Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras:

Ejemplos.

Jose Marıa Rico MartınezDepartamento de Ingenierıa Mecanica.

Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-Salamanca.Universidad de Guanajuato.

CP 36730, Salamanca, Gto., MexicoE-mail: jrico@salamanca.ugto.mx

Alejandro Tadeo Chavez.Instituto Tecnologico Superior de Irapuato.

Carretera Irapuato Silao K.M 12.5.CP 36821, Irapuato, Gto., Mexico

Tel. (462) 60 67 900. E-mail: altadeo@itesi.edu.mx

1 Introduccion.

En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicacion de las condiciones de rotabilidad y delcriterio de Grashoff para la determinacion del tipo de mecanismos planos de cuatro barras y sus,posibles, posiciones crıticas.

2 Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1 cuyas longitudes son:a1 = 10, a2 = 2, a3 = 8, a4 = 6.

Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la condicion de Grashoff, estoes:

L+ s ≤ p+ q (1)

Para este caso, la seleccion de los eslabones mas largo, mas corto e intermedios esta dada pora1 = 10 = L, a2 = 2 = s, a3 = 8 = p, a4 = 6 = q. Por lo que, sustituyendo las dimensionescorrespondientes, se obtiene

10 + 2 ≤ 8 + 6 o 12 ≤ 14 (2)

Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, mas aun, puesto que s = a2, se concluye que elmecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabon 2 puede realizar rotaciones completas.

En una segunda etapa, se confirmara este resultado empleando las condiciones de rotabilidady, adicionalmente, se determinaran las, posibles, posiciones crıticas de los eslabones de entrada yde salida.

1

Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras

1. Eslabon 2.

• Primera condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos exterior

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (3)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene

10 + 2 ≤ 8 + 6 o 12 ≤ 14. (4)

El eslabon 2 satisface esta primera condicion de rotabilidad.• Segunda condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos interior

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (5)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|2− 10| ≥ |6− 8| o 8 ≥ 2. (6)

El eslabon 2 satisface esta segunda condicion de rotabilidad.

Por lo tanto, se verifica que este eslabon 2 puede girar 360◦.

2. Eslabon 4.

• Primera condicion de rotabilidad. Posicion lımite exterior

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (7)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

10 + 6 ≤ 2 + 8 o 16 6≤ 10 (8)

El eslabon 4 no cumple con esta condicion de rotabilidad, por lo tanto tiene una posicionlımite, vea la figura 2. El angulo correspondiente se obtiene como

cos α =a21 + a2

4 − (a2 + a3)2

2a1a4(9)

2

Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posicion lımite externa

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

α = 72.5423◦

Entonces el angulo θ4L1 esta dado por

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 72.5423◦ = 107.4576◦

• Segunda condicion de rotabilidad. Posicion lımite interior

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (10)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|6− 10| ≥ |8− 2| o 4 6≥ 6 (11)

Entonces el eslabon 4 no cumple con esta condicion de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posicion lımite interior, vea la figura 3. El angulo correspondiente se obtiene como

cosβ =a21 + a2

4 − (a3 − a2)2

2a1a4(12)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

β = 33.5573◦

Entonces el angulo θ4L2 esta dado por

θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦

El paso final consiste en, dado que el eslabon 4 no puede rotar completamente, determinar elangulo de oscilacion, vea la figura 4, que esta definido como

φ4 = α− β. (13)

Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene

φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦ (14)

3

Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posicion de puntos muertos interior.

Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras: Angulo de oscilacion del mecanismo

3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 5, cuyas longitudes estandadas por a1 = 3, a2 = 6, a3 = 11, a4 = 9.

Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la condicion de Grashoff, estoes:

L+ s ≤ p+ q (15)

Para este caso, la seleccion de los eslabones mas largo, mas corto e intermedios esta dada pora1 = 3 = s, a3 = 11 = L, a2 = 6 = p, a4 = 9 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientesse obtiene

11 + 3 ≤ 6 + 9 o 14 ≤ 15 (16)

Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que el eslabon mas pequeno es s = a1 = 3,el mecanismo es doble rotatorio.

4

Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras

En una segunda etapa, este resultado se verificara empleando las condiciones de rotabilidadpara los eslabones de entrada y de salida.

1. Eslabon 2

• Primera condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos exterior.

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (17)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

3 + 6 ≤ 11 + 9 o 9 ≤ 20. (18)

• Segunda condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos interior

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (19)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|6− 3| ≥ |9− 11| o 3 ≥ 2. (20)

Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabon 2, por lo tanto, este eslabonpuede rotar 360◦.

2. Eslabon 4.

• Primera condicion de rotabilidad. Posicion lımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (21)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

3 + 9 ≤ 6 + 11 o 12 ≤ 17. (22)

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• Segunda condicion de rotabilidad. Posicion lımite exterior

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (23)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|9− 3| ≥ |11− 6| o 6 ≥ 5. (24)

Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabon 4, por lo tanto este eslabon 4puede rotar 360◦.

Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble rotatorio. Por lo tanto, no es necesariocalcular angulo de oscilacion alguno.

4 Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la clase I.

Considere un mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 6 cuyas longitudes estan dadaspor a1 = 7, a2 = 6, a3 = 3, a4 = 5.

Figure 6: Mecanismo de cuatro barras

Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la condicion de Grashoff, estoes

L+ s ≤ p+ q (25)

Para este caso, la seleccion de los eslabones mas largo, mas corto e intermedios esta dada pora1 = 7 = L, a3 = 3 = s, a2 = 6 = p, a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientesse obtiene

7 + 3 ≤ 6 + 5 o 10 ≤ 11. (26)

Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3 el mecanismo es dobleoscilatorio.

En una segunda etapa, este resultado se verificara empleando las condiciones de rotabilidadpara los eslabones de entrada y de salida.

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1. Eslabon 2

• Primera condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos exterior.

a1 + a2 ≤ a3 + a4 (27)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

7 + 6 ≤ 3 + 5 o 13 6≤ 8 (28)

El eslabon 2 no cumple con esta condicion de rotabilidad, por lo tanto tiene una posicionde puntos muertos exterior, vea la figura 7, el angulo θ2D1 esta dado por

cos θ2D1 =a21 + a2

2 − (a3 + a4)2

2a1a2(29)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que

θ2D1 = 75.52◦ (30)

Figure 7: Posicion de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras

• Segunda condicion de rotabilidad Posicion de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (31)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|6− 7| ≥ |5− 3| o 1 6≥ 2. (32)

El eslabon 2 no cumple con esta condicion de rotabilidad, por lo tanto, se presenta unaposicion de puntos muertos interior, vea la figura 8, el angulo θ2D2 esta dado por

cos θ2D2 =a21 + a2

2 − (a4 − a3)2

2a1a2(33)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene

θ2D2 = 15.35◦ (34)

7

Figure 8: Posicion de puntos muertos interior en un mecanismo plano de cuatro barras.

La conclusion es que el eslabon 2 es incapaz de rotar 360◦. El paso final consiste en determinarel angulo de oscilacion, vea la figura 9, que esta definido como

φ2 = θ2D1 − θ2D2. (35)

Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene

φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦ (36)

Figure 9: Determinacion del angulo de oscilacion del eslabon 2 en un mecanismo plano de cuatrobarras.

2. Eslabon 4.

• Primera condicion de rotabilidad. Posicion lımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (37)

8

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

7 + 5 ≤ 6 + 3 o 12 6≤ 9. (38)

El eslabon 4 no cumple con esta condicion de rotabilidad; por lo tanto, el eslabon 4tiene una posicion lımite exterior, vea la figura 10, el angulo correspondiente esta dadopor

cos α =a21 + a2

4 − (a2 + a3)2

2a1a4(39)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene

α = 95.73◦ (40)

Entonces el angulo θ4L1 esta dado por

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦ (41)

Figure 10: Posicion lımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.

• Segunda condicion de rotabilidad. Posicion lımite interior.

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (42)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|5− 7| ≥ |3− 6| o 2 6≥ 3. (43)

De acuerdo con este resultado, el eslabon 4 no puede rotar completamente; por lo tanto, eleslabon 4 presenta una posicion lımite correspondiente, vea la figura 11, el angulo θ4L2 estadada por

cos β =a21 + a2

4 − (a3 − a2)2

2a1a4(44)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene

β = 21.78◦ (45)

9

Figure 11: Posicion lımite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.

y el angulo θ4L2 esta dado por

θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦ (46)

La conclusion es que el eslabon 4 no puede rotar completamente. El paso final consiste endeterminar el angulo de oscilacion, vea la figura 12, el angulo θ4L2 esta dado por

φ4 = α− β (47)

Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene

φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48)

Figure 12: Determinacion del angulo de oscilacion φ4 en un mecanismo de cuatro barras

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5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la clase II.

Considere un mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 13, cuyas longitudes estan dadaspor a1 = 11, a2 = 6, a3 = 9, a4 = 7.

Figure 13: Un mecanismo plano de cuatro barras

Primeramente se determinara la clase del mecanismo empleando la condicion de Grashoff, estoes

L+ s ≤ p+ q (49)

Para este caso, la seleccion de los eslabones mas largo, mas corto e intermedios esta dada pora1 = 11 = L, a2 = 6 = s, a3 = 9 = p, a4 = 7 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientesse obtiene

11 + 6 ≤ 9 + 7 o 17 6≤ 16. (50)

Por lo tanto, el mecanismo es de la clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.En una segunda etapa, este resultado se verificara empleando las condiciones de rotabilidad

para los eslabones de entrada y de salida.

1. Eslabon 2.

• Primera condicion de rotabilidad. Posicion lımite exterior.

a1 + a2 ≤ a3 + a4. (51)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

11 + 6 ≤ 9 + 7 o 17 6≤ 16. (52)

Es eslabon 2 no cumple con esta condicion de rotabilidad; por lo tanto, el eslabon 2presenta una posicion de puntos muertos exterior, vea la figura 14, el angulo θ2D1 estadado por

cosθ2D1 =a21 + a2

2 − (a3 + a4)2

2a1a2(53)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene

θ2D1 = 138.59◦ (54)

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Figure 14: Posicion de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras

• Segunda condicion de rotabilidad. Posicion de puntos muertos interior.

|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (55)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|11− 6| ≥ |7− 9| o 5 ≥ 2 (56)

Por lo tanto, se verifica que el eslabon 2 cumple con esta condicion de rotabilidad.

Figure 15: Angulo de oscilacion φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras

El paso final consiste en determinar el angulo de oscilacion, φ2, vea la figura 15, el cual estadefinido como

φ2 = 2 θ2D1 (57)

Sustituyendo los valores correspondientes se tiene

φ2 = 2 (138.59◦) = 277.18◦ (58)

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2. Eslabon 4.

• Primera condicion de rotabilidad. Posicion lımite exterior.

a1 + a4 ≤ a2 + a3 (59)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

11 + 7 ≤ 6 + 9 o 18 6≤ 15 (60)

El eslabon 4 no cumple esta condicion de rotabilidad; por lo tanto, el eslabon 4 presentauna posicion lımite exterior, vea la figura 16, el angulo θ4L1 esta dado por

cos α =a21 + a2

4 − (a2 + a3)2

2a1a4(61)

Sustituyendo las longitudes de los eslabones obtenemos que:

α = 110.92◦ (62)

Entonces el angulo θ4L1 esta dado por:

θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦ (63)

Figure 16: Posicion lımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.

• Segunda condicion de rotabilidad. Posicion lımite interior.

|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (64)

Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene

|7− 11| ≥ |9− 6| o 4 ≥ 3 (65)

Este resultado muestra que el eslabon 4 si cumple con esta condicion de rotabilidad.

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La conclusion es que el eslabon 4 es incapaz de rotar completamente. El paso final consiste endeterminar el angulo de oscilacion, φ4, vea la figura 17, el cual esta definido como

φ4 = 2α (66)

Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene

φ4 = 2 (110.92◦) = 221.84◦. (67)

Figure 17: Angulo de oscilacion φ4 en un mecanismo plano de cuatro barras

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