En análisis numérico, la interpolación polinomial es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

Del mismo modo La interpolación poli nómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas. El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio.

Es fácil demostrar, usando el determinante de Vandermonde, que por n puntos, con la única condición de que para cada x haya una sola y, siempre se puede encontrar un polinomio de grado igual a (n-1) que pase por los n puntos

Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x,

f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.

Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias.

Ejemplo de tabla de diferencias divididas

Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpelante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).

La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi

Fórmula de Avance

Fórmula de Retroceso

Ejemplo del polinomio de Newton-GregorySuponga que se desea interpolar para el valor de x = 0.73 mediante el polinomio deNewton-Gregory para los valores mostrados en la figura. Como primer paso se calculantodas las diferencias de orden 3 o menor:

Ejemplo

Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en

avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.

En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

Se sabe que H4(x)=4+3(x+1)- 2(x+1)2 (x-1)-(1/2)(x+1)2(x-1)2 es el polinomio de interpolación de Hermite de cierta función f ,basado en los datos:

f(-1), f'(-1), f(1), f'(1) y f"(1).a) Sin evaluar H4(x) ni sus

derivadas en -1 y 1, completar la tabla de diferencias divididascon repetición utilizada en la construcción de H4(x).

Ejemplo Hermite

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

DefiniciónEl término "spline" hace referencia a una

amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones.

Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.

Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange.

Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

Ejemplo

Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

f(x) = -0,0739x3 + 0,3906x2 + 0,624x - 2,978

Sustituyendo, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

Simplificamos, y obtenemos:

Tras realizar las diferentes operaciones la ecuación resultante quedará de la siguiente forma:

donde

http://interpolacion.wikidot.com/spline-teoria