S1 y s2 factorización
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FACTORIZACIÓN
Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o más polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores:
(x + 1) (x + 3) = x2 + 4x + 3
Y si estos factores no se pueden descomponer en más factores se les denomina factores primos (Es aquel factor de grado diferente de cero que es divisible por la unidad y el mismo).
POLINOMIO FACTORIZADO# DE
FACTORES PRIMOS
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z2x3
P(x, y, z) = x2y3w5
P(x, y) = (x + y)(x2 – xy + y2)x4
P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x
P(x, y) = x3y4(x - 2)(x - y)
P(x, y, z) = (xyz)2
P(x) = x3(x4 + 1)
P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz
P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
A. FACTOR COMÚN MONOMIO
Factor común monomio es el monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable
esta formada por las variables comunes con su menor exponente.
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
MONOMIO COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y
P(x) = abx2 – acx
P(x) = 2x2 – 4x + 6x3
P(x, y) = x2y3 – x4y + x3y3
P(x, y) = 5x3y4 – 15x4y5 +
2ax5y5
P(x) = abx2 – ax3 + bx
P(x, y) = x4 – x3 + x
P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2
P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1
P(x, y) = 12nxayb + 4nxa-
1yb-2 – 8nxa+1yb+2
B. FACTOR COMÚN POLINOMIO
Factor común polinomio es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio.
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
POLINOMIO COMÚN
(a - 2)x2 – (a – 2)
y2(x + y - z) + m2(x + y - z)
x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)
a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)
a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)
C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
multiplicación
factorización
Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes.
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
POR AGRUPACIÓN
m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2
5a – 3b – 3bc5 + 5ac5
6x3 – 1 – x2 + 6x
7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2
d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m
D. IDENTIDADES
Aquí utilizamos dos diferentes productos notables ya estudiados.
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
IDENTIDADES
c2 – b2
x2 + 10x + 25
64 – x3
64x2 – 25
49x2 – 14x + 1
25m2 – 36n2
36n2 + 48xy + 16y2
36x2 + 84xy + 49y2
E. ASPA SIMPLE
Es un método que permite factorizar trinomios de la forma:
ax2 + bxy + cy2
Su método es:
ax2 + bxy + cy2
TRINOMIOFACTORIZACIÓN
ASPA SIMPLE
x2 + 7x + 12
x2 – 2x - 15
X2 + 8xy + 7y2
x2 + 2xy – 35y2
4x2 – 12xy + 5y2
12x2 - 8xy – 15y2
a2 – b2 = (a + b)(a - b)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a - b)2
Los factores se escriben en forma horizontal
Se descom-ponen en
los factores
Se realiza un producto en aspa y los resultados se
adicionan, dicho resultado debe ser idéntico al término
central del trinomio dado.
PARTE I
1. Indique el número de factores primos:F(a, b) = 5a9b3 + 15a6b7
2. Señale los factores primos de segundo grado:
G(a, b) = a(1 – b2) + b(1 – a2)
3. Indique el factor primo que más se repite en:E(x) =(x - 3)(x - 2)(x - 1) - (x + 2)(x - 1) - 1
+ x
4. ¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión?P(x, y, z, w) = wy + wz – wyz – xy – xz
+ xyz
5. Factorizar:R(x) = 8x3 + 27;
indique el factor primo de mayor suma en sus coeficientes.
6. Calcular la suma de los factores primos de:
T(x, y) = (xy + 1)2 – (x + y)2
7. Factorizar:P(x) = 9x2 – 18x + 8Q(x) = 12x2 + x - 6e indicar la suma de sus factores primos no comunes.
8. Factorizar:P(x) = x7 + c3x4 – c4x3 – c7;
indicar cuántos factores primos se obtienen:
9. ¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio?
P(x) = x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
10. Indicar la suma de factores primos:F(a, b) = a3 – b3 + a2b – ab2
PARTE II
11. Factorizar:
F(x; y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2
El factor primo de 2do grado es:
12. Factorizar:F(x; y) = x4y – x2y3 – x3y2 + xy4
El número de factores primos binomios es:
13. Factorizar:F(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4
E indicar la suma de los términos independientes de los factores primos.
14. Factorizar:F(x; y) = 12x2 + 6y2 + 17xy
e indicar la suma de los valores numéricos de sus factores primos para x = 3; y = 2.
15. Indique el número de factores primos en:
P(x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
16. ¿Cuántos factores primos resultan en?P(x; y) = x9y – x3y7
17. Si un factor primo de:H(x) = x4 – 13x2 + 36
Toma la forma (ax + b), donde: a + b = -2Hallar el valor de a – b
18. Factorizar: F(x)=(x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1)e indicar la suma de sus factores primos.
Tarea Domiciliaria
1. Factorizar:F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy
El número de factores primos es:Rpta: 4
2. Factorizar:P(a; b; c) = a2 – abc – ac – ab + b2c +
bc
EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
Indicar el número de factores primos.Rpta: 2
3. Factorizar:F(x,y) = x4 y + 3x3 y + 3x2 y + xyEl factor que más se repite es:Rpta: x + 1
4. Factorizar:F(x) = (x + 1)4 – (x - 1)4
La suma de coeficientes del factor primo cuadrático es:Rpta: 2
5. Factorizar:(4x + 3y)2 – (x – y)2
e indicar la suma de los factores primos.Rpta: 5x + 6y
6. Al factorizar:P(x,y,a,b,c)= ac4x4y – ab4c4y
¿Cuántos factores primos se obtienen?Rpta: 6
7. Factorizar:x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5
señalar un factor primo lineal.Rpta: x - y
8. Factorizar e indicar el factor primo cuadrático:
Q(x, y) = x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3
Rpta: x2 + 4y2
9. Factorizar:P(x; y) x5y4 + x5y2 + x3y4 + x3y2
e indicar un factor primo de mayor grado.Rpta: x
10. Indicar la cantidad de factores primos de:
P(a; x) abx2 + aby2 + xya2 + xyb2
Rpta: 2
11. Factorizar:
indicar la suma de coeficientes de un factor primo.
Rpta: 1
12. Factorizar:P(x) = x2 + 2(a + b)x + a2 + 2ab + b2
Indicando la suma de coeficientes de un factor primo.Rpta: a + b + 1
13. Factorizar:P(x) = x2 – (ac - b)x + abc
e indicar un factor primo.Rpta: (x – ac) y (x – b)
14. Factorizar: ,
e indicar la suma de los T.I. de los factores primos.Rpta: a+b
15. Indicar los factores primos de:G(x) = x3 + 4x2 – 19x + 14
Rpta: x – 1 , x – 2 , x + 7