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1 SECCIONES CONICAS
1. Secciones conicas
Las secciones conicas, son curvas en el plano que responden a una ecuacion de segundo grado del tipo Ax2 +
By2 +Cxy +Dx+Ey + F = 0. El nombre hace referencia a que dichas curvas se obtienen de la interseccion
entre un cono (como se vera en la seccion de superficies cuadraticas) y un plano, es decir, son el resultado de
seccionar un cono.
Figura 1: Secciones conicas formadas por la interseccion de un plano y un cono
1.1. Parabola
La ecuacion de una parabola centrada en el origen es de la forma x2 = cy o y2 = cx, si dicha parabola se
traslada, tal que el nuevo centro (vertice) es el punto (x0, y0) del plano, la ecuacion es (x x0)2 = c(y y0)o (y y0)2 = c(x x0). En la figura adjunta se muestran las posibilidades para la grafica de una parabola.
Figura 2: x2 = cy, c > 0 Figura 3: x2 = cy, c < 0
Figura 4: y2 = cx, c > 0 Figura 5: y2 = cx, c < 0
1.2. Elipse
La ecuacion de la elipse centrada en el origen es de la formax2
a2+y2
b2= 1. De dicha formula se obtiene que
las intersecciones con los ejes son (a, 0) y (0,b). La ecuacion de una elipse trasladada al punto (x0, y0)es
(x x0)2a2
+(y y0)2
b2= 1. Las forma de la elipse depende de si a > b o si a < b; si a = b se da el caso
particular de una circunferencia.
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1.3 Hiperbola 1 SECCIONES CONICAS
Figura 6:x2
a2+y2
b2= 1, a = b Figura 7:
x2
a2+y2
b2= 1, a > b Figura 8:
x2
a2+y2
b2= 1, a < b
1.3. Hiperbola
La ecuacion de la hiperbola tiene la formax2
a2 y
2
b2= 1 o
y2
b2 x
2
a2= 1, con las modificaciones necesarias para
trasladar el centro a otro punto del plano. Notese que en el primer caso se interseca al eje X en (a, 0) y nointerseca al eje Y , mientras que en el segundo caso se interseca al eje Y en el punto (0,b) y no interseca aleje X. Una hiperbola esta formada por dos ramas independientes.
Figura 9:x2
a2 y
2
b2= 1 Figura 10:
y2
b2 x
2
a2= 1
1.4. Determinar el tipo de conica
Las ecuaciones canonicas dadas anteriormente, proporcionan una buena descripcion de la seccion conica.
Dada una ecuacion de segundo grado en dos variables en forma general, que carece del termino xy, es decir,
una ecuacion de la forma Ax2 +By2 + Cx+Dy +E = 0, se puede determinar la naturaleza1, el centro y las
intersecciones con los ejes de la seccion conica, transformando la ecuacion a la forma canonica por medio de
la tecnica de completar el cuadrado; muy util a la hora de la graficacion.
1Determinar la naturaleza es sencillo con solo observar los coeficientes: si A = 0 o B = 0, se trata de una parabola; si A y B
poseen el mismo signo, se tiene una elipse; si A y B tienen signo opuesto, es una hiperbola.
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1.4 Determinar el tipo de conica 1 SECCIONES CONICAS
Ejemplo 1.1 Determinar el tipo de seccion conica dado por la ecuacion x2 + 4y2 6x + 16y + 21 = 0.
Se procede a agrupar y completar el cuadrado para hallar la ecuacion canonica
x2 6x + 4y2 + 16y + 21 = 0(x2 6x) + 4(y2 + 4y) + 21 = 0
(x2 6x + 9 9) + 4(y2 + 4y + 4 4) + 21 = 0(x 3)2 9 + 4((y + 2)2 4) + 21 = 0(x 3)2 9 + 4(y + 2)2 16 + 21 = 0
(x 3)2 + 4(y + 2)2 = 4(x 3)2
4+
(y + 2)2
1= 1
Se trata entonces de una elipse, cuyo centro es el punto (3,2). Dado que a2 = 4 y b2 = 1, entonces a = 2,b = 1, y los puntos de interseccion con los ejes son (2, 0), (0,1).
Ejemplo 1.2 Determinar el tipo de seccion conica dado por la ecuacion 2x2 3y2 5x + 2y 1 = 0.
2
(x2 5
2x
) 3
(y2 2
3y
)= 1
2
(x2 5
2x +
25
16 25
16
) 3
(y2 2
3y +
1
9 1
9
)= 1
2
((x 5
4
)2 25
16
) 3
((y 1
3
)2 1
9
)= 1
2
(x 5
4
)2 25
8 3
(y 1
3
)2+
1
3= 1
2
(x 5
4
)2 3
(y 1
3
)2=
91
24
2(x 54
)29124
3(y 13
)29124
= 1(x 54
)29148
(y 13
)29172
= 1
Desde la quinta igualdad, ya se puede saber que la ecuacion se trata de la de una hiperbola cuyo centro esta en
el punto(54 ,
13
). Los siguientes pasos, son para determinar los valores de a y b. De acuerdo con la ultima
igualdad se tiene que a =
9148 y b =
9172 . De donde las intersecciones con el eje X son
(
9148 , 0
).
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