Runge Kutta
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Para resolver por Runge-Kutta de cuarto orden: Los métodos de Runge-Kutta (RK) “son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias , concretamente, del problema de valor inicial .” El método de Runge Kutta de 4° orden es una extensión del método numérico usado para resolver una ecuación de la forma dy dx =f ( x,y ) al caso de un sistema de n ecuaciones, es decir permite resolver, para dos funciones: dy 1 dx =F 1 ( x,y 1 ,y 2 ) y dy 2 dx =F 2 ( x,y 1 ,y 2 ) Con valores iniciales de ( x 0 ,y 01 ,y 02 ) , teniendo en cuenta que al ser 6 tubos, la temperatura de salida del primer tubo es la inicial del siguiente, es decir que se puede considerar el sistema como si fuera un solo tubo, puesto que es la misma ecuación para cada uno y lo que se van alternando son los signos al ser flujo paralelo y contraflujo. En este caso como son dos funciones (una para el fluido caliente y otra para el fluido frio) las derivadas K 1 ,K 2 ,K 3 ,K 4 se realizan para cada una de ellas: Función1: K 1,1 =F 1 ( x 0 ,y 01 ,y 02 ) K 2,1 =F 1 ( x 0 + h 2 ,y 01 + h 2 K 1,1 ,y 02 + h 2 K 1,2 ) K 3,1 =F 1 ( x 0 + h 2 ,y 01 + h 2 K 2,1 ,y 02 + h 2 K 2,2 ) K 4,1 =F 1 ( x 0 +h,y 01 + hK 3,1 ,y 02 + hK 3,2 ) Función2:
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Explicación del método de Runge kutta para banco de tubos
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Para resolver por Runge-Kutta de cuarto orden:
Los métodos de Runge-Kutta (RK) “son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.”
El método de Runge Kutta de 4° orden es una extensión del método numérico usado para
resolver una ecuación de la forma dydx
=f (x , y ) al caso de un sistema de n ecuaciones, es
decir permite resolver, para dos funciones:
d y1
dx=F1 (x , y1, y2 ) y
d y2
dx=F2(x , y1 , y2)
Con valores iniciales de (x0 , y01 , y02), teniendo en cuenta que al ser 6 tubos, la temperatura de salida del primer tubo es la inicial del siguiente, es decir que se puede considerar el sistema como si fuera un solo tubo, puesto que es la misma ecuación para cada uno y lo que se van alternando son los signos al ser flujo paralelo y contraflujo.
En este caso como son dos funciones (una para el fluido caliente y otra para el fluido frio) las derivadas K1 ,K 2 , K3 ,K 4 se realizan para cada una de ellas:
Función1:
K1,1=F1 (x0 , y01 , y02 )
K2,1=F1(x0+h2, y01+
h2K1,1 , y02+
h2K1,2)
K3,1=F1(x0+h2, y01+
h2K2,1 , y02+
h2K2,2)
K4,1=F1 (x0+h , y01+h K3,1 , y02+hK 3,2 )
Función2:
K1,2=F2 (x0 , y01 , y02 )
K2,2=F2(x0+h2, y01+
h2K1,1 , y02+
h2K1,2)
K3,2=F2(x0+h2, y01+
h2K2,1 , y02+
h2K 2,2)
K4,2=F2 (x0+h , y01+hK3,1 , y02+h K3,2 )
La fórmula de recurrencia sería:
y1 (x0+h )= y1 (x0 )+ h6(K1,1+2K2,1+2K3,1+K 4,1)
y2 (x0+h )= y2 (x0 )+ h6
(K 1,2+2K2,2+2K3,2+K4,2 )
Tomando como variable dependiente ( y=T ) la temperatura y como variable independiente (x=Z) la longitud de los tubos.
En el caso del presente trabajo, se tiene que el intercambiador es de 1 paso por la coraza y 4 por los, es decir que para resolver las ecuaciones por este método se debe ir hallando el perfil térmico del primer tubo con un valor inicial (así como se muestra en la explicación anterior) y luego el valor final (( y1 (x0+h )) evaluado en el paso completo en Z=0, este valor será el inicial del siguiente tubo. Entonces cada vez que se hallan los valores iniciales al método se le va agregando una variable más hasta el punto que al ser 4 tubos, serán 4 valores iniciales más el valor de la temperatura en T=0.
Para ser más explícitos se realízalo siguiente:
F1 (x0 , y01a , y01b , y01 c , y01d , y01e , y01f , y02 )
F2 (x0 , y01a , y01b , y01 c , y01d , y01e , y01f , y02 )
Teniendo en cuenta que la función 1 se divide en dos por el cambio de signo que hay debido a que la dirección del fluido varía de tubo en tubo, es decir:
F1A (x0 , y01a , y01b , y01 c , y01d , y01 e , y01 f , y02)
F1B ( x0 , y01a , y01b , y01c , y01d , y01 e , y01 f , y02)
F2 (x0 , y01a , y01b , y01 c , y01d , y01e , y01f , y02 )
Dónde la función A se utiliza cuando el fluido caliente es paralelo al fluido carcasa y la función B se utiliza cuando el fluido caliente está en contraflujocon respecto a la carcasa. Esto corrobora que se tiene el mismo número de funciones y el mismo número de incógnitas.
La fórmula de recurrencia sería:
y11 (x0+h )= y1a (x0 )+ h6(K1,1 A+2K2,1 A+2K3,1 A+K4,1 A)
y12 (x0+h )= yb (x0 )+ h6(K1,1B+2K2,1 B+2K3,1 B+K4,1B)
y13 (x0+h )= y1c ( x0)+ h6(K 1,1A+2K 2,1 A+2K3,1 A+K4,1 A)
y14 (x0+h )= y1d (x0 )+ h6(K 1,1B+2K2,1B+2K3,1B+K 4,1B)
y2 (x0+h )= y2 (x0 )+ h6
(K 1,2+2K2,2+2K3,2+K4,2 )
