Saco Oliveros Uni2014 I Sol m

1

PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN

SOLUCIONARIONº 0110 UNI 2014-1

PROMEDIOS

1. Sean las notas obtenidas: x1, x2 y x3.

1 2 3 15

3x x x+ +

=

x1+x2+x3 = 45 ...(I)

Tenemos: 1 2

2 3

4 5y

5 6x xx x

= =

Entonces: x1 = 4k, x2 = 5k, x3 = 6k

En (I): 4k+5k+6k = 45

15k = 45

k = 3

Por lo tanto: x1 = 12, x2 = 15, x3 = 18

Piden: x3 – x1 = 6

Respuesta 6

ADICIÓN EN NATURALES

2. Del enunciado: ab +

bc

ca abc

Entonces: a+b =10 a+c = 9 a = 1

Piden: a+b – c = 1+9 – 8 = 2

Respuesta 2

REGLA DE INTERÉS

3. Capital: C = A+B, A>B

Por dato: A – B = 1200

Además Capital: A B

Tasa: 14% 16%

Tiempo: 1 año 1 año

Dato: MA = MB

A(1+14%) = B(1+16%)

A 58 1200A 116% 58B 57 1200B 114% 57

= ×= = →

= ×

∴ A+B = 115×1200 = 138 000

Respuesta 138 000

REGLA DE MEZCLA

4. Del enunciado

Ley 16 15,6 Lm

Masa 96 g 104 g 200 g

Ley = (0,65)(24) = 15,6

oro

oro

Ley 16

1632

mm

=

=+ 24

oro

23

64m

=

=

Hallando la ley media

( ) ( )

m16 96 15,6 104

L 15,792200+

= =

Respuesta 15,792

MATEMÁTICA I

2

PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN (17.02.2014) UNI 2014-1

PROMEDIOS

5. Del enunciado, 8 unidades de frutas y que hay suficientes plátanos y peras, entonces posibles

Plátano1234567

Pera7654321

Entonces hay 28 frutas de cada uno.

Hallando el promedio

( ) ( )28 0,2 28 0,50

Promedio7

+=

= 2,8

Respuesta 2,8

TEORÍA DE PROBABILIDADES

6. I. Como los conjuntos A y B son disjuntos, entonces son mutuamente excluyentes, por lo tanto

P(A ∪ B) = P(A)+P(B) Falso

II. A = {(x, y) / x∈{1; 2; 3; 4; 5; 6}; y∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}}

B = {(x, y) ∈A / 4 < x+y ≤ 6}

Hallamos ahora la cantidad de casos en el conjunto B.

(1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (3; 2), (3; 3), (4; 1), (4; 2), (5; 1) → hay 9 casos

9 1

P(B) Falso36 4

∴ = =

III. Tenemos: E ∆ D = (E – D) ∪ (D – E)

Aplicando álgebra de conjuntos

( ) ( )( ) ( )

C C

C C

E D E D E D

P(E D) P E D P E D

D = ∩ ∪ ∩

→ D = ∩ + ∩ Verdadero

Respuesta FFV

DIVISIBILIDAD

7. Del enunciado: a1cd = 5+2

→ d = 2 o 7

Luego: dabc = 9+2+27

dabc = 11+7+22

→ dabc = 99+29

da+bc = 99+29

Como abcd menor posible

→ d =2

Luego 2a +

bc

27 Concluimos: b = 0, c = 8, a = 1

Piden: ab+cd =

1×0+8×2 = 16

Respuesta 16

NÚMEROS RACIONALES

8.

¾ 2 2 2 2 2 2 0− + − + − + =

La proposición es falsa ya que se suman infinitos términos (observe que la can-tidad de términos o es par o es impar).

¾ La proposición es verdadera ya que todo número irracional se puede expre-sar como una fracción continua simple infinita y aplicando las convergentes o reducidas se aproxima a un número ra-cional.

¾ La proposición es verdadera ya que:

CA 0,1 A 0,1 A 0,1= ∩ → = ∩ ∏ → =

1A

2→ ∈

Respuesta FVV

3

UNI 2014-1 (17.02.2014) PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN

ECUACIONES

9. ∗ 17 2 72 17 2 98 9 8+ = + = +

3 2 2= +

∗

23 2 2

2 128 73 2 2

x+

= + −+

3 2 2 16 2 7x+ = + −

8 2 16 2x+ = +

Elevando al cuadrado

66 16 2+ 16 2x= +

o66x x= =

o 34 66 34 100x∴ + = + =

=10Respuesta

10

10. Primera inecuación

2

2( 3)( 1)

0( 1)( 2)

x x

x x

+ +≤

− −

+–3 –1 1 2

+ +– –

S1 = [–3; 1⟩

Segunda inecuación

x+1 ≥ 06 – x > 0 – 1 ≤ x < 6

x = –1 → solución

–1 < x < 6 ∧ 20

5xx

+≤

− –2 ≤ x < 5

–1 < x < 5 → S2 = [–1; 5⟩

Entonces

S1 ∩ S2 = [–1; 1⟩Respuesta

[–1; 1⟩

11. Hallemos el rango de f

3 3( ) 1 1f x x= − + , x ∈

Entonces f(x) ∈ Ran( f ) =

Dom( f *) =

Regla de correspondencia

3 31 1y x= − + , despejo x

13 3(1 ( 1) )y x− − =

Entonces

f * (x) = 1

3 3(1 ( 1) )x− − , x ∈Respuesta

f * (x) = 1

3 3(1 ( 1) )x− − , x ∈

NÚMEROS COMPLEJOS

12. Sn = i(1 + i + i2 +...+ in–1) = 11

nii

i

− −

1S

1

n

ni i

i

+ −=

− I. n impar → Sn + Sn+1 – i = 0

1 2

01 1

n ni i i ii

i i

+ +− −+ − =

− − → in+1 = i

para n impar Falso II. n par → Sn –1 + Sn+1 – Sn = 0

2 1

01 1 1

n n ni i i i i ii i i

+ +− − −+ − =

− − −

in + in+2– in+1 – i =0 → in+1 = –i n par, “no siempre” Falso III. Sn = –1, Si n = 4k+3

4 4 1

11 1

ki i ii i

+ − −= = −

− − Verdadero

Tenemos FFV

Respuesta Solo III

4


13. f(x)=c(ax) ∧ g(x)=d(bx)

De la figura: ( ) ( )0, 0,f x g x x> > ∀ ∈

→ c(ax)>0 ∧ d(bx)>0 → c>0 ∧ d>0 I. f(0)=g(0)→ c(a

0)=d(b0) → c=d (V)

II.( f(x)>g(x) ∧ x>0) ∨ ( f(x)<g(x) ∧ x<0)

→ (c(ax)>d(bx) ∧ x>0) ∨ (c(ax)<d(bx) ∧ x<0)

→ (ax>bx ∧ x>0) ∨ (ax<bx∧ x<0).

→ a>b Además f ∧ g son decrecientes a,b ∈<0 ;1>

→ 0<b<a<1 (F)

III. De (II): 0<a+b<2, pero esto no implica

que a+b>1 (F)

Respuesta Solo I

MATRICES

14. T –1 –1 T –1 TAX A A AX A A X A A= → = → = ⋅

Pero: –1 1 11A adj(A), A

2 3A

= ⋅ =

–1 3 –1 3 –11A

–2 1 –2 11

→ = =

Luego: 3 –1 1 2 2 3

X–2 1 1 3 –1 –1

= =

T

4 2–2 32 2 3 3X

–1 –1 23 32 –

3

→ = =

Respuesta

4 / 3 –2 / 3

2 –2 / 3

15. –1 T

–1 T

(AX A ) 3(A– I), A

AX A (3(A– I)) B

a b

c d

= =

= =

Polinomio característico de X es igual al po-linomio de B.

2B

–6

3 – 3 3B

3 3 – 3

P ( ) – (3 – 3 3 – 3) B

a c

b d

x x a d x

→ =

→ = + +

3 3 – 6 –6

0

a d

a d

→ + =→ + =

∴ (a+b)(b+c)= 0

Respuesta 0

SISTEMA DE ECUACIONES

16. De (1)

2 22 234 34

x yx y xy

xy

+= → + =

De (2)

x2 + y2 = m ∧ xy n=

→ m = 34n ∧ m – 2n2 = 144

Reemplazando: 34n – 2n2 = 144

→ n2–17n+72=0 → n = 8 ∨ n = 9

1.º Si n = 8 → m = 34(8) = 272

→ x2+y2 = 272 ∧ xy = 64 ∧ x>y

→ (x; y) = (16; 4)

2.º Si n=9 → m = 34(9) = 306

→ x2+y2 = 306 ∧ xy = 81 ∧ x>y

,x y→ ∉

∴ y=4Respuesta

4

5


PROGRAMACIÓN LINEAL

17.

L N

RQ

1

–5

R

Sea la función objetivo f(x, y) = ax + by con recta de nivel, entonces el punto R como el punto Q serán soluciones mínimas si la pendiente de LN es la misma de RQ .

Pero mLN = –

ab

∧ m RQ = 15

⇒ – ab

= 15

→ a = 1 ∧ b = –5

Respuesta

f(x,y) = x – 5y

SUCESIONES

18. Redefiniendo la sucesión an en dos subsuce-siones se tendrá:

8sen ; si es par

4– 8

sen ; si es impar4

n

nn

na

nn

n

π + =

π

Averiguamos la convergencia tomando lími-

tes en cada caso

y

8 2lim sen sen

4 4 2

– 8 2lim sen sen

4 4 2

nnn

nnn

π + π = = → ∞

π π = = → ∞

Por tanto, como límites de las subsucesiones

son iguales, entonces la sucesión (an) con-

verge a 22

.

Respuesta

(an) converge a 22

19. Como x ≥ 1, aplicamos la función exponen-cial en base 3, así

3x ≥ 31 → 3x + 1 ≥ 4

→ 0 < 13x+1

≤ 14

→ 0 > – 13x+1

≥ – 14

→ 1 > 1 – 13x+1

≥ 1 – 14

∴ 1 > 3x

3x+1 ≥

34

Por tanto el rango será: 3, 1

4

Respuesta [3 / 4, 1

SERIES

20.

Área

14

14

14

+ 32

14

14

+ 3 + 92 1

4

3

El área total de los triángulos retirados será

6


2 3 42 3

2 3 4

1 1 1 1A 3 3 3 ...

4 4 4 4

3 3 3 33A ...

4 4 4 4343A 3A 3 A 1

31–

4

= + + + +

→ = + + + +

→ = → = → =

El área total es 1. Respuesta 1

RECTA PERPENDICULAR AL PLANO

21.

A

DC

7

63

x

B

Piden d(D, P)=x

En el gráfico

x+6=3+7 x=4

Respuesta 4

22.

60º

60º

3

44

4H

6

6 1

Sx

D

A

1

2C

B E

PM

27

33 3 3

Piden: VA–PMDE=

⋅=

S 3S

3x

x

Cálculo de Sx ABE: EP=2 7 PHE: (PH)2=( 2 7 )2 –12 → PH= 27 Luego + = ×

6 4

S 272

x

∴ =A–P MD EV 5 27

Respuesta

5 27

23.

A

A

B

B

16

12

6

6

8 8

B C

E

xa

a

2a

D

l

l

Piden el área de la región sombreada Relación de áreas

+= → =

2

2A (3 ) 4

AA 5(2 )

x ax

a

Teorema básico ×

= → =6 8

2 B B 122

Teorema básico ×

+ + =8 12

B A2

x+ =

412 48

5x x

∴ x=20

Respuesta 20

7


GEOMETRÍA DEL ESPACIORECTA PERPENDICULAR AL PLANO

24.

A

B C

D8

4

444

4

M

O2 5

4 305

4 55

a

P

F

Piden el área de la región triangular APO.

MFC~ ABC: MF4

= 44 5

→ MF=4 5

5

PMF: Teorema de Pitágoras

(PF)2 = 42 + 4 5

5

2

→ PF = 4 30

5

Luego: A∆APO = 2 5

2 ·

4 305

A∆APO = 4 6

Respuesta

4 6

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

25.

A

B C

D

2R=16

9

R R=8

8 P 1 7

x

E

Piden: AE = x

Dato: 2p ABCD = 48 = 2(R + 2R) → R = 8

Por relaciones métricas en r2 = 9 × 16 r = 12

Respuesta 12

PERÍMETROS

26.

C

D

B

R2R

r

A

2r

Piden: 1 1R r

+

dato: 2PABCD

=(2πR)(2πr)

4 ( )2R 2 4r+ = 2Rrπ

2RR 2

rr

+ π=

21 1R 2r

π+ =

Respuesta

2

2π

8


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CUA-DRILÁTEROS

27.

D

CB

A

E

F

G

a

x

x

x

b

b

a

Piden: 2P heptágono=7x

Datos + =1 1 1

5a b Por circunferencia se deduce:

AD=AE=a y CE=AC=b

ACDE: Teorema de Ptolomeo

ab=xa+xb

+= = + =

1 1 1 15

a bx ab a b

x=5

∴ 2P heptágono=7(5)=35

Respuesta 35

CILINDRO

28.

2r=10 19 132r=10

Nr r

h

M

A B

Piden: Vcilindro = pr2h ... (*)

∆AMB: Teorema cálculo de la mediana

192 + 132 = 2(2r – 10)2 + (2r)2

2

r2 – 8r – 33 = 0r 3r – 11

→ r = 11

∆AMB: Teorema de Herón (Para calcular h)

p = 19 + 13 + 22

2 = 27

h = 222

27 × 8 × 14 × 5 → h = 1211

105

En (*): Vcilindro = π · 112 · 1211

105

= 132π 105Respuesta

132p 105

SEMEJANZA

29.

A

BC

D

b b

q

aa

q

20

25

x

a

Piden: AB = x

Se deduce: D ABD ~ D BDC

=

2020 25x

x=16

Respuesta 16

9


TEOREMA DE PAPPUS

30.

A

B

C6 6

15h

q2

2

2

L

Nos piden: V sombreado

V sombreado=VSG ABC

Calculando h

q = =

6tan

15 8h

→ =

454

h

Vsombreado=2π x A

sombreado

8 2 2 45V 2 6

3 4+ + = π × ×

2

3

Vsombreado=270π cm3

Respuesta 270π cm3

RELACIONES MÉTRICAS

31.

A

H

N M

B

E

O

R

45º

45º

45º45º

11

2R

Piden: 2R

Se deduce: NHME es cuadrilátero inscripti-ble, luego

+ = × =R 2(R 2 11) AM AE 900

Efectuando

2R=25 2

Respuesta

25 2

32.

A

H

32q

q

q

C D

E

B

x

qq

4 sec q 4

3

(*) CHF x = 3 sec 2q ... (1) (*) FEC x = 4 sec2q ... (2)

De (1) = (2): 3

cos 2q = 4

cos2q

Luego: cos2q = 45

Reemplazando en (2)

x = 454

→ x = 5

Respuesta

5

10


ÁNGULO MITAD

33.

5 21

78°

82°

E = csc8° + cot8° – 7

E = + −5 2 7 7

E = 5 2

E = 7,07

Respuesta

7,07

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

34. 1 + tan2a = 2tan2x + 2

sec2a = 2sec2x

Luego: cos2x = 2cos2a

Además: sen2x = 1 – 2cos2a

Reemplazando

y = cos2a + 1 – 2cos2a

y = 1 – cos2a

y = sen2a

Respuesta

sen2a

APLICACIÓN DE ÁNGULOS VERTICALES

35.

X

Y

0 1

A α

HH –h

Lh

D

H1 + 1 1

h+ 1

1h

1H

–

1y

+ 1x =

La regla de correspondencia de la función

se puede escribir como =−1

1y

x, de donde

= +1

1xy

.

Aplicando esta, obtenemos las abscisas de A y L. Luego en el APL

tana = −

−

H1 1

H

h

h

tana = Hh

Respuesta hH.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

36. La regla de correspondencia se puede expre-sar como

y(t) = 2(cos2t + 2 2 sen2t)

Apliquemos

asenx + bcosx = +2 2a b sen(x + q)

→ y(t) = × + q2 9sen(2 )t

De donde, la amplitud es =2 9 6 y el pe-

riodo es π

= = π2

T2

.

Respuesta 6 y π

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

37.

Se tiene

f(x) = π

∈ ⟨−∞ ⟩+5

; ; 0arctan 2 arccot

xx x

Se conoce que ∀ x ∈ : 0<arccotx<π

Así también ∀ x ∈ ⟨−∞ ⟩; 0 : π

− < <arctan 02

x

11


Entonces, la regla de correspondencia de f es ahora

π=

− +

π=

π − + −

π=

π −

5( )

( arctan ) 2arccot

5( )

arctan 2 arctan2

5( )

3arctan

f xx x

f xx x

f xx

Para el dominio dado: π

− < <arctan 02

x

→ π

< <π −

52 5

3arctanx ∴ Ran(f) = ⟨2; 5⟩

Respuesta

⟨2; 5⟩

NÚMEROS COMPLEJOS

38. Por condición

+ + −= = −

+

20 20

40(1 ) (1 ) 1

; 1A(1 )

i ii

i

Se tiene que

π π−

+ = ∧ − =4 41 2 1 2i i

i e i e

Reemplazamos

( ) ( )( )

π π−

π

+=

20 20

4 4

40

4

2 2 1A

2

i i

i

e e

e

( )π − π

π+

=⋅

10 5 5

20 102 1

A2

i i

ie e

e

π=

102cos5 1

A2

→ A = –29 = –512

∴ A + 500 = –12

Respuesta –12

39.

120º

6 cm

A

C

OB

(Figura 1)

θ

6 cm 6 cm

C AR R

O

(Figura 2)

De (Figura 1): ACB2

(2 6) 83

= π × = πl

De (Figura 2): 2 R 8 R 4= π = π → =

l

Luego, aplicamos el teorema de cosenos (∆ COA)

2 2 26 6 – 8cos

2 6 6+

q =× ×

1 cos

9∴ q =

Respuesta

19

12


TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUA-DRANTE

40. La expresión E equivale a

–3 tan( 720ºE =

120º) – 2 3

sen( 720º

+30º) 1,5

–3 tan120º–2 3E

3sen 30º

2

+ +

=+

–3(– 3) – 2 3E

1 32 2

3E

2

=+

=

Respuesta

32

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