S3S5 Desigualdades-Inecuaciones Lineales (1)

8/11/2019 S3S5 Desigualdades-Inecuaciones Lineales (1)

1/13

Matema tica Basica IDesigualdades. Propiedades de las Inecuaciones lineales.

Aplicaciones


2/13

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

Matemtica Bsica I

1

DESIGUALDADES E INECUACIONES

INTERVALO

La ordenacin existente en el conjunto de los nmeros reales permite definir un tipo de conjunto

en

que van a ser tiles: los intervalos

Es un subconjunto de los nmeros reales definidos mediante relacin de orden dada en el

conjunto de los nmeros reales

Un intervalo de extremos a y b (a < b) es el conjunto de todos los nmeros reales que estn ente

a y b

REPRESENTACION GRFICA

Donde a y b son los extremos del intervalo y pueden o no pertenecer al mismo.

CLASES DE INTERVALOS

INTERVALO CERRADO

INTERVALO ABIERTO


3/13


Matemtica Bsica I

2

INTERVALO SEMIABIERTO

INTERVALO INFINITO


4/13


Matemtica Bsica I

3

Desigualdad

Se llama desigualdad a toda relacin entre expresiones numricas o algebraicas unidas por uno de

los cuatro signos de desigualdad: , ,

Por ejemplo:

1) 6 + 4 < 10

2) X + 2 > 5

3) 1 + 8 < 100

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, as, en los ejemplos:

1) La primera es falsa

2) La segunda depende del valor que le demos a x

3) La tercera es verdadera.

Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan

inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades:

Se denominan tambin transformaciones de equivalencia.

SUMA

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresin o cantidad, la

desigualdad no vara:

TRANSPOSICIN

Consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que

uno de los trminos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otro

miembro:


5/13


Matemtica Bsica I

4

PRODUCTO

Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no

varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad:

Al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad.

Si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad.

SIMPLIFICACIN

Si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero,

la desigualdad no vara:

Si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.

{ Si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.


6/13


Matemtica Bsica I

5

INECUACIONES

Son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en

ambos, una o ms variables, o incgnitas.

Una inecuacin se verifica solo para algunos valores de las variables.

Los valores numricos para los cuales se verifica la desigualdad son las solucionesde la misma.

Resolver una inecuacin consiste en hallar los valores numricos para los cuales la

desigualdad es verdadera.

Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.

EJEMPLOS

Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:

Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuacin una misma cantidad o expresin

algebraica, la inecuacin que resulta es equivalente a la dada.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuacin por una misma cantidad

positiva y no nula, la inecuacin que resulta es equivalente a la dada.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuacin por una misma cantidad

negativa, la inecuacin que resulta es de sentido contrario a la dada.


7/13


Matemtica Bsica I

6

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Son aquellas en las que las variables que intervienen estn elevadas a un exponente igual a la

unidad.

Inecuaciones de primer grado con una incgnita, tienen por expresin general

, y todas sus equivalentes.


8/13


Matemtica Bsica I

7

SOLUCION

Consideremos la inecuacin:

Buscamos valores de x para el cual se verifique la inecuacin:

()

As podemos encontrar ms soluciones, pero no es la forma correcta. Lo que tenemos que hacer

es resolver la inecuacin y hallar todas las soluciones

Para ellos haremos uso del CS (Conjunto Solucin) utilizando intervalos.


9/13


Matemtica Bsica I

8

PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES LINEALES

Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:

TRICOTOMALa propiedad de la tricotoma dicta que:

Para dos nmeros reales cualquiera, a y b, slo se cumplir una de las siguientes afirmaciones: SIMETRALas relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

Para dos nmeros reales, a y b:

> (Mayor que)

< (Menor que)

ADICIN Y SUSTRACCINLas propiedades relacionadas con la adicin y la sustraccin:

Para tres nmeros reales, a, b, y c:

MULTIPLICACIN Y DIVISIN

Las propiedades relativas a la multiplicacin y la divisin:

Para tres nmeros reales, a, b, y c:

Nota:Si ambos trminos de una inecuacin se multiplican o dividen por la misma expresin negativa, el

smbolo de la desigualdad se da la vuelta.


10/13


Matemtica Bsica I

9

APLICACIONES

Las inecuaciones se pueden usar en muchos campos de la vida real, como por ejemplo: En

Economa, ingeniera, Qumica, y donde las quieras aplicar. Se puede buscar un nivel de ventas tal

que la utilidad sea mayor de cero o mayor o igual que $200 000, o que el volumen de vehculos en

una carretera sea menor que su capacidad. As tambin, se puede ver en la presin de una calderasin que pase de 300000 libras, o que esta no sobrepase una temperatura, o la resistencia de los

materiales no pase cierta resistencia. Un lmite tambin puede ser mi presupuesto, o cierta dosis

de una medicina (por sus efectos), o la mnima velocidad de un cohete para abandonar la Tierra,

que es 40 000 Km/h

USO COTIDIANO

Est seal de trnsito se utiliza para indicar el mximo de velocidad permitida en un tramo de va

para cualquier medio de transporte. Su fin es evitar accidentes segn el diseo de la va.

Si x representa la velocidad de cualquier medio de transporte, entonces escrito en inecuacin sera

x < 50

APLICACIONES EN LA INGENIERA

Ingeniera Mecnica

Mecnica de fluidos en la mecnica de fluidos se puede aplicar inecuaciones

variacionales.

En Ingeniera Industrial:

Para minimizar el transporte en una funcin de transporte (anlisis de rentabilidad

econmica).

En minimizar la cantidad de horas-hombre en una funcin de costo.

En maximizar la produccin, en Evaluacin Econmica de Proyectos.

En buscar l a"Ruta Crtica" de la suma de costos de un proyecto industrial.


11/13


Matemtica Bsica I

10

TEOREMA DE BELL

Las desigualdades de Bell conciernen mediciones realizadas por observadores sobre pares de

partculas que han interaccionado y se han separado. De acuerdo a la mecnica cuntica las

partculas estn en un estado entrelazado, mientras que el realismo local limita la correlacin de

las siguientes medidas sobre las partculas. Autores diferentes posteriormente han derivado

desigualdades similares a la desigualdad de Bell original, colectivamente denominadas

desigualdades de Bell. Todas las desigualdades de Bell describen experimentos donde el resultado

predicho asumiendo entrelazamiento difiere del que se deducira del realismo local. Las

desigualdades asumen que cada objeto de nivel cuntico tiene un estado bien definido que da

cuenta de todas sus propiedades medibles y que objetos distantes no intercambian informacin

ms rpido que la velocidad de la luz. Estos estados bien definidos son llamados a menudo

variables ocultas, las propiedades que Einstein afirm cuando hizo su famosa objecin a la

mecnica cuntica: "Dios no juega a los dados."

Bell mostr que bajo la mecnica cuntica, que carece de variables locales ocultas, lasdesigualdades (el lmite de correlacin) pueden ser violadas. En cambio, las propiedades de una

partcula que no son fciles de verificar en mecnica cuntica pero pueden estar correlacionadas

con las de la otra partcula debido al entrelazamiento cuntico, permiten que su estado est bien

definido slo cuando una medida se hace sobre la otra partcula. Esta restriccin est de acuerdo

con el principio de incertidumbre de Heisenberg, un concepto fundamental e ineludible de la

mecnica cuntica.

Desigualdad original de Bell

La desigualdad original que Bell dedujo fue

Donde Ces la "correlacin" de los pares de partculas y a, by cajustes del aparato. Esta

desigualdad no se utiliza en la prctica. Por un lado, es cierta slo para sistemas genuinamente de

"dos salidas", no para los de "tres salidas" (con posibles salidas de cero adems de +1 y 1)

encontradas en los experimentos reales. Por otro, se aplica nicamente a un conjunto muy

restrictivo de teoras de variables ocultas, solamente a aquellas para las que las salidas a ambos

lados del experimento estn siempre anticorrelacionadas cuando los analizadores estn paralelos,

de acuerdo con la prediccin de la mecnica cuntica.

Existe un lmite simple de la desigualdad de Bell que tiene la virtud de ser completamente

intuitivo. Si el resultado de tres lanzamientos de monedas estadsticamente diferentes A, B, C

tienen la propiedad de que:

1. A y B son los mismos (ambos caras o ambos cruces) 99% del tiempo

2. B y C son los mismo el 99% del tiempo


12/13


Matemtica Bsica I

11

Entonces A y C son los mismo por lo menos el 98% del tiempo. El nmero de discordancias entre A

y B (1/100) ms el nmero de discordancias entre B y C (1/100) son el mximo nmero posible de

discordancias entre A y C.

En mecnica cuntica, dejando que A,B,C sean los valores del espn de dos partculas entrelazadas

medidas con respecto a algn eje a 0 grados, grados, y 2 grados respectivamente, el

solapamiento de la funcin de onda entre los distintos ngulos es proporcional a:

La probabilidad de que A y B den la misma respuesta es: donde es proporcional a . Esta estambin la probabilidad de que B y C den la misma respuesta. Pero A y C son los mismos

1 (2)2del tiempo. Eligiendo el ngulo para que , A y B estn correlacionados al 99%, B y Cestn correlacionados al 99% y A y C estn correlacionados slo el 96%.

Imagine que dos partculas entrelazadas en un singlete de espn se alejan a dos localizaciones

diferentes, y que los espines de ambas son medidos en la direccin A. Los espines estarn

correlacionados al 100% (realmente, anticorrelacionados pero para este argumento es

equivalente). Lo mismo es cierto si ambos espines son medidos en las direcciones B o C. Es seguro

concluir que cualquier variable oculta que determinase las medidas de A, B y C en las dos

partculas est correlacionada al 100% y puede ser utilizada indistintamente en ambas.

Si A es medida en una partcula y B en la otra, la correlacin entre ellas es del 99%. Si B es medida

en una y C en la otra, la correlacin es del 99%. Esto nos permite concluir que las variables ocultasque determinan A y B estn correlacionadas al 99% y las de B y C al 99%. Pero si A se mide en una

partcula y C en la otra, los resultados estn correlacionados slo en un 96%, lo que es una

contradiccin. La formulacin intuitiva se debe a David Mermin, mientras que el lmite del ngulo

pequeo es destacado en el artculo original de Bell.

Esquema de un test de Bell de "dos canales"

La fuente SOURCE produce pares de "fotones", enviados en direcciones opuestas. Cada fotn encuentra un polarizador

de dos canales cuya orientacin (a o b) pueda ser ajustada por el experimentador. Las seales emergentes de cada

canal son detectadas y las coincidencias de cuatro tipos (++, , + y +) son contadas por el monitor de coincidencias.


13/13


Matemtica Bsica I

12

Contenido

DESIGUALDADES E INECUACIONES .................................................................................................. 1

INTERVALO .................................................................................................................................. 1

REPRESENTACION GRFICA ..................................................................................................... 1

CLASES DE INTERVALOS ............................................................................................................... 1

INTERVALO CERRADO .............................................................................................................. 1

INTERVALO ABIERTO ................................................................................................................ 1

INTERVALO SEMIABIERTO ........................................................................................................ 2

INTERVALO INFINITO................................................................................................................ 2

Desigualdad ................................................................................................................................. 3

Propiedades de las desigualdades: .............................................................................................. 3SUMA....................................................................................................................................... 3

TRANSPOSICIN....................................................................................................................... 3

PRODUCTO .............................................................................................................................. 4

SIMPLIFICACIN ....................................................................................................................... 4

INECUACIONES ............................................................................................................................ 5

INECUACIONES DE PRIMER GRADO .......................................................................................... 6

SOLUCION ................................................................................................................................ 7

PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES LINEALES .............................................................................. 8

TRICOTOMA ............................................................................................................................... 8

SIMETRA ..................................................................................................................................... 8

ADICIN Y SUSTRACCIN ............................................................................................................ 8

MULTIPLICACIN Y DIVISIN ....................................................................................................... 8

Nota: ........................................................................................................................................ 8

APLICACIONES ................................................................................................................................. 9

USO COTIDIANO .......................................................................................................................... 9

APLICACIONES EN LA INGENIERA ................................................................................................ 9

TEOREMA DE BELL ..................................................................................................................... 10

Desigualdad original de Bell ................................................................................................... 10

S3S5 Desigualdades-Inecuaciones Lineales (1)

Documents

Transcript of S3S5 Desigualdades-Inecuaciones Lineales (1)