SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS

ASESORA

SISTEMAS ELCTRICOS (OGATA K. p. 87)

LEYES FUNDAMENTALES QUE GOBIERNAN LOS CIRCUITOS ELCTRICOS

Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos): la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero, , la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo (Ogata p. 87)

Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas): en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito elctrico es cero, o la suma de las cadas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje alrededor de una malla.

CIRCUITO LRCPara el circuito mostrado en la figura a continuacin, hallar la funcin de transferencia.

ieoei

Circuito elctrico en serie

Componentes del circuito elctrico:R = resistencia elctrica (ohm, )L = impedancia elctrica (henry, H)C = capacitancia elctrica (farad, F)

Para el circuito elctrico en serie mostrado en la figura, aplicando Ley de voltaje de Kirchhoff al sistema:

(1)

(2)

Las ecuaciones (1) y (2) expresan el modelo matemtico del circuito.

Tomando la Transformada de Laplace a las ecuaciones (1) y (2), para condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene:

(3)

(4)

Se supone que ei es la entrada e eo la salida, la funcin de transferencia de este sistema es:

De (3);

(5)

De (4);

(6)

Reemplazando (6) en (5), eliminando I(s);

(7)

Que es la funcin de transferencia del circuito RLC.

IMPEDANCIAS COMPLEJAS (OGATA, p.88)En las funciones de transferencia para circuitos elctricos, a menudo se encuentra conveniente escribir las ecuaciones transformadas directamente mediante el mtodo de Laplace, sin escribir las ecuaciones diferenciales.

Z1

Z2Z1

eieoZ2e2e1

e

(a)(b)

Circuitos elctricos: (a) en serie y (b) en paralelo

La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es el cociente entre E(s), la transformada de Laplace a travs de los terminales, e I(s), la transformada de Laplace de la corriente a travs del elemento, bajo la suposicin de que las condiciones iniciales son cero. Por tanto; Z(s) = E(s)/I(s)

Elementos de los sistemas elctricosImpedancias complejas:Z(s)

ResistenciaR

Capacitancia1/Cs

InductanciaLs

Para impedancias complejas en serie: la impedancia total es la suma de las impedancias complejas individuales.Para la figura (a):

Z(s) = Z1(s) + Z2(s)

Para impedancias complejas en paralelo, como la que se muestra en la figura (b), se tiene, que la funcin de transferencia del circuito es:

Aplicando este concepto al circuito LRC, tenemos:

LsR

Ei(s)Eo(s)I(s)

eoiei

Circuito elctrico en serie Circuito equivalente en impedancias

Para el caso se tiene:

Por tanto, la funcin de transferencia E0(s(/Ei(s) , es:

Que es igual a la expresin (7)

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE ELEMENTOS EN CASCADAR1

R2

i1i2eieoC2C1

Sistema elctrico (Ogata p.90)

Muchos sistemas realimentados tienen componentes que se cargan uno al otro. Para el sistema la segunda etapa del circuito (R2C2) produce un efecto de carga en la primera etapa (R1C1).Para el sistema elctrico en paralelo mostrado en la figura, determine la funcin de transferencia Eo(s)/Ei(s)

SOLUCINAplicando la ley de voltajes de Kirchhoff al sistema.

(1)

(2)

(3)

Las ecuaciones (1), (2) y (3) expresan el modelo matemtico del circuito.

Tomando la transformada de Laplace a las ecuaciones (1), (2) y (3), para condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene:

(4)

(5)

(6)

Eliminando I1(s) de las ecuaciones (4) y (5);

De (4);

(7)

De (5);

De donde;

Reemplazando I1(s) en (7)

(8)

De (6);

Reemplazando en (8);

Finalmente, la funcin de transferencia es:

ANALOGAS DE UN CIRCUITO ELCTRICO (Nise N. 3 edicin p. 94)Existe una similitud entre las ecuaciones que resultan de las leyes de Kirchhoff para sistemas elctricos y las ecuaciones de movimiento de los sistemas mecnicos.

Las variables de circuitos elctricos se comportan exactamente como las variables anlogas de un sistema mecnico. De hecho, convertir sistemas mecnicos en redes elctricas, antes de escribir las ecuaciones descriptivas, es un mtodo de resolucin de problemas bastante utilizado.

Un circuito elctrico que es anlogo a un sistema de otra disciplina se llama circuito elctrico anlogo. Las analogas se pueden obtener al comparar las ecuaciones descriptivas; por ejemplo, las ecuaciones de movimiento de un sistema mecnico, ya sea con ecuaciones elctricas de mallas o de nodos. Cuando se compara con ecuaciones de mallas, el circuito elctrico resultante se llama anlogo en serie; cuando se compara con ecuaciones de nodos, el circuito elctrico resultante se llama anlogo en paralelo.

ANLOGO EN SERIEEncuentre el sistema anlogo en serie del sistema mecnico mostrado en la Figura (a)x(t)

i(t)

(a) Sistema mecnico(b) Sistema elctrico deseado

Desarrollo del anlogo en serieConsidere el sistema mecnico traslacional que se ilustra en la figura (a), cuya ecuacin de movimiento es:

Tomando transformada de Laplace, para condiciones iniciales iguales a cero.

(1)

La ecuacin para el circuito elctrico que se ilustra en la figura (b), es:

Aplicando la ley voltajes de Kirchhoff (o malla) al circuito;

(2)

(3)

Tomando transformada de Laplace a (2) para condiciones iniciales cero, tenemos;

(4)

Podemos observar que la ecuacin (1) no es directamente anloga a (4), porque el desplazamiento y la corriente no son anlogos. Podemos crear una analoga directa si manipulamos la ecuacin (1) para convertir el desplazamiento en velocidad al dividir y multiplicar por s el primer miembro, dando como resultado;

(5)

Al comparar las ecuaciones (4) y (5), vemos la analoga de los sistemas, al comparar las impedancias de ambos sistemas.

Parmetros para el anlogo en serie:

Masa = Minductor = M henrys

Amortiguador viscosoresistor = B ohms

Resorte = kcapacitor = faradsFuerza aplicadafuente de voltaje = f(t)

Velocidad = v(t)corriente de malla = v(t)BM

f(t)v(t)

c) parmetros para el anlogo en serie

ANLOGO EN PARALELOTambin se puede convertir en un sistema anlogo en paralelo el sistema mecnico (a).

(a) Sistema mecnicob) Circuito RLC paralelo deseado

Desarrollo del anlogo en paraleloPara el sistema mecnico traslacional que se ilustra en la figura a), tenemos la ecuacin de movimiento dada por la ecuacin (5) deducida anteriormente:

(5)Para el circuito RLC, mostrado en la figura b), tenemos:

Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff (o nodos) al circuito: iR + iL + iC = i(t)

Tomando transformada de Laplace, para condiciones iniciales igual a cero, tenemos:

(6)

Al comparar las ecuaciones (5) y (6), identificamos la suma de admitancias que demuestran que el sistema elctrico es anlogo del sistema mecnico.

Parmetros para el anlogo en paralelo:

Masa = M capacitor = M farads

Amortiguador = bresistor =1/b ohms

Resorte =k inductor = 1/k henrys

Fuerza aplicada = f(t) fuente de voltaje = f(t)

Velocidad = v(t)voltaje de nodo = v(t)

Mf(t)

c) parmetros para el anlogo en paralelo

SISTEMA CON DOS GRADOS DE LIBERTADPROBLEMATrace el anlogo en serie para el sistema mecnico (con dos grados de libertad) mostrado en la figura

Figura 1 Sistema mecnico traslacional con dos grados de libertad

Anlisis para el sistema mecnico

Diagrama de cuerpo libre de M1

M1M1

K1x1(t)

K2x2(t)K2x1(t)

f(t)

Fig. 2b) Fuerzas sobre M1 debidas slo al movimiento de M2

Fig.2a) Fuerzas sobre M1 debidas sloal movimiento de M1

(K1+K2)x1(t)M1

K2x2(t)

f(t)

Fig. 2c) Todas las fuerzas actuantes sobre M1

Diagrama de cuerpo libre de M2

M2M2

K2x2(t)

K3x2(t)

K2x1(t)

Fig.3b) Fuerzas sobre M2 debidas slo al movimiento de M1

Fig.3a) Fuerzas sobre M2 debidas sloal movimiento de M2

(K2+K3)x2(t)M2

K2x1(t)

Fig.3c) Todas las fuerzas actuantes sobre M2

La transformada de la Laplace de las ecuaciones de movimiento correspondiente a la Fig.2c) y Fig.3c), respectivamente, son:

(1a)

(1b)

Queda como tarea, encontrar la funcin de transferencia X2(s)/F(s)

Nota: para hallar el sistema elctrico anlogo ver Nise, p. 96, Fig. 2.42

SISTEMAS DE NIVEL DE LQUIDOPara sistemas que implican el flujo de lquidos, se distinguen dos regmenes de flujo:

Flujo laminar: nmero de Reynolds < 2 000; corrientes con flujo estable; se representan mediante ecuaciones diferenciales lineales.

Flujo turbulento: nmero de Reynolds > 3 000 y 4 000; se representan mediante ecuaciones diferenciales no lineales

RESISTENCIA Y CAPACITANCIA DE SISTEMAS DE NIVEL DE LQUIDOS

Resistencia R en la Vlvula de carga

H=H1-H2

H1

H2

Q

Flujo a travs del tubo corto que conecta los dos tanques:Se define, R = resistencia para el flujo de lquido

El valor de R es distinta para flujo laminar y el flujo turbulento

Fig. 3-22 Sistema de nivel de lquido (Ogata, p.93)

Para la figura, considerando que el flujo a travs de la vlvula es laminar, la relacin entre el caudal en estado estable y la altura en estado estable, es:

Q = K H

Q= caudal es estado estable (o velocidad de fuljo es estado estable), m3/sK = coeficiente, m2/sH = altura en estado estable

Para flujo laminar, la resistencia Rl, se obtiene como:

(1)

La resistencia del flujo laminar es constante y anloga a la resistencia elctrica.

Para flujo turbulento, a travs de la vlvula de carga, el caudal en estado estable , es:

(2)

Q = caudal del lquido en estado estable, m3/sK = coeficiente, m2,5/sH = altura en estado estable, m

Para flujo turbulento, la resistencia Rt, se obtiene a partir de:

Derivando la ecuacin (2), tenemos;

Despejando de esta ecuacin dH/dQ y reemplazando K de (2), tenemos;

Por tanto;

(3)

El valor de la resistencia de flujo turbulento Rt depende del caudal y la altura. Sin embargo, el valor de Rt se considera constante si los cambios en la altura y en el caudal son pequeos.

Capacitancia C de un Tanque

La capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de lquido almacenado, para producir un cambio de la unidad en el potencial (altura).

Debe sealarse que la capacidad (m3) y la capacitancia (m2) son diferentes. La capacitancia del tanque es igual a su rea transversal. Si sta es constante, la capacitancia es constante para cualquier altura.

PROBLEMAPara el sistema de nivel de lquido mostrado en la figura, determine la ecuacin que describe el comportamiento dinmico.

SOLUCINDado que el flujo de entrada menos el flujo de salida durante el pequeo intervalo de tiempo dt es igual a la cantidad adicional almacenado en el tanque, establecemos que:

A partir de la definicin de resistencia para flujo laminar, la relacin qo y h se obtiene mediante;

Reemplazando, se tiene la ecuacin diferencial para el sistema para un valor constante de R:

Tomando la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuacin, suponiendo la condicin inicial de cero, tenemos:

(RC s + 1) H(s) = RQi(s)

Considerando qi la entrada y h la salida, la funcin de transferencia del sistema es:

Si se toma qo coma salida y la entrada es la misma, la funcin de transferencia es;De qo=h/R, tenemos: Qo(s) = (1/R)H(s), despejamos: H(s) = R Qo(s). resmplazando en la expresin anterior, tenemos:

PROBLEMA (Bolton 8, pp. 76 y 77)Obtener la relacin entre la altura h2 y el tiempo (dh2/dt) para el sistema hidrulico de la figura. La inertancia es despreciable.

rea A1

rea A2

Suministro de carga constante

h1

q2q2h2

SOLUCIN

SISTEMAS TRMICOS

PROBLEMA (Bolton P11, pp. 76 y77)La figura ilustra un sistema trmico que consta de dos compartimientos, uno de los cuales contiene un calefactor. Si la temperatura del compartimiento que contiene el calefactor es T1, la temperatura del otro compartimiento es T2 y la temperatura alrededor de los compartimientos es T3, desarrolle las ecuaciones que describan cmo varan con el tiempo las temperaturas T1 y T2. Todas las paredes de los contenedores tienen la misma resistencia y no almacenan calor. Los dos contenedores tienen la misma capacitancia C.

qq1q3q2CCT1T2T3

SOLUCIN

Para el compartimiento 1:

(1)

De donde;

y

Reemplazando en (1);

Acomodando trminos:

(2)

Para el compartimiento 2:

(3)

De donde;

y

Reemplazando en (3);

Efectuando operaciones;

(4)

Las expresiones (2) y (4) describen la variacin de las temperaturas T1 y T2 en sus respectivos compartimientos.

RP/15/4/14