Sec 2.3 Funciones cuadráticas - Mate 3002 UPRA … · ... c y el int-y de las siguientes funciones...
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Sec 2.3
Funciones cuadráticas
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es una ecuación que se
puede escribir de la forma
ax2 + bx + c = 0, a 0,
donde a, b, y c son números reales.
Una ecuación cuadrática escrita de esta forma se
dice que está en la forma general.
Funciones cuadráticas
Una función , f , es una función cuadrática si
f(x) = ax2 + bx + c ,
donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0.
La gráfica de una función cuadrática, f , es una parábola.
f(0) es el int-y de la gráfica de f.
Noten: f(0) = c, o sea (0,c) es el int-y.
Si b = 0 y c ≠ 0 , entonces f(x) = ax2 + c .
La gráfica es una parábola con intercepto en y en (0, c)
.
Si b = 0 y c = 0 , entonces f(x) = ax2 .
La gráfica es una parábola con con intercepto en y en
(0, 0) .
Funciones cuadráticas
Identificar a, b, c y el int-y de las siguientes funciones cuadráticas.
f(x) = 2x2 + 3x + 10
a = 2 b=3 c=10
f(0) = 10
g(x) = 4x2 – 5x + 9
a = 4 b=-5 c=9
g(0) = 9
h(x) = 7x – 5x2 – 30
a = -5 b=7 c=-30
h(0) =-30
p(w) =1.34w – 21.054 – 0.5w2
a = -0.5 b= 1.34 c= -21.054
p(0) = -21.054
Funciones cuadráticas
Los ceros de una función cuadrática
f (x) = ax2 + bx + c, a 0,
1. son los interceptos en x de la gráfica de f .
2. son soluciones de la ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0.
3. pueden ser valores reales o imaginarios.
4. pueden ser 2, 1 ó 0 (en cantidad)
Funciones cuadráticas
Gráficas de funciones cuadráticas:
Dos interceptos en x
(la función tiene dos ceros)
Un intercepto en x
(la función tiene un cero)
NO hay intercepto en x
(la función NO tiene
ceros reales)
Revisión de factorización de ecuaciones
cuadráticas
Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resuelven mediante la factorización, un método que expresa una ecuación como el producto de sus factores.
Ejemplo: Factorizar 3x2 – 9x
Se factoriza removiendo el factor común mayor de ambos términos:
3x2 y 9x tienen un factor común ( o máximo común divisor) de 3x.
Factorizamos 3x2 – 9x = 3x( - )
3x(x - )
3x(x - 3)
Revisión de factorización
Factores que sumen 19
Factorizar: 6x2 + 19x + 10 Modelo: ax2 + bx + c (a = 6 b = 19 c = 10)
(a)(c) = (6)(10) = 60
Hallamos los factores de 60
Escribimos la ecuación original usando 4x y 15x
6x2 + 19x + 10 = (6x2 + 4x) + (15x + 10)
2x (3x + 2) + 5(3x + 2)
(2x + 5) (3x + 2)
6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2)
(1)(60) (3)(20) (4)(15) (2)(30) (5)(12) (6)(10)
1+60=61 3+ 20= 23 5+12=17 2+30=32 4+15= 19
6+10= 16
Revisión de factorización
Factores que sumen 5
Factorizar: 2x2 + 5x – 25 Modelo: ax2 + bx + c (a = 2 b = 5 c = -25)
(a)(c) = (2)(-25) = -50
Hallamos los factores de - 50
Escribimos la ecuación original
2x2 + 5x – 25 = (2x2 - 5x) + (10x - 25)
x (2x - 5) + 5 (2x - 5)
(x + 5) (2x - 5)
2x2 +5x – 25 = (x + 5) (2x - 5)
(1)(-50) (2)(-25) (-2)(25) (-1)(50) (5)(-10) (-5)(10)
1+-50=-49 2 + -25= -23 5+ -10= -5 -1+50=49 -2 + 25= 23
-5+ 10= 5
Resolver ecuaciones cuadráticas
Para resolver una ecuación cuadrático necesitamos recordar
El principio de productos que dan cero:
Si ab = 0 , entonces a = 0 o b = 0,
Si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0.
Ejemplo: Resolver 6x2 + 19x + 10 = 0
Ya vimos que 6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2).
Aplicando el principio
6x2 + 19x + 10 = 0
(2x + 5) (3x + 2)=0
2x + 5 =0 3x + 2 = 0
x =
2
5
3
2x =
Ejemplo
Solución
Resolver 2x2 x = 3.
2x2 x 3
2x2 x 3 0
x 1 2x 3 0
x 1 0 or 2x 3 0
x 1 or 2x 3
x 1 or x 3
2
Principios para resolver ecuaciones
El Principio de la raiz cuadrada
Si x2 = k, entonces
Ejemplo
Resolver 2x2 10 = 0.
Solución
2x2 10 0
2x2 10
x2 5
x 5 or x 5
5 .Las soluciones: y 5
La Fórmula Cuadrática
Las soluciones de ax2 + bx + c = 0, a 0, son dadas
por
Esta fórmula se puede usar para resolver
CUALQUIER ecuación cuadrática.
x b b2 4ac
2a.
Ejemplo
Solución:
3x2 + 2x 7 = 0 a = 3, b = 2, c = 7
Resolver 3x2 + 2x = 7. Aproximar la solución a tres lugares decimales.
Las soluciones aproximadas son –1.897 y 1.230.
x 2 22 4 3 7
2 3 2 4 84
62 88
6
Discriminante
El valor b2 4ac, se conoce como el discriminante.
Para ax2 + bx + c = 0, donde a, b, and c son números:
b2 4ac = 0 Una solución real;
b2 4ac > 0 Dos soluciones reales diferentes;
b2 4ac < 0 NO tiene soluciones reales.
Discriminante
Determinar el número de solucones reales en cada
caso:
1) f(x) = x² − 2x + 1
2) g(x) = 3x2 + 4x – 9
3) h(x) = ½ x2 +9x – 4