MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA-TEORÍA Y 45 EJERCICIOS RESUELTOS (NXPowerLite)
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Secuencia didáctica para diferenciar razón trigonométrica de función trigonométrica Danys Carlos Otero Herrera Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia 2018
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Secuencia didáctica para diferenciar razón trigonométrica de función
trigonométrica
Danys Carlos Otero Herrera
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá, Colombia
2018
Secuencia didáctica para diferenciar razón trigonométrica de función
trigonométrica
Danys Carlos Otero Herrera
Trabajo Final presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora:
Dr. Clara Helena Sánchez Botero
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Ciudad, Colombia
2018
III
A mis padres, quienes han sido mi guía y
fortaleza a pesar de la distancia.
4
Agradecimientos
Agradezco a la Universidad Nacional de Colombia y a los docentes que participaron de
mi formación.
A mi directora de trabajo de grado Clara Helena Sánchez Botero por aceptar ser mi
asesora y guiarme durante todo el desarrollo del proyecto con sus conocimientos,
ejemplo y dedicación.
A la Escuela Tecnológica Instituto Técnico central y a los estudiantes de grado 10° por
disponerse a participar en mi investigación y su apoyo incondicional.
5
Resumen
El siguiente documento es el Trabajo Final, presentado a la Maestría en Enseñanza de
las Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de Colombia en Bogotá
D.C. El objetivo primordial es construir una secuencia didáctica para diferenciar, razón
trigonométrica de función trigonométrica, con los estudiantes del grado 10° de la Escuela
Tecnológica Instituto Técnico Central. El diseño de la secuencia didáctica se
fundamentó en un marco teórico, constituido por tres aspectos: histórico-epistemológico,
disciplinarios y didácticos. Desde el punto de vista metodológico, se usó una estrategia
basada en el Enfoque Ontosemiótico constituido por 5 niveles de análisis didáctico, y
teniendo como referentes legales los Estándares Básicos de Competencias en
Matemáticas del Ministerio de Educación Nacional (MEN). Los resultados de este trabajo
permiten concluir que es fundamental fomentar el pensamiento matemático en los
estudiantes para lograr trascender en su vida académica,social y personal.
Palabras clave:
Secuencia Didáctica, Enfoque Ontosemiótico, Razón Trigonométrica, Función
Trigonométrica
6
Abstract
The following document is the Final Paper submitted to the Master's in Teaching of Exact
and Natural Sciences at the Universidad Nacional de Colombia in Bogotá D.C. and aims
to build a didactic sequence to differentiate trigonometric ratio and trigonometric function
with students of the 10th grade of the Escuela Tecnológica Instituto Técnico Central. The
design of the didactic sequence was based on a theoretical framework constituted by
three aspects: historical-epistemological, disciplinary and didactic. From the
methodological point of view, a strategy based on the Ontosemiotic Approach was used,
consisting of 5 levels of didactic analysis, which is articulated from the Basic Standards of
Competencies in Mathematics of the Ministry of National Education (MEN).
The results of this work allow us to conclude that it is fundamental to promote
mathematical thinking in students to achieve transcendence in their academic, social and
personal life.
Keywords:
Didactic Sequence, Ontosemiotic Approach, Trigonometric Ratio, Trigonometric Function
7
Contenido
Agradecimientos ............................................................................................................. 4
Resumen .......................................................................................................................... 5
Abstract ........................................................................................................................... 6
Contenido ........................................................................................................................ 7
Lista de Tablas ................................................................................................................ 8
Lista de Figuras .............................................................................................................. 9
Lista de Gráficas ........................................................................................................... 10
1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 11 1.1 Planteamiento del problema y formulación de la pregunta de investigación....... 11
Marco Referencial ......................................................................................................... 14 1.2 Marco Histórico .................................................................................................. 14
1.2.1 Inicios…………………………………………………………………………………14 1.2.2 Los griegos .................................................................................................... 15 1.2.3 Razones y proporciones ................................................................................. 17 1.2.4 Los "Elementos" de Euclides. ......................................................................... 18 1.2.5 Trigonometría en la Edad Media .................................................................... 20 1.2.6 Trigonometría en tiempos modernos .............................................................. 20 1.2.7 La función trigonométrica ............................................................................... 21
1.3 Marco disciplinar……………………………………………………………………….23 1.3.1 Cantidad y magnitud ...................................................................................... 23 1.3.2 La Razón y Teoría de las Proporciones.......................................................... 23 1.3.3 Razones Trigonométricas .............................................................................. 25 1.3.4 Ley de los senos y Ley de los cosenos .......................................................... 26 1.3.5 Identidades Trigonométricas Básicas ............................................................. 29 1.3.6 Función .......................................................................................................... 30 1.3.7 Puntos de corte de una función con los ejes cartesianos ............................... 32 1.3.8 Funciones Trigonométricas ............................................................................ 33 1.3.9 Identidades Trigonométricas .......................................................................... 35 1.3.10 Otras identidades trigonométricas .................................................................. 37 1.3.11 Gráficas de Funciones Trigonométricas ......................................................... 43
1.4 Marco Pedagógico – Didáctico……………………………………………………….48 1.4.1 Enfoque Ontosemiótico .................................................................................. 48 1.4.2 Niveles de análisis didáctico........................................................................... 49 1.4.3 Primer nivel de análisis: ................................................................................. 50 1.4.4 Segundo nivel de análisis: .............................................................................. 51 1.4.5 Tercer nivel de análisis: .................................................................................. 51 1.4.6 Cuarto nivel de análisis: ................................................................................. 52 1.4.7 Quinto nivel de análisis: ................................................................................. 53
2. Metodología ............................................................................................................ 55 2.1 Diagnóstico de Saberes Previos ........................................................................ 57 2.2 Planeación Didáctica ......................................................................................... 58
8
2.3 Análisis por medio del Enfoque Ontosemiótico .................................................. 59
3. Resultados y análisis de resultados ..................................................................... 78 3.1Análisis del Diagnóstico de Saberes Previos ........................................................... 78 3.2 Análisis de Actividades ........................................................................................... 81
4. Conclusiones y Recomendaciones ......................................................................... 87
5. Bibliografía ................................................................................................................ 88
6. Anexos ....................................................................................................................... 91
Lista de Tablas
Tabla 1 Tabla de Valores de Funciones. ......................................................................... 35
Tabla 2 Sistemas de prácticas y objetos matemáticos. ................................................... 50
Tabla 3 Procesos matemáticos y conflictos semióticos. .................................................. 51
Tabla 4 Configuraciones y trayectorias didácticas .......................................................... 51
Tabla 5 Sistema de normas que condicionan y hacen posible el proceso de estudio ..... 52
Tabla 6 Idoneidad didáctica del proceso de estudio ........................................................ 53
Tabla 7 Metodología del Proyecto................................................................................... 55
Tabla 8 Rúbrica de Valoración respuestas de estudiantes a diagnóstico ...................... 57
Tabla 9 Rúbrica de Valoración respuestas de estudiantes a diagnóstico ....................... 78
9
Lista de Figuras
Figura 1 Tablilla Plimpton 322 ........................................................................................ 15
Figura 2 Método de Hiparco. .......................................................................................... 16
Figura 3 Cuadrado lado 1 .............................................................................................. 24
Figura 4 Triángulo Rectángulo I ∆𝐴𝐵𝐶 ........................................................................... 25
Figura 5 Triángulo Escaleno I ∆𝐴𝐵𝐶 .............................................................................. 26
Figura 6 Triángulo Escaleno II ∆𝐴𝐵𝐶 ............................................................................. 28
Figura 7 Triángulo Rectángulo II ∆𝐴𝐵𝐶 ......................................................................... 29
Figura 8 Ángulos en Sistema Sexagesimal ................................................................... 34
Figura 9 Ángulos en Sistema de Radianes ................................................................... 34
Figura 10 Cuadrantes .................................................................................................... 38
Figura 11 Cuadrante I ................................................................................................... 38
Figura 12 Cuadrante II ................................................................................................... 39
Figura 13 Cuadrante IIA ................................................................................................. 40
Figura 14 Cuadrante III .................................................................................................. 40
Figura 15 Cuadrante IV .................................................................................................. 41
Figura 16 Cuadrante IVA .............................................................................................. 42
Figura 17 Signos en los Cuadrantes ............................................................................. 42
Figura 18 Ángulos Negativos ......................................................................................... 43
10
Lista de Gráficas
Gráfica 1 𝒚 = 𝒙𝟐 .............................................................................................................. 30
Gráfica 2 𝒚 = √𝒙. ............................................................................................................ 31
Gráfica 3 𝒚 = √𝟒 − 𝒙𝟐 ..................................................................................................... 31
Gráfica 4 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6...................................................................................... 32
Gráfica 5 𝑦 = 𝑥2 + 2........................................................................................................ 33
Gráfica 6 𝑦 =1
𝑥 ................................................................................................................ 33
Gráfica 7 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 .......................................................................................................... 44
Gráfica 8 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 .......................................................................................................... 45
Gráfica 9 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 .......................................................................................................... 46
Gráfica 10 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 ........................................................................................................ 46
Gráfica 11 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ....................................................................................................... 47
Gráfica 12 y = cscx ......................................................................................................... 48
11
1. INTRODUCCIÓN
1.1 Planteamiento del problema y formulación de la pregunta de investigación
En mi labor como docente de matemáticas, en la Escuela tecnológica Instituto Técnico
Central, una Institución Educativa de formación técnica, uno de mis principios y objetivos
es forjar en mis estudiantes fundamentos trigonométricos que les permitan lograr un mejor
desempeño en su vida universitaria, dado que un gran porcentaje de ellos tiene una
proyección profesional hacia carreras de ingeniería y ciencias básicas. Por esto, es
necesario tener claro la diferencia entre los conceptos de Razón Trigonométrica y Función
Trigonométrica, ya que dichos conceptos apuntan hacia el desarrollo del pensamiento
matemático y la construcción del conocimiento científico.
El siguiente trabajo se llevará a cabo con estudiantes del grado décimo de la Escuela
Tecnológica Instituto Técnico Central de la ciudad de Bogotá D.C; una institución pública
de carácter nacional dirigida por la comunidad de los Hermanos de la Salle. Los
estudiantes de esta institución son seleccionados por medio de una evaluación de ingreso
para sexto grado y en general culminan allí su bachillerato. La mayoría de los estudiantes
son de estrato 3, con gran dedicación para el estudio y alto rendimiento académico. En los
últimos años la Escuela se ha mantenido en los primeros puestos de instituciones
públicas, a nivel nacional, y primer puesto a nivel Bogotá, según pruebas ICFES Saber
11. Además, anualmente un gran porcentaje de los estudiantes que finalizan el
bachillerato están ingresando a la Universidad Nacional de Colombia, de reconocida
dificultad para su ingreso debido al exigente examen de admisión.
Según San Martín Sicre & Soto Munguía (2007), alrededor de las matemáticas se ha
creado la concepción de que es difícil y complicada, en gran medida debido
principalmente a los métodos tradicionales de enseñanza. Como educadores, el espíritu
creativo debería ser fuertemente estimulado a la hora de guiar en forma contextualizada
los procesos educativos, especialmente en matemáticas.
Surgen problemas entre los fines de la educación y la práctica educativa en el caso de la
asignatura específica de trigonometría, como son:
12
1. Altos niveles de reprobación.
2. Alto grado de abstracción en el tratamiento de los temas.
3. Ruptura o discontinuidad en el paso de la geometría y el álgebra a la
trigonometría.
4. Carencia o empleo restringido de representaciones para algunos “objetos
trigonométricos” por ejemplo, las identidades trigonométricas en general carecen
de representaciones gráficas.
5. Ausencia de métodos generales para el tratamiento sistemático de algunos
temas de la trigonometría. (San Martín & Soto, 2007, p.1)
Según lo expuesto por Maldonado & Miranda (2009), los ejercicios realizados en
trigonometría se orientan a quedarse en la solución de ejercicios, limitando al estudiante y
obligándolo a formarse conceptos carentes de significado. De esta manera, no se logra la
aprehensión adecuada del concepto de razón trigonométrica y su generalización al
concepto de función trigonométrica.
Teniendo en cuenta mi experiencia docente y que comparto los planteamientos
anteriores, se planteó la siguiente pregunta: ¿Qué estrategia didáctica permite
diferenciar entre el concepto de razón trigonométrica y el concepto de función
trigonométrica en estudiantes de grado décimo?
Para dar respuesta a la pregunta se propone como objetivo general diseñar una
secuencia didáctica que permita, a estudiantes de décimo grado de la Escuela
Tecnológica Instituto Técnico Central de Bogotá, diferenciar entre el concepto de razón
trigonométrica y el concepto de función trigonométrica.
Los objetivos específicos son los siguientes:
Identificar las dificultades que experimentan los estudiantes en el aprendizaje de
las razones y las funciones trigonométricas por medio de una prueba diagnóstica.
Diseñar una secuencia didáctica que permita diferenciar los conceptos de razón
trigonométrica y función trigonométrica.
Implementar la secuencia didáctica por medio de una prueba de salida y constatar
los resultados con la prueba diagnóstica.
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El presente trabajo está estructurado en dos capítulos: en el primero se encuentra el
Marco Referencial, el cual está construido por los aspectos históricos, disciplinares y
didácticos.
En el segundo capítulo se encuentra la propuesta didáctica la cual consta de una prueba
diagnóstica, la propuesta central (talleres), una prueba de salida y un análisis de esta. Al
finalizar se presentan las conclusiones, sugerencias y la bibliografía, seguida de los
anexos.
14
Marco Referencial
1.2 Marco Histórico
La historia de la trigonometría la podemos dividir en tres grandes momentos: desde los
babilonios y los egipcios hasta los griegos. De los griegos hasta el siglo XVII, desde este
siglo hasta el presente.
A continuación, haremos un breve recuento de cada uno de estos momentos, rastreando
el origen y desarrollo de los conceptos involucrados en el tema que nos ocupa, razones y
funciones trigonométricas. Es así que los conceptos de razón, proporción y de función
están involucrados en el origen y desarrollo de la trigonometría.
1.2.1 Inicios
La historia de la trigonometría lleva aproximadamente 4000 años. En sus inicios está
íntimamente ligada a la historia de la astronomía, siendo los babilonios quienes
determinaron las aproximaciones de las medidas de los ángulos y de las longitudes de los
lados de los triángulos rectángulos. Estas se usaban con fines predictivos, y les permitió
tener un conocimiento detallado del movimiento del sol, la luna, los planetas, cometas y
posiciones de las estrellas, además establecieron un calendario de 12 meses de 30 días
cada mes, en función de los movimientos del sol y la luna. El año estaba constituido por
360 días y para hacer corrección se añadía 30 días cada seis años. Esto se relaciona con
los 365 días de la actualidad. (Rubio, 2008)
Varias tablillas escritas en cuneiforme dan testimonio de este trabajo realizado por los
babilonios; por ejemplo, una de estas tablillas denominada Plimpton 322, que data de
alrededor del 1900 A.C, muestra unas ternas pitagóricas que se pueden interpretar como
funciones trigonométricas. Sin embargo, el debate continúa sobre si es válida esta
interpretación. La unidad común de medida angular fue originada por los babilonios. En
ella se supone que la partición del círculo, en 360 partes, se basaba en la relación de esta
con la duración del año calendario. (Antolin, 2012)
15
Figura 1 Tablilla Plimpton 3221
Los babilonios, al igual que los egipcios, utilizaban los ángulos y las razones
trigonométricas en la agricultura para la división del suelo, luego de la inundación que
producía el río Nilo. Además, fueron pioneros en estudios astronómicos implementando
estos conocimientos en la ubicación de cuerpos celestes, calendarios, cálculo del tiempo
y, claro está, en la navegación, donde hubo un desarrollo de la exactitud de la posición y
de las rutas a navegar. (Flores, 2008)
1.2.2 Los griegos
Los conocimientos en trigonometría de las civilizaciones de los babilonios y los egipcios
pasaron a los griegos, quienes motivados por estas herramientas pudieron describir
trayectorias o posiciones de los cuerpos celestes, así como saber la hora en un momento
determinado, especialmente en las noches; tener un calendario, herramientas para la
navegación y la geografía. Aunque la trigonometría de los antiguos griegos es lo que hoy
se conoce con el nombre de trigonometría esférica, lo esencial de la trigonometría plana
está íntimamente relacionado con ella. Uno de los matemáticos y astrónomos más
importantes de la época es Hiparco de Nicea (200 A.C). (Flores, 2008)
1 Tomado de: http://francis.naukas.com/2017/09/07/el-significado-matematico-de-la-
tablilla-babilonica-plimpton-322/
16
Hiparco vivió en Rodas y en Alejandría; a él debemos varios descubrimientos y
observaciones astronómicas. Resaltamos la creación de la teoría astronómica más
influyente de su época, trabajó unas tablas de cuerdas sobre circunferencias para la
solución de triángulos rectángulos en el plano, las cuales son precursoras de las tablas de
funciones trigonométricas actuales. El método, descrito por Hiparco es el siguiente:
Dividió la circunferencia en 360º.
Dividió el diámetro de la circunferencia en 120 partes.
Cada parte de la circunferencia y cada parte del diámetro las dividió a su vez en
60 partes, y cada una de estas en 60 partes nuevamente.
A cada arco de circunferencia AB le hacía corresponder el número de unidades
tanto de la cuerda correspondiente como del radio respectivo. El número de
unidades de la cuerda corresponde a lo que hoy llamamos la función seno.
Figura 2 Método de Hiparco
Si 2 es el ángulo central del arco 𝐴𝐵, entonces para nosotros 𝑠𝑒𝑛 =𝐴𝐶
𝑂𝐴, mientras para
Hiparco 𝑠𝑒𝑛2 es el número de unidades en la cuerda 𝐴𝐵 = 2𝐴𝐶 cuando el radio
contiene 60 unidades. Ejemplo, si la cuerda de 2 es 𝐴𝐵 y tiene 40 unidades, entonces
𝑠𝑒𝑛 = 20
60. Lo cual en sus términos sería:
O
A
B
C
r= 60
17
𝑠𝑒𝑛𝛼 =20
60
𝑠𝑒𝑛𝛼 =1
60∙ 20
𝑠𝑒𝑛𝛼 =1
60∙
1
2∙ 40
𝑠𝑒𝑛𝛼 =1
60∙
1
2∙ 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 2𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼 =1
120∙ 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 2𝛼
300 años después de Hiparco, el astrónomo Tolomeo utilizó también tablas de cuerdas en
circunferencias y un radio r = 60, adaptándose al sistema sexagesimal de los babilonios.
El desarrollo de la trigonometría griega y su aplicación a la astronomía culmina con los
trabajos de Tolomeo (100 -170). La astronomía y la trigonometría están mezcladas en los
trece libros de su obra Almagesto. Este es un tratado matemático, excepto cuando usa la
física aristotélica para refutar el modelo heliocéntrico del universo, propuesto por Aristarco
de Samos en el siglo IV A.C. Tolomeo aplicó sus estudios de trigonometría en la
construcción de astrolabios y relojes de sol. También, aplicó el estudio de la astronomía
en la astrología, creando los horóscopos. Todas estas teorías y estudios están escritos en
su obra Tetrabiblon. (Flores, 2008, p.8)
1.2.3 Razones y proporciones
Un teorema empírico de los babilonios en trigonometría, del cual se tiene el registro más
antiguo, es “los lados de los ángulos correspondientes de triángulos semejantes son
proporcionales”. Este teorema implica la igualdad de razones y por consiguiente podemos
decir que los babilonios tenían nociones del concepto de igualdad de razones. (Bell, 1949)
Entrando en el plano de las aplicaciones geométricas, el concepto de razón se da con
Tales de Mileto 500 A.C, al utilizar las propiedades de las semejanzas en los triángulos
para medir las alturas de las pirámides de Egipto, cuyas propiedades se encuentran en el
teorema que él mismo formuló, el cual expresa las relaciones entre los ángulos que se
forman al cortar dos líneas paralelas por una línea recta (Abonia & Miranda, 2017)
18
Unos siglos después, Euclides de Alejandría, 300 A.C, definió el concepto de razón en el
libro V de sus “Elementos” como sigue en la definición 4: “una razón es una determinada
relación con respecto al tamaño de dos magnitudes homogéneas”. (Puertas, 1991)
La noción de proporcionalidad en la antigüedad, está asociada a la idea de precisar
cuantitativamente el concepto de semejanza, hallando las razones por medio de la
comparación con una unidad de magnitud. En la escuela pitagórica, en la que “todo era
número o relaciones entre ellos”, se desarrolló la teoría de las proporciones, que se cree
fue elaborada por Eudoxio de Cnido; uno de los miembros de la Escuela pitagórica. Esta
teoría está desarrollada en el libro V de los “Elementos” de Euclides; sus aplicaciones en
geometría se encuentran en el libro VI, con propiedades sobre semenjanzas de polígonos;
y, en el libro VII sobre teoría de números, como veremos en seguida.
1.2.4 Los "Elementos" de Euclides.
Según Maria Massa (2009), si bien se considera a Hiparco el “padre de la trigonometría” y
Tolomeo fue quien dio un paso de gigante para su desarrollo con su obra el "Almagesto”,
sin los “Elementos” de Euclides hubiese sido imposible avanzar en muchos temas ahí
planteados. En los libros I, II, III, y IV de los “Elementos”, se desarrollan los conceptos de
magnitud, longitud, amplitud y área; conceptos fundamentales para formular las razones y
las proporciones. El concepto de razón, como relación entre dos magnitudes, y la teoría
de las proporciones, se presentan en el libro V, como fue dicho anteriormente.
La obra de Euclides contiene algunas proposiciones que han sido fundamentales para la
construcción de las tablas de cuerdas, que marcaron los inicios de la trigonometría
sistemática. También contiene definiciones que sirven para el desarrollo del presente
trabajo como lo son:2
1. Llámense proporcionales, las magnitudes que guardan la misma razón.
2. Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la
mayor.
3. Y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor. 2 Libro V de los Elementos, tomado de la edición de (Puertas, 1991).
19
4. Una razón es determinada relación respecto a su tamaño entre dos magnitudes
homogéneas.
5. Se dice que las magnitudes guardan razón entre sí cuando, al multiplicarse,
puedan exceder la una a la otra
6. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda
magnitud, que una tercera magnitud con una cuarta magnitud, cuando cualquier
equimúltiplo de la primera y la tercera exceden a la par, sean iguales a la par o
sean inferiores a la par, que cualquier equimúltiplo de la segunda y la cuarta,
respectivamente y cogidos en el orden correspondiente.
7. Se llaman proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón.
8. Entre los equimúltiplo, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la
segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces
se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con
la cuarta.
9. Una proporción entre tres términos es la menor posible.
10. Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la
tercera una razón duplicada de la que guarda con la segunda.
11. Cuando cuatro magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con
la cuarta una razón triplicada de la que guarda con la segunda, y así siempre,
sucesivamente, sea cual sea la proporción.
Ejemplo de proporción entre los segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝐸𝐹, y 𝐺𝐻 y su correspondiente
relación con las razones numéricas correspondientes
A B : C I D ∷ E I F ∶ G I I H
𝐴𝐵: 𝐶𝐷 ∷ 1: 2
𝐸𝐹: 𝐺𝐻 ∷ 2: 4
Luego tenemos la proporción; 𝐴𝐵: 𝐶𝐷 ∷ 𝐸𝐹: 𝐺𝐻 entre magnitudes
asociada con 1: 2 ∷ 2: 4 entre números
1 2 2 4
20
1.2.5 Trigonometría en la Edad Media
Luego de la caída de las sociedades antiguas surge la cultura de los países árabes. Entre
sus aportes a las matemáticas, resaltamos la separación del álgebra y la trigonometría
como ciencias particulares dentro de las matemáticas; en álgebra crearon las bases para
la formalización de una teoría general de ecuaciones; en trigonometría, se pasó de ser un
conjunto de medios auxiliares, para estudiar la astronomía, a estudiar todo tipo de
triángulos planos y esféricos. Ambas ciencias en la época estaban a un paso de adquirir
el aspecto analítico que poseen actualmente. (Ruiz, 1994)
En este periodo también se pueden observar los intentos por dar explicación cuantitativa
racional, a los fenómenos naturales, por medio de la abstracción, pero se verán afectados
debido a la separación entre número y magnitud. Como consecuencia de esta
confrontación, llegará poco después la modernización matemática de dichos fenómenos,
a partir de resultados experimentales; es así como unificando nuevamente los conceptos
se ponen las bases para la noción de función. (Farfán & García, 2005)
1.2.6 Trigonometría en tiempos modernos
Según Boubée, Maldonado, Rey, Sastre, & Villacampa, (2006), fueron Descartes (1596-
1650) y Fermat (1601-1665) quienes dieron el paso fundamental en el concepto de
función. Su representación daba cuenta de curvas geométricas en sistemas de
coordenadas, siendo el álgebra y la aritmética limitada con relación a la representación
geométrica antigua. Si estas curvas podían describirse con ecuaciones algebraicas,
también nuevas ecuaciones algebraicas permitían definir nuevas curvas, como las que
construyeron los griegos que, sin el uso de regla y compás, permitieron resolver los
problemas de construcción de la antigüedad como la cuadratura del círculo, la duplicación
del cubo y la trisección del ángulo. Los trabajos realizados por Descartes son muy
interesantes porque parten de las concepciones clásicas sobre las curvas como lo son:
21
Las curvas son secciones del plano.
Las curvas son la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas
condiciones; para añadir una tercera.
Las curvas son la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas
condiciones y el análisis de estas condiciones permite encontrar una ecuación
que cumplen los puntos de la curva. (Boubée, Maldonado, Rey, Sastre, &
Villacampa, 2006, p,24).
Descartes prescinde de las ecuaciones para trazar las curvas. Para él, las curvas, más
que el conjunto de puntos que cumplen una determinada ecuación, son la resultante de
movimientos recurrentes de curvas más simples de tal forma que en la sucesión los
últimos vienen determinados por los anteriores.
Leibniz (1646-1716), fue el primer matemático en utilizar la palabra función en 1692, para
dar a entender cualquier cantidad realiza una variación de un punto a otro en una
determinada curva, por ejemplo, la longitud de la tangente. Afirmaba “una tangente es una
función de una curva”. Introduce las palabras: constante, variable, coordenadas y
parámetro en términos de un segmento de constante arbitrario. El concepto de función no
lo utilizaba como lo entendemos hoy en día. Para él, una curva estaba formada por un
número infinito de tramos rectos infinitamente pequeños.
Isaac Newton (1643-1727), inventor del cálculo diferencial e integral, simultáneamente
con Leibniz, basó su trabajo en la representación de funciones matemáticas, utilizando
series infinitas de potencias de la variable 𝑥. Newton encontró la serie para el 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y
series similares para el 𝑐𝑜𝑠 𝑥 y la 𝑡𝑎𝑛𝑥. Con la invención del cálculo, las funciones
trigonométricas fueron incorporadas al análisis. (Martín, 2010)
1.2.7 La función trigonométrica
Los nuevos usos de las cantidades trigonométricas la despojaron de su carácter
geométrico, ya que, pasaron de ser consideradas como líneas en un círculo a cantidades
que describían ciertos fenómenos; esencialmente movimientos periódicos. Estos usos
reflejan los intereses de la época; por ejemplo, el interés en la descripción analítica de
movimientos como rasgo característico de los desarrollos científicos del siglo XVIII, lo cual
ayudó a la consolidación de la algorítmica del cálculo. (Gisela, 2006)
22
George Peurbach (1423-1461), corrigió la versión árabe del Almagesto y comenzó a
realizar tablas trigonométricas más precisas. Peurbach murió muy joven y su alumno
Johannes Müller (1436-1476), llamado Regiomontano, estudió los tratados más
importantes de griegos, hindúes y sus contemporáneos; construyó la tabla de los senos
basado en un radio de 600.000 unidades y otra basada en un radio de 10.000.000
unidades. Regiomontano estableció la ley de los senos para la geometría esférica y una
ley de los cosenos. De Triangulis Omnimodis (Sobre triángulos de todo tipo) es el título de
la obra de Regiomontano y está estructurada de una forma muy similar a los “Elementos”
de Euclides.
Por último, mencionaremos a François Viète (1540-1603), abogado de profesión,
reconocido como uno de los matemáticos más importantes del siglo XVI, por el desarrollo
del álgebra simbólica. Entre 1564 y 1568, se sumerge en trabajos de astronomía y
trigonometría y redacta un tratado que quedará inédito: Harmonicon Cœleste. En 1571
publica una obra de trigonometría, el Canon mathematicus, en el que presenta numerosas
fórmulas. (Sanchez, 2009)
Leonhard Euler (1707-1783), es considerado el fundador de la trigonometría moderna;
formalizó la periodicidad como una propiedad de la función 𝑠𝑒𝑛𝑜 y describió un
movimiento que ocurría a través del tiempo. Para la época en que transcurrió esto, el
pensamiento era totalmente contrario, estaban centrados más en las propiedades del
tiempo, y fue necesario, hasta entonces, manipular a la expresión 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑜, cuya forma
para 𝑠𝑒𝑛𝑜 era la más utilizada para expresar el tiempo como variable independiente y el
desplazamiento como variable dependiente. De esta manera, Euler realizaba diversos
cálculos relacionados con la descripción del movimiento armónico oscilatorio; entre ellos,
la predicción de la posición dado un determinado tiempo. Euler fue pionero en
introducción de las funciones trigonométricas al análisis y, por ende, en estudiar sus
propiedades en este contexto. Euler para referirse al carácter periódico de la función 𝑠𝑒𝑛𝑜,
lo hace haciendo énfasis en su comportamiento. (Buendía, 2006)
23
1.3 Marco disciplinar
Para la realización de este trabajo, en la parte disciplinar se tendrán en cuenta tres
momentos. En el primero se plantearán conceptos relacionados con el concepto de razón
seguida de la teoría de las proporciones y así llegar a las razones trigonométricas. Un
segundo momento planteará los conceptos de función y el de función trigonométrica, para
por último, buscar las relaciones entre uno y otro.
1.3.1 Cantidad y magnitud
La cantidad según la idea aristotélica, es aquella propiedad realizada a un fenómeno y
que permite organizar diferentes estados del mismo, según la atribución de aumento o
disminución, de comparación o igualación. Por ejemplo, al determinar la cantidad de
objetos que hay en una colección de elementos discretos, se hace una atribución de
cantidad sobre la característica de la colección, donde la atribución de cantidad es una
acción no numérica que fija un punto de vista de un agente sobre un evento o fenómeno.
En nuestro lenguaje podemos relacionar esas atribuciones de cantidad sobre eventos o
fenómenos como lo son; largo, ancho, alto, peso, rapidez etc. Al sistema de cantidades
con su sustrato, su dinámica y su estructura, al menos nominal, la llamaremos magnitud.
Estas nociones de cantidad y magnitud como objetos constituidos sobre una forma de
atribución de cantidad, permiten matematizar los procesos de percepción, representación,
transformación de la cantidad, así como sus procesos de variación, cuando se estudian
diferentes estados de un determinado evento o fenómeno, o una colección de estados
posibles de un evento o fenómeno determinado. (Obando, 2015)
Una manera de comparar magnitudes es por medio de los conceptos de razón y
proporción.
1.3.2 La Razón y Teoría de las Proporciones
Los pitagóricos desarrollaron una teoría de las relaciones que se aplicaba a magnitudes,
con esta, podían comparar dichas magnitudes cuando tenían una unidad de medida
común, es decir, cuando eran múltiplos enteros de dicha unidad.
24
Ellos interpretaron las magnitudes como colecciones discretas de unidades. De esta
manera, dos longitudes estarán en una relación 𝑚: 𝑛, cuando la longitud de un segmento
de recta comprende 𝑛 unidades, y la del otro segmento de recta comprende 𝑚 unidades.
Cuando los pitagóricos trataron de relacionar la diagonal de un cuadrado con uno de sus
lados, descubrieron con asombro que las dos magnitudes no tenían una medida común, y
por tanto, no podía expresarse con números enteros. Esta diagonal se hacía
inconmensurable con el lado, no tenía existencia aritmética como razón entre números
naturales.
Figura 3 Cuadrado de Lado1
Es decir, si en un cuadrado cuyos lados miden la unidad, al calcular la diagonal, en este
caso la hipotenusa usando el Teorema de Pitágoras, verificamos lo siguiente:
𝑙2 + 𝑙2 = 𝑑2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑2 = 2
Por tanto 𝑑 = √2, en términos modernos.
Es √2 un número irracional, y para los pitagóricos era inconcebible esta cantidad. Sin
embargo, con la teoría de proporciones del libro V, se fortalecen las estructuras de la
aritmética pitagórica, y por tanto, los límites del sistema de los números naturales,
construyendo axiomáticamente la noción de razón entre magnitudes y propiciando el
trabajo con razones inconmensurables. (Pabón, 2006)
El problema de las magnitudes inconmensurables se superaba con la definición 6 del libro
V, sobre la teoría de las proporciones, traducida al lenguaje algebraico de hoy día.
25
Dos razones entre magnitudes 𝑎: 𝑏 𝑦 𝑐: 𝑑 son las mismas y se nota 𝑎: 𝑏 ∶: 𝑐: 𝑑, cuando para
cualquier par de enteros positivos 𝑚 𝑦 𝑛 sucede que:
𝑛𝑎 > 𝑚𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑐 > 𝑚𝑑
𝑛𝑎 = 𝑚𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑐 = 𝑚𝑑
𝑛𝑎 < 𝑚𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑐 < 𝑚𝑑
𝑛𝑎 ≥ 𝑚𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑐 ≥ 𝑚𝑑
𝑛𝑎 ≤ 𝑚𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑐 ≤ 𝑚𝑑
Caso particular de la teoría de las razones y las proporciones son las razones
trigonométricas, como se verá a continuación.
1.3.3 Razones Trigonométricas
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo 𝛼 en un triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶,
rectángulo en A, son: el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la
cosecante.
Figura 4 Triángulo Rectángulo I ∆𝐴𝐵𝐶
Si llamamos:
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 al lado BC
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 al lado AB
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 al lado AC
Y 𝑏, 𝑐, 𝑎 son las longitudes de los lados 𝐴𝐶, 𝐴𝐵, y 𝐵𝐶 respectivamente, se tienen las
siguientes definiciones:
A
C
a
𝛼
B
C
c
C
b
26
1. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑐
𝑎, se lee; seno de alfa igual a cateto opuesto al ángulo 𝛼 sobre la
hipotenusa.
2. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =𝑏
𝑎, se lee; coseno de alfa igual a cateto adyacente al ángulo 𝛼 sobre la
hipotenusa.
3. 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =𝑐
𝑏, se lee; tangente de alfa igual a cateto opuesto al ángulo 𝛼 sobre cateto
adyacente al ángulo 𝛼.
4. 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =𝑏
𝑐, se lee; tangente de alfa igual a cateto adyacente al ángulo 𝛼 sobre
cateto opuesto al ángulo 𝛼.
5. 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =𝑎
𝑏, se lee; secante de alfa igual a la hipotenusa sobre el cateto adyacente al
ángulo 𝛼.
6. 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =𝑎
𝑐, se lee; cosecante de alfa igual a la hipotenusa sobre el cateto opuesto al
ángulo 𝛼
A continuación reuniremos algunas propiedades de las razones trigonométricas.
1.3.4 Ley de los senos y Ley de los cosenos
La ley de los senos establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo
cualquiera al seno del ángulo opuesto a ese lado, es igual para todos los lados y ángulos
en un triángulo dado. Es así como en un triángulo cualquiera ∆𝐴𝐵𝐶 con lados 𝑎, 𝑏, 𝑐, se
tiene:
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
Figura 5 Triángulo Escaleno I ∆𝐴𝐵𝐶
a
C
D
C
b
C
B
C
A
C
C
C
c
C
h
C
27
Demostración: basada en (Granville, 1994)
Dado el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, trazamos una perpendicular de 𝐶 hasta 𝐴𝐵 que corta en el punto
𝐷.
Consideremos el triángulo rectángulo ∆𝐴𝐶𝐷 rectángulo en 𝐷, de aquí se deduce que
𝑠𝑒𝑛𝐴 =ℎ
𝑏
También en el triángulo rectángulo ∆𝐵𝐶𝐷 rectángulo en 𝐷, tenemos que 𝑠𝑒𝑛𝐵 =ℎ
𝑎
Dividiendo 𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐵 obtenemos que es igual a
𝑎
𝑏 .
Así 𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐵=
𝑎
𝑏 y por propiedad de las proporciones entonces
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴=
𝑏𝑠𝑒𝑛𝐵
.
Análogamente trazando las alturas correspondientes a los vértices A y B
obtenemos: 𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵=
𝑐𝑠𝑒𝑛𝐶
.
Igualando las proporciones obtenemos que 𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶 lo que queríamos
demostrar.
La ley de los cosenos establece que en un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos
dos lados por el coseno del ángulo que forman.
Esta ley permite encontrar las partes faltantes de un triángulo (no rectángulo) cuando son
dadas las medidas de dos lados y la medida del ángulo entre estos dos lados. Son
conocidas como lado, ángulo, lado (𝐿𝐴𝐿) o las longitudes de los tres lados (𝐿𝐿𝐿). En
cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos ya que no podemos
establecer una proporción que pueda resolverse. Es así como en un triángulo
oblicuángulo ∆𝐴𝐵𝐶 con lados 𝑎, 𝑏, 𝑐, entonces:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐶
28
Figura 6 Triángulo Escaleno II ∆𝐴𝐵𝐶
Demostremos que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐴 basados en (Granville, 1994).
Dado el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, tenemos que:
𝑎2 = (𝐶𝐷)2 + (𝐷𝐵)2 (1)
𝑏2 = (𝐶𝐷)2 + (𝐴𝐷)2 (2)
Restando (2) de (1) en estas dos igualdades tenemos que: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝐷𝐵)2 − (𝐴𝐷)2 (3)
Como 𝐷𝐵 = 𝑐 − 𝐴𝐷 entonces (𝐷𝐵)2 = (𝑐 − 𝐴𝐷)2 y como
(𝑐 − 𝐴𝐷)2 = 𝑐2 − 2 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴𝐷 + (𝐴𝐷)2
Reemplazando 𝑐2 − 2𝐴𝐷 ∙ 𝑐 + (𝐴𝐷)2 en (3) tenemos
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2 − 2 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴𝐷 + (𝐴𝐷)2 − (𝐴𝐷)2 Simplificando (𝐴𝐷)2 − (𝐴𝐷)2
Nos resulta 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2 − 2 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴𝐷 (4)
Del triángulo rectángulo ∆𝐶𝐴𝐷 con ángulo recto en 𝐷 tenemos que 𝑐𝑜𝑠𝐴 =𝐴𝐷
𝑏
Entonces 𝐴𝐷 = 𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴
Sustituyendo 𝐴𝐷 en (2) nos resulta 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2 − 2 ∙ 𝑐 ∙ 𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴 y despejando 𝑎2 tenemos
𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑐 ∙ 𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴
Análogamente podemos hallar las ecuaciones:
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵
a
C
D
C
b
C
B
C
A
C
C
C
c
C
h
C
29
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐶.
1.3.5 Identidades Trigonométricas Básicas
Las dos leyes anteriores son casos particulares de identidades trigonométricas. Son
ecuaciones que involucran igualdades entre razones trigonométricas, las cuales son
verdaderas para cada uno de los valores relacionados. Entre las más comunes tenemos
las siguientes Si consideramos el triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 rectángulo en 𝐵 y con
ángulos 𝛼 y 𝛽, entonces:
Figura 7 Triángulo Rectángulo II ∆𝐴𝐵𝐶
Identidades Recíprocas:
a. 𝒔𝑒𝑛𝛼 =𝑐
ℎ=
1ℎ
𝑐
=1
𝑐𝑠𝑐𝛼
b. 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑎
ℎ=
1ℎ
𝑎
=1
𝑠𝑒𝑐𝛼
c. 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑐
𝑎=
1𝑎
𝑐
=1
𝑐𝑜𝑡𝛼
Identidad Fundamental y sus Derivadas:
𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
En el triángulo dado ℎ2 = 𝑐2 + 𝑎2, como 𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑐
ℎ y 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑎
ℎ luego, elevando ambos
términos al cuadrado se tiene 𝑠𝑒𝑛2𝛼 =𝑐2
ℎ2 y 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =𝑎2
ℎ2;
Luego 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =𝑐2
ℎ2 +𝑎2
ℎ2 =𝑐2+𝑎2
ℎ2 =ℎ2
ℎ2 = 1
A partir de la identidad trigonométrica 1 = 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 se derivan las siguientes, como
puede comprobar fácilmente el lector.
a. 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2𝛼
b. 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼 = 𝑐𝑠𝑐2𝛼
B
C
h
𝛼
A
C
c
C
a
C
𝛽
30
Identidades de Cociente:
a. 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑐
ℎ𝑎
ℎ
=𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
b. 𝑐𝑜𝑡𝛼 =𝑎
ℎ𝑐
ℎ
=𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼
1.3.6 Función
Definición: Una función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵, es una relación entre dos conjuntos 𝐴, 𝐵, que a cada
elemento de 𝐴 le hace corresponder un único elemento de 𝐵. El conjunto 𝐴 se denomina
inicial o dominio de 𝑓 y 𝐵 conjunto final o codominio de 𝑓. La expresión: 𝑦 = 𝑓(𝑥) indica
que al elemento 𝑥 del dominio 𝐴 le corresponde 𝑦 del codominio 𝐵, por medio de 𝑓.
Además, diremos que 𝑥 es la variable independiente y que 𝑦 es la variable dependiente.
También, aceptamos que a los valores del eje 𝑥 los llamaremos abscisas y a los valores
del eje 𝑦 los llamaremos ordenadas, cuando se trabaja en ℝ y en el plano cartesiano.
Una función 𝑓: 𝑋 ⟶ ℝ, donde 𝑋 ℝ, se puede representar en el plano cartesiano por
medio de los puntos de la forma (𝑥, 𝑓(𝑥)), donde 𝑥 ∈ 𝑋. Cuando 𝑦 = 𝑓(𝑥), decimos que 𝑦
es la imagen por 𝑓 de 𝑥 y 𝑥 es la preimagen de 𝑦.
Ejemplos:
1. Sea 𝑓: ℝ ⟶ ℝ tal que 𝑥 ⟶ 𝑥2. Su gráfica es:
Gráfica 1 𝒚 = 𝒙𝟐
31
2. Sea 𝑓: ℝ+ ∪ {0} ⟶ ℝ tal que 𝑥 ⟶ √𝑥. Su gráfica es:
Gráfica 2 𝒚 = √𝒙
3. Sea 𝑓: [−2,2] ⟶ ℝ tal que 𝑥 ⟶ √4 − 𝑥2. Su gráfica es:
Gráfica 3 𝒚 = √𝟒 − 𝒙𝟐
32
1.3.7 Puntos de corte de una función con los ejes cartesianos
Dada una función de 𝑓: 𝑋 ⟶ ℝ , donde 𝑋 ⊆ ℝ se pueden revisar varias propiedades; en
este caso nos interesa resaltar lo puntos de corte con los ejes del plano cartesiano así:
Los puntos de corte con el eje de las abscisas o raíces de la función son los
puntos (𝑥, 𝑦) tales que, 𝑓(𝑥) = 0 = 𝑦.
El punto de corte con el eje de las ordenadas de la función es el punto de la forma
(0, 𝑦) donde 𝑓(0) = 𝑦.
Ejemplos:
Para la gráfica 4 correspondiente a la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ tal que: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6
Los puntos de corte con el eje de las abscisas son: (−3, 0), (−1, 0), (2, 0) pues
efectivamente 𝑓(−3) = 0, 𝑓(−1) = 0, 𝑓(2) = 0. Y como 𝑓(0) = −6 el punto de corte con
el eje de las ordenadas es (0, −6)
Gráfica 4 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6
No siempre hay puntos de corte con el eje 𝑥, como es el caso de la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ
definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2, cuya gráfica está definida en la Gráfica 5
33
Gráfica 5 𝑦 = 𝑥2 + 2
No siempre hay puntos de corte con el eje 𝑦, como es el caso de la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ
definida por 𝑓(𝑥) =1
𝑥 cuya gráfica está definida en la Gráfica 5, que no tiene corte con el
eje 𝑦 pues 𝑓(0) no está definida.
Gráfica 6 𝑦 =1
𝑥
1.3.8 Funciones Trigonométricas
Un caso particular de las funciones en ℝ son las funciones trigonométricas, de especial
interés para este trabajo. A ellas dedicamos la siguiente sección.
34
De las razones trigonométricas a las funciones trigonométricas.
Dado que las funciones trigonométricas son funciones definidas en ℝ, 𝑓: ℝ ⟶ ℝ que son
una generalización del concepto de razón trigonométrica, definida para triángulos
rectángulos y ángulos entre 0° y 90°, es necesario tener claros varios aspectos que
mencionamos a continuación:
Hay dos sistemas de medidas para los ángulos que son: grados sexagesimales y
radianes. El primero divide la circunferencia en 360 partes y los ángulos centrales
con vértice en el centro que tienen como arco una longitud de 1
360, tienen medida
un grado. El segundo, a cada ángulo le hace corresponder una medida en función
del concepto de radian. Un radián es la medida de un ángulo en el centro de una
circunferencia que subtiende a un arco cuya longitud es igual a la del radio del
círculo. Por lo tanto, una medida en radianes es una función 𝑚 que a cada ángulo
le hace corresponder un número real positivo
𝑚: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 ⟶ 𝑅
Donde 𝑚(𝛼) = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 , tomando como
unidad de medida un radián.
Así, dada una circunferencia con centro en 𝑂, si tomamos sobre la circunferencia un arco
𝐴𝐵 de longitud igual al radio y trazamos 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵, el ángulo 𝐴𝑂𝐵 tiene como medida un
radián.
Figura 8 Ángulos en sistema sexagesimal Figura 9 Ángulos en el sistema de radianes
Medida de 𝛼 =1
360 longitud del arco 𝐴𝐵 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
35
Número de grados de un radián:
Se puede pasar del sistema de medida sexagesimal al de radianes por medio de la
siguiente igualdad y recíprocamente.
Como sabemos que la longitud de la circunferencia de radio 𝑟 es 2𝜋𝑟, si suponemos que
𝑟 = 1 tenemos que
2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 360°, por lo tanto 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 180°
Entonces: 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 =180°
𝜋𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
Como el cociente de 1
𝜋= 0.31831 aproximadamente, entonces
𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛 = 180 ∙ 0.31831 = 57.2958 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
Daremos por cierto que: 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 180 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
Ejemplo: expresar 75° en medida de radianes y 5
6𝜋 en medida sexagesimal.
Como 180 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 entonces
75 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =75
180𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =
5
12𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 y
5
6𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =
5∙180
6= 150°.
1.3.9 Identidades Trigonométricas
Para el paso de razón trigonométrica a función trigonométrica requerimos de las
siguientes identidades trigonométricas, cuyas demostraciones pueden ser consultadas en
(Hall, Knight , & Vázquez, 1981) y los valores de los ángulos que se dan en la tabla
siguiente:
𝜃(°) 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃
0° 0 1 0 NE 1 NE
30° 1
2 √3
2
√3
3
2 2√3
3
√3
45° √2
2
√2
2
1 √2 √2 1
60° √3
2
1
2 √3 2√3
3
2 √3
3
36
90° 1 0 NE 1 NE 0
180° 0 -1 0 NE -1 NE
270° -1 0 NE -1 NE 0
360° 0 1 0 NE 1 NE
Tabla 1 Tabla de Valores de Funciones
Dado un ángulo 𝛼 cualquiera lo podemos expresar como la suma de otro ángulo 𝛽 + 90°.
Se tienen las siguientes identidades:
a. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
b. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽
c. 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽
1−𝑡𝑎𝑛𝛼∙𝑡𝑎𝑛𝛽
Aplicando estas propiedades obtenemos que:
a. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 90°) = 𝑐𝑜𝑠𝛼
b. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 90°) = −𝑠𝑒𝑛𝛼
c. 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 90°) = −𝑐𝑜𝑡𝛼
Además como las funciones se van a definir para los números reales tanto positivos
como negativos se requieren además las siguientes identidades.
a. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 180°) = −𝑠𝑒𝑛𝛼
b. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 180°) = −𝑐𝑜𝑠𝛼
c. 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 180°) = 𝑡𝑎𝑛𝛼
Y para valores superiores a 360° tenemos:
a. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝑛360°) = 𝑠𝑒𝑛𝛼
b. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝑛360°) = 𝑐𝑜𝑠𝛼
c. 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝑛360°) = 𝑡𝑎𝑛𝛼
Como señalamos anteriormente que las funciones se van a definir para valores negativos
tenemos:
a. 𝑠𝑒𝑛(−𝛼) = −𝑠𝑒𝑛𝛼
b. 𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼
c. 𝑡𝑎𝑛(−𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼
37
1.3.10 Otras identidades trigonométricas
De igual forma dado un ángulo 𝛼 cualquiera lo podemos expresar como la suma de otro
ángulo 𝛽 − 90°. Se tienen las siguientes identidades:
a. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑠𝑒𝑛𝛽 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
b. 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽
c. 𝑡𝑎𝑛(𝛼 − 𝛽) =𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽
1+𝑡𝑎𝑛𝛼∙𝑡𝑎𝑛𝛽
Por último, tenemos los casos especiales de identidades trigonométricas de ángulos
dobles y ángulos medios:
a. Ángulos dobles
a. 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
b. 𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = { 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼
1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝛼2𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1
c. 𝑡𝑎𝑛(2𝛼) =2𝑡𝑎𝑛𝛼
1−𝑡𝑎𝑛2𝛼
b. Ángulos medios
a. 𝑠𝑒𝑛 (𝛼
2) = ± √
1−𝑐𝑜𝑠𝛼
2
b. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼
2) = ± √
1+𝑐𝑜𝑠𝛼
2
c. 𝑠𝑒𝑛 (𝛼
2) = ±√
1−𝑐𝑜𝑠𝛼
2=
𝑠𝑒𝑛𝛼
1+𝑐𝑜𝑠𝛼=
1−𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼
En resumen, cualquier función trigonométrica donde 𝛼 es un ángulos de la forma (𝑛90° ±
𝛽), es numéricamente igual al valor de función en 𝛽 si n es par.
Ahora relacionamos el concepto de función y de medidas de ángulos para representar las
funciones trigonométricas.
Generalización de las razones trigonométricas a funciones trigonométricas
En una primera generalización pasamos de analizar ángulos entre 0° y 90° a ángulos de
0° a 360°. Para ellos, tomaremos una circunferencia de 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 1, y la dividiremos en
cuatro regiones que llamaremos cuadrantes, de la siguiente forma:
38
Figura 10 Cuadrantes
En cada uno de estos cuadrantes encontraremos relacionadas las razones
trigonométricas con las funciones trigonométricas, como sigue:
1. Cuadrante I
Figura 11 Cuadrante I
39
Dado el ángulo 𝛼 = ∢𝑃𝑂𝑀, como 𝑃𝑂𝑀 es un triángulo rectángulo en 𝑀, las
razones trigonométricas fundamentales serían, si consideramos que el punto 𝑃 =
(𝑥, 𝑦), donde 𝑥, 𝑦 > 0, se tiene:
a. 𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑃𝑀
𝑂𝑃=
𝑦
1= 𝑦
b. 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑂𝑀
𝑂𝑃=
𝑥
1= 𝑥
c. 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑀𝑃
𝑂𝑀=
𝑦
𝑥
2. Cuadrante II.
Figura 12 Cuadrante II
Tenemos que 𝛼 = 90° + 𝛽, las razones trigonométricas fundamentales quedarían
así:
a. 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(90° + 𝛽) =𝑃𝑀
𝑂𝑃=
𝑥
1= 𝑥
b. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠(90° + 𝛽) =𝑂𝑀
𝑂𝑃=
𝑦
1= 𝑦
c. 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑡𝑎𝑛(90° + 𝛽) =𝑀𝑃
𝑂𝑀=
𝑥
𝑦
En el caso de ángulo 𝛼 = ∢ 𝑋𝑂𝑃 se tiene que en el punto 𝑝 = (𝑥, 𝑦) 𝑥 < 0 y 𝑦 > 0
40
Figura 13 Cuadrante IIA
Como 𝛼 = 90° + 𝛽 entonces 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(90° + 𝛽) entonces:
𝑠𝑒𝑛(90° + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛90° ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠90° ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑠𝑒𝑛(90° + 𝛽) = 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 0 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽
Por lo tanto, 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽
3. Cuadrante III.
Figura 14 Cuadrante III
Tenemos que 𝛼 = 180° + 𝛽, las razones trigonométricas fundamentales quedarían
así:
41
a. 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(180° + 𝛽) =𝑃𝑀
𝑂𝑃=
𝑦
1= 𝑦
b. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠(180° + 𝛽) =𝑂𝑀
𝑂𝑃=
𝑥
1= 𝑥
c. 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑡𝑎𝑛(180° + 𝛽) =𝑀𝑃
𝑂𝑀=
𝑦
𝑥
4. Cuadrante IV.
Figura 15 Cuadrante IV
Tenemos que 𝛼 = 270° + 𝛽, las razones trigonométricas fundamentales quedarían
así:
a. 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(270° + 𝛽) =𝑃𝑀
𝑂𝑃=
𝑥
1= 𝑥
b. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠(270° + 𝛽) =𝑂𝑀
𝑂𝑃=
𝑦
1= 𝑦
c. 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑡𝑎𝑛(270° + 𝛽) =𝑀𝑃
𝑂𝑀=
𝑥
𝑦
42
Figura 16 Cuadrante IV A
Como 𝛼 = 270° + 𝛽 entonces 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(270° + 𝛽). Así:
𝑠𝑒𝑛(270° + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛270° ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠270° ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑠𝑒𝑛(270° + 𝛽) = −1 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 0 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽
Por lo tanto, 𝑠𝑒𝑛𝛼 = −𝑐𝑜𝑠𝛽.
El siguiente diagrama muestra los signos de las funciones trigonométricas en los
cuatro cuadrantes.
Figura 17 Signos en los cuadrantes
43
Un caso especial es cuando el ángulo que se mide gira a favor de las manecillas
del reloj, diremos que este es un ángulo negativo, por lo tanto:
Figura 18 Ángulo negativo
Por ejemplo: para un ángulo de 𝜆 = −400° su valor se representará como:
𝜆 = −(360° + 40°)
El radio del vector que hace una revolución completa en sentido negativo y luego
gira 40°. Así la línea límite está en el cuadrante IV el valor 𝑦 es negativa en seno y
en tangente entonces, sus recíprocas cosecante y cotangente también son
negativas.
1.3.11 Gráficas de Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son consideradas funciones de 𝑓: ℝ ⟶ ℝ. En este caso los
elementos del dominio representan la medida en radianes de un ángulo y el rango está
comprendido entre [−1,1] para el caso de las funciones trigonométricas 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 y
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥. Como sabemos, las funciones trigonométricas son periódicas por tanto nos
centraremos en lo que sucede en el intervalo −2 𝜋 ≤ 𝑥 < 2 𝜋.
44
Dada la dificultad para obtener los valores de una función trigonométrica para un ángulo
cualquiera, en la antigüedad se hacía necesario el uso de tablas de funciones
trigonométricas, las cuales eran guardadas celosamente por los que hallaban esos
valores. Actualmente se usan aparatos electrónicos que permiten sacar de inmediato
estos valores.
Gráfica de la función trigonométrica 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 para valores entre −𝟐 𝝅 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝝅
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 = ℝ
𝑪𝒐𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 = ℝ
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = [−𝟏, 𝟏]
𝑪𝒐𝒓𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 = {(𝟎, 𝟎), (𝝅, 𝟎), (𝟐𝝅, 𝟎), (−𝝅, 𝟎), (−𝟐𝝅, 𝟎)}
𝑪𝒐𝒓𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚 = {(𝟎, 𝟎)}
Gráfica 7 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
Gráfica de la función trigonométrica 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 para valores entre −𝟐 𝝅 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝝅
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = [−1,1]
45
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 = {(𝜋
2, 0) , (
3𝜋
2, 0) , (−
𝜋
2, 0) , (−
3𝜋
2, 0)}
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = {(0,1)}
Gráfica 8 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
Gráfica de la función trigonométrica 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 para valores entre −𝟐 𝝅 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝝅
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ − {𝜋
2,3𝜋
2. −
𝜋
2, −
3𝜋
2}
𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ℝ
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 = {(0,0), (𝜋, 0), (2𝜋, 0), (−𝜋, 0), (−2𝜋, 0)}
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = {(0,0)}
46
Gráfica 9 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
Gráfica de la función trigonométrica 𝒚 = 𝒄𝒐𝒕𝒙 para valores entre −𝟐 𝝅 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝝅
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ − {0, 𝜋, 2𝜋, −𝜋, −2𝜋}
𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ℝ
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 = {(𝜋
2, 0) , (
3𝜋
2, 0) , (−
𝜋
2, 0) , (−
3𝜋
2, 0)}
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
Gráfica 10 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑥
47
Gráfica de la función trigonométrica 𝒚 = 𝒔𝒆𝒄𝒙 para valores entre −𝟐 𝝅 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝝅
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ − {𝜋
2,3𝜋
2, −
𝜋
2, −
3𝜋
2}
𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ℝ − (−1,1)
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙𝑒 𝑒𝑗𝑒 𝑥 = 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙𝑒 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = (0,1)
Gráfica 11 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥
Gráfica de la función trigonométrica 𝒚 = 𝒄𝒔𝒄𝒙 para valores entre −𝟐 𝝅 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝝅
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ − {0, 𝜋, 2𝜋, −𝜋, −2𝜋}
𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = ℝ − (−1,1)
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙𝑒 𝑒𝑗𝑒 𝑥 = 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙𝑒 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
48
Gráfica 12 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐𝑥
1.4 Marco Pedagógico - Didáctico
1.4.1 Enfoque Ontosemiótico
En el siguiente trabajo se presenta una secuencia didáctica con base en el modelo del
enfoque Ontosemiótico de Godino, Batanero, & Moll (2012), donde se plantea:
Una primera fase en la que se propone una noción básica para el análisis epistémico y
cognitivo (dimensión institucional y personal del conocimiento matemático), ante una
situación-problema, para este caso, pasar de la razón trigonométrica a la función
trigonométrica. Sin embargo, es importante recordar que en los procesos comunicativos
de la educación matemática, no solo hay que interpretar los conceptos, sino también las
situaciones problemáticas y los propios medios expresivos y argumentativos que
desencadenan procesos interpretativos.
Segundo, supone conocer los diversos objetos emergentes en las diferentes actividades
propuestas, al igual que su estructura. Así, es preciso estudiar con más detenimiento y
profundidad las relaciones dialécticas entre el pensamiento (las ideas matemáticas), el
lenguaje matemático (sistemas de signos) y las situaciones-problemas, para cuya
resolución se desarrollan las diferentes actividades. En consecuencia, previo a la
49
aplicación de las actividades, se ha tratado de progresar en el desarrollo de una ontología
y una semiótica específica que estudie los procesos de interpretación de los sistemas de
símbolos matemáticos puestos en juego en la interacción didáctica.
En una tercera etapa, se distingue un proceso de instrucción matemática con seis
dimensiones, cada una modelable como un proceso estocástico con sus respectivos
espacios de estados y trayectorias:
Epistémica (relativa al conocimiento institucional)
Docente (funciones del profesor),
Estudiante (funciones del estudiante)
Mediacional (relativa al uso de recursos instruccionales)
Cognitiva (génesis de significados personales)
Emocional (que da cuenta de las actitudes, emociones, etc., de los estudiantes
ante el estudio de las matemáticas).
El modelo ontológico y semiótico de la cognición proporciona criterios para identificar
los estados posibles de las trayectorias epistémica y cognitiva, y la adopción de la
"negociación de significados" como noción clave para la gestión de las trayectorias
didácticas. El aprendizaje matemático se concibe como el resultado de los patrones de
interacción entre los distintos componentes de dichas trayectorias. Las herramientas
teóricas elaboradas durante estos tres periodos constituyen el modelo ontológico-
semiótico que sintetizaremos en los apartados siguientes. El modelo aporta
herramientas teóricas para analizar conjuntamente el pensamiento matemático, los
ostensivos que le acompañan, las situaciones y los factores que condicionan su
desarrollo. Así mismo, se tienen en cuenta facetas del conocimiento matemático que
pueden ayudar a confrontar y articular distintos enfoques de investigación sobre la
enseñanza y el aprendizaje y progresar hacia un modelo unificado de la cognición e
instrucción matemática (Malaspina, 2008), p.36.
1.4.2 Niveles de análisis didáctico
Godino (2008) propone cinco niveles o tipos de análisis aplicables a un proceso de
estudio matemático. Estos cinco niveles constituyen una ampliación progresiva de la
capacidad de análisis de los procesos matemáticos a tratar. Veamos el detalle de cada
uno a continuación.
50
1.4.3 Primer nivel de análisis:
Tabla 2 Sistemas de prácticas y objetos matemáticos
Objeto Descripción
Lenguajes.
Previos: Términos y expresiones usadas para referir a los
conceptos, propiedades y procedimientos intervinientes.
Emergentes: En la solución del problema tienen lugar diversos
procesos de producción, transformación e interpretación de signos
(semiosis).
Conceptos.
Previos: Los que el estudiante tiene como antecedentes del tema
propuesto
Emergentes: Con unos conocimientos previos, los estudiantes
pueden tener un mejor aprendizaje de los conceptos propuestos.
Propiedades
Previos: las propiedades de cada uno de los conceptos
Emergentes: las propiedades de la actividad
Procedimientos
Previos: Desarrollo superficial de la actividad
Emergentes: Desarrollo a profundidad de la actividad
Argumentos
Observación detallada de la actividad
51
1.4.4 Segundo nivel de análisis:
Tabla 3 Procesos matemáticos y conflictos semióticos
Procesos Descripción
Procesos de
materialización,
idealización
Los estudiantes sean receptivos al 100% de los temas
propuestos para la secuencia didáctica.
Procesos de
particularización,
generalización
Son los que permiten separar los conceptos principales de
los secundarios.
Procesos de
descomposición,
reificación
Forma en la que el estudiante interpreta cada uno de los
conceptos propuestos.
Procesos de
representación,
significación
Formas matemáticas y geométricas que utiliza el estudiante
para cada una de las actividades.
Procesos de
personalización,
institucionalización
Referente a la relación de los contenidos de las actividades
con el currículo de la institución.
1.4.5 Tercer nivel de análisis:
Tabla 4 Configuraciones y trayectorias didácticas
Trayectoria Descripción
Epistémica,
Cognitiva,
afectiva, e
Guia diseñada y aplicada por el docente, que incluye una secuencia
didáctica de procesos a abordar; dicha secuencia contiene
configuraciones espistémicas. Estas configuraciones están centradas
en abarcar a profundidad cada uno de los conceptos.
Las definiciones y las formas de obtener las identidades
52
Instruccional trigonométricas, son presentadas en días anteriores a la actividad,
para la comprensión del tema.
Aquí el estudiante define, enuncia, fija procedimientos de definición,
enunciación, fijación de procedimientos y por último justifica cada uno
de los procesos.
Elección de las representaciones determinantes para el desarrollo de
la trayectoria didáctica, por medio de la relación con las trayectorias
epistémica: docente y estudiante.
1.4.6 Cuarto nivel de análisis:
Tabla 5 Sistema de normas que condicionan y hacen posible el proceso de estudio.
¿Cuáles son las principales normas que intervienen en las distintas facetas del
proceso de estudio y cómo afectan al desarrollo del mismo?
La implementación del Proyecto Educativo Institucional (PEI), cumplimiento los
requisitos de los estándares Básicos de matemáticas (MEN, 2003).
La utilización de recursos tecnológicos para el cálculo de valores y la
representación gráfica.
Una norma externa al aula que condiciona y orienta el trabajo del profesor, es
la norma ecológica/ cognitiva que puede entrar en conflicto con la práctica
habitual en el estudio de las matemáticas, donde se considera que primero se
presentan los conceptos y procedimientos, ilustrados con ejemplos sencillos, y
después se aplican a otras situaciones más realistas.
Una orientación socio-constructivista del aprendizaje, que valora la autonomía y
el trabajo cooperativo por parte del docente.
Una norma metaepistémica. La respuesta a la pregunta, ¿ha sido efectivo el
entrenamiento en el conjunto de la clase?, requiere de la aplicación de las
normas epistémicas de la trigonometría.
53
1.4.7 Quinto nivel de análisis:
Según (Godino J, 2008), “La aplicación de la noción de idoneidad didáctica
requiere la reconstrucción de un significado de referencia para los objetos
matemáticos y didácticos pretendidos, por lo que la primera cuestión que se debe
plantear se refiere a la caracterización de tales significados” (p.14).
Tabla 6 Idoneidad didáctica del proceso de estudio
Idoneidad Descripción
Epistémica
La situación-problema planteada a los estudiantes identifica las
falencias en los conceptos.
Actividad: evaluación diagnóstica.
Cognitiva
Aplicable a talleres de razón y función trigonométrica.
Profundizar en talleres de ángulos, identidades trigonométricas, ley de
senos y ley de cosenos.
Afectiva
Interés por parte de los estudiantes hacía las actividades.
Dificultades por cansancio o poco interés por las actividades.
Interaccional
Implementación de actividades.
La Discusión y la institucionalización.
Medicional
Dificultades potenciales de los estudiantes.
El tiempo didáctico.
Interacción con el docente.
Ecológica
Interdisciplinariedad de los conceptos.
54
Descrita la idoneidad de cada una de las dimensiones, es necesario reflexionar
sobre si mejora el proceso, en virtud de esto, qué se modificaría de las
dimensiones y así hacer procesos más idóneos. La concepción sistémica de la
Didáctica de las Matemáticas permite afirmar que al cambiar cualquier
componente del sistema didáctico, altera dicho sistema y un equilibrio posterior.
En este equilibrio se valora completamente y no únicamente por el componente
sobre el cual se incluye. Así mismo, buscando mejorar la idoneidad de una de las
dimensiones modifica la idoneidad didáctica global, no exclusivamente la
dimensión intercedida. Los cambios suponen una revisión global de los procesos
y, en particular, la determinación de restricciones, limitaciones o implicaciones
sobre otras dimensiones. (Godino J, 2008)
55
2. Metodología
El enfoque metodológico, para el desarrollo de este trabajo, es cualitativo, por medio del
Enfoque Ontosemiótico relacionado con los objetivos específicos, mencionados en la
introducción. Este enfoque tiene como principal característica la reflexión docente, acerca
de una problemática en un contexto, una clase de matemática, utilizando la noción de
idoneidad didáctica, proporcionada por una síntesis global sobre los procesos de estudio
matemático, pero su aplicación requiere realizar los análisis previos de las diferentes
dimensiones implicadas.
Para desarrollar este proyecto de investigación se tendrán en cuenta los niveles de
análisis didáctico mencionado anteriormente:
1. Sistemas de prácticas y objetos matemáticos
2. Procesos matemáticos y conflictos semióticos
3. Configuraciones y trayectorias didácticas
4. Sistema de normas que condicionan y hacen posible el proceso de estudio
5. Idoneidad didáctica del proceso de estudio
A continuación, se enumeran los pasos seguidos en la metodología para la realización del
proyecto.
Tabla 7 Metodología del Proyecto
Objetivo Especifico Metodología
Identificar los conceptos previos de
las razones y las funciones
trigonométricas por medio de una
prueba diagnóstica.
Seleccionar y consultar bibliografía adecuada
para formular los elementos teóricos:
disciplinares y didácticos para el desarrollo de la
investigacion.
Diseñar, aplicar y evaluar un instrumento de
indagación que permita conocer las percepciones
conceptuales de 30 estudiantes de grado 10° de
la Escuela Tecnológica Instituto Técnico Central
sobre el concepto de razón trigonométrica y
56
sobre el concepto de función trigonométrica. El
instrumento será un cuestionario basado en
cinco preguntas, serán de tipo de respuesta
abierta y el sistema de evaluacion cualitativo.
Diseñar una secuencia didáctica
que permita diferenciar los
conceptos de razón trigonométrica
y función trigonométrica.
Plantear una estrategia sobre el tema a tratar y la
metodología a desarrollar.
Diseñar e implementar las actividades
correspondientes, por medio de cinco talleres,
para el estudio de los conceptos de la razón
trigonométrica y función trigonométrica.
Implementar una prueba de salida
y constatar los resultados con la
prueba diagnóstica.
En esta fase se aplicará una estrategia para
determinar y evaluar los avances de los
estudiantes. Se planteará como instrumento de
seguimiento los niveles de análisis didáctico, los
cuales son una estrategia didáctica que permite
recopilar información por medio de la noción de
idoneidad didáctica, proporcionada por una
síntesis global sobre los procesos de estudio
matemático.
Formular unos datos de evaluación para
evidenciar el impacto de las estrategias
desarrolladas durante cada fase del proyecto por
medio de la idoneidad didáctica.
Redacción de resultados finales.
57
2.1 Diagnóstico de Saberes Previos
El diagnóstico de ideas previas se estructuró con el objetivo de conocer y diferenciar los
conceptos de razón trigonométrica y función trigonométrica. Este se realizó mediante el
diseño de un cuestionario de cinco preguntas abiertas, las cuales exploran las
concepciones que poseen los estudiantes con relación a estos temas. (Anexo 1)
La prueba diagnóstica se aplicó a 30 estudiantes, con edades entre los 14 y 15 años, de
la Escuela Tecnológica Instituto Técnico Central en el grado 10°; la institución cuenta con
jornada única. El instrumento cuenta con una primera pregunta sobre la construcción del
triángulo rectángulo; una segunda que relaciona los lados de un triángulo rectángulo para
hallar razones dado un ángulo 𝜃; una tercera pregunta relacionada con la segunda donde
se pide hallar razones trigonométricas entre lados del triángulo dado; un cuarto punto en
que se debe identificar los conceptos de razón trigonométrica y función trigonométrica por
medio de representaciones; por último, una quinta pregunta abierta que busca encontrar
las diferencias entre razón trigonométrica y función trigonométrica. Para analizar la
información recolectada, a través del instrumento diagnóstico, se elaboró una rúbrica de
valoración para evaluar las respuestas de los estudiantes. Esta se presenta en la
siguiente tabla.
Tabla 8 Rúbrica de Valoración respuestas de estudiantes a la prueba diagnóstica
PREGUNTAS Descriptor 1 Descriptor 2
1. Represente gráficamente un triángulo
rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 con ángulo recto en el
vértice 𝐵 y de lados 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐.
El estudiante reconoce
el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶 ,
rectángulo en B
El estudiante no reconoce
el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶
2. Dado el triángulo rectángulo ∆𝐴𝐶𝐵,
identificar las posibles razones entre los
lados dados y su relación con el ángulo
𝜃.
El estudiante identifica
las razones de un
triángulo ∆𝐴𝐶𝐵 y su
relación con el ángulo 𝜃.
El estudiante no identifica
las razones de un
triángulo ∆𝐴𝐶𝐵 y su
relación con el ángulo 𝜃.
58
Esta rúbrica permitió asignarle una valoración a los resultados de la prueba diagnóstica
realizada por 30 estudiantes y conformar barras porcentuales para formular un análisis
cuantitativo de cada respuesta. Estos se presentaron en el capítulo de Resultados y
Análisis con su respectivo análisis.
2.2 Planeación Didáctica
La estrategia se fundamenta en el Enfoque Ontosemiótico. En este se analizan las tareas
sobre las que se organizan las correspondientes configuraciones didácticas, a nivel de
prácticas operativas y discursivas relativas al contexto institucional fijado, y de procesos
cognitivos asociados, (Godino J, 2008). Así mismo, para estructurar la actividad se
desarrollan cinco niveles: 1. Sistema de prácticas y objetos matemáticos; 2. Procesos
matemáticos y conflictos semióticos; 3. Configuraciones y trayectorias didácticas; 4.
Sistema de normas que condicionan y hacen posible el proceso de estudio; 5. Idoneidad
didáctica del proceso de estudio. Estos niveles cuentan con unas capacidades que
permitirán desarrollar de forma concreta cada una de estos.
El diseño de la estrategia responde también a los Estándares Básicos de Competencias
en Matemáticas del Ministerio de Educación Nacional (MEN)
3. Para el triángulo rectángulo anterior
∆𝐴𝐶𝐵 los lados a=3 y b=4, los valores
de las razones trigonométricas son:
El estudiante halla el
valor de c del triángulo
∆𝐴𝐶𝐵 y halla las
razones trigonométricas
El estudiante no halla el
valor de c del triángulo
∆𝐴𝐶𝐵 por lo tanto no
encuentra los valores de
las razón trigonométrica
4. Para las siguientes expresiones,
exprese con sus palabras las que son
razones trigonométricas y las que son
funciones trigonométricas
El estudiante reconoce
los conceptos de razón
de razón trigonométrica
y función trigonométrica
El estudiante no reconoce
los conceptos de razón
de razón trigonométrica y
función trigonométrica
5. ¿Qué diferencias encuentra entre las
razones trigonométricas y las funciones
trigonométricas?
El estudiante encuentra
diferencias entre razón
trigonométrica y función
trigonométrica
El estudiante no
encuentra diferencias
entre razón
trigonométrica y función
trigonométrica
59
2.3 Análisis por medio del Enfoque Ontosemiótico
Actividad
TALLER # 1 (Ver anexo 2)
MEDIDA DE ÁNGULOS
OBJETIVO: RECONOCER Y APLICAR EL CONCEPTO DE ÁNGULO Y SU RELACIÓN
ENTRE SEXAGESIMAL Y RADIÁN
Capacidades Habilidad para definir los conceptos de ángulo sexagesimal y radián
Estándares
Básicos de
Competencias
en
Matemáticas
(MEN)
Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando
relaciones y funciones trigonométricas
Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en
contextos matemáticos y en otras ciencias
Primer nivel de análisis
Objeto Descripción
Lenguajes.
Previos:
Algebraico (variables, valores, coordenadas)
Aritmético (números enteros, decimales, fracciones, proporciones)
Emergentes:
Medidas de grados
Previos:
60
Conceptos.
Radián
Emergentes:
Vueltas
Igualación
Propiedades
Previos:
El sistema sexagesimal divide en 360 arcos iguales, a la amplitud
de cada arco se le llama un grado.
Sistema radial: Un radián es la medida de un ángulo en el centro de
una circunferencia que subtiende a un arco cuya longitud es igual a
la del radio del círculo.
Emergentes:
El colocar las fórmula de igualación entre grados sexagesimal y
radián ayuda a comprender mejor el concepto
Procedimientos
Previos:
Identifica tres objetos de la vida cotidiana en los cuales se
encuentre: un ángulo agudo, un ángulo recto y un ángulo obtuso
Identifica razones trigonométricas
Completar tablas. Tener en cuenta que π= media vuelta
Emergentes:
Convertir de grados sexagesimal a radián y viceversa.
Argumentos
El taller ha sido efectivo en el conjunto de la clase porque se
comprueba que comprenden mejor los conceptos de ángulo
sexagesimal y radián
El conjunto de la clase ha aumentado el acierto hacia los conceptos
61
de ángulo sexagesimal y radián
La efectividad de la propuesta es justificada por medio de las
definiciones de los objetos conceptuales y los temas propuestos.
Segundo nivel de análisis
Procesos Descripción
Procesos de
materialización e
idealización
Para cada una de las preguntas propuestas debe diferenciar
entre las que son ángulo sexagesimal y radián.
Procesos de
particularización,
generalización
Aunque se muestren formas de caracterizar cada uno de los
conceptos de ángulo sexagesimal y radián cuando se hace
una explicación generalizada de los conceptos, las
respuestas apuntan a una misma vía de exactitud.
Si no hay un 100% en la efectividad de la generalización, no
quiere decir que no se efectivo, esto abre la puerta a nuevas
investigaciones.
Procesos de
descomposición,
reificación
Los conjuntos de las respuestas deben apuntar a unificación
de la misma, pero del mismo modo puede ocurrir que haya
estudiantes que no comprendieron los conceptos y por lo
tanto no encuentran forma de pasar de grados sexagesimal
a radián y esto llevaría a continuar con el proceso y a
realizar modificaciones a la actividad.
Dependiendo de los conceptos previos de los estudiantes, el
desarrollo de la secuencia didáctica se orientará al dominio
de nociones y procedimientos.
62
Procesos de
representación,
significación
Los procesos de representación y significación en cuanto a
la configuración epistémica y procesos matemáticos pueden
ser densos ya que están en juego la resolución de
problemas, son motivo de conflictos semióticos potenciales.
Los estudiantes podrían no relacionarse con los procesos de
modelización y puede que no completen la actividad,
limitando el trabajo con modelos ya obtenidos, pero sin
interpretación correcta de los resultados en el contexto de
los problemas.
Procesos de
personalización,
institucionalización
En una primera parte del proceso de estudio será necesario
lograr que los estudiantes asuman el problema y se
involucren en la solución. (Brosseau, 2011). Es decir, que el
problema sea de interés para ellos. El logro de este apartado
requiere atención permanente del docente al proceso, y es
de responsabilidad del estudiante.
La presentación de los resultados alcanzados por los
estudiantes será de importancia para el análisis de
resultados y las conclusiones.
Tercer nivel de análisis
Trayectoria Descripción
Epistémica,
Cognitiva
afectiva,
Instruccional
La aplicación de las nociones de trayectoria epistémica, cognitiva-
afectiva e instruccional, en los cuales intervienen los docentes,
estudiantes y la parte mediacional, permite realizar análisis detallados
de la construcción de los significados institucionales implementados,
además, de los aprendizajes y de su interacción entre estas
trayectorias, así mismo, el uso de los recursos y el tiempo asignado a
cada configuración epistémica.
En este análisis el estudiante es centro del proceso y serán
63
reconocidos los conflictos cognitivos e interacciónales a que tienen
lugar y sobre cómo se abordan por parte del docente.
Cuarto nivel de análisis
Normas Descripción
Normas
principales y
cómo afectan
al desarrollo
del proceso
La implementación del Proyecto Educativo Institucional (PEI), de los
datos cumple los requisitos de los estándares Básicos de matemáticas
(MEN, 2003). “Describo y modelo fenómeno periódicos del mundo real
usando relaciones y funciones trigonométricas”
La norma instruccional, el PEI como guía fundamental en el proceso de
enseñanza –aprendizaje en la escuela. Si los estudiantes poseen
recursos tecnológicos que le ayuden a entender los conceptos es
bienvenido este recurso.
Quinto nivel de análisis
Idoneidad Descripción
Epistémica
La situación problema creada alrededor de la pregunta, ¿ha sido
efectiva la actividad aplicada a clase?, permite poner en contexto una
gran cantidad de contenidos matemáticos que son importantes en
educación básica y media.
.
64
Cognitiva
La actividad se gradúa y adapta a los diferentes niveles de
competencia matemática inicial de los estudiantes.
En ocasiones se puede definir subtemas adaptables a cada nivel que
tienen los estudiantes.
Afectiva
La actividad es de interés para los estudiantes.
Es necesario conocer las dificultades potenciales de algunos
estudiantes
Interaccional
El desarrollo de la actividad permite la implementación de espacios de
trabajo personal.
La discusión en el grupo y la instrucción del docente permite resolver
los conflictos generados.
Medicional
Es necesario atender a las dificultades de los estudiantes con el uso de
las herramientas de trabajo.
El tiempo proporcionado debe ser suficiente en sus diversas
modalidades: (estudio personal, grupal, tutorial).
Los tiempos de interacción con el docente deben ser tenidos en cuenta
ya que el tiempo de trabajo es reducido.
Ecológica
La actividad cumple con los requisitos propuestos para el grado en
cual se encuentran los estudiantes.
La actividad es interdisciplinar con otras áreas de la institución como lo
son: física y geografía
Los niveles 3, 4 y 5 del primer taller aplicarán para los talleres dos, tres, cuatro y
cinco.
65
Actividad
TALLER # 2 (Ver anexo 3)
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVO: RECONOCER Y APLICAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Capacidades Habilidad para definir los conceptos razón trigonométrica para resolver
triángulos rectángulos.
Estándares
Básicos de
Competencias
en
Matemáticas
(MEN)
Describo y modelo fenómeno periódicos del mundo real usando
relaciones y funciones trigonométricas
Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en
contextos matemáticos y en otras ciencias
Primer nivel de análisis
Objeto Descripción
Lenguajes.
Previos:
Algebraico (variables, valores, coordenadas)
Aritmético (números enteros, decimales, fracciones, proporciones)
Geométrico (Triángulos rectángulos)
Emergentes:
Aplicación teorema de Pitágoras
Previos:
Triángulo rectángulo
66
Conceptos. Razón, proporcion
Emergentes:
Teorema de Pitágoras
Razón trigonométrica
Propiedades
Previos:
Las razones trigonométricas son comparaciones entre los lados de
un triángulo rectángulo
Emergentes:
La colocación de imágenes ayudan a comprender el concepto de
razón trigonométrica
Procedimientos
Previos:
Construye triángulos rectángulos
Identifica razones trigonométricas
Emergentes:
Aplica el teorema de Pitágoras para la solución de triágulos
rectángulos
Argumentos
La actividad ha sido efectiva en el conjunto de la clase porque se
comprueba que comprenden mejor los conceptos de razón
trigonométrica.
El conjunto de la clase ha aumentado el acierto hacia los conceptos
de razón trigonométrica.
La decisión de la efectividad de la actividad tiene su justificación a
67
partir de las definiciones de los objetos conceptuales de razón
trigonométrica.
Segundo nivel de análisis
Procesos Descripción
Procesos de
materialización,
idealización
Para cada una de las figuras propuestas se debe analizar si
procede para aplicarle razones trigonométricas. Esta
decripción (ostensiva) es la que evoca la idea de razón
trigonométrica.
El objeto no ostensivo “la razón trigonométrica” se evoca
mediante la representación de la misma
Procesos de
particularización,
generalización
Aunque se muestren varias formas de caracterizar las
razones trigonométricas, cuando se hace una explicación
generalizada de los conceptos, las respuestas apuntan a una
misma línea correcta.
El hecho de alcanzar un máximo de respuestas correctas en
la generalización quiere decir que el proceso es efectivo.
Procesos de
descomposición,
reificación
Los conjuntos de las respuestas deben apuntar a unificación
de la misma, pero del mismo modo puede ocurrir que haya
estudiantes que no comprendieron los conceptos y por lo
tanto no definen bien razón trigonométrica, esto llevaría a
continuar con el proceso y a realizar modificaciones a la
actividad.
68
Procesos de
representación,
significación
Los estudiantes podrían no estar relacionados con los
procesos de modelización y puede suceder que no
completen la actividad, limitándose a trabajar con el modelo
ya obtenido, pero sin interpretar los resultados en el contexto
del problema.
El desarrollo de la actividad se apoya en el uso de diversas
representaciones gráficas, así como en el uso de términos y
símbolos geométricos.
.
Procesos de
personalización,
institucionalización
Las dificultades observadas en el taller #2, son las referentes
a la ubicación del ángulo recto pedido, por el contrario, los
resultados alcanzados por los estudiantes son los de ubicar
razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Actividad
TALLER # 3 (Ver anexo 4)
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVO: IDENTIFICAR LAS PROPIEDADES DE LAS IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
Capacidades Habilidad para definir las propiedades de las identidades trigonométricas
Estándares
Básicos de
Competencias
en
Matemáticas
(MEN)
Describo y modelo fenómeno periódicos del mundo real usando relaciones
y funciones trigonométricas
Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en
contextos matemáticos y en otras ciencias
69
Primer nivel de análisis
Objeto Descripción
Lenguajes.
Previos:
Algebraico (variables, valores, ecuaciones)
Aritmético (números enteros, decimales, fracciones, proporciones)
Emergentes:
Igualdad
Conceptos.
Previos:
Identidades trigonométricas
Emergentes:
Identidades Recíprocas
Identidad Fundamental y sus Derivadas.
Identidades de Cociente.
Identidades con suma o resta de ángulos.
Ángulos dobles.
Ángulos medios
Propiedades
Previos:
Las identidades trigonométricas son igualdades entre términos.
Las identidades trigonométricas son demostrables geométricamente
70
Emergentes:
De las fundamentales se derivan otras identidades trigonométricas
Procedimientos
Previos:
Verificar cada identidad trigonométrica propuesta
Hallar los valores de los ángulos por medio de identidades
trigonométricas
Emergentes:
Para aplicar identidades trigonométricas es necesario tener bases
de algebra y aritmética.
Argumentos
Las identidades trigonométricas generan dificultades a la hora de
resolver los ejercicios, principalmente por lo que es parecido a una
ecuación y las tratan de resolver como tal.
Segundo nivel de análisis
Procesos Descripción
Procesos de
materialización,
idealización
Aplicar las propiedades de las identidades trigonométricas.
Procesos de
particularización,
generalización
Aunque se muestren formas de llegar a las identidades
trigonométricas, cuando se hace una explicación
generalizada de los conceptos, las respuestas apuntan a una
misma línea correcta.
71
Procesos de
descomposición,
reificación
Ocurre que hay estudiantes que no comprendieron los
conceptos y por lo tanto no aplican propiedades de las
identidades trigonométricas y esto deriva en falencias
respecto a este tema.
.
Procesos de
representación,
significación
Algunos estudiantes pueden no reconocer los significados de
manera inmediata.
El concepto de identidad trigonométrica interviene en el
proceso de compresión del concepto de razón trigonométrica
Procesos de
personalización,
institucionalización
La dificultad más relevante es que los estudiantes confunden
una identidad trigonométrica con una ecuación, por esta
razón hay que profundizar en este tema.
Actividad
TALLER # 4 (Ver anexo 5)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVO: IDENTIFICAR LAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA CONSTRUIR SU GRÁFICA
Capacidades Habilidad para identificar las propiedades para la construcción de la
función trigonométrica.
Estándares
Básicos de
Describo y modelo fenómeno periódicos del mundo real usando relaciones
y funciones trigonométricas
72
Competencias
en
Matemáticas
(MEN)
Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en
contextos matemáticos y en otras ciencias
Primer nivel de análisis
Objeto Descripción
Lenguajes.
Previos:
Algebraico (variables, valores, coordenadas)
Aritmético (números enteros, decimales, fracciones, proporciones)
Emergentes:
Gráficos (funciones trigonométricas).
Conceptos.
Previos:
Triángulo rectángulo
Sistemas numérico
Variables, sistemas de coordenada
Funciones
Emergentes:
Función trigonométrica
Diferencia entre razón trigonométrica y función trigonométrica
73
Propiedades
Previos:
Las funciones trigonométricas son relaciones funcionales
trascendentes que nacen del círculo unitario y son periódicas.
Emergentes:
La proyección de los videos en los que se muestra un poco la
historia de la función, ha resultado efectiva en su conjunto
La clase ha mejorado su enfoque hacia las respuestas a dar.
Procedimientos
Previos:
Completar tablas de valores
Identifica funciones trigonométricas
Relaciona conceptos de razon trigonométrica y de función
trigonométrica
Diferencia razones trigonométricas de funciones trigonométricas
Emergentes:
Para diferenciar razones trigonométricas de funciones
trigonométricas, dar un ejemplo de cada una y observar sus
características.
Argumentos
La presentación de la gráfica de función trigonométrica ayudó a
clarificar los puntos principales para completar la tabla que debían
llenar.
El grupo aumentó el número de aciertos en la construcción de la
gráfica a partir de los datos dados.
74
Segundo nivel de análisis
Procesos Descripción
Procesos de
materialización,
idealización
Para la figura propuesta y la tabla que debe completar tiene
que dominar el concepto de función trigonométrica.
La descripción de la gráfica de función trigonométrica es la
que proyecta el concepto del mismo
Procesos de
particularización,
generalización
Aunque se muestren varias formas de caracterizar las
funciones trigonométricas, cuando se hace una explicación
generalizada del concepto, las respuestas apuntan a una
construcción gráfica correcta.
Procesos de
descomposición,
reificación
Las respuestas apuntan a la claridad del concepto, pero en
los casos que los estudiantes no comprendieron el concepto,
se les proporcionó ayuda para entender los mismos.
Dados los conceptos iniciales de razón trigonométrica, el
desarrollo de la actividad permitió el dominio del concepto de
función trigonométrica.
Procesos de
representación,
significación
La representación gráfica de las funciones trigonométricas
no generó conflictos epistémicos en su concepción
matemática, y con el uso de la calculadora el desarrollo de
los puntos donde se le pidió hallar valores con la misma
optimizó el proceso.
Procesos de
personalización,
institucionalizació
Los resultados obtenidos por los estudiantes, son los
máximos para alcanzar los logros pretendidos para este
taller.
75
Actividad
TALLER # 5 (Ver anexo 6)
LEY DE SENO Y LEY DE COSENO
OBJETIVO: RECONOCER LA LEY DE SENO Y LA LEY DE COSENO PARA RESOLVER
SITUACIONES EN LAS QUE INTERVIENEN TRIÁNGULOS OBLICUOS
Capacidades Habilidad para reconocer la ley de senos y la ley de cosenos para resolver
situaciones en todo tipo de triángulos
Estándares
Básicos de
Competencias
en
Matemáticas
(MEN)
Describo y modelo fenómeno periódicos del mundo real usando relaciones
y funciones trigonométricas
Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en
contextos matemáticos y en otras ciencias
Primer nivel de análisis
Objeto Descripción
Lenguajes.
Previos:
Algebraico (variables, valores, coordenadas)
Aritmético (números enteros, decimales, fracciones, proporciones)
Emergentes:
Geométrico
Previos:
76
Conceptos.
Triángulos
Ley de senos
Ley de cosenos
Emergentes:
Ángulos
Propiedades
Previos:
La ley del seno establece que la relación de la longitud de un lado
de un triángulo cualquiera al seno del ángulo opuesto a ese lado es
igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
La ley del coseno establece que en un triángulo cualquiera el
cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos el doble producto de estos dos lados por el coseno
del ángulo que forman
Emergentes:
Obtener ángulos a partir de estas leyes
Procedimientos
Previos:
Resolver problemas que necesiten de la aplicación de la ley del
seno y la ley del coseno.
Emergentes:
Aplicar la ley de la suma de los ángulos internos de todo triángulo
Argumentos
En su conjunto el taller #5, fue poco efectivo ya que el tiempo
estipulado para la realización del mismo no les alcanzó para la
resolución de los problemas de aplicación de la ley del seno y la ley
del coseno.
Se nota la falta de práctica a la hora de resolver problemas de
aplicación de los conceptos propuestos en una clase.
77
Segundo nivel de análisis
Procesos Descripción
Procesos de
materialización,
idealización
Para cada una de las figuras propuestas debe aplicar la ley
del seno o a ley del coseno. Cada una de estas aplicaciones
es la que evoca la idea de la ley del seno y la ley del
coseno.
El objeto no ostensivo “la ley de senos y la ley de cosenos”
se evoca mediante gráficas de la misma
Procesos de
particularización,
generalización
Aunque se muestran algunas formas de resolver los
problemas de la ley del seno y la ley del coseno, los
procesos llevados a cabo dan a entender que no relacionan
el concepto con la aplicabilidad del mismo.
Procesos de
descomposición,
reificación
Las respuestas varían dependiendo de lo que entendieron
del concepto, y por lo tanto, no encuentran aplicable las
formulas dadas. Esto lleva a profundizar en este tema.
Procesos de
representación,
significación
Dado que la representación de los problemas sobre la ley de
senos y la ley de cosenos están plasmados en el taller #5, se
notó la falta de relación entre el concepto y su aplicación,
generando con esto poca interpretación del contexto del
problema.
Procesos de
personalización,
institucionalizació
Los resultados alcanzados por los estudiantes mostraron
poco progreso colectivo en la aplicación de los conceptos de
la ley del seno y la ley del coseno, con lo cual se hace
importante profundizar en este tema, como se realizó en
clases posteriores.
78
3. Resultados y análisis de resultados
3.1Análisis del Diagnóstico de Saberes Previos
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos de la aplicación del diagnóstico de saberes
previos, que se evaluaron mediante una rúbrica de valoración, en la tabla 7, se presentan
los resultados y un análisis cualitativo de las respuestas dadas por los estudiantes:
Tabla 9 Análisis del diagnóstico de Saberes Previos.
PREGUNTA 1 RESULTADOS
Represente gráficamente un
triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 con
ángulo recto en el vértice 𝐵 y de
lados 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐.
ANÁLISIS
El 70% de los 30 estudiantes reconoce el triángulo ABC con ángulo recto en B, lo que lleva
a pensar que tienen unas buenas bases de geometría. Un 30% de los estudiantes no
reconoce el triángulo ABC.
PREGUNTA 2 RESULTADOS
70%
30%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Descriptor 1 Descriptor 2
79
Dado el triángulo rectángulo
∆𝐴𝐶𝐵, identificar las posibles
razones entre los lados dados y su
relación con el ángulo 𝜃
ANÁLISIS
El 33% de los estudiantes identifica razones trigonométricas en un triágulo rectángulo y el
67% de los estudiantes no identifica razones trigonométricas en un triágulo rectángulo
PREGUNTA 3 RESULTADOS
Para el triángulo rectángulo
anterior ∆𝐴𝐶𝐵 los lados a=3 y
b=4, los valores de las razones
trigonométricas son:
ANÁLISIS
El 24% de los estudiantes diferencia razones trigonométricas y el 76% de los estudiantes
no diferencia razón trigonométricas
PREGUNTA 4 RESULTADOS
33%
67%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
Descriptor1 Descriptor 2
24%
76%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Descriptor 1 Descriptor 2
80
Para las siguientes expresiones,
exprese con sus palabras las que
son razones trigonométricas y las
que son funciones trigonométricas
ANÁLISIS
El 70% de los 30 estudiantes asocia lo que es razón y función trigonométrica. Un 30% de
los estudiantes no asocia lo que es razón y función trigonométrica
PREGUNTA 5. ¿Qué diferencias encuentra entre las razones trigonométricas y las funciones
trigonométricas?
La gran mayoría de los estudiantes no encuentran diferencias entre estos dos conceptos
70%
30%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Descriptor 1 Descriptor 2
81
3.2 Análisis de Actividades
A continuación, se describen los resultados de la estrategia por medio del Enfoque
Ontosemiótico, resaltando las actividades que se formularon para lograr el desarrollo de
cada nivel y así realizar el análisis de los resultados obtenidos.
Actividad: Planteamiento de la Investigación
Resultado
ACTIVIDAD:
1. A través de talleres se realizó la aplicación metodológica de este trabajo,
referenciando los conceptos de razón trigonométrica y función trigonométrica
respectivamente. Por medio de estos se incentivó a los estudiantes a definir los
conceptos expuestos:
Triángulo rectángulo
Razón trigonométrica
Ecuación.
Identidades trigonométricas
Ley de senos y ley de cosenos
Función trigonométrica
Periodicidad
Dominio
Rango.
2. Se hacían pausas entre cada taller para no saturar a los estudiantes
3. Finalmente se realizó un taller de salida, donde se ponían en práctica los
conceptos expuestos en los talleres, para luego preguntar si ¿es posible
diferenciar razón trigonométrica de función trigonométrica?
Análisis
Tras explicar la motivación del tema, los objetivos y competencias matemáticas
82
generales, se realizó la aplicación de 5 talleres, con una duración de una hora cada
uno. Luego de aplicar los talleres sobre los conceptos expuestos se notó un ambiente
calmado y de mucha atención.
Las dudas y preguntas que surgieron con la actividad, fueron, en su mayoría,
relacionadas con la aplicación de los conceptos de la ley del seno y la ley del coseno.
Estas se fueron aclarando a la mayoría de los estudiantes en la medida que el tiempo
lo permitió
En el momento de la contextualización, discusión y sistematización de los
conocimientos puestos, se logró la total atención y el interés por responder lo
aprendido
Se notó un clima de aprendizaje óptimo para el entorno que se presentó.
Nivel 1: Sistemas de prácticas y objetos matemáticos
Resultado
En la implementación de la actividad se presentaron los siguientes conflictos:
confusión a la hora de diferenciar triángulos rectángulos, la no resolución de
identidades trigonométricas y dificultades en la aplicación de los conceptos en la
resolución de problemas.
Análisis
Importante la presencia de definiciones en los talleres. Esto potencializó la definición
de cada uno de los conceptos a la vez que propendió por la diferenciación entre los
mismos.
El proceso de fortalecer los sistemas de prácticas y objetos matemáticos fue
relativamente fácil y logró que los estudiantes tuvieran otra mirada con relación a la
búsqueda de información. Se contribuyó a desarrollar una valoración crítica de la
información presentada, por herramientas tecnológicas, como calculadoras y
graficadoras, ya que estas permiten examinar, articular y reformular los hallazgos y
transformarlos en aportes importantes durante las catividades.
83
Nivel 2: Procesos matemáticos y conflictos semióticos
Resultado
En la implementación de la actividad, la mayor dificultad presentada en los estudiantes,
fue la confusión entre identidad trigonométrica y ecuación.
Análisis
Con el desarrollo de esta dimensión se logró que los estudiantes identificaran cada uno
de los conceptos y los relacionaran con los ejercicios propuestos. Este proceso es
significativo ya que permite que el desarrollo de competencias matemáticas se realice
mediante el cuestionamiento, la indagación y la aplicación de conceptos
interdisciplinares de un problema particular. Es importante resaltar que, en el desarrollo
de este nivel, fue fundamental el rol del docente; ya que es él quien guía las
discusiones y propuestas, encaminándolas al desarrollo de los objetivos. Este proceso
fue significativo, porque generó un cambio de actitud hacia los conceptos y del trabajo
de aula en los estudiantes. Los estudiantes fueron muy participativos y propositivos
durante el desarrollo de la actividad.
Nivel 3: Configuraciones y trayectorias didácticas
Resultado
Los conceptos incluidos en las actividades, son las necesarios para lograr los objetivos
propuestos, en donde, las configuraciones didácticas fueron primordiales a lo largo del
proceso. Las dudas y preguntas se lograron resolver en momentos indicados.
Análisis
La guía de estudio incluida en la presente secuencia, tuvo muchos retos que afrontar.
Si bien es cierto que las configuraciones centradas en el abordaje de cada de uno de
los talleres permitió el desarrollo positivo de cada una de las actividades, no obstante,
y dependiendo de los estados de ánimo de los estudiantes, las respuestas fueron
84
abordadas mediante configuraciones didácticas diferentes. Dado que los conceptos
eran conocidos por los estudiantes, se facilitó la configuración didáctica, y por ende,
resultó más ameno el énfasis magistral.
La enseñanza de la trigonometría genera en los estudiantes conflictos en el
aprendizaje. El método implementado en este trabajo alcanzó las trayectorias
didácticas, desarrolladas por los estudiantes, de forma individual y de forma colectiva;
todo el proceso supervisado por el docente, teniendo en cuenta las normas acordadas
al inicio de cada una de las actividades.
En nuestro caso, se dio significado a la razón trigonométrica y a la función
trigonométrica.
La elección de la herramienta tecnológica fue determinante para el desarrollo de la
trayectoria didáctica por sus interacciones con las trayectorias epistémica, docente y
estudiante, así como con las trayectorias cognitivas de los estudiantes.
El uso de la hoja de trabajo con opciones de respuesta tuvo su potencial utilidad para
realizar ejercicios diversos.
El desarrollo de una actividad en parejas, ayudó a reforzar los conceptos, ya que en
estos momentos fueron confrontados las ideas, los conceptos y los métodos de
resolución de problemas.
El proceso se realizó con la presentación de los temas a los estudiantes, resolviendo
las dudas respecto a la interpretación del contenido y las formas de enfocar las
soluciones. Paso seguido, comenzó la fase personal del trabajo, en la que, los
estudiantes elaboraron respuestas de cada taller, acompañados siempre por el
docente, el cual iba resolviendo sus dudas. Finalmente se presentó en el grupo un
taller (Taller #3), en parejas, donde se compararon los conceptos entre sí, se
explicaron y justificaron las estrategias y soluciones.
85
Nivel 4: Sistema de normas que condicionan y hacen posible el proceso de
estudio
Resultado
Los elementos normativos que estuvieron presente en la actividad fueron: el tiempo
estipulado para el desarrollo de los talleres, el trabajo individual y grupal según el taller,
y la disposición para la realización de la actividad.
Análisis
Según el (MEN, 2003), “Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real
usando relaciones y funciones trigonométricas” es, un medio de lograr que los
estudiantes atribuyan significado a las técnicas y el discurso matemático, y así,
favorecer los procesos de personalización de los conocimientos. Se trata de una
norma externa al aula que condiciona y orienta al docente.
La norma ecológica-cognitiva entra en juego en este trabajo, en la interdisciplinariedad
propuestas en los problemas, en donde se presentaron los conceptos y la forma de
resolver los ejercicios, para más adelante resolver situaciones problemas del contexto
de la realidad, en donde son aplicables todos los conceptos propuestos (Taller #5).
La orientación socio-constructivista del aprendizaje, valora positivamente la autonomía,
y es una fuente de normas para el docente:
La planificación y la aplicación de las actividades se realizó de modo que los
estudiantes tuvieran estrategias para abordar los talleres, los cuales
construyeron los conocimientos de forma autónoma.
En el proceso de las trayectorias cognitivas en los estudiantes aparecieron
bloqueos y conflictos que obligaron al docente a modificar algunas reglas
iniciales, implementando configuraciones de tipo magistral.
Nivel 5: Idoneidad didáctica del proceso de estudio
Resultado
La aplicación de la noción de idoneidad didáctica requirió de la construcción de un
marco de referencia para los objetos matemáticos y didácticos, con el fin de alcanzar
86
los objetivos pretendidos.
Análisis
Respondiendo a la pregunta, ¿qué tan efectivo resultó la actividad?, podemos decir
que permitió la contextualización de los conceptos planteados. También se orientó
hacia la diferencia de los conceptos de razón trigonométrica y función trigonométrica.
Por fuera de la actividad se realizó la construcción de las identidades trigonométricas,
como refuerzo a los conceptos dados.
Estuvieron inmersos varios tipos de representaciones gráficas, que apoyaron la
argumentación matemática de las respuestas de los estudiantes.
La actividad no es graduable a distintos niveles de escolaridad, ya que se trata de
trigonometría la cual es vista por estudiantes de 10°.
El contexto de la actividad es de interés para los estudiantes de grado 10°, ya que, al
contener temas de trigonometría, les facilita empalmar con las temáticas del grado
siguiente, de igual forma, en su paso a la universidad. Por tal razón, es necesario que
el docente conozca las dificultades de los estudiantes a fin de que la mayoría de los
conceptos estén a su alcance. De lo contrario, se generará un factor de rechazo,
ansiedad y temor al estudio, y esto puede ser contraproducente para las aspiraciones
del mismo estudiante.
El desarrollo de la actividad facilitó la implementación de momentos de trabajo
personal, al igual que el trabajo colectivo, y la institucionalización del docente. Todo
esto permitió resolver los conflictos y compartir los significados institucionales
pretendidos.
El tiempo de la secuencia didáctica fue suficiente en la mayoría de las actividades, en
particular, en los momentos de trabajo autónomo de los estudiantes; en el trabajo
grupal la actividad se realizó en menor tiempo.
87
4. Conclusiones y Recomendaciones
Al explorar los conceptos previos de los estudiantes sobre los conceptos de razón
trigonométrica y función trigonométrica se evidencia un desconocimiento sobre las
temáticas expuestas. Esto permite concluir que hay que explicar los conceptos en
el contexto del estudiante para lograr aprendizaje significativo y así mismo puedan
diferenciar entre razón trigonométrica y función trigonométrica, y de este modo,
tener herramientas indispensables para otros cursos de matemáticas superiores
como el cálculo.
Implementar la propuesta evidenció que los estudiantes responden asertivamente a
los niveles de análisis didáctico. Pudiendo concluir que en este proceso de
comprender matemáticas, es fundamental el papel del docente, porque es quien
permite y promueve las interacciones, retroalimenta, facilita los procesos y evalúa.
Esto me permite confiar en la reflexión de los docentes sobre el papel en la
educación, teniendo en cuenta que no es fácil sobrellevar los procesos en una
sociedad que está constantemente en formación y aplicando innovaciones
didácticas, nos permitirá formular experiencias para nuestros estudiantes que
promuevan el desarrollo de su pensamiento matemático y los proyecte hacia una
sociedad más justa y equilibrada
La escuela y los docentes no solo deben ser trasmisores de conocimientos, sino
que deben ser pieza primordial de la integralidad de las áreas y así lograr formar
personas con competencias generales. Por esta razón, es pertinente recomendar la
utilización de ambientes propicios para la enseñanza aprendizaje de las
matemáticas.
88
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91
6. Anexos
Anexo 1
OBJETIVO
ANALIZAR LAS RELACIONES ENTRE LOS
LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Y SU RELACIÓN CON LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Razón trigonométrica y
Funciones Trigonométricas
PRUEBA DIAGNÓSTICA
Escuela
Tecnológica
Instituto
Técnico
Central
El concepto de razón trigonométrica se relaciona directamente con los lados de un
triángulo rectángulo y de aquí resultan las seis razones asociadas a un ángulo agudo
dado 𝜃, (𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑡𝑎𝑛𝜃, 𝑐𝑠𝑐𝜃, 𝑠𝑒𝑐𝜃, 𝑐𝑜𝑡𝜃). Por otra parte las funciones trigonométricas
son funciones f: ℝ ⟶ ℝ que generaliza a cualquier ángulo medido en radianes, un valor
asociado con alguna de las razones trigonométricas previamente escogida.
Resuelva los siguientes ejercicios:
1. Represente gráficamente un triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 con ángulo recto en el
vértice 𝐵 y de lados 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐.
2. Dado el triángulo rectángulo ∆𝐴𝐶𝐵, identificar las posibles razones entre los lados
dados y su relación con el ángulo 𝜃.
92
a. .
b.
c.
d.
e.
f.
3. Para el triángulo rectángulo anterior los lados 𝑎 = 3 y 𝑏 = 4, los valores de las
razones trigonométricas son:
a. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
b. 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
c. 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
d. 𝑐𝑠𝑐𝜃 =
e. 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
f. 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
4. Para las siguientes expresiones, exprese con sus palabras las que son razones
trigonométricas y las que son funciones trigonométricas.
a. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =3
5 ______________________________________________
b. 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 _______________________________________________
c. 𝑡𝑎𝑛𝛼 =√3
2 ______________________________________________
d. ____________________________
5. ¿Qué diferencias encuentra entre las razones trigonométricas y las funciones
trigonométricas?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
93
Anexo 2
Existen varios sistemas de medidas de ángulos. Los más usados son el sistema
sexagesimal y el sistema radial.
El sistema sexagesimal divide en 360
arcos iguales, a la amplitud de cada arco
se le llama un grado.
Sistema radial: Un radián es la medida
de un ángulo en el centro de una
circunferencia que subtiende a un arco
cuya longitud es igual a la del radio del
círculo.
Para pasar del sistema sexagesimal al radial se hace la conversión:
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 180 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
Así por ejemplo la conversión de 45°en radianes es: 𝑥 =45∙𝜋
180 entonces 𝑥 =
𝜋
4
Por lo tanto, 45° 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝜋
4
Los estudiantes responderán las siguientes preguntas de forma individual.
1. Identifica tres objetos de la vida cotidiana en los cuales se encuentre: un ángulo
agudo, un ángulo recto y un ángulo obtuso.
OBJETIVO
RECONOCER Y APLICAR EL
CONCEPTO DE ÁNGULO Y SU
RELACION ENTRE SEXAGESIMAL Y
RADIÁN
MEDIDA DE ÁNGULOS
TALLER # 1
Escuela
Tecnológica
Instituto
Técnico Central
94
2. Completar la siguiente tabla. Tener en cuenta que 𝜋 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
VUELTAS 0 1
4
3
4
GRADOS 0° 45° 150°
RADIANES 𝜋
2
3. Completar la tabla para ángulos notables.
GRADOS 0° 30° 45° 150° 270° 300°
RADIANES 0 𝜋
3
𝜋
2 𝜋 2𝜋
4. Convertir los siguientes ángulos sexagesimales en radianes.
a. 72°
b. 125°
c. 300°
d. 540°
5. Expresar los siguientes radianes en grados sexagesimal
a. 3𝜋
4𝑟𝑎𝑑
b. 2𝜋
3𝑟𝑎𝑑
c. 5𝜋
2𝑟𝑎𝑑
d. 7𝜋
8𝑟𝑎𝑑
95
Anexo 3
Para todo triángulo ∆𝐴𝐵𝐶 rectángulo en 𝐵 y ángulos 𝛼 , 𝛽 se tiene que,
Tenemos los lados 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = ℎ y aplicando el teorema de Pitágoras:
ℎ2 = 𝑎2 + 𝑐2
Razones trigonométricas: a partir de uno de los ángulos que no sea el ángulo recto
podemos definir las siguientes razones entre los lados del triángulo rectángulo.
𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝐴𝐵
𝐴𝐶=
𝑐
ℎ
𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝐵𝐶
𝐴𝐶=
𝑎
ℎ
𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝑐
𝑎
𝑐𝑠𝑐𝛼 =𝐴𝐶
𝐴𝐵=
ℎ
𝑐
𝑠𝑒𝑐𝛼 =𝐴𝐶
𝐵𝐶=
ℎ
𝑎
𝑐𝑜𝑡𝛼 =𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝑎
𝑐
OBJETIVO
RECONOCER Y APLICAR LAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
RESOLVER TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS Y
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
TALLER # 2
Escuela
Tecnológica
Instituto
Técnico
Central
96
Para el siguiente taller se reunirán en parejas y resolverán las siguientes preguntas:
1. Observar el siguiente triángulo ∆𝐴𝐵𝐶. Completar los espacios
(Utilizaremos los conceptos de Teorema Pitágoras teorema y el Teorema de la suma de
los ángulos internos de un triángulo)
a. 𝑐 =_____
b. ∡𝐵 = 90°
c. ∡𝐶 =_____
d. 𝑎 =_____
e. 𝑏 = 5
f. ∡𝐴 =____
2. Hallar las razones trigonométricas en el siguiente triángulo rectángulo. Completar
los espacios.
a. 𝑠𝑒𝑛𝛼 = _______
b. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = _______
c. 𝑡𝑎𝑛𝛼 = _______
d. 𝑠𝑒𝑐𝛼 = _______
e. 𝑐𝑠𝑐𝛼 = _______
f. 𝑐𝑜𝑡𝛼 = _______
g. 𝑠𝑒𝑛𝛽 = _______
h. 𝑐𝑜𝑠𝛽 = _______
i. 𝑡𝑎𝑛𝛽 = ______
j. 𝑠𝑒𝑐𝛽 = _______
97
k. 𝑐𝑠𝑐𝛽 = _______ l. 𝑐𝑜𝑡𝛽 = _______
3. Utilizar los triángulos ∆𝐴𝐷𝐶 y ∆𝑀𝑂𝑁 para completar la tabla.
𝜃(°) 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃
30°
45°
60°
98
Anexo 4
Las identidades trigonométricas son ecuaciones que resultan equivalentes para cada uno
de sus términos entre las más comunes tenemos:
Identidades Recíprocas: 𝒔𝑒𝑛𝛼 =1
𝑐𝑠𝑐𝛼 ; 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑐𝛼 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑡𝛼
Identidad Fundamental y sus Derivadas:
𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2𝛼
1 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼 = 𝑐𝑠𝑐2𝛼
Identidades de Cociente: 𝒕𝒂𝒏𝜶 =𝒔𝒆𝒏𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶 ; 𝒄𝒐𝒕𝜶 =
𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒔𝒆𝒏𝜶
Identidades con suma o resta de ángulos:
𝑠𝑒𝑛(𝛼 ± 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ± 𝑠𝑒𝑛𝛽 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠(𝛼 ± 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑡𝑎𝑛(𝛼 ± 𝛽) =𝑡𝑎𝑛𝛼 ± 𝑡𝑎𝑛𝛽
1 ∓ 𝑡𝑎𝑛𝛼 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝛽
Ángulos dobles:
𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = { 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼
1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝛼2𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1
𝑡𝑎𝑛(2𝛼) =2𝑡𝑎𝑛𝛼
1 − 𝑡𝑎𝑛2𝛼
OBJETIVO
IDENTIFICAR LAS PROPIEDADES DE
LAS IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
TALLER # 3
Escuela
Tecnológica
Instituto
Técnico
Central
99
Ángulos medios: 𝒔𝒆𝒏 (𝜶
𝟐) = ± √
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶
𝟐; 𝒄𝒐𝒔 (
𝜶
𝟐) = ± √
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶
𝟐
𝑠𝑒𝑛 (𝛼
2) = ±√
1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
2=
𝑠𝑒𝑛𝛼
1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼=
1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼
Verificar cada una de las siguientes identidades trigonométricas
1. (𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2. 1 +𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼=
𝑠𝑒𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼
3. 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)
4. 2𝑐𝑠𝑐𝑥 =𝑠𝑒𝑛𝑥
1+𝑐𝑜𝑠𝑥+
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
5. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛2𝛼 − 𝑐𝑜𝑠2𝛽
Hallar el valor de los siguientes ángulos por medio de las identidades de suma o resta
1. Hallar el valor de 𝑐𝑜𝑠75°, tomando 𝑐𝑜𝑠75° = (45° + 30°)
2. Hallar el valor de 𝑠𝑒𝑛15°, tomando 𝑠𝑒𝑛15° = (45° − 30°)
100
Anexo 5
Una función trigonométrica es una relación de 𝑓: ℝ ⟶ ℝ tal que 𝑥 ⟶ 𝑠𝑒𝑛𝑥 entonces
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
Usando calculadora podemos hallar 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛30° entonces 𝑦 = 0.5
De forma individual responder las siguientes preguntas:
1. Completar la siguiente tabla para valores 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 con ángulos entre 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
𝛼 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
𝑠𝑒𝑛𝛼
OBJETIVO
IDENTIFICAR LAS PROPIEDADES DE
LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA
CONSTRUIR SU GRÁFICA
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
TALLER # 4
Escuela
Tecnológica
Instituto
Técnico
Central
101
2. Dada la siguiente tabla, realizar la gráfica de la función trigonométrica 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝛼
con ángulos entre 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
𝛼 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
𝑐𝑜𝑠𝛼 1 √3
2
√2
2
1
2
0 -1 0 1
102
Anexo 6
La ley de los senos: establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo
cualquiera al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos
en un triángulo dado. Es así como en un triángulo cualquiera ∆𝐴𝐵𝐶 con lados 𝑎, 𝑏, 𝑐, se
tiene: 𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
La ley de los cosenos: En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos dos lados por
el coseno del ángulo que forman.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐶
OBJETIVO
RECONOCER LA LEY DE SENO Y LA
LEY DE COSENO PARA RESOLVER
SITUACIONES EN LAS QUE
INTERVIENEN TRIÁNGULOS OBLICUOS
LEY DE SENO Y LEY DE
COSENO
TALLER # 5
Escuela
Tecnológica
Instituto
Técnico
Central
ab
cA B
C
103
Resolver los siguientes problemas:
1. Una antena de radio está sujeta con cables de acero, como se muestra en la
figura. Hallar la longitud de los cables.
Solución:
2. En el mar hay tres islas. Si sabemos que la distancia entre las islas 1 y 2 es de 18
Km., la distancia entre las islas 1 y 3 es de 22 Km. y además se sabe que el
ángulo que se forma desde la isla 1 al mirar hacia las demás islas es de 75°.
Entonces:
a. Calcular la distancia entre las islas 2 y 3.
b. Hallar los ángulos B y C de la gráfica.
º62 º46A B
C
m80
ab
104
Anexo 7
Resuelva los siguientes ejercicios:
1. Represente gráficamente un triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶 con ángulo recto en
el vértice 𝐴 y de lados 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐.
2. Dado el triángulo rectángulo ∆𝐴𝐶𝐵, identificar las posibles razones entre los
lados dados y su relación con el ángulo 𝜃.
OBJETIVO
ANALIZAR LAS RELACIONES ENTRE
LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO Y SU RELACIÓN CON
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Razón trigonométrica y
Funciones Trigonométricas
PRUEBA DE SALIDA
Escuela
Tecnológica
Instituto
Técnico
Central
105
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. Para el triángulo rectángulo anterior si le damos valores a los lados 𝑎 = 3
y 𝑏 = 4, los valores de las razones trigonométricas son:
a. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
b. 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
c. 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
d. 𝑐𝑠𝑐𝜃 =
e. 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
f. 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
106
4. Completar la siguiente tabla :
𝜃(°) 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃
0°
30°
45°
60°
5. Para las siguientes expresiones, exprese con sus palabras a qué concepto
pertenece.
a. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =3
5
b. 𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
c. 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
d.
