Revista Coordenadas Polares
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HISTORIA DE LAS COORDENADAS POLARES
Edición #1
Todo lo que necesita saber de
las coordenadas polares
Afine sus conocimientos sobre las
coordenadas polares
Julio del 2014
Armando Escalona
HISTORIA DE LAS COORDENADAS
POLARES pág. 2
¿Qué son las coordenadas polares?
Pág. 4
Curiosidades pág. 6Algo de humor Pág. 7
Graficas polares especiales Pág. 8
Sistema de coordenadas polares con varios
ángulos medidos en grados. Si bien existen
ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio
se conocen y manejan desde la antigüedad, no
es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención
de la geometría analítica, en que se puede
hablar del concepto formal de sistema
coordenadas polares.
En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y
Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del
siglo XVII en la solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema
en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos en 1635
y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares
para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes.
Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de
arcos parabólicos. A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.
Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac
Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736,
introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para
resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de
coordenadas polares. En el periódico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un
sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las
coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje
polar. El trabajo de Bernoulli sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de
ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El término actual de
coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores
italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de
1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo
integral de Sylvestre François Lacroix, mientras que Alexis Clairault fue el primero que
pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.
Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con
aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco
(190-120 a.C) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en
función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer
la posición de las estrellas.[1] En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de
Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas
aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar
puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención
de la geometría analítica. Pág. 2
Pág. 3
Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo
en relación a un punto fijo y un rayo fijo (o semirrecta). El punto fijo se denomina polo u
origen y se representa mediante la letra . El rayo fijo recibe el nombre de eje polar (orecta polar), la cual se denota por OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se
prolonga indefinidamente hacia la derecha.
Sea P cualquier punto del plano diferente de 0 . Sea la medida en radianes del ángulo
dirigido AOP , positivo cuando se mide en el sentido contrario al giro de las manecillas del
reloj y negativo en el caso contrario, que tiene como su lado inicial el rayo OA y como su
lado final el rayo OP . Si r es la distancia no dirigida de O a P (esto es, r = | OP ̅|), un
conjunto de coordenadas P de está dado por r y , y se denotan estas coordenadas
como (r, )
= ángulo dirigido, en sentido anti horario, del eje polar al segmento OP
R=distancia dirigida de O a P
Pág. 4
Gráfica de una ecuación polar.Definición. Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene al menos, unpar de coordenadas polares que satisfacen la ecuación.
Trazado de curvas en coordenadas polares.La construcción de curvas en coordenadas polares constará de los seispasos siguientes:1. Determinación de las intersecciones con el eje polar y el eje normal.2. Determinación de la simetría de la curva con el eje polar, el eje normal yel polo.
3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos paraobtener una gráfica adecuada.5. Trazado de la gráfica.6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.
Criterios de simetríaUna gráfica esi. Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente
cuando (r ,) se sustituye por (r,- ) o (-r, - ) ;ii. Simétrica con respecto al 1/2 eje si se obtiene una ecuación equivalentecuando (r ,) se sustituye por (r, - )o (-r, - ) ;iii. Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalentecuando (r , ) se sustituye por ( -r, )o (r, + ) .
Pág. 5
Pág. 6
La mariposa es el emblema de la sabiduría que nos da la vida aportan ese granito de
arena que se queda en nuestras vidas. Estas hermosas especies se pueden
representar matemáticamente usando coordenadas polares.
¿Por qué los osos blancos se
disuelven en agua?
Porque son polares.
¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular, después de un
cambio de coordenadas.
Pág. 7
Le preguntan a un matemático: - Tú qué harías si vieras una
casa ardiendo y justo enfrente una manguera sin conectar
a una boca de riegos? La conectaría, obviamente. Y si la
casa no estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese
conectada? Quemaría la casa, desconectaría la
manguera y luego usaría el método anterior
¿En qué se diferencian un oso polar y un oso rectangular?
—En que uno se mide en coordenadas polares, el otro en
rectangulares.
En mitad de una conferencia de matemáticas, un
participante levanta la mano y dice:
- Tengo un contraejemplo para ese teorema!
A lo que el conferenciante responde:
- No importa, yo tengo dos pruebas.
Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en
forma polar que en forma rectangular. La ecuación polar de un círculo de radio y
centro en el origen es simplemente . Se muestran abajo algunos tipos de gráficas cuyas
ecuaciones son más simples en forma polar.
Pág. 8
Pág. 9
Pág. 10