ÁLGEBRA LINEAL Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Ecuaciones diferenciales

parciales

Objetivos

Reconocer las ecuaciones diferenciales parcial

(EDP) del calor y la onda.

Determinar la solución de las EDP del calor y la

onda.

Aplicar método de separación de variables.

Separación de Variables

Si suponemos que u = X(x)Y(y) es la solución ,

entonces obtenemos:

"

,"

,'

,'

2

2

2

2

XYy

u

YXx

u

XYy

u

YXx

u

Ejemplo 1

Determine las solución de

Solución:

Sea u = X(x)Y(y) y entonces

Introducimos una constante de separación real

como −.

.42

2

y

u

x

u

Y

Y

X

XXYYX

'

4

",'4"

Ejemplo 1 (2)

Así que

Para los tres casos:

= 0: 𝑋” = 0, 𝑌’ = 0 (3) = −2

> 0, > 0

𝑋” – 42𝑋 = 0, 𝑌’ − 2𝑌 = 0 (4) = 2

> 0, > 0

𝑋” + 42𝑋 = 0, 𝑌’ + 2𝑌 = 0 (5)

(2) 0' ,04"

'

4

"

YYXX

Y

Y

X

X

Ejemplo 1 (3)

Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) son

X = c1 + c2x y Y = c3; así

(6)

cuando 𝐴1 = 𝑐1𝑐3 , 𝐵1 = 𝑐2𝑐3. Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) son

𝑋 = 𝑐4 cosh 2𝑥 + 𝑐5 sinh 2𝑥 𝑦 ASí

(7)

donde 𝐴2 = 𝑐4𝑐6, 𝐵2 = 𝑐5𝑐6.

xBAcxccXYu 11321 )(

xeBxeAu

ecxcxcXYu

yy

y

2sinh2cosh

)2sinh2cosh(

22

2

22

654

.2

6yecY

Ejemplo 1 (4)

Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) son

𝑋 = 𝑐7 cos 2𝑥 + 𝑐8 sin 2𝑥 𝑒 Así

(8)

donde 𝐴3 = 𝑐7𝑐9, 𝐵3 = 𝑐8𝑐9.

.2

9yecY

xeBxeAu yy 2sin2cos22

33

Teorema Principio de Superposición

Si 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒌 son soluciones de una ecuación

diferencial parcial, entonces la combinación lineal

𝒖 = 𝒄𝟏𝒖𝟏 + 𝒄𝟐𝒖𝟐 + … + 𝒄𝒌𝒖𝒌

donde las 𝒄𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌 son constantes, también es

una solución.

Problema de difusión de calor

f(x)

T

x

Distribución de temperatura a lo

largo de la barra en un instante de

tiempo cualquiera

0 ,2

2

k

t

T

x

Tk

k es la conductividad térmica del material

Ecuación del calor

La ecuación de calor con condicones de

frontera puede desribirse así:

(1)

(2)

(3)

,2

2

t

u

x

uk

0,0 tLx

,0),0( tu 0,0),( ttLu

,)()0,( xfxu Lx 0

Solución de los PVF

Usando 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡), y − como la

constante de separación:

(4)

(5)

(6)

kT

T

X

X

0 XX

0 TkT

Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en

𝑢 0, 𝑡 = 𝑋 0 𝑇 𝑡 = 0 𝒚 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑋 𝐿 𝑇 𝑡 = 0

luego obtenemos 𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0 y

(7)

De las discusiones antriores obtenemos

,0)0( X 0)( LX,0 XX

(10) 0 ,sincos)(

(9) 0 ,sinhcosh)(

(8) 0 ,)(

221

221

21

xcxcxX

xcxcxX

xccxX

Cuando las condiciones de frontera

𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0

se aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo

𝑋(𝑥) = 0. Aplicando la primera condición a(10)

se obtiene 𝑐1 = 0. Por tanto 𝑋(𝑥) = 𝑐2 sin 𝑥. La

condición 𝑋(𝐿) = 0 implica que

(11)

Tenemos que sin 𝐿 = 0 para 𝑐2 0 y = 𝑛/𝐿, n

= 1, 2, 3, … Los valores 𝑛 = 𝑛2 = (𝑛/𝐿)2, 𝑛 =

1, 2 , 3, … y las soluciones correspondientes

(12)

0sin)( 2 LcLX

... 3, 2, ,1 ,sin)( 2 nxL

ncxX

son los valores propios y funcionespropias,

respectivamente. La solución general de (6) es

(13)

donde 𝐴𝑛 = 𝑐2𝑐3.

tLnkecT )/(3

222

xL

neATtxXu tLnk

nn

sin)()( )/( 222

Ahora usando las condiciones iniciales

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿,

tenemos

(14)

Por el principio de superposición la función

(15)

debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces

1

sin)()0 ,(n

n xL

nAxfxu

xL

nAxfxu nn

sin)()0,(

1

)/(

1

sin),(222

n

tLnkn

n

n xL

neAutxu

Se conoce como un desarrollo de semiintervalo

para f en a en una serie seno. Si ponemos

𝐴𝑛 = 𝑏𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, …

entonces:

(16)

Llegamos a la conclusión de que la solución del

PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante

la serie infinita

(17)

L

n xdxL

nxf

LA

0sin)(

2

xL

nexdx

L

nxf

Ltxu tLnk

n

L sinsin)(2

),( )/(

10

222

Si 𝑢(𝑥, 0) = 100, 𝐿 = , 𝑦 𝑘 = 1, entonces

1

(18) sin)1(1200

),(

,)1(1200

2

n

tnn

n

n

nxen

txu

nA

Problema de la cuerda vibrante

2

2

2

22

t

u

x

ua

v es la velocidad de propagación de la onda

Propagación de ondas sísmicas

Roca

Estrato de suelo, a

Movimiento de entrada

(sismo)

Movimiento de salida

(respuesta)

2

2

2

22

t

u

z

ua

Ecuación de Onda

Considere la ecuación de onda con

condicones de frontera

(1)

(2)

(3)

,2

2

2

22

t

u

x

ua

0,0 tLx

,0),0( tu 0,0),( ttLu

,)()0,( xfxu )(0

xgt

u

t

Solución del PVF

Con la suposición

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡),

de (1) se obtiene

de modo que

(4)

(5)

Ta

T

X

X2

0 XX

02 TaT

Empleando que 𝑋(0) = 0 𝑦 𝑋(𝐿) = 0, se tiene

(6)

Sólo = 2 > 0, > 0 lleva a una solución no trivial.

Por tanto la solución general de (4) es

𝑋(0) = 0 𝑦 𝑋(𝐿) = 0 implican que

𝑐1 = 0 y 𝑐2 sin 𝐿 = 0.

Por tanto se tiene que = 𝑛/𝐿, 𝑛 = 1, 2, 3, …

,0)0( X 0)( LX,0 XX

xcxcX sincos 21

• Los valores propios y las funciones

propias son:

tL

anct

L

anctT

nxL

ncxXLnn

sincos)(

es (5) de generalsolución La

,...3,2,1,sin)(,/

43

2

222

Sean 𝐴𝑛 = 𝑐2𝑐3, 𝐵𝑛 = 𝑐2𝑐4, soluciones que satisfacen (1) y (2)

son

(7)

y

(8)

xL

nt

L

anBt

L

anAu nnn

sinsincos

1

sinsincos),(n

nn xL

nt

L

anBt

L

anAtxu

Al sustituir 𝑡 = 0 en (8) y usando 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) se

obtiene

Puesto que esta última expresión es un desarrollo

en semiintervalo para 𝑓 en una serie de senos,

podemos identificar 𝐴𝑛 = 𝑏𝑛:

(9)

1

sin)()0,(n

n xL

nAxfxu

L

n xdxL

nxf

LA

0sin)(

2

Para determinar 𝐵𝑛 se deriva (8) con respecto a 𝑡 y

fijando 𝑡 = 0:

Así se obtiene

(10)

L

n

n

nt

n

nn

dxL

nxg

LL

anB

xL

n

L

anBxg

t

u

xL

nt

L

an

L

anBt

L

an

L

anA

t

u

0

1

0

1

sin)(2

sin)(

sincossin

L

n dxL

nxg

anB

0sin)(

2

Ondas Estacionarias

Es fácil transformar (8) en

n

nn

n

nnnnn

nnn

C

B

C

ABAC

xL

nt

L

anCtxu

cos,sin,

(11) sinsin) ,(

22

Cuando 𝑛 = 1, 𝑢1(𝑥, 𝑡) se llama primer onda

estacionaria, primer modo normal o modo

fundamental de vibración.

La frecuencia 𝑓1 = 𝑎/2𝐿 del primer modo

normal se llama la frecuencia fundamental o

primera armónica. Observe Fig 13.9.

T

LL

af

2

1

21

Fig 13.9

Bibliografía

2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau

Xie

3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur

1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado- Dennis G. Zill

4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime

Escobar A.