Revista álgebra lineal
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1
Acerca de los autores
Julio Ayala: Actualmente estudia Ingeniería en Ciencias de
la Computación y Tecnologías de la información en la
Universidad del Valle de Guatemala. En su tiempo libre
juega videojuegos en computadora y tiene un gusto por la
astrofísica.
Pablo Estrada: Estudiante de Ingeniería en Ciencias
de la Computación y Tecnologías de la Información
así como Licenciatura en Música en la Universidad
del Valle de Guatemala. Sus pasatiempos son tocar
guitarra y jugar videojuegos.
Ricardo Zepeda: Actualmente es un estudiante de Ingeniería
en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la
Información en la Universidad del Valle de Guatemala. Le
gusta jugar baloncesto y videojuegos.
José P. Rodríguez: Estudiante de Ingeniería en
Ciencias de la Computación y Tecnologías de la
Información en la Universidad del Valle de
Guatemala. Le gusta jugar Ping-pong y hacer chistes.
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Índice
1. Vectores...................................................................................... 3
2. Operaciones con vectores............................................................4
3. Representación de vectores........................ …………………………..6
4. Planos.......................................................................................... 9
5.Tiempo de Pensar ……………………………………………..……………….12
6. Aritmética modular ………………………………………………............. 13
7. Sistema de ecuaciones y espacios generados………………………..18
7. Referencias Bibliográficas.......................................................... 19
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Vectores
En muchos campos de la matemática y la física, con frecuencia se hace referencia a los
vectores. Este concepto hace referencia a una cantidad que consta tanto de magnitud y
dirección, a veces es necesario utilizar más de una componente para enunciar la dirección
como es el caso de los planos en 3 dimensiones. Los vectores se caracterizan por tener un
punto inicial (origen) y un punto terminal (extremo) que muestran el desplazamiento que
se ha llevado a cabo (Fig.1)
Aprendiendo a expresar un vector:
Aunque muchos pueden pensar que escribir vectores es
algo complicado, en realidad es bastante simple. Existen
dos maneras básicas de expresar vectores, la primera es el
vector columna que básicamente muestra cada
componente del vector en una línea vertical, encerrada
entre corchetes. La otra manera de expresar vectores
usando vectores renglón, estos vectores también se
escriben entre corchetes, pero esta vez cada componente
se escribe en una línea horizontal. (Ver Fig.2)
(Figura.2)
Más curiosidades sobre vectores:
Aunque básicamente todos los vectores
poseen las mismas características,
existen algunos términos que se utilizan
para definir vectores especiales. ¿Qué
sucede si un vector no posee valores
todas sus componentes? Podría pensarse
que el vector no existe, pero esto es falso.
Este vector es conocido como el vector
cero, y se caracteriza precisamente
tener valor 0 en todas sus componentes.
Otros vectores especiales con los
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conocidos vectores en posición estándar, estos vectores son todos aquellos que tienen
su punto inicial en el origen, es decir la coordenada (0,0).
Operaciones con vectores:
Sumando Vectores:
Es muy común realizar operaciones algebraicas con vectores. Esto es muy útil cuando se
desea continuar un vector en el punto donde otro finalizó. Este proceso se facilita con la
suma de vectores. El proceso consiste en descomponer los vectores en sus componentes
y luego de esto se suman algebraicamente las componentes respectivas de cada vector,
dándonos como resultado un nuevo vector que representa el punto inicial del primer
vector sumado y el extremo del último vector sumado.
Para visualizar mejor este proceso recomiendo estudiar el siguiente video:
http://www.youtube.com/watch?v=GrHu2tuBP6Y
Al igual que los valores escalares también conocidos como números reales o constantes,
los vectores poseen las siguientes propiedades:
Conmutatividad:
Asociatividad:
( )+w = +w)
Distributividad:
c ( u + v ) = cu + cv
Reglas Importantes para sumar vectores:
Existen reglas que pueden ayudarnos mucho al momento de sumar vectores, una de estas
es la regla punta a origen. Esta regla nos dice que al momento de sumar dos vectoresA,
B, se traslada el vector B de modo que su origen quede en el mismo lugar que el punto
final del vector A. Con esto hecho se traza un nuevo vector A+B que va desde el origen de
A hasta el punto final de B. (Figura.3)
(Figura.3)
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Regla del Paralelogramo:
Esta regla surge también de la suma de vectores, sin embargo se debe recordar que solo se
puede utilizar cuando se suman 2 vectores exclusivamente. La regla dice que las suma dos
vectores en posición estándar representa la diagonal que
formarían estos dos vectores al ser reflejados y formar un
paralelogramo. (Figura.4)
(Figura.4)
Multiplicación escalar de Vectores:
Otra operación muy utilizada con vectores es la multiplicación escalar. Al tener un
vector a es posible multiplicarlo con un escalar c llamado el múltiplo escalar. Esto se
realiza multiplicando cada componente del vector por el múltiplo escalar. Una manera de
recordar fácilmente este proceso es tomar como base la propiedad distributiva mencionada
anteriormente.
Algunas características que se deben recordar
La multiplicación de un número k por un vector es otro vector:
El vector resultante posee igual dirección que el vector.
El vector resultante posee el mismo sentido que el vector si el escalar es positivo.
El vector resultante posee sentido contrario del vector si el escalar es negativo.
Otra operación de gran importancia entre vectores es el producto escalar, que consiste
en la suma de la multiplicación de cada una de las componentes de los vectores dados.
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Propiedades producto escalar:
Cuando se utiliza el múltiplo escalar (-1) v, este se escribe como –v y se puede utilizar para
la resta vectorial, esto nos dice lo siguiente:
Utilizando la multiplicación escalar para el análisis de dos vectores, se puede llegar a
definir los conceptos de vector paralelo y vector ortogonal. Cuando dos vectores son
paralelos entre sí se dice que ambos son múltiplos escalares, es decir, que podemos hacer
que ambos vectores sean iguales únicamente multiplicándolos por una constante. Los
vectores son ortogonales cuando el ángulo formado entre ellos dos es recto. La forma
adecuada de calcular el ángulo entre dos vectores es con la siguiente expresión que se
fundamenta en la ley de cosenos:
Representación de vectores:
Combinaciones Lineales:
Cuando se posee un vector que es una suma de múltiplos escalares de otros vectores, se le
llama combinación lineal. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector se
obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Para comprender mejor el concepto es recomendable ver el siguiente video, donde se
muestra la creación de una combinación lineal sencilla en tan solo 5 minutos:
http://www.youtube.com/watch?v=3oy-iMPq_jA
Vectores Binarios:
Los vectores binarios son vectores que se utilizan
muchísimo en computación. Estos vectores poseen
componentes con un 0 o un 1. Estos vectores son la
base de muchos códigos de programación. En este
caso se modifican un poco las reglas de aritmética y
se toman como base las reglas de paridad para la
realización de operaciones con este tipo de
vectores.
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Norma de un vector
La norma de un vector hace referencia al largo o la magnitud que un vector posee en el
espacio. Este concepto surge del teorema de Pitágoras y trabajando en esta
expresión podemos relacionarla con el producto escalar para llegar a la siguiente
definición:
Proyecciones de vectores:
La proyección de vectores surge en respuesta al problema de encontrar la distancia desde
un punto hasta una recta en el contexto de los vectores. Esta proyección se obtiene
trazando una perpendicular desde el punto final del vector que se proyectará hasta la parte
del vector donde se dará la proyección. (Ver figura.5)
Con esto en mente, se llega a la deducción de la siguiente
expresión para la proyección de un vector:
Figura.5
Normalizar Vector:
La normalización de un vector hace referencia al proceso de encontrar un vector unitario
en la misma dirección que el vector que se ha dado. Para hacer esto es necesario dividir el
vector dentro de su magnitud para convertirla en uno y finalmente multiplicarlo por su
dirección. El vector resultante siempre será de magnitud 1, la siguiente expresión puede
ayudar a normalizar un vector:
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Vector Normal y Director
Para lograr el análisis de rectas de manera analítica, se han definido vectores con
características especiales que cumplan con ciertas condiciones. Uno de estos es el vector
normal, este vector posee la característica de ser ortogonal a una recta, esto implica que el
producto punto con un vector alineado a la recta debe
de ser 0.(Figura.6)
Otro concepto que es importante al momento de
analizar rectas y planos es el vector director. Este
vector se caracteriza por indicar la dirección que posee
la recta en análisis.
Rectas
El análisis de rectas en el plano cartesiano es uno de los temas más comunes en geometría,
pero esta vez analizaremos un recta en R2 y R3 desde un punto de vista vectorial. La forma
en que una recta se expresa analíticamente es a través de de ecuaciones. Estas varían
dependiendo de la forma como sean expresadas y son útiles en distintas circunstancias.
Forma General de la Ecuación en R2
La forma general surge de la relación de puntos en un plano x,y, y se expresa de la
siguiente manera:
Note que la expresión (A/B) nos indicará la pendiente de la recta, un dato muy importante
para la construcción de ecuaciones.
Forma Normal de la Ecuación en R2
Esta ecuación se apoya en los conceptos de vector normal y vector director, y surge
de la obtención de un vector ortogonal y direccional a la recta bajo análisis. Por las
propiedades del producto punto se sabe que el producto punto entre vectores ortogonales
es creo. Por lo tanto la ecuación normal de la recta está dada por la expresión:
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Forma Vectorial de la Ecuación de la Recta:
Esta forma de la ecuación utiliza los vectores x, p y v siendo estos los vectores de posición
el vector de un punto conocido y el vector director.
Paramétrica
Esta ecuación surge de las componentes de la ecuación vectorial de la recta, dependiendo
de si la recta esta en R2 o R3 surgirán dos o tres ecuaciones respectivamente
Planos:
La ecuación de un plano surge al tratar de generalizar la ecuación de una recta en R2 a R3,
al intentar encontrar vectores x que sean ortogonales al vector n notamos que existe un
número infinito de vectores que cumplen con esta condición, lo cual nos proporciona una
familia de planos paralelos y ortogonales a n.
Las diferentes ecuaciones para planos son las
siguientes:
Ecuación General
𝒂𝒙 𝒃𝒚 𝒄𝒛 𝒅
Ecuación Normal
→
𝒙→
→
→
Ecuación Vectorial
𝒙 →
→
→
→
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Distancia de un punto a un Plano:
La distancia de un punto, P, a un plano , π, es la distancia menor desde el punto a los
puntos infinitos del plano.
Intersección entre una recta y un plano
Para saber la intersección entre una recta y el plano
, hay despejar y, x y z en la ecuación de la recta y después
sustituimos x, y y z en la ecuación del plano. Resolvemos para t, si la solución es única,
con este valor de t obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la
recta.
Tome en cuenta que la ecuación en t puede tener soluciones infinitas (cuando la
recta está en el plano) o también puede no tener solución (cuando no hay
intersección). (ver figura.1)
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Angulo entre una recta y un plano
El ángulo entre una recta y un plano se puede obtener con la ayuda del vector normal del
plano y el vector director de la recta, es importante tomar en cuenta que este ángulo es
agudo, por lo que siempre debe darse de manera que sea >90 grados. (Ver figura 2.)
Figura.2
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Tiempo de Pensar
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El reloj representa aritmética
en el módulo 12
Aritmética Modular
La aritmética modular o aritmética de reloj es un sistema en el cual
se hacen equivalencias para números enteros. En la aritmética
modular se crean ciclos de tamaño n que son llamados módulos, y
dependiendo del módulo así será la cantidad de enteros desde “0”
hasta “n-1”, al llegar al número n se empieza en cero nuevamente.
Para ilustrarlo mejor, puede observar un reloj: Este utiliza
aritmética de módulo 12 ya que va de 0 a 11 y al llegar al 12, se
empieza otro ciclo.
En la aritmética modular solo existen dos operaciones: suma y
multiplicación.
Para calcular el valor de un número en el módulo n, simplemente se
divide el número entero entre n y el residuo es el valor en ese módulo. Ejemplo:
Encontrar el valor de 34 en el módulo Z5.
Al dividir 34/5 , sin importar el cociente, se tiene que el residuo es 4, por lo que el valor de
34 en el módulo Z5 es 4.
Adición y multiplicación en aritmética modular
Para sumar en aritmética modular simplemente se suman los dos números y el resultado
se convierte al módulo Zn. Lo mismo ocurre con la multiplicación, luego de obtener el
resultado se convierte a Zn y se debe recordar que el valor del resultado debe estar entre 0
y (n-1).
Ejemplos de módulos:
Z2
El módulo 2 o Z2 en aritmética modular implica que n=2, por lo que está formado de esta
manera:
Z2 = { 0 , 1 }
La tabla de la suma para el módulo 2 está dada de la siguiente manera:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
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De forma parecida, la tabla de multiplicación:
* 0 1
0 0 0
1 0 1
Z3
El módulo 3 o Z3 en aritmética modular se da por n=3, los números que lo conforman son:
Z3 = { 0 , 1 , 2 }
Tabla de suma:
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Tabla de multiplicación:
* 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
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Z4
El módulo 4 o Z4 se construye cuando n=4, los números que lo conforman son:
Z4 = { 0 , 1 , 2 , 3 }
Tabla de suma:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Tabla de multiplicación:
* 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
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Resolución de ecuaciones en Zn
Para resolver ecuaciones en un módulo Zn se siguen pasos similares a los utilizados
regularmente. Primero se debe recordar que en aritmética modular solo existen dos
operaciones: suma y multiplicación. Luego de cada lado de la ecuación se suma lo
necesario para convertir en cero el número que se suma a la variable. Finalmente, se busca
un número dentro del módulo que al multiplicar la constante que multiplica la variable dé
como resultado uno, multiplicando de los dos lados de la ecuación. Ejemplo:
Resolver para x en Z5:
3x + 1 = 2
Se suma 4 de cada lado ya que 4 + 1 en Z5 = 0
3x + 1 + 4 = 2 + 4
3x = 1
Al multiplicar 3 * 2 en Z5 se obtiene 1
2*3x = 1*2
x = 2
Código Universal del producto (UPC)
Este código es el utilizado en casi todos los productos para identificarlos, es un código de
barras y se divide en varias partes:
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El código UPC puede tener n dígitos y para verificar que el código es válido, se debe tomar
en cuenta que:
en Z10
Donde
V= vector del código UPC separado por dígitos
C = vector verificador (nótese que siempre termina en 1) = [… 3 , 1 , 3 , … , 3 , 1 ]
Número internacional de libro (ISBN)
Es un código que, al igual que el UPC sirve
para identificar productos, pero en este caso
solo se limita a libros.
El ISBN, a contrario del UPC solo puede tener
10 ó 13 dígitos y el método de verificación es
similar:
En Z14 si V tiene 13 dígitos o en
Z11 si V tiene 10 dígitos
Donde
V = vector del código ISBN
C = [ 13 , 12 , 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ] Para Z14 ó
C = [ 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ] Para Z11
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones: Método de Gauss
La resolución de sistemas de ecuaciones para 3 variables se basa en el método desarrollado
por Gauss. En este método se crea una matriz asociada al sistema, en la cual
únicamente se colocan los coeficientes de cada una de las variables en el sistema de
ecuaciones lineales. Una vez hecho esto se busca llevar el sistema a la forma escalonada,
este sistema será equivalente al sistema original. El siguiente ejemplo mostrará los
procesos más a detalle, nótese que únicamente es posible utilizar la multiplicación y la
suma al trabajar con las filas de la matriz.
*En este link puede ver el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones lineales:
http://www.youtube.com/watch?v=61cHZrnSwLM
Vectores linealmente dependientes y linealmente independientes
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si hay una combinación lineal de los
vectores que es igual al vector cero sin que este sea el coeficiente de la combinación lineal.
Un conjunto de vectores linealmente independientes es el que un vector no se puede
escribir como una combinación lineal del resto de vectores en el conjunto.
Espacio generado y conjunto generador
El espacio generado por un conjunto de vectores es el conjunto de combinaciones lineales
de ese grupo de vectores.
El conjunto generador es el conjunto que genera todos los elementos de un vector al operar
a todos sus elementos.
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Referencias Bibliográficas:
Bartolí Jaume. Actividades sobre Vectores en Plano.En:
http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/index.html .Consultado el 1/8/2012
Vitutor. Vectores. En: http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html .Consultado el
1/8/2012
Casanova, Juan. Vectores. En:
http://cbasefis2bt.wikispaces.com/Vectores+(Por+Juan+Casanova) . Consultado
el 9-1-2013
http://www.vitutor.com/geo/rec/d_1.html