TRANSFORMACIONES LINEALES

Máximo Peña V-20830308

TRANSFORMACIONES LINEALES

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CONTENIDO Transformaciones Lineales--------------------------------------------------------------------------------4

Teoremas básicos de las transformaciones lineales------------------------------------------------4

Transformaciones lineales a partir de otras dadas--------------------------------------------------4

Algebra lineal -------------------------------------------------------------------------------------------------5

Clasificación de las transformaciones lineales -------------------------------------------------------5

Matriz asociada a una transformación lineal ----- ----------------------------------------------------6

Ejemplos de transformaciones lineales-----------------------------------------------------------------7

TRANSFORMACIONES LINEALES

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EDITORIAL Editor:

Máximo Miguel Peña Editorial:

Editorial SAIA Fecha de edición:

Febrero de 2015 ISSN:

2083-0308 Formato:

Revista Matemática Volumen:

1 Dependencia:

Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño-Núcleo Mérida Reseña:

Este número tiene como objetivo discutir aspectos importantes acerca de las transformaciones lineales en general. La fuente de este análisis consiste en artículos y tesis publicados en la web por investigadores, estudiantes y profesionales expertos en la rama del álgebra lineal y que son el resultado de innovaciones e investigaciones en torno a las diversas problemáticas que surgen en el ámbito educativo de la matemática en Venezuela.

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TRANSFORMACIONES LINEALES

Cómo formar nuevas transformaciones lineales a

partir de otras dadas

Si f1: V → W y f2: V → W son lineales, entonces también lo es su suma f1 + f2 (definida como (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)).

Si f : V → W es lineal y a es un elemento del cuerpo K, entonces la función af, definida como (af)(x) = a (f(x)), también es lineal.

Gracias a estas dos propiedades, y a que la función que envía todo al elemento nulo es una aplicación lineal, es que el conjunto de transformaciones lineales f: V → W forma un subespacio de las funciones de V en W. A este subespacio se lo nota L(V,W) o Hom(V,W). La dimensión de L(V,W) es igual al producto de las dimensiones de V y W.

Si f: V → W y g: W → Z son lineales entonces su composición g◦f: V → Z también lo es.

Dado un espacio vectorial V, el espacio vectorial L(V,V), que se nota usualmente como End(V), forma un álgebra asociativa sobre el cuerpo base, donde la multiplicación es la composición y la unidad es la transformación identidad.

Si f: V → W es una transformación lineal biyectiva, entonces su inversa también es transformación lineal.

TEOREMAS BASICOS DE LAS TRANSFORMACIONES

Sea B = {vi: i � J} base de V y C = {wi: i � J} un conjunto vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V → W que satisface:

Sea una transformación lineal.

Entonces

Como corolario básico de este teorema, obtenemos que una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita en sí mismo es un isomorfismo si y sólo si es un epimorfismo si y solo si es un monomorfismo.

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ÁLGEBRA LINEAL

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas, como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a 1843, cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y a 1844, cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

Clasificación de las transformaciones lineales

• Funcional lineal: A las transformaciones lineales (donde es el cuerpo base de V) las llamamos funcionales lineales. • Monomorfismo: Si es inyectiva, si el único elemento del núcleo es el vector nulo. • Epimorfismo: Si es sobreyectiva (suryectiva). • Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva) • Endomorfismo: Se le llama a una transformación lineal en el que dominio y codominio coinciden. • Automorfismo: Se le llama a un endomorfismo biyectivo.

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Matriz asociada a una transformación lineal

Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal.

Sean T:V→W una transformación lineal, B={v1, ..., vn} una base de V, C={w1, ..., wm} base de W. Para calcular la matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T(vi) para cada i=1,...,n y escribirlo como combinación lineal de la base C:

T(v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., T(vn)=a1nw1+ ...+amn wm.

La matriz asociada se nota C[T]B y es la siguiente:

Como un vector de W se escribe de forma única como combinación lineal de elementos de C, la matriz es única.

Gracias al teorema mencionado en la sección Teoremas básicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita, sabemos que dada cualquier elección de u1, ..., un existe y es única la transformación lineal que envía vi en ui. Por lo tanto, dada A cualquier matriz m × n, existe y es única la transformación lineal T:V→W tal que C [T] B=A.

Además, las matrices asociadas cumplen que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para cualquier a,b�ℝ, T,S� L(V,W). Por esto es que la aplicación que hace corresponder cada transformación lineal con su matriz asociada es un isomorfismo entre L(V,W) y Mn×mC (K).

Si nos restringimos al caso V=W, C=B, tenemos además que esta aplicación es un isomorfismo

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