el trabajo por unidad de carga la fuerza electromotriz suministrada por el generador: = =lr d EqWrr(33) ComoEr es conservativo,Er=- V = rVr = = = =BA l lV(B) V(A) V drrVdr E (34) Lafuerzaelectromotrizesigualaladiferenciadepotencialentrelosextremosdel conductor si la resistencia interna del generador es 0. Si la trayectoria es cerrada V(A) = V(B) por lo que =0, lo que implica que no se puede mantenerunacorrienteelctricaenuncircuitocerrado,porloqueesnecesario suministrar energa a las cargas. Si conectamos un generador de fuerza electromotriz y resistencia interna r 0 en serie con una resistencia R, la diferencia de potencial en los extremos del generador es: V(A) V(B) = Ir = IR(35) Siendo la intensidad de corriente que circula: r RI+= (36) La potencia suministrada por la batera se transforma en potencia disipada en forma de calor en la resistencia externa y en la resistencia del generador: I = I2R + I2r(37) Si introducimos en el circuito un motor de fuerza contraelectromotriz y resistencia interna r en serie con los elementos anteriores = Ir + IR + + Ir(38) luego: ===+ + =n1 iin1 iiRr' R r' I (39) 7.4.1 Asociacin de generadores 7.4.1.1 En serie Consideremosngeneradoresdefuerzaselectromotriziyresistenciasinternasri conectados en serie a una resistencia R. ==n1 ii s (40) =+=n1 iissr RI (41) Si los generadores tienen las misma caractersticas: i = = cte; ri = r = cte ==n1 ii s = n nr RnIs+= (42) Si R >> ri la intensidad aumenta en n veces la intensidad que produce un generador. R + nr R inIRnIs= = Si R > nrla asociacin se comporta como un solo generador: RnrR + RI= Si R