Sección 5 - MATE 3172 – Precálculo II · mayores de 90 grados. ... • Las funciones de seno y...
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5 Las Funciones Trigonométricas
Sección 5.3
Funciones Trigonométricas de
números reales
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¿Qué hemos visto? Si el lado inicial de un ángulo, , coincide con la parte del eje de x que se encuentra en el primer cuadrante,
y el lado terminal es un rayo que sale del origen e interseca en un punto con un círculo de radio, r,
entonces se pueden calcular las 6 razones trigonométricas de , si conocemos las coordenadas del punto de intersección.
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¿Qué hemos visto? • Construir ángulos
de esta forma, nos
permite calcular
razones
trigonométricas
para ángulos
mayores de 90
grados.
• Además, ahora
surgen algunas
razones negativas.
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Funciones trigonométricas
• Las razones trigonométricas se pueden considerar
como funciones, donde los valores de entrada son
medidas de ángulos sobre el círculo unitario, y los
valores de salida son los valores de la razón
trigonométrica correspondiente.
• El dominio de las funciones f(x) = sin(x) y g(x) = cos
(x), es el conjunto de todos los números reales.
• Las funciones trigonométricas se consideran
periódicas, por que los valores del rango se reusan.
• El valor mayor de salida para el seno y coseno es
1, y el valor menor es -1.
• El rango de f(x) = sin(x) y g(x) = cos (x) es [-1, 1].
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Dominios • Se presentan los dominios de las funciones
trigonométricas :
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Campo de valores
Para cada θ en el dominio respectivo, los valores de las siguientes funciones trigonométricas cumplen con
las siguientes condiciones
tan 𝜽 ∈ 𝑹, cot 𝜽 ∈ 𝑹
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El Círculo Unitario
entonces, s=rθ implica
que s = (1) θ= θ y a su
vez, s = t.
O sea que, en un
círculo unitario, la
medida de arco
interceptado es igual a
la medida de ángulo
central.
• Un círculo unitario : radio 1; ecuación x2 + y2 = 1
• En un círculo unitario, si t es un número real tal que
0 < t < 2π, y sea θ un ángulo central con medida
en radianes igual t;
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Funciones trigonométricas de
números reales
• Podemos interpretar
funciones
trigonométricas geométricamente.
• Cada número real, t,
representa una distancia recorrida
sobre la circunferencia
de un círculo unitario. • El punto P(x,y) marca el
final del recorrido.
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Funciones Trigonométricas • Siguiendo nuestras definiciones anteriores de las
funciones trigonométricas :
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Ejemplo En la siguiente figura, el
punto P(x, y) en el círculo
unitario U, corresponde al
número real t. (Por lo tanto,
π < t < 3π/2)
• Determinar los valores de
las funciones
trigonométricas para t.
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Solución • Las coordenadas de P(x, y) son x = –⅗, y = –⅘.
• Por lo tanto, usando las definiciones para los
valores de las funciones trigonométricas en
términos del círculo unitario tenemos que
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Ejemplo
Sea P(t) el punto sobre el círculo unitario U que
corresponde a t para 0 ≤ t < 2π.
Si P(t) = (⅘, ⅗), determinar
a) P(t + π)
b) P(t – π)
c) P(–t)
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Solución P(t + π) P(t – π)
P(–t)
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Funciones Periódicas • Una función cuyos valores se repiten en un
intervalo de cierta longitud, se conoce como
una función periódica.
• La longitud del intervalo más pequeño en el
cual se repiten los valores se conoce como el
periodo.
• Las funciones de seno y coseno son periódicas
por que sus valores se repiten cada 2π
unidades.
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Funciones Periódicas Ejemplos:
• Usando que,
determinar el valor del sin(t) o cos(t) en cada caso.
• 𝐬𝐢𝐧𝟏𝟏𝝅
𝟒
• 𝐜𝐨𝐬𝟏𝟏𝝅
𝟑
• 𝐜𝐨𝐬𝟐𝟗𝝅
𝟔
= sin3𝜋
4+ 2𝜋 = sin
3𝜋
4 =
2
2
= cos5𝜋
3+ 2𝜋 = cos
5𝜋
3 =
1
2
= cos17𝜋
6+ 2𝜋 = cos
17𝜋
6= = −
3
2 cos
5𝜋
6+ 2𝜋 = cos
5𝜋
6
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Ejemplo Usando que,
determine el valor exacto del ángulo positivo más
pequeño cuyo seno es igual al sin(𝟏𝟕𝝅
𝟑).
• Solución:
• Aunque sin(𝟓𝝅
𝟑) es igual al sin(
𝟏𝟕𝝅
𝟑), no es el ángulo
positivo más pequeño que cumple esta condición.
= sin11𝜋
3+ 2𝜋 = sin
11𝜋
3
= sin5𝜋
3+ 2𝜋
= sin5𝜋
3
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟕𝝅
𝟑
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Solución – cont.
Observe el círculo:
Note que sin(𝟒𝝅
𝟑) es igual
al sin(𝟓𝝅
𝟑), y es más
pequeño.
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Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x) Comenzaremos el estudio de las gráficas de las funciones
de seno y coseno armando una tabla de valores con
valores aproximados para x = a los múltiplos de 𝝅
𝟒.
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Gráfica de f(x)=sin(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una curva suave y continua.
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Gráfica de f(x)=sin(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una curva suave y continua.
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Gráfica de f(x)=sin(x)
un cero
un cero
un cero
un máximo
un mínimo
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Gráfica de g(x)=cos(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una curva suave y continua.
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Gráfica de g(x)=cos(x)
Unamos los puntos con una curva suave y continua.
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
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Gráficas de f(x)=cos(x)
un cero
un cero un máximo
un mínimo
un máximo
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Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.
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1. En las gráficas anteriores se puede
observar el gran parecido que existe
entre ambas.
2. De hecho, parece que podemos
trasladar la gráfica de g(x)=cos(x) π/2
unidades y obtener la gráfica de
f(x)=sin(x).
3. Podemos describir este parecido
diciendo que
f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]).
Ejemplo:
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
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Ejemplo
• Determinar el valor exacto en cada caso usando el
hecho que sin(x) = cos(x-[/2]).
cos (5𝜋
3)=
sin (135o)= cos (135 – 90) =cos(45o)
sin(5𝜋
3 –
𝜋
2) = sin(
7𝜋
6)
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Negativos • Aquí se discuten fórmulas que envuelven t y –t.
• Por ejemplo:
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Ejemplo • Verificar la siguiente identidad:
• Solución
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Gráfica de la función Tangente
• La tangente es una función impar
y por lo tanto la gráfica de la
y=tan(x) es simétrica con
respecto al origen.
• La tabla muestra algunos pares
ordenados que pertenecen a la
gráfica en el intervalo –π/2 < x < π/2.
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FunciónTangente
¿Cuáles son algunos pares ordenados que pertenecen a este pedazo?
Gráfica periódica con periódo = π
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Función Cosecante
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Función Secante
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Función Cotangente
𝐜𝐨𝐭 𝒙 =𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝒙=
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝒙
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Función Cotangente
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Resumen de Funciones
Trigonométricas
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Resumen (cont)
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Gráficas (cont) • Observando como varían x. y con t, obtenemos la
siguiente tabla:
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Ejemplo
• Hallar todos los valores de x en el
intervalo [–2π, 2π] tal que
a) cos x = ½
b) cos x > ½
c) cos x < ½
• Solución Este problema se puede
resolver si nos referimos a las gráficas
de f(x) = cos x y f(x) = ½
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Solución a) cos x = ½
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Solución cos x > ½,
cos x > ½,
cos x > ½,
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Solución cos x < ½,
cos x < ½,
cos x < ½,