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1. Introducción: Las leyes que rigen el equilibrio
mecánico de los cuerpos se obtienen como un caso particular de las leyes generales de
la dinámica newtoniana con la sola condición de hacer que todas las aceleraciones
valgan cero. Por lo tanto, que la estática es un capítulo más de la física es aceptado
con total naturalidad desde que Newton estableció las bases de la mecánica clásica.
Pero estas dos disciplinas, estática y dinámica, tienen historias diferentes, con
encuentros y desencuentros, hasta el Renacimiento. Aristóteles, en su física, consideró
al movimiento como el concepto central "ya que la naturaleza es un principio de
movimiento y de cambio (...) no podemos dejar de investigar qué es el movimiento"
(Física, III, 1, 200b1-3). El concepto de movimiento para Aristóteles es mucho más
amplio que el de desplazamiento o cambio de lugar. Además dicho concepto está
fuertemente comprometido con las concepciones metafísicas y cosmológicas de su
filosofía. Aristóteles y los aristotélicos en la Antigüedad, en la Edad Media y en el
Renacimiento se ocuparon en particular del movimiento local como un aspecto
particular de la física. Esa ciencia del movimiento local presentaba ciertos conflictos
con la observación, mientras que la estática parecía ajustarse perfectamente a ella. En
la física aristotélica, ocupa un lugar central la causa final que sería la respuesta a la
pregunta: ¿Hacia dónde se dirige espontáneamente la naturaleza para producir el
orden y la perfección que la caracterizan? Entonces para Aristóteles el movimiento
natural es un proceso teleológico. En particular, el movimiento natural local no es
un estado de las cosas ante el cual éstas se muestran indiferentes, sino un proceso que
conduce a actualizar el lugar propio que corresponde a cada cuerpo en el cosmos
ordenado espacialmente. La estática, dentro de las ciencias griegas de la Antigüedad,
estaría ubicada dentro de las ciencias matemáticas aplicadas, también llamadas
Estática
Unidad n°2
"ciencias mixtas". El objeto de tal disciplina es el estado de equilibrio mecánico de los
cuerpos. Las leyes de la estática fueron establecidas inicialmente por Arquímedes
utilizando una geometrización de los fenómenos y formuladas en un sistema
axiomático riguroso. El rigor del enfoque de Arquímedes se logró a costa de restringir
el tipo de problemas tratados y los conceptos básicos empleados (cf. Solís & Sellés,
2005).Entre Aristóteles y Arquímedes está el texto Problemas mecánicos. Esta obra
está incluida en el corpus aristotélico ya que durante mucho tiempo se creyó que el
autor era el propio Aristóteles. Se supone que se escribió después de la muerte del
estagirita y antes del nacimiento de Arquímedes y que el autor pudo haber sido un
discípulo de aquel. En dicha obra del siglo III a.C. encontramos planteados, como su
nombre lo indica, un conjunto de problemas o preguntas referidas a cuestiones
relativas a las máquinas simples. Desde entonces se inició un camino que con el correr
de los siglos llevaría a reajustar la relación entre matemática y física, para lo que
contribuyo, en particular en la estática, los diversos intentos de deducir las leyes de la
estática a partir de principios dinámicos basados en la física aristotélica.
2. Definición: Estática es un vocablo de origen griego, de “statikos” que significa
estacionado o quieto o en equilibrio. Algo decimos que está estático, cuando se halla
inmóvil, carente de movimiento. Lo opuesto a la estática, es la dinámica, que implica
movimiento.
La estática es una rama de la ciencia Física que estudia cómo actúan las fuerzas sobre
los cuerpos quietos.
La estática es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio y como llegar
al equilibrio de las fuerzas en oportunidad de un cuerpo en reposo. Por esta cuestión
es que la estática resulta ser una materia indispensable en carreras y trabajos como los
que llevan a cabo la ingeniería estructural, mecánica y de construcción, ya que siempre
que se quiera construir una estructura fija, como ser, un edificio, en términos un poco
más extendidos, los pilares de un rascacielos, o la viga de un puente, será necesario e
indiscutible su participación y estudio para garantizar la seguridad de aquellos que
luego transiten por las mencionadas estructuras.
3. Suma de vectores: para sumar dos o más vectores pueden utilizarse varios métodos:
métodos gráficos (triángulo, del polígono o el paralelogramo) y el método analítico
(matemático).La regla del paralelogramo consiste en trazar por el extremo de cada
vector una paralela al otro. El vector resultante de la suma tiene su origen en el origen
de los vectores y su extremo en el punto en el que se cruzan las dos paralelas que
hemos trazado. Esta regla equivalente a unir el origen de un vector con el extremo del
otro.
Aunque en física es común encontrarse una suma de cantidades vectoriales, y aunque
podemos recurrir a diversos métodos como el del triángulo, del polígono o el paralelogramo,
es importante tener en cuenta que la forma analítica nos conducirá a un resultado más exacto.
Ahora veamos que necesitamos para comprender por completo el método analítico, además
de resolver varios ejemplos paso a paso. Cuando tenemos más de dos vectores para
sumar, es mejor aplicar el método analítico o matemático.
Método analítico: este método consta de los siguientes pasos:
Llevar todos los vectores a un plano cartesiano haciendo que sus puntos iniciales coincidan
con el origen o centro del plano
Expresar cada vector en sus componentes rectangulares
Determinar la sumas de vectores horizontales o en x y verticales o en y
∑ Fx∑ Fy
Aplicar las fórmulas
(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2 Magnitud del vector resultantes
tan α=∑ Fy
∑ Fx Dirección del vector resultante
A. Hallar la magnitud y la dirección del vector resultante de la suma de los siguientes
vectores:
a)
Si nosotros realizáramos el método grafico podríamos determinar la magnitud y la
dirección de la resultante a+b
Sin embargo al realizar la medida nos sus valores serán muy imprecisos, por esto es
importante utilizar el método analítico.
Obtengamos las componentes rectangulares de cada vector
Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales
(y)
∑ Fx=85cos35 °−75cos65°=37,93
∑ Fy=85 sen35°−75 sen 65°=−19,22
(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2
(∑ F )2¿(37,93)2+(−19,22)2
√(∑ F )2 = √(37,93)2+(−19,22)2
(∑ F )=¿ 42,52 Magnitud del vector resultante.
Por ultimo determinemos la dirección del vector resultante.
tan α=∑ Fy
∑ Fx
tan α=−19,2237,93
α = -26,87° Dirección del vector resultante
b.
Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales
(y)
∑ Fx=36cos50 °−120cos 60°−28cos40 °=−58,31
∑ Fy=−36 sen50°−28 sen40 °+120 sen60 °=58,35
(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2
(∑ F )2¿(−58,31)2+(58,35)2
√(∑ F )2 = √(−58,31)2+(58,35)2
(∑ F )=¿ 82,49 Magnitud del vector resultante.
Por ultimo determinemos la dirección del vector resultante.
tan α=∑ Fy
∑ Fx
tan α=−58,3158,35
α = -44,98° Dirección del vector resultante
c.
Ahora determinemos las sumatorias de las
componentes horizontales (x) y verticales
(y)
∑ Fx=16cos60 °+8cos 40°−12cos48 °=6.10
∑ Fy=16 sen60 °−8 sen40 °+12 sen48 °=17,63
(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2
(∑ F )2¿(6,10)2+(17,63)2
√(∑ F )2 = √(6,10)2+(17,63)2
(∑ F )=¿ 18,66Magnitud del vector resultante.
Por ultimo determinemos la dirección del vector resultante.
tan α=∑ Fy
∑ Fx
tan α=17,636.10
α = 70,91° Dirección del vector resultante
4. Condiciones de equilibrio: para que un cuerpo este “quieto” o en equilibrio no debe
trasladarse ni debe rotar. Estas dos condiciones básicas del equilibrio son, por un lado
que el resultado de la suma de fuerzas sea nulo y por el otro, que el resultado de la
suma de momentos respecto a un punto sea nulo. Analicemos estas dos condiciones
en detalle:
A. Equilibrio de traslación: Para que un cuerpo se halle en equilibrio se necesita
que la suma vectorial de todas las fuerzas que sobre él actúan, sea nula. Esta
condición es llamada equilibrio de traslación y puede entenderse
matemáticamente así:
∑ F=0
Si la fuerza resultante es cero entonces ∑ Fx=0 y∑ Fy=0 , ya que para la
fuerza resultante se cumple que:
(∑ F )2¿ (∑ Fx )2+(∑ Fy )2
A. Un objeto de 300N cuelga sostenido de tres cuerdas, como se observa en la figura.
Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C.
Resolvamos primero la situación de la cuerda de abajo
∑ Fx=¿¿N0 tiene
∑ Fy=T 3−300N=0
T 3=300 N
Continuamos con la parte de superior
Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales (y)
1.∑ Fx=T 1 cos50 °−T 2cos 40 °=0
2.∑ Fy=T1 sen50 °+T 2 sen40 °−300N=0
En 1. T 10,64−T 20,77=0
EN 2. T 10,77+T20,64−300N=0
Resolvamos este sistema por eliminación
1.0,77T 10,49−T20,59=02.−0,64−T 10,49−T 20,41+192 N=0
−T2.1+192N=0−T2.+192N=0192 N=T 2.
Para obtener el valor de la otra tensión reemplazamos el valor de T 2.=192 Nen cualquiera
de las ecuaciones del sistema, preferiblemente la más simple, en este caso en 1.
T 10,64−T 20,77=0
T 10,64−192 N .0,77=0
T 10,64−147,84 N=0
T 10,64=147,84 N
T 1=147,84N0,64
T 1=231N
B. Un bloque de 20 N se suspende por medio de una cuerda sin peso, que se mantiene
formando un ángulo de 60º con la vertical, mediante una cuerda horizontal. Hallar la
magnitud de las tensiones T1 y T2
Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales (y)
1.∑ Fx=T 2−T 1 cos30°=0
2.∑ Fy=T1 sen30 °−20N=0
En 1 T 2−T 1 .0,87=0
EN 2. T 10,5−20N=0
Resolvamos este sistema despejando y sustituyendo ya que una de las ecuaciones es muy
simple o se despeja de manera directa.
En 2.T 10,5−20N=0
T 10,5=20N
T 1=¿ 20N0,5
T 1=40N
Por último sustituimos T 1=40N en la ecuación 1.
T 2−T 1 .0,87=0
T 2=T 1 .0,87
T 2=40N .0,87
T 2=348 N
La obra del matemático y físico alemán Albert Einstein le ha convertido en uno de los científicos
más famosos de la historia. Sus teorías acerca de la relatividad introdujeron un nuevo y
revolucionario modo de pensar en el espacio, el tiempo y el Universo. También estableció la
relación entre masa y energía con la famosa ecuación E=mc2.
Einstein adquirió la ciudadanía estadounidense en 1940. Se
opuso a la guerra a pesar de que, paradójicamente, sus teorías
fueron utilizadas para fabricar bombas nucleares, las armas
más destructivas que han existido jamás. Einstein vio muchas
de sus teorías confirmadas experimentalmente mientras vivió.
C. El sistema mecánico mostrado se encuentra en equilibrio. Sabiendo que: W = 15N y P
= 25 N, determinar la reacción que genera P.
Iniciemos con el cuerpo de la izquierda
1. ∑ Fy=T−W=0
Ahora el cuerpo de la derecha
2. ∑ Fy=T +N−P=0
Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas T y N
EN 1. T=W
T=15N
En 2. T+N−P=0
N=P−T
N=25N−15N
N=10N Reacción que genera P por estar sobre una superficie
D. El sistema mecánico mostrado se encuentra en equilibrio. Sabiendo que: W = 15N y P
= 13N, determinar la tensión en la cuerda (1)
Iniciemos con el cuerpo de la izquierda
1. ∑ Fy=T 2−W=0
T 2=W
T 2=15N
Ahora consideremos el cuerpo de la derecha
∑ Fy=T 2−T 1−P=0
T 2−T 1−P=0
T 2−P=T 1
15N−13N=T1
2N=T 1
E. En la figura la esfera está en equilibrio. La tensión en la cuerda JK mide 13 N y la
reacción normal de la pared mide 5N. No hay rozamiento. Hallar el peso de la esfera.
Ahora determinemos las sumatorias de las componentes horizontales (x) y verticales (y)
1.∑ Fx=T X−5N=0
2.∑ Fy=TY−W=0
Nos queda un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas T X , T y y W.
Debemos encontrar una tercera ecuación, en este caso aplicaremos el teorema de
Pitágoras
3.(13N )2=T X2+TY
2
Iniciemos la solución con la ecuación 1.
T X−5N=0
T X=5N
En 3.(13N )2=T X2+TY
2
(13N )2=(5N )2+TY2
169N2=25 N2+TY2
169N2−25N2=T Y2
144N2=T Y2
√144N2=√T Y2
12N=T Y
EN 2.
T Y−W=0
T Y=W
T Y=12N
F. El sistema mecánico mostrado se encuentra en equilibrio. Sabiendo que W = 20N y P
= 40N. Hallar el peso del bloque R. No hay rozamiento.
Empecemos el análisis de la estructura por la izquierda o parte inferior
Para W
∑ Fy=T 1−W=0
T 1=W
T 1=20N
Para P
2.∑ Fx=T2−T 1−Psen30 °=0
3.∑ Fy=N−Pcos30 °=0
En 2. T 2−T 1−Psen30 °=¿0
T 2=T 1+Psen30 °
T 2=20N+40Nsen30°
T 2=20N+20N
T 2=40N
EN 3. N−Pcos30 °=0
N=Pcos30 °
N=40Ncos 30°
N=34,64N
Para R
4. ∑ Fy=T 2−R=0
T 2=R
40N=R
G. Determine el valor de la tensión y la masa m2 para que el sistema se conserve en equilibrio. Se sabe que m1=24kg
Para m1
1.∑ F x=−¿T+m1gsen30 °=0
2.∑ F y=N−gcos30 °=0
Para m2
3.∑ F y=T−m2g=0
En 1. −¿T+m1gsen30 °=0
m1gsen30 °=T
24kg.10mseg2
sen30 °=T
120N=T
En 3. T−m2g=0
T¿m2g
Tg=m2
120N
10 mseg2
=m2
120 kg mseg2
10 mseg2
=m2
12kg=m2
H. Determine el valor de la tensión y las masas sabiendo que el sistema está en equilibrio y que m2=3m1−10kg
Para m1
1.∑ F x=T−m1gsen30 °=0
2.∑ F y=N 1−m1gcos30 °=0
Para m2
3.∑ F x=−¿T+m2gsen 45 °=0
4.∑ F y=N2−m2gcos45 °=0
Pero m2=3m1−10kg
∑ F x=−¿T+(3m1−10 kg)gsen 45°=0
∑ F x=−¿T+3m1gsen 45°−10kggsen45 °=0
En1.T−m1gsen30 °=0En3.−T +3m1gsen45 °−10kggsen45°=0
−m1gsen30 °+3m1gsen 45°−10kggsen45 °−m1gsen30 °+3m1gsen 45°=10kggsen45 °m1g (−sen30°+3 sen45 ° )=10 kggsen45 °
m1g=10kggsen45 °
(−sen30 °+3 sen 45 ° )
m1=10 kggsen45 °
g (−sen30 °+3 sen 45 ° )
m1=10kg .10 m
seg2sen45 °
10 mseg2
(1,62 )
m1=70,71kg m
seg2
16,2 mseg2
m1=4,36kg
Como m2=3m1−10kg entonces:
m2=34,36kg−10kg
m2=3,08 kg
Ahora encontremos el valor de la tensión
T−m1gsen30 °=0
T¿m1gsen30 °
T= 4.36kg .10mseg2
sen30 °
T = 21,8 N
I. Determine los valores de las la tensiones en las cuerdas y las masas para que el sistema esté en equilibrio, teniendo en cuenta que m2=2m1, m3=4m1+20kg, m4=5m1−10 kg
Para m1
1.∑ F x=T 1−T 2+m1gsen45 °= 0
2.∑ F y=N 1−m1gcos45 °= 0
Para m2
3.∑ F x=T 2−T 3−m2gsen30 °= 0
4.∑ F y=N2−m2gcos30 °= 0
Para m3
5. ∑ F x=T 3−m3gsen30°=0
6.∑ F y=N 3−m3gsen30 °=0
Para m4
7.∑ F x=−T 1+m4gsen 45°=0
8.∑ F y=N 4−m4 gsen45 °=0
Este sistema contiene demasiadas incógnitas y teniendo en cuenta que se desprecia el rozamiento y que no preguntan por las fuerzas normales, podemos no tener en cuenta las ecuaciones que involucran las fuerzas normales lo cual simplifica el problema.
En1.T1−T 2+m1gsen 45 °=0En3.T 2−T3−m2gsen30 °=0En5.T 3−m3gsen30 °=0En7.−T 1+m4gsen 45°=0
¿¿
m1 gsen45 °−m2gsen30°−m3gsen30 °+m4gsen 45 °=0¿
gsen45 ° ¿)−gsen30 °(m2+m3) = 0
Teniendo en cuenta que m2=2m1, m3=4m1+20kg y m4=5m1−10kg y sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos:
gsen45 ° ¿)−gsen30 °(2m1+4m1+20kg) = 0
gsen45 ° ¿)−gsen30 °(6m1+20kg) = 0
6 gsen45 ° m1−10gsen 45° kg−6 gsen30 °m1−20 gsen30 ° kg=0
6 gm1 (sen 45°−sen30° )=10gkg (sen45 °+2 sen30 °)
m1=10gkg (sen 45 °+2 sen30 °)6 g ( sen45 °−sen30 ° )
m1=13,74 kg.
Ahora encontremos el valor de las otras masas.
m2=2m1=2.13,74 kg=27.48
m3=4m1+20kg=4.13,74 kg+20 kg=74,96 kg
m4=5m1−10kg=5.13 .74 kg−10 kg=58,7 kg
Por ultimo encontremos el valor de las tensiones.
En 7. −T 1+m4gsen 45°=0
m4 gsen45 °= T 1
58,7kg10.mseg2
sen45°= T 1
415,07N= T 1
En 1. T 1−T 2+m1gsen45 °= 0
T 1+m1gsen 45°= T 2
415,07N+13,74kg10mseg2
sen45°= T 2
512,23N= T 2
En 5. T 3−m3gsen30°=0
T 3=m3gsen30 °
T 3=74,96 kg10mseg2
sen30°
T 3=374,8N