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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142 Soluci´on Listado 8 (Funciones Circulares II) 1. a) Sol = k∈Z 2kπ 3 , (2k + 1)π 3 . b) Sol = π 4 + kπ : k ∈ Z ∪ 7π 12 + kπ : k ∈ Z . c) Sol = k∈Z π 4 + kπ, π 2 + kπ . d) Sol = (2k + 1)π 6 : k ∈ Z ∪ (2k + 1)π 10 : k ∈ Z . e) Sol = π 4 + kπ : k ∈ Z ∪ - π 6 +2kπ : k ∈ Z ∪ - 5π 6 +2kπ : k ∈ Z f) Sol = (2k + 1)π 4 : k ∈ Z . 2. b) Sol = -1+ √ 2, -1 - √ 2 c) Sol = k∈Z - π 3 + kπ, π 4 + kπ d) Sol = 1 2 , - 1 2 4. b) A k = π 4 +2kπ × π 4 - 2kπ Sol :(x, y) ∈ k∈Z A k 5. a) Sol = ∅, pues 2 - x 2 ≤ 0 ∀x ∈ 5π 6 , 19π 6 b) Sol = kπ 2 √ 3 : k ∈ [-11, 20] ∩ Z 6. En lo que sigue: D = Dom(y),R = Rec(y),T = periodo, A = amplitud I p = {2k : k ∈ Z},I i = {2k +1: k ∈ Z} a ) D = R,R = - 1 2 , 1 2 ,T =4,A = 1 2 , min = - 1 2 , max = 1 2 Sea I k = 2k +1 - 2 π , 2k +3 - 2 π Entonces si k ∈ I p ,I k es intervalo de decrecimiento y si k ∈ I i ,I k es de crecimiento. 1
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142
Solucion Listado 8 (Funciones Circulares II)
1. a) Sol =⋃
k∈Z
[
2kπ
3,(2k + 1)π
3
]
.
b) Sol ={π
4+ kπ : k ∈ Z
}
∪{
7π
12+ kπ : k ∈ Z
}
.
c) Sol =⋃
k∈Z
[π
4+ kπ,
π
2+ kπ
]
.
d) Sol =
{
(2k + 1)π
6: k ∈ Z
}
∪{
(2k + 1)π
10: k ∈ Z
}
.
e) Sol ={π
4+ kπ : k ∈ Z
}
∪{
−π
6+ 2kπ : k ∈ Z
}
∪{
−5π
6+ 2kπ : k ∈ Z
}
f) Sol =
{
(2k + 1)π
4: k ∈ Z
}
.
2. b) Sol ={
−1 +√
2,−1 −√
2}
c) Sol =⋃
k∈Z
]
−π
3+ kπ,
π
4+ kπ
]
d) Sol =
{
1
2,−1
2
}
4. b) Ak ={π
4+ 2kπ
}
×{π
4− 2kπ
}
Sol : (x, y) ∈⋃
k∈Z
Ak
5. a) Sol = ∅, pues 2 − x2 ≤ 0 ∀x ∈]
5π
6,19π
6
]
b) Sol ={
kπ
2√
3: k ∈ [−11, 20] ∩ Z
}
6. En lo que sigue:
D = Dom(y), R = Rec(y), T = periodo, A = amplitud
Ip = {2k : k ∈ Z}, Ii = {2k + 1: k ∈ Z}
a) D = R, R =
[
−1
2,1
2
]
, T = 4, A =1
2, min = −1
2, max =
1
2
Sea Ik =[
2k + 1 − 2
π, 2k + 3 − 2
π
]
Entonces si k ∈ Ip, Ik es intervalo de decrecimiento y si k ∈ Ii, Ik es de crecimiento.
1
b) D = R, R = [1, 3], T = 2π, A = 1, min = 1, max = 3
Sea Ik =[(
k + 3
4
)
π,(
k + 7
4
)
π]
Entonces si k ∈ Ip, Ik es intervalo de decrecimiento y si k ∈ Ii, Ik es de crecimiento.
c) D = R, R = [−5,−1], T = π, A = 2, min = −5, max = −1
Sea Ik =[
(2k + 3)π4, (2k + 5)π
4
]
Entonces si k ∈ Ip, Ik es intervalo de decrecimiento y si k ∈ Ii, Ik es de crecimiento.
d) D = R, R = [−1, 5], T = 4π, A = 3, min = −1, max = 5
Sea Ik = [2kπ + 1, 2(k + 1)π + 1]
Entonces si k ∈ Ip, Ik es intervalo de decrecimiento y si k ∈ Ii, Ik es de crecimiento.
e) D = R, R = [0, 2], T = 1, A = 2, min = 0, max = 2
Sea Ick = [k + 1
2, k + 1], Id
k = [k + 1, k + 3
2].
Luego Idk es de decrecimiento, Ic
k es de crecimiento, ∀k ∈ Z..
7. a) D = [2, 4], R =[
−π2, π
2
]
b) D =[
−3
2, 1
2
]
, R = [0, π]
c) D = [−1, 1], R =[
0, π2
]
8. a)h :
[
−π
2, 0
]
→ [−4, 4]
x → h(x) = 4 sin(
2x + π2
)
b)h :
[
−3π
4,π
2
]
→ [−2, 2]
x → h(x) = 2 sin(
x + π4
)
c)h :
[
π
8,3π
8
]
→ [−5, 5]
x → h(x) = 5 cos(4x − π2)
14. dist(faro, bote) = 33,002 pies
15. distmastiles = 9,0008 m
16. ∠ABC = 104,48, donde |AB| = 80, |BC| = 120, |CA| = 160.
17. dist(A,B) = 359,9 m
18. sidg
v2≤ 1 ⇒ α = arcsin
(
dg
v2
)
∈]
0,π
4
]
sidg
v2> 1 ⇒ no existe α que satisfaga la ecuacion.
RRS/RNG/JMS/AGS/LNB/JSA/BBM/LRS/ags pueden haber erroressemestre otono 2006.
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