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Matemáticas 1 S E C U N D A R I A

SOLUCIONARIO

Matemáticas 1

SOLUCIONARIO

S E C U N D A R I A

Índice

Unidad 1 1Me preparo 2S 1. De fracciones decimales a notación decimal y viceversa 4S 2. Recta numérica, densidad y orden 9S 3. Resuelve problemas que impliquen sumas y restas 17S 4. Multiplicación con números fraccionarios y decimales 24S 5. Resolución de problemas de división con decimales 28S 6. Ángulos, triángulos y cuadriláteros 30S 7. Triángulos, cuadriláteros y congruencia 34

Lo que aprendí 37Convivo 39Evaluación 39Matemáticas prácticas 39

Unidad 2 40Me preparo 41S 8. Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis 43S 9. Resolución de problemas con valores faltantes 45S 10. Porcentajes 49S 11. Perímetros y áreas 52S 12. Ecuaciones lineales 59S 13. Resolución de ecuaciones lineales 61S 14. Medidas de tendencia central 66S 15. Moda, media aritmética y mediana 69

Lo que aprendí 75Convivo 77Evaluación 77

Unidad 3 78Me preparo 79S 16. Situaciones de variación proporcional 81S 17. Pendiente de una recta y razón de cambio 85S 18. Análisis y comparación de situaciones de variación lineal 90S 19. Sucesiones y expresiones algebraicas 95S 20. Congruencia de triángulos y aplicaciones 102S 21. Volumen de prismas rectos 107S 22. Gráficas circulares 112S 23. El azar y la probabilidad frecuencial 120

Lo que aprendí 126Convivo 128Evaluación 128Matemáticas prácticas 128

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Unidad 1

U1

2

Matemáticas 1 • Infinita • Bloque 1

14

U1Fracciones

y decimales

Conversión de fracciones y decimales

1. Resuelve las situaciones.a) Carlos, Claudia y Ana compraron 5 barras de amaranto y quieren repartirlas

en partes iguales.• Si cada uno tomó una barra entera, ¿en cuántas partes deben dividir las

barras restantes para que todos tengan la misma cantidad?

• Divide las barras de acuerdo con tu respuesta.

• ¿Qué fracción representa cada una de las partes en las que dividiste una barra?

• ¿Qué cantidad de amaranto recibirá cada uno? b) Observa la imagen. ¿Qué fracción del total de animales representan los que

son mamíferos?

c) Indica en cada caso la fracción del entero que está sombreada.

2. Resuelve.

a) Antonio fue a la tienda y pidió 34

kg de lentejas. Si el tendero sólo tiene bolsas de 0.250 kg, ¿cuántas le debe dar a Antonio?

b) ¿Cuántos envases de jugo de 0.200 L se necesitan para llenar una botella de 8

10 L?

© T

odos

los d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C.

V.

R. M. Cada barra debe dividirse en tres partes iguales.

Tres bolsas

Cuatro

13

14

14

23

36 =

12

410

y 25

53


U1

3


15

Suma y resta de fracciones

Rectas paralelas y secantes

Ángulos y su medición

Propiedades y característicasde triángulos

3. En la recaudación de bienes para ayuda a los damnificados por el terremoto del 7 de septiembre de 2017 en Chiapas, México, el grupo 1° C recaudó lo si-guiente en arroz.

Alumno Cantidad

Carlos12

kg

Claudia34

kg

Ana38

kg

Gustavo32

kg

a) ¿Qué cantidad, en kilogramos, se recaudó entre los cuatro alumnos? b) Si de la cantidad total se separaron 1 1

8 kg para hacer una despensa con pro-

ductos varios, ¿qué cantidad de arroz quedó? 4. Clasifica los siguientes pares de rectas en la tabla.

5. Mide los siguientes ángulos e indica si son agudos, obtusos, rectos o llanos.

6. Traza la altura de los triángulos, considera el lado rojo como base.

7. Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Si tuvieron dificulta-des para responder, organícense en equipos para resolverlas, para ello pueden investigar en diferentes fuentes. Al final validen sus respuestas entre todos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

ParalelasSecantes

Perpendiculares No perpendiculares

Medida: Medida: Medida: Medida: Medida:

Tipo: Tipo: Tipo: Tipo: Tipo:

© T

odos

los d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C.

V.

258

Kg

2 Kg

30°

Agudo

45°

Agudo

90°

Recto

135°

Obtuso

180°

Llano

a b c

d e h

f g


U1

4


De fracciones decimales a notación decimal y viceversaNotación decimal y fracciones decimales

Página 16

1. a) 8.050 kgb) Mayor de 8 kg.c) R. M. El excedente es de 50 gramos. Dado que el peso total de cualquier producto es superior a

esta cantidad, quitando completamente cualquiera de ellos se soluciona el problema. Propicie una solución más práctica, por ejemplo: comprar menos acelgas.

d) R. L. Por ejemplo, expresar en gramos todas las cantidades y después sumarlas.

Fracciones equivalentes y decimales1. a) R. L. b) 34

c) R. L. No importa el orden de la selección mientras sólo se coloreen 6.

d) 68 e) Son áreas iguales.f) Las fracciones son iguales.g) R. M. Al multiplicar por 2 tanto el numerador como el denominador de la fracción del inciso b se

obtiene la fracción del inciso d. También se puede observar que el cociente de los numeradores es el mismo que el de los denominadores.

h) R. M. Una fracción numérica representa el número de partes (denominador) en que se ha dividido un entero, y cuántas de ellas se están considerando (numerador).

Página 17

2. a) • 14 ! 28 •

12 "

38 •

510 "

1016 •

68 !

1216

• 1216 ! 34 •

78 "

1016 •

916 "

38 •

1416 !

78

3. • 87 ! 2421 , multiplicar por 3. •

2545 !

59 , dividir entre 5.

• 410 ! 25 , dividir entre 2. •

3645 !

45 , dividir entre 9.

• 3344 ! 34 , dividir entre 11. •

35 !

60100 , multiplicar por 20.

4. • 3225 ! 128100 •

43125 !

3441 000

• 1640 ! 400

1 000 • 47 , no es posible obtener una fracción equivalente con denominador

que sea potencia de 10.

• 3050 ! 60

100 • 23 , no es posible obtener una fracción equivalente con denominador

que sea potencia de 10.a) R. L.

S1

L1

Inicio

Desarrollo


U1

5


b) R. L. Cerciorarse de que el alumno comprenda cuándo una propiedad es general y cuándo es parcial. Por ejemplo, pedir al alumno que indique cuál de las siguientes propiedades es general y cuál parcial: cuando se multiplica un número por 10, el resultado termina en 0; cuando un número se multiplica por 5 el resultado termina en 5.

c) R. M. El denominador de la fracción se debe poder obtener multiplicando únicamente los números 2 o 5.

Página 18Conversión de fracciones y decimales5. a) 0 b) 2 c) Milésimos. d) Décimos. 6.

Número Como fracción Como decimal

Dos décimos2

10 0.2

Veintitrés centésimos23

100 0.23

Trescientos cuatro centésimos304100 3.04

a) • R. L.• R. M. El número de ceros del denominador coincide con el número de cifras después del punto

decimal. b) R. M. El valor posicional (décimos, centésimos, milésimos, etcétera) indica la magnitud del denomi-

nador (diez, cien, mil, etcétera). Por ejemplo, 0.02 (dos centésimos) se expresa como una fracción

con denominador cien: 2

100 ; mientras que la fracción decimal equivalente a 0.0003 (tres diezmilési-

mos) tiene a diez mil como denominador: 310 000 .

c) R. M. De decimal a fracción: se escriben en el numerador todas las cifras del decimal sin punto, y el denominador será el múltiplo de diez que tenga tantos ceros como cifras haya después del punto decimal; por ejemplo,

4.587 = 4 5871 000 .

De fracción decimal a número decimal: se escribe el numerador y el punto se coloca (de dere-cha a izquierda) después de la cifra que ocupe la posición que coincida con el número de ceros del denominado: 21 574

1 000 = 21.574.

7. a) El resultado es 3.04, y es igual al del tercer ejercicio de la tabla.b) Las fracciones son equivalentes. Si el numerador y el denominador de la fracción 7625 se multiplican

por 4 se obtiene 304100 .

Página 198.

NúmeroDivisión de numerador entre el denominador

¿Cuántos ceros tiene el denominador?

¿Cuántas cifras decimales hay en el número decimal

correspondiente?23410 23.4 1 1

74100 0.74 2 2

32110 32.1 1 1

4031 000 0.403 3 3


U1

6


NúmeroDivisión de numerador entre el denominador

¿Cuántos ceros tiene el denominador?

¿Cuántas cifras decimales hay en el número decimal

correspondiente?1

100 0.01 2 2

1 007100 000 0.01007 5 5

a) R. M. El número de ceros en los denominadores de las fracciones decimales y la cantidad de cifras decimales de los números decimales correspondientes coinciden.

9. a) 1175 ! 23410 ! 23.4 e)

920 !

45100 ! 0.45

b) 16150 ! 322100 ! 3.22 f)

2825 !

112100 ! 1.12

c) 4031 000 ! 0.403 g) 1

100 000 ! 0.00001

d) 4031 000 ! 0.403 h) 5 8421 000 ! 5.842

Página 20

10. a) 301500 ! 0.602 c) 1325 ! 0.52

b) 4125 ! 0.032 d) 38 ! 0.375

Conversión de decimales a fracciones

11.

Número decimal Número con letra Fracción decimal

0.52 Cincuenta y dos centésimos52

100

0.102 Ciento dos milésimos102

1 000

0.9 Nueve décimos9

10

0.023 Veintitrés milésimos23

1 000

3.21R. M. Trescientos veintiún centésimos, o bien, tres enteros y veintiún centésimos

321100

1.2 R. M. Doce décimos, o bien, un entero y dos décimos1210

12. a) Treinta y cinco centésimos. b) 35100 c) Doce diezmilésimos. d) 12

10 00013. a) R. M. Sí. Se puede comprobar con la equivalencia de las fracciones correspondientes, o con la

igualdad del cociente de 10 entre 100 y el cociente de 1 entre 10. También se puede recurrir a la representación gráfica de las fracciones.

b) 0.1, 0.02 y 0.007.

c) 1271 000 d) 0.127 e) 1271 000


U1

7


14. a) R. L. Si lo considera necesario puede incluir otros casos y pedir a los alumnos que los nombren, por ejemplo 0.3200 y 0.320.

b) 121 000 y 1 200 000

100 000 000 .

Página 21 c) R. M. Son equivalentes. Si se multiplican por cien mil tanto el numerador como el denominador de

la primera fracción, se obtiene la segunda fracción. d) R. M. No tienen valor. Los ceros después del 2 corresponden a diez milésimos, cien milésimos,

millonésimos, etcétera; pero con valor cero.15. a) • 1.25 + 0.325 + 0.038 + 2.5 = 4.113

• 3.75 + 26.025 + 4.5 = 34.275• 0.234 + 2.45 + 3.078 = 5.762• 0.75 + 1.75 + 2.75 + 3.75 = 9

b) • 10 000 + 300 + 2 000 + 1100 000 ! 12 301

100 000 ! 0.12301

• 1 800 + 100 + 8 900 + 5 00010 000 ! 15 80010 000 ! 1.58

• 8 + 30 + 70 + 98100 ! 206100 ! 2.06

c) R. L. Independientemente de cuál sea la elección del alumno, es importante destacar las ven-tajas de la conversión entre fracciones decimales y números decimales.

1. R. L. Para responder el inciso a de la actividad de la sección Inicio, resulta conveniente usar el kilogramo como unidad de medida y expresar todas las cantidades como números decimales.a) R. L.

2. 2341 000 y 0.234.

3. Diez mil cuatrocientos dos cienmilésimos.

4. 2.25 kg o 225100 kg.

Cierre

Fracciones decimales y aproximación a fracciones no decimales

Página 22

1. a) R. L. b) R. L. c) R. L. d) R. L. Asegurarse de que el alumno comprenda que aunque la división tiene una cantidad infinita

de decimales no es posible expresar todos.

Decimales infinitos

1. • 2 34 con 2.750. • 1

1 000 con 0.001. • 25 con 0.40.

• 23 no aparece su expresión decimal en la lista. • 23

100 con 0.23.

a) 23 b) 25 c) R. L.

L2

Inicio

Desarrollo


U1

8


2. a) No. b) No; porque son una cantidad infinita.c) R. L. El alumno debe observar que 0.6666 # 23 y 0.6667 $

23 .

Página 233.

FracciónEscribir como

fracción decimalDividir numerador entre denominador

Expresar como decimal

225

8100 0.08 0.08

13 No se puede. 0.33333333333333… 0.33333333333…

4. a) Dos.b) No.c) Una cantidad infinita.d) El número de cifras decimales de la primera es finito y el de la segunda no.e) R. M. 16 ,

19 y

17 . Analizar con los alumnos las fracciones

13 ,

23 ,

33 ,

43 ,

53 ,

63 , etcétera.

5.

Fracción Número decimal Dígitos que se repiten

16 0.16666666 Se repite el dígito 6

1 625825 1.96969696 Se repiten los dígitos 9 y 6

225 0.08000000 No se repiten dígitos diferentes de 0

8299 0.82828282 Se repiten los dígitos 2 y 8

17 0.142857142857 Se repiten los dígitos 1, 4, 2, 8, 5 y 7

Página 246. a) 0.8 c) 0.008

b) 0.08 d) 0.00087.

0. 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2

7 6

4 0

5 0

1 0

3 0

2 0

6

a) Se repiten 6 dígitos en el cociente y 6 dígitos en los residuos parciales.b) El primer residuo parcial que se repite es 6 y el dígito que le corresponde en el cociente (8), también

se repite. El resto de los dígitos en el cociente también se repetirán.


U1

9


8. a) R. L.b) Finita.c) 21100 , finita;

3310 , finita;

431 000 , finita.

d) Todas son fracciones decimales.e) Las fracciones decimales tienen una expansión decimal finita.

Truncamiento y redondeo9. 0.2222222222

a) 0.2b) R. L.

Página 2510. 0.7777777778 a) 0.7 b) R. L.11.

Número decimal

Trunca a cinco decimales

Redondea a cinco cifras después del punto

3.1415 3.14151 3.14152

0.001 0.00101 0.00101

0.89 0.89898 0.89899

a) R. M. No son iguales, tienen diferente cantidad de cifras decimales. b) Primera fila: 3.14151, 3.1415 y 3.14152. Segunda fila: 0.00101, 0.00101 y 0.001. Tercera fila: 0.89898, 0.89 y 0.89899.

1. a) Seis: 2, 3, 8, 0, 9 y 5.b) R. M. Carlos tiene razón, sin embargo es más práctico usar el redondeo (Pablo) o el truncamiento

(Sofía).c) R. M. Generalmente la calculadora redondea la última cifra que puede escribir.

Cierre

Piensa y sé críticoEn la segunda se usó el redondeo y en la primera se usó el truncamiento.

Recta numérica, densidad y orden

Fracciones decimales y aproximación a fracciones no decimales

Página 26

1. a) R. L. Por ejemplo, dividiendo el largo de la calle en 7 partes iguales, los faroles se ubicarían en las seis divisiones intermedias.b) R. M. El farol se ubica en el punto 3

7 del largo de la calle.

c) R. L.

S2

L1

Inicio


U1

10


La recta numérica1. a)

• En el punto X.• 4 unidades.• R. M. Se divide el segmento en 6 partes iguales y la cuarta división corresponde al punto Z.

Página 27

b)

• En el punto A.• En el punto B.

c)

• En el punto D.• En el punto E.

d) No, ya que tienen diferentes longitudes.

2.

• R. M. Como la distancia entre 1 y 52 es de 32 , al dividir el segmento que los une en tres partes

iguales, se obtiene la distancia correspondiente a 12 . Así, un punto a la izquierda del 1 con esta

longitud corresponde a la fracción 12 .

• R. M. Para determinar una distancia. • R. M. Trasladando la distancia entre los puntos 12 y 1, a la izquierda del punto

12 .

• R. L. Comente a sus alumnos que teniendo identificados el 0 y el 1, es posible usar esta longitud como unidad de medida o escala para verificar la ubicación del resto de las fracciones.

3. a) R. L. Al no tener identificado otro punto de la recta, la escala puede ser tan grande o pequeña como el alumno decida. Mencionar que 25 debe estar a la izquierda de 3, pues es menor.

Página 28• R. M. Cada quien ubicó la fracción 25 en un lugar diferente.• R. M. Se usaron distintas escalas. • R. M. Sí, pues no hay restricción en la unidad de medida.

b) R. L. La fracción 13 debe estar a la derecha del 0.• R. M. En general, los puntos no coinciden.• R. M. Se emplean distintas escalas.

Desarrollo

Z YX

A C B

1 unidad 34

1 unidad

D E

35

F

0 11254

94 2

5


U1

11


• R. M. Sí. Las posiciones de las fracciones en la recta difieren porque la escala utilizada se elige de manera arbitraria.

4. a) R. L.• R. M. En general, la ubicación de la fracción es diferente.• R. M. No hay restricciones para ubicar el punto.• R. L. La elección que cada alumno hace es arbitraria.• R. L. Es probable que algunos alumnos no ubiquen el 0 o el 1 antes de ubicar 14 .

Página 29Densidad de los números fraccionarios5. a) R. L.

• R. L. • R. L. Es posible que coloquen el punto a la mitad de las fracciones 13 y

23 , pero que errónea-

mente la etiqueten como 12 . Sin profundizar en los nombres de las fracciones, induzca a los

alumnos a observar que hay más de una fracción entre 13 y 23 .

• R. L.• R. L.

b) R. M. El punto medio de otros dos es aquel que se encuentra entre ambos y a la misma distancia de ellos.

6. a) 36 , o bien, 12 .

b) R. M. Siempre habrá un punto medio entre dos puntos dados.c) Sí. d) Hay una infinidad de puntos y una infinidad de fracciones.

7.

a) 13 , 5

12 y 12 .

b) R. L. Por ejemplo, dividir el segmento en tres partes iguales para ubicar 13 , después dividir en dos partes iguales para ubicar 12 y finalmente dividir en doce partes iguales para ubicar

512 . En

la última división, resalte que 13 y 12 son parte de ella.

c) Un punto que represente a un número mayor que 13 , menor que 23 y distinto a

12 .

8. R. L. a) 18b) Mayor.c) R. L. Por ejemplo, 17 .

Página 30 d) Está ubicada entre ambas fracciones. e) Está ubicada entre ambas fracciones. f) Dos: 16 y

17 .

9. a)

0 13

512

12

1

727

827

0 1

13

36

0 123


U1

12


b) R. L. c) R. L.10. Equivalentes. a) R. L. Cualquier fracción con denominador 270 y numerador entre 70 y 80. Por ejemplo: 75270 , 76

270 y 77

270 .

b) R. M. Sí. 7812 700 , 782

2 700 , 783

2 700 y 784

2 700 ; 78

270 es equivalente a 780

2 700 , por tanto, las cuatro fraccio-

nes son mayores que ésta, a su vez, son menores que 79270 , ya que esta última es equivalente

a 7902 700 .

11. Son equivalentes. a) R. L. b) R. M. Se pueden encontrar infinidad de fracciones entre 727 y

827 .

Página 3112. R. L. a) R. M. Una cantidad infinita, porque entre dos fracciones siempre habrá otra fracción. b) R. L. c) Una infinidad de fracciones. d) R. L.13. a) R. L. Por ejemplo, 148 ,

135 y

1300 .

b) R. M. Sí, con cualquier denominador mayor que los denominadores de las fracciones anteriores se obtiene una fracción menor.

c) R. L. d) R. L. Resaltar que entre más grande sea el denominador, más pequeña será la fracción.

1. a)

b) El segundo farol.c) En el tercer lugar.d) R. L.e) R. L. De acuerdo con los conceptos trabajados en la secuencia, una respuesta posible sería que

cabe un número infinito de faroles; sin embargo, se debe considerar que los faroles tienen un ancho, por lo que es necesario tomar en cuenta sus medidas para responder.

Cierre

50270

60270

70270

80270

76270

77270

75270

0 1


U1

13


Ubicar números decimales en la recta y concepto de densidad

Página 32

1. a) R. L. A partir de las medidas mostradas se puede obtener la escala, por ejemplo, dividiendo el segmento de 0.40 a 0.70 en tres partes iguales, se obtiene la longitud para 0.10 y con ella se pueden determinar los puntos 0.50 y 1.00.

b) R. M. Conociendo los puntos para 1.00 y el punto medio entre 0.20 y 0.30 es posible determinar 1.25 m.

c) R. M. Conociendo los puntos 0.80 y 0.90, el punto medio corresponde a 0.85 m.d) 40 cm. e) R. L. f) R. L.

Los decimales en la recta numérica1. a)

b) R. M. 310 , porque es la conversión de 0.3 a fracción decimal.

c) R. M. Dividiendo el segmento entre 0 y 1 en diez partes iguales y tomando las tres primeras partes.2. R. L. El alumno puede colocar el punto sobre la recta en cualquier lugar que esté a la derecha del 0.

a) R. L. b) R. M. En diez partes. c) R. M. En el tercer punto después de 1.

Página 333. a)

• R. M. El segmento que va de 0 a 6 se divide en seis partes iguales. Después, el segmento entre la cuarta y quinta divisiones se divide en 10 partes iguales. La tercera de estas últimas 10 par-tes corresponde al punto 4.3.

b) • 0.5• Sí, con 510 .

c) R. L.

Densidad de los números decimales4. a)

• R. L.• 26100• R. L. Podría ser en 100 para ubicar 26100 , o bien, en 50 para encontrar

1350 .

• R. L.

• R. L. Por ejemplo, dividiendo el segmento entre 0.25 y 0.26 en 10 partes iguales y tomando la división número 5 de izquierda a derecha.

•

L2

Inicio

Desarrollo

0

310

1 2

Z

0 6

0 10.26

0 10.26

0.25

0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30

0.255


U1

14


Página 34b) 0.2555

• R. L. Por ejemplo, se pueden sumar ambos valores y dividir la suma entre 2. Otra opción es convertir 0.250 y 0.260 a las fracciones decimales 255100 y

256100 que son, a su vez equivalentes a

2 5501 000 y

2 5601 000 , de donde su punto medio es

2 5551 000 .

• R. L.• R. L. Por ejemplo: 0.25551, 0.25555, 0.25558, etcétera.• R. M. Hay un número infinito de números porque siempre hay un número decimal entre dos

números decimales dados.• R. M. Sí, porque todos los números que se han considerado son mayores que 0.25 y menores que

0.26.

• 2 55510 000 y 2 556

10 000.

• Una infinidad de fracciones.• Una infinidad de números decimales.• Una infinidad de números decimales.• R. L.

5. a) 9b) Cero.c) Cero.d) R. M. Dos números fraccionarios siempre tienen un número fraccionario intermedio, mientras que

dos números naturales consecutivos no tienen otro natural intermedio. e) R. L.

Página 356. a) R. L.

b) R. L.c) R. M. Sí. Sólo es necesario agregar más ceros a la izquierda de la cifra que es diferente de 0.

Por ejemplo, si se considera 0.0007, uno menor podría ser 0.00007.d) R. L.e) R. M. Una infinidad de números.f) R. M. Una infinidad de números. g) R. M. 0.0000005 y 0.0000006 se encuentran entre 0.000001 y 0.0000001.h) R. M. 0.00000055 se encuentra entre 0.0000005 y 0.0000006.

1. a)

b)

c) R. M. Si ubicamos el punto medio entre 910 y 1, obtenemos el punto 0.95, que corresponde a 95 cm, con él podemos hacer mediciones de esa magnitud.

d) R. M. Yuxtaponiendo dos veces la regla se miden 2 m de tela, después ubicando el punto medio entre 0.30 y 0.40 se miden los 35 cm faltantes.

e) R. M. Sí, si se divide el metro en 1 000 partes iguales.

0.250 0.2600.2555

Cierre

0.40 0.700 1

0.40 0.700 10.10 .2 310

12

0.60 0.80 910

0.


U1

15


Orden de fracciones y decimales

Página 38

1. a) 2010 b) 2010 c) R. L. d) R. L.

Orden de números fraccionarios1. 87 # 88 # 98 # 234 # 243 # 456 689 # 456 789 # 456 799 # 4 567 899

a) R. L. b) R. L.c) • R. M. El valor posicional de un dígito es el valor que tiene respecto a la posición o ubi-

cación que ocupa dentro de un número. Por ejemplo, el valor posicional del 3 en 123 es de unidades, y difiere del valor que tiene en 2 314 que es de centenas.

• R. M. Dados dos números naturales, el número mayor será el que tenga más cifras, si ambos tienen la misma cantidad de cifras el número mayor será el que tenga la cifra con mayor valor posicional.

2. a) Tres. d) Tres cuartas partes de la figura. b) Cuatro. e) 48 , o bien,

12 .

c) En la figura a. f) R. M. 34 , porque en la representación gráfica ocupa más área.

Página 39

3.

L3

Inicio

Desarrollo

Fracciones Escriban la fracción mayor o indiquen si son equivalentes Expliquen su decisión

52

o 72

72 R. L.

1116

o 1316

1316 R. L.

343

o 543

543 R. L.

1033

o 1233

1233 R. L.

1315

o 1415

1415 R. L.

325

o 625

625 R. L.

91323

o 95323

95323 R. L.

f) R. M. Teóricamente es posible; sin embargo, cada marca ocupa un espacio, por lo que éstas limitarían el número de divisiones que se puedan hacer.

2. a) R. M. Algunas respuestas son: 3.015, 3.017, 3.014, etcétera.b) Hay una infinidad de números decimales.

Página 36-371. R. M. No, porque entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.

Por ejemplo, entre 6 y 7 no existe ningún número natural intermedio.2. R. M. Porque sin importar cuáles sean esos dos números, su punto medio es otra fracción.3. R. M. Sí, siempre se cumple sin importar el número entre el cual se divida el intervalo.


U1

16


a) R. M. Cada par de fracciones tiene el mismo denominador. La fracción mayor es la que tiene el numerador más grande.

4.

a) R. M. En cada par, la fracción mayor es aquella cuyo denominador es menor.b) R. L.

Página 405.

a) 315 # 13 #

411 #

821 #

25 #

1217 #

8891 #

1311

b) Coinciden.

Orden de números decimales6.

Números decimales Escriban el número mayorExpliquen cómo

lo eligieron

1.02 o 2.01 2.01 R. L.

0.201 o 0.2012 0.2012 R. L.

0.022341 o 0.02033 0.022341 R. L.

45.302012 o 45.320012 45.320012 R. L.

a) R. L.7.

a) 0.1, 0.15, 0.2, 0.5, 0.65, 0.75, 1.1, 1.2, 1.25, 1.75, 1.8, 2.1.b) El orden de los números de menor a mayor coincide con su posición en la recta numérica de

izquierda a derecha.

Página 41 8.

Fracciones Escribe cuál fracción es mayor o si son equivalentes Expliquen su decisión

14

o 15

14 R. L.

1416

o 1415

1415 R. L.

334

o 325

325 R. L.

823

o 831

823 R. L.

91323

o 9155

9155 R. L.

0 113

25

1217

411

315

1311

8891

821

0 10.2 0.5

0.15

0.75

0.65

1.1 2.11.2

1.25

1.75

1.8

0.1

Números Escribe el número mayor Explica cómo lo elegiste

1.02 o 104100104100 R. L.


U1

17


Piensa y sé críticoR. L. Como 8 65025 950 >

5 75020 125 , gastó más el primer día.

9.

a) R. L.

1. 133242. R. M. Representan la porción de niños afectados respecto al total.

3. El caso más grave fue en el pueblo de Claudia ya que 1324 > 85

100 000 .

Cierre

Números¿Qué número está más a la

derecha?

¿Qué número es

mayor?

¿Qué número está más a la

izquierda?

¿Qué número es

menor?

35

o 722

35

35

722

722

0.42 o 0.51 0.51 0.51 0.42 0.42

35

o 0.51 35

35 0.51 0.51

722

o 0.42 0.42 0.427

227

22

35

722

0 10.510.42

Números Escribe el número mayor Explica cómo lo elegiste

0.26 o 14 0.26 R. L.

0.022341 o 299 0.022341 R. L.

16

o 0.16 16 R. L.

Resuelve problemas que impliquen sumas y restasNúmeros con signo, recta y orden

Página 42

1. a) 8 ºC sobre cero. c) 10 °C e) R. L.b) 2 ºC sobre cero. d) 10 °C bajo cero. f) R. L.

S3

L1

Inicio


U1

18


1. a), d), e), f)

b) El helicóptero.c) La ballena.g) Es mayor la distancia entre el submarino y la plataforma.h) La distancia entre la plataforma y la ballena.

Página 432.

a) R. L.b) R. M. La temperatura con signo + indica una temperatura superior a 0 °C, mientras que la tempe-

ratura con signo − es inferior a 0 °C.c) Iguales.d) R. M. 5, −5; 32, −32, y 17, −17.e) R. L.f) 5 y −10, respectivamente.

3. a)

b)

c) R. L.

Página 44d) R. L.

Desarrollo

–100 m

–20 m

75 m

48 m

–80 m

Número Opuesto Número Opuesto

+8 −8 +10 −10

−4 +4 +3 −3

−6 +6 −0.1 +0.1

−34 +34 +25 −

25

Situación Representación Situación Representación

Ganó 25 pesos. +25 Gastó 14.50 pesos. −14.50

12 °C bajo cero. −12 25 °C sobre cero. +25

El avión vuela a 8 750 m de altura. +8 750

El submarino se sumergió 28 m en el mar.

−28

El elevador está en el sótano 3. −3

Martín se mudó al piso 14. +14


U1

19


La recta numérica4. a) El cero.

b) R. M. La unidad es la distancia del 0 al 1 y debe ser adecuada al uso de la recta. La escala es la distancia entre cada división de la recta numérica, ésta puede ser de uno en uno, de dos en dos, etcétera.

c)

d)

e) Iguales.f) R. M. A la izquierda del cero, a una distancia igual que la existente entre 0 y 1. g)

h) R. L.5.

–3.5 32

–2 3 –3.5 32

–2 – 52

2.5 32

0.5

M A T E M Á T I C A S

Página 456. a) R. M. El equipo cuya diferencia de goleo es positiva, ha metido más goles de los que ha recibido.

b) El equipo cuya diferencia de goleo es negativa, ha recibido más goles de los que ha metido.c) Que el equipo ha metido igual cantidad de goles que los que ha recibido.d) R. L.

7. K = 500 m L = 0 m M = −400 m N = 850 m

Página 46Valor absoluto y orden8. a) R. L. El 0 y el 1 se pueden colocar en cualquier parte de la recta, pues no hay restricciones. Sin

embargo, para ubicar los números de los siguientes incisos es conveniente colocar el 0 a la mitad del segmento.

b) R. M. Para ubicar −4 se considera la misma distancia de 0 a 4 y, con esa distancia, se ubica el punto a la izquierda del 0.

0 S C EA1–1TIM

10

+1 +2

+2.3

+3 +4

+4.2

0

+1 +2

+2.3

+3 +4-1-3 -2-4-5

+4.2

0

10

1 40–4


U1

20


c) Iguales. d)

e) Iguales. f) R. L. Sin importar qué números simétricos sean los que ubiquen en la recta, sus distancias al 0

serán iguales. 9. a) |−3| = 3 c) |9| = 9 e) |−14| = 14 b) |−7| = 7 d) |5| = 5 f) |0| = 0

10. a)

b)

c) Iguales.11. a) −10 ºC < −5 ºC < −2 ºC < 0 ºC < 1 ºC < 6 ºC b) −2 ºC < −1.5 ºC < 0 ºC < 3 ºC < 3.8 ºC

c) −2 ºC < −1 ºC < − 110

ºC < 12

ºC < 34

ºC

12. a) 10.2 < 35.4 b) |10.2| < |35.4|

Página 47 c) R. M. Será mayor el número positivo que tenga mayor valor absoluto. d) −28.3 > −52.7 e) |−28.3| < |−52.7| f) R. M. Será mayor el número negativo que tenga menor valor absoluto.

13. a) El número positivo es mayor. b) R. M. No es importante. Todo número negativo es menor que cero, mientras que todo positivo

es mayor que cero. Por tanto, todo número positivo es mayor que todo número negativo. c) 0 d) Un número positivo.

1. +8 °C y −2 °C.

2. a) 15 m, considerando que la planta baja está a 0 m.b) 9 mc) −1.5 m, considerando la tubería más delgada.d) −4.5 m, considerando la tubería más gruesa.e) 6 mf) −3 mg) 0 m

Cierre

154

40–4

154–

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 53 64 7

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 53 64 7

–10 ºC –2 ºC 0 ºC 8 ºC

9 min 5 min


U1

21


Suma y resta de números con signo

Página 48

1. a) 122.1 cm.b) R. L.

Suma de números con signo1. a)

• Sentido: derecha. Longitud: 5.b)

• Sentido: derecha. Longitud: 8.• Sentido: izquierda. Longitud: 4.

c) Los positivos a la derecha y los negativos a la izquierda.d) Los que suman a la derecha y los que restan a la izquierda.e) R. M. Izquierda, ya que el −4 es un número negativo.f) Los resultados son iguales y las operaciones son equivalentes.

Página 49g) R. L.h) R. L.

2. a) 7 − 3 = 4 d) 9 − 4 = 5b) 5 − 4 = 1 e) 3.8 − 2.1 = 1.7c) 6 − 3 = 3 f) 23 −

12 =

16

3. a) +6 + (−4) = 2

b) +6 + (−8) = −2

c) R. M. El resultado es un número negativo.

L2

Inicio

Desarrollo

–10 –2 6–6 2 10–8 0 8–4 4–9 –1 7–5 3–7 1 9–3 5

–10 –2 6–6 2 10–8 0 8–4 4–9 –1 7–5 3–7 1 9–3 5

–10 –2 6–6 2 10–8 0 8–4 4–9 –1 7–5 3–7 1 9–3 5

–10 –2 6–6 2 10–8 0 8–4 4–9 –1 7–5 3–7 1 9–3 5


U1

22


4. • 4 − 8 = −4 • 2 − 7 = −5 • 7 − 8 = −1• (+4) + (−8) = −4 • (+2) + (−7) = −5 • (+7) + ( −8) = −1

a) R. L. b) Igual. c) Positivo.

Página 50d) Si el signo del número cuyo valor absoluto es mayor es positivo, el resultado es negativo. Si el signo

del número cuyo valor absoluto es mayor es negativo, el resultado es positivo.5. • 8+(−10) = −2 • +5 + (−7) = −2 • 6.1 + (−8.8) = −2.7

• 1.5 + (− 52 ) = −1 • (3.8) + (−6.4) = −2.6 • (38 ) + (− 158 ) = − 128 = −1.56.

• 5 − 5 = 0 • (+5) + (−5) = 0a) R. M. La suma de dos números opuestos es 0.

7. En los seis ejercicios, el resultado es 0.8.

• (+4) + (+5) = 9 • (−4) + (−5) = −9a) R. L.b) Los valores absolutos de los resultados son iguales.c) R. M. Sumar el valor absoluto de los sumandos y al resultado colocarle el signo de éstos. d) R. L.

Página 519. • −8 + (−10) = −18 • (−5) + (−6) = −11 • −6 + (−8) = −14

• (− 43 ) + (− 13 ) = − 53 • (− 8.3) + (− 2.7) = − 11 • (− 3.4) + (− 5.6) = − 910.

–10 –2 6–6 2 10–8 0 8–4 4–9 –1 7–5 3–7 1 9–3 5

–10 –2 6–6 2 10–8 0 8–4 4–9 –1 7–5 3–7 1 9–3 5

–10 –2 6–6 2 10–8 0 8–4 4–9 –1 7–5 3–7 1 9–3 5

1. Operación 2. Resultado3. Valor

absoluto de los sumandos

4. Diferencia entre los valores absolutos de

los sumandos

5. Signo del número con mayor valor

absoluto

(+3.1) + (–4) –0.9 3.1 4 4 − 3.1 = 0.9 −

(–5.2) + (+6.6) 1.4 5.2 6.6 6.6 − 5.2 = 1.4 +

(+2.4) + (–0.8) 1.6 2.4 0.8 2.4 − 0.8 = 1.6 +


U1

23


a) Los resultados coinciden.

Conmutatividad para la suma11.

a) 6 + (–8) = –2b) –8 + 6 = –2c) R. M. Los resultados son iguales.

Página 52d) Tienen los mismos resultados.e) En cada par de operaciones los resultados son iguales.

• –6 + 8 = 2 • 8 + (–6) = 2• 2 + (–10) = –8 • (–10) + 2 = –8• (–5) + 3 = –2 • (+3) + (–5) = –2

f) R. L.

Resta de números con signo12. 4 − 6 = –2 –2 + 6 = 4 a) Los resultados son iguales. b) “Restar un número de otro es equivalente a sumar su opuesto”.13. a) 10 − (–2) = 10 + 2= 12 b) –5 − (–9) = –5 + 9 = 4 c) (–6.7) − 0.4 = (–6.7) + (–0.4) = –7.1 d) (–5.7) − (+4.6) = –5.7 + (–4.6) = –10.3 e) (+7.6) − (+84.5) = (+7.6) + (–84.5) = –76.9 f) (+28.5) − (–5.9) = (+28.5) + 5.9 = 34.414. a) –185 c) 1.6 e) –82.3 b) –10 d) –63 f) –12.2

Página 53

15. a) – 528 d) 5

28

b) 3728 e) – 3728

c) 528 f) – 3728

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10–1–5 –2–6 –3–7 –4–8–9–10

1. Operación 2. Resultado3. Valor

absoluto de los sumandos

4. Diferencia entre los valores absolutos de

los sumandos

5. Signo del número con mayor valor

absoluto

(–1.1) + (+0.7) –0.4 1.1 0.7 1.1 − 0.7 = 0.4 −

(+7.8) + (–2.7) 5.1 7.8 2.7 7.8 − 2.7 = 5.1 +

(–8.4) + (+3.6) –4.8 8.4 3.6 8.4 − 3.6 = 4.8 −


U1

24


1. −100 + 18.4 + (−32.6) + 12.5 + (−20.4) = −122.12. a) 0 − 6 + 8 + 4 + 3 − 8 + 1 = 2

b) 0 + 10 − 13 = −33. R. L.4. a) 2 − (−8) = 10

b) 875.75 − (−545.50) = 1 421.25

Cierre

Piensa y sé críticoOtra forma de plantear el ejemplo es: sumar cinco números consecutivos es lo mismo que sumar cinco veces el número de en medio. Plantee la pregunta ¿Qué tanto se parecen los cinco números consecutivos al número de en medio?

Proponga a sus alumnos expresar cada sumando en términos del número de en medio, por ejem-plo: 21 = 22 − 1. Pida que reescriban la suma usando las expresiones equivalentes y pregunte qué pasa con los sumandos distintos a 22.

Para evaluar la actividad, se sugiere considerar tres aspectos: la forma en que los estudiantes modifiquen la expresión original, la habilidad para sumar y restar números con distinto signo, y por último, la justificación del procedimiento planteado en el texto.

Multiplicación con números fraccionarios y decimalesMultiplicación con números fraccionarios

Página 54

1. a) 316b) R. M. Es una de cuatro partes iguales en las que se divide el entero. Es menor.c) R. L. d) R. L.

1. a) R. M. Son equivalentes. b) R. M. Son equivalentes.2. a), b) c)

815

d) R. M. El área de un rectángulo de base 23 y altura

45 .

f) R. M. El numerador del resultado es el producto de los numeradores de los factores, y el denomi-nador del resultado es el producto de los denominadores de los factores.

3. a)

S4

L1

Inicio

Desarrollo

e) 815

23

45

0

1

1

32

45

b) R. M. La multiplicación coincide con el área.

c) 1210 in2


U1

25


Página 55

d) 1210e) R. L. Ver respuesta al inciso b de la actividad 3 de la página anterior.

4. a) Multiplicación: 32 × 34 Resultado:

98

b) Multiplicación: 52 × 23 Resultado:

106

5. a) 2 unidades cuadradas.b) 1 unidad cuadrada. c) Tienen áreas iguales.

6. a) 2435

• 87 es mayor que 1 y el resultado del producto es mayor que el primer factor.

b) 2740

• 34 es menor que 1 y el resultado del producto es menor que el primer factor.

c) 3015• El segundo factor es mayor que 1 y el resultado es mayor que el primer factor.

d) 2521• El segundo factor es menor que 1 y el resultado es menor que el primer factor.

e) R. M. Si se multiplica un número por una fracción mayor que 1, el resultado será mayor que dicho número; si se multiplica un número por una fracción menor que 1, el resultado será menor que dicho número.

Página 56

La fracción de una fracción7. a) R. L. 12 % 2, o bien,

12 ×

12 .

8.

a) 130b) R. M. Dividiendo las dimensiones de la silla original entre 30 o multiplicando las dimensiones

originales por 130 .

c) R. M. Tomar una fracción de otra es considerar como entero a una fracción y de ella tomar una porción. El producto de las fracciones expresa la última porción en términos del entero.

Multiplicación de una fracción por un entero9. a) R. L. Funciona cualquier fracción cuyo numerador sea el triple del denominador, por ejemplo: 93

, 62 , 155 .

b) R. M. 3 × 45 ! 62 ×

45 !

2410

Parte de la silla Medida real Medida casa de muñecasMedida

miniatura

Altura 90 cm 15 cm 3 cm

Asiento 45 cm por lado 7.5 cm 1.5 cm

Patas delanteras 60 cm de altura 10 cm 2 cm


U1

26


c) 125

d) R. L.

Página 57

10. 154

a) 3020 ! 32

11. a) R. L.

12. 6 × 34 ! 184 !

92

13. a) 53 + 53 +

53 +

53

b) R. L. c) R. M. En los casos en que una de las fracciones sea equivalente a un número natural.

1. R. M. La cantidad de chocolate que va a usar, para elaborar las galletas, respecto a la tableta en-tera es 14 ×

34 !

316 .

2. a) 159 ! 53 c)

306 ! 5 e)

21160

b) 3340 d) 1 260

35 ! 36 f) 600288 !

2512

3. a) 25.5 cm de largo por 17.25 cm de ancho.

b) 518 cm por 698 cm

c) 3914 m2 ! 97.75 m2

d) 3 51964 cm2 ! 54.98 cm2

4. 94 cm ! 2.25 cm

Cierre

Multiplicación con números decimales

Página 58

1. a) Sí. Sofía tiene 4 240 000 glóbulos rojos en un cubo de 1 mm de lado.b) R. L.

1. a) 103.5 kmb) 156.4 km

2. a) 120.24 c) 100.102b) 49.21 d) 20.34

• R. M. Sí, porque uno de los factores es número natural.3. a) Estimación = R. L. Resultado con la calculadora: 56.08602

b) Estimación = R. L. Resultado con la calculadora: 96.9c) Estimación = R. L. Resultado con la calculadora: 3.24002d) Estimación = R. L. Resultado con la calculadora: 15.99

L2

Inicio

Desarrollo


U1

27


Página 59

• R. M. No, pues ambos factores son números decimales, no enteros.• R. L.

4. Para resolver este problema indique a sus alumnos que primero conviertan los números decimales a fracciones.

a) 1 961100 m2 ! 19.61 m2

b) 19.61 m2

c) 10d) 100e) 1 cada uno.f) 2g) R. L.

5. a) 1.12 × 3.3 ! 112100 × 3310 !

3 6961 000 ! 3.696

b) 3 696c) R. M. La ubicación del punto decimal.d) R. M. La cantidad de números decimales del resultado es igual a la suma de las cantidades de

números decimales de los factores.e) R. L.f) R. L.

Página 606.

a) R. M. Las respuestas son iguales, si el segundo factor es mayor que 1, entonces el resultado es mayor que el primer factor.

b) R. L. 7. a) $312.9944

b) 37.5 kW hc) $35.85

8. a) 27.625 mb) 35.625 kgc) 1 850.607 kg

Página 61d) Sí, ya que 26.25 × 13.15 = 345.1875.e) 2 720.6685 kgf) R. L.

Operación Resultado ¿El resultado es mayor o menor que el primer factor?¿El segundo factor es mayor o menor que 1?

1.78 × 2.22 3.9516 Mayor Mayor

34.6 × 0.74 25.604 Menor Menor

18.9 × 32.1 606.69 Mayor Mayor

2.5 × 0.25 0.625 Menor Menor

14.8 × 0.101 1.4948 Menor Menor

4.618 × 2.01 9.28218 Mayor Mayor

174.68 × 0.001 0.17468 Menor Menor


U1

28


9.

10. $326.268a) $18.0576

1. R. L.a) 21 200 000 000 000b) 148 400 000 000 mm = 148 400 000 metros = 148 400 km

Cierre

Cantidad de limones (kg) Costo (pesos)

0.750 16.8375

1.750 39.2875

2.250 50.5125

1.500 33.675

2.750 61.7375

Piensa y sé críticoAmbos resultados son correctos, considerando que 13 tiene una expansión infinita y que la calcula-dora trunca a un determinado número de cifras. Es decir, 1 = 0.9, aunque la demostración excede el nivel de secundaria.

La actividad fomentará en sus alumnos el análisis crítico. La relación entre los números fraccio-narios y los números decimales es punto clave para la solución del problema. La manera en que los estudiantes aborden el problema y el uso que den a sus conocimientos adquiridos demostrará el dominio sobre el tema.

Resolución de problemas de división con decimalesDivisión con decimales y aplicaciones

Página 62

1. a) $1.8b) $1.8c) Iguales. d) R. L.e) R. L.

1. a) 12 ÷ 4 = 3 36 ÷ 12 = 3• Son la tercera parte, respectivamente, de los de la segunda división.• Iguales.

b) • 26 ÷ 6, 13 ÷ 3 y 39 ÷ 9 son iguales entre sí, y 54 ÷ 12 y 108 ÷ 24 son iguales.c) • 4 ÷ 20 • 2 ÷ 10 • 8 ÷ 40 • 0.8 ÷ 4 • 0.1 ÷ 0.5d) R. M. 6 ÷ 2, 12 ÷ 4 y 9 ÷ 3.e) Tanto el numerador como el denominador de una fracción se obtienen multiplicando el numerador

y denominador de la otra fracción por un mismo valor. f) R. L.

S5

L1

Inicio

Desarrollo


U1

29


Página 632. a) 82 y 164.

b) R. L. Por ejemplo, 82 ÷ 164 y 1 ÷ 2.c) R. L.d) 0.5e) R. L.

3. R. M.

4. a) • 1.8 ÷ 6 • 18 kg • 18 ÷ 60 • 0.3 kg • 0.3 kg b) • 211.25 ÷ 16.25 • 21 125 ÷ 1 625 • 13 cmc) • 10.5 ÷ 0.750 • 1 050 ÷ 75 • 14d) R. L.

Página 645. a) 65 ÷ 30

b) 65 100 ÷ 481 267c) 753 400 ÷ 33 321

6.

7. a) 0.75 kg• 6 partes.

b) 8 paquetes• R. M. Sí, los 6 kg de carne.

c) 3.5 cm• R. M. No se trata de un problema de reparto.

d) R. L.8. • 62.1 ÷ 4.5 = 13.8 • 34.2 ÷ 3 = 11.4 • 22.2 ÷ 1.11 = 20

• 84.3465 ÷ 0.21 = 401.65 • 7.2 ÷ 0.8 = 9 • 3.28 ÷ 4.1 = 0.8

División de números decimales

División de números enteros

Resultado

2.1 ÷ 0.7 21 ÷ 7 3

1.02 ÷ 0.01 102 ÷ 1 102

0.012 ÷ 0.006 12 ÷ 6 2

36.3 ÷ 1.1 363 ÷ 11 33

División de números decimales

División de números enteros Resultado

2.12 ÷ 0.4 212 ÷ 40 5.3

42.2 ÷ 0.002 42 200 ÷ 2 21 100

54 ÷ 0.09 5 400 ÷ 9 600

56.07 ÷ 6.3 5 607 ÷ 630 8.9

3.25 ÷ 0.5 325 ÷ 50 6.5


U1

30


a) 62.1 ÷ 4.5 = 13.8, 34.2 ÷ 3 = 11.4, 22.2 ÷ 1.11 = 20 y 3.28 ÷ 4.1 = 0.8.b) Mayores.c) 84.3465 ÷ 0.21 = 401.65 y 7.2 ÷ 0.8 = 9.d) Menores.e) R. M. El cociente de una división es menor que el dividendo siempre que el divisor sea más grande

que 1. Si, por el contrario, el divisor es menor que 1, el resultado de la división será mayor que el dividendo.

Página 65 9. a) $10.457142857

• R. L.• R. M. Redondeando o truncando de manera que se pueda realizar el reparto con las monedas

que hay en circulación. b) R. L.10. a) 7.1068 b) 0.5159 c) 2.342311. a) 3.30 b) 0.08 c) 2.34

1. R. L.2. 53. 5.6 m2

4. David pesa 1.58 veces más que Iván.5. $85.75

Cierre

Piensa y sé críticoEn esta actividad los alumnos desarrollan el rol de evaluador. Los aspectos y razonamientos que uti-licen para juzgar si el algoritmo mostrado es correcto pueden ser utilizados para evaluar el dominio que tienen del tema.

Ángulos, triángulos y cuadriláteros

Ángulos y rectas paralelas

Página 66

1. a) R. L. b) R. M. Miden lo mismo y tienen la misma forma. c) R. M. Los rieles de la figura A son paralelos, los de la figura B, no lo son.d) En la figura A los rieles forman ángulos rectos con los travesaños; mientras que en la figura B for-

man ángulos agudos y obtusos.e) R. L. f) R. L.

Puntos, rectas, ángulos y demás1. R. M.

S6

L1

Inicio

Desarrollo

Elemento FiguraDiámetro 6

Ángulo interno 3Ángulo externo 5


U1

31


Página 672. a) R. M. Cualquiera de los siguientes pares es correcto: a, b ; a, d ; d, c ; c, b.

b) R. M. Cualquiera de los siguientes pares es correcto: a, b ; a, d ; d, c ; c, b.c) R. M. Cualquiera de los siguientes pares es correcto: a, c ; b, d.

3. a) a, d; b, e; c, f.b) R. M. a, b; a, f; b, c; c, d.c) R. M. a, b, c; d, e, f.

4. a) R. M. Miden lo mismo.b) R. M. Tienen la misma medida.

Página 68c) R. M. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.

5. Los ángulos que miden lo mismo son: g, e; f, h; a, c; d, b.6. a) 70º

b) 110º

Página 69c) 180ºd) f)

e)

7. a) R. L. b) R. L. c) R. L.

g) R. M. Si se conoce la medida de un ángulo, su adyacente es complementario, y los res-pectivos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Los ángulos que se forman con la segunda paralela son iguales a los que se forman en la primera, respectiva-mente.

Elemento FiguraÁngulo recto 5, 7Ángulo llano 1

Altura 1, 4, 7Paralelogramo 2, 5

Trapecio 1Circunferencia 8


U1

32


8.

a) R. L.

Página 70b) R. L.c)

d) R. M. No. Están en lados opuestos a la transversal.9.

a) Los que están sobre la misma recta son complementarios; si están en rectas diferentes son iguales.b) R. L.

10. R. L.

Página 7111. Los siguientes pares de ángulos correspondientes pueden ir en cualquiera de los incisos a, b, c

y d. Sin embargo, los cuatro pares deben estar incluidos en las respuestas. a) t y x b) s y w c) v y z d) u y y

1. a) Los rieles de la figura B no son paralelos. R. L.b) R. L. 90ºc) R. L.

2. a) 180ºb) Son correspondientes.c) R. M. Ambos son internos y miden lo mismo.d) R. M. Son opuestos por el vértice y miden lo mismo.e) 180º

Cierre


U1

33


Suma de los ángulos interiores de un triángulo y de un cuadrilátero

Página 72

1. a) R. L. b) 360ºc) 360ºd) R. M. Sí es posible. Los ángulos interiores miden 360°.

Ángulos de un triángulo1. a) Todas las sumas dan 180º.

b) R. L.c) R. L.

Página 732. a) R. L.

b) R. L.c) R. L.d) R. M. Mide 180°, ya que es un ángulo llano.

3. a) R. M. Los tres ángulos son agudos; los tres juntos forman un ángulo llano.b) 180ºc) R. M. Son iguales debido a que son ángulos alternos internos.d) R. M. Son iguales debido a que son ángulos alternos internos.

Página 74e) 180º. R. L. f) R. L.

4. a) 360º5. a) 720º

b) 360º, ya que en total los doce ángulos miden 720° y los ángulos que convergen en el vértice central miden 360°.

6. Todos miden 360°.a) 360ºb) R. L.

Página 757. a) 2

b) R. M. Todos suman 360º ya que están formados por dos triángulos.c) R. L.

1. R. L.2. a) En todos los casos son iguales. R. L.

b) 360º. R. L. c) 360º. R. L.

L2

Inicio

Desarrollo

Cierre


U1

34


Piensa y sé críticoLos ángulos interiores de un pentágono miden 540° y los de un hexágono 720°.

Esta actividad tiene como finalidad que los estudiantes desarrollen un razonamiento análogo al que se utilizó a lo largo de la lección para deducir que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360º. Puede usted proporcionar como pista que dividan en triángulos iguales a cada polígono uniendo sus vértices. Utilizando sus conocimientos adquiridos sobre ángulos, los alumnos podrán resolver el planteamiento propuesto. Dada la dificultad de esta actividad se sugiere utilizarla como evaluación de la Secuencia 6.

Página 76-77

Analiza y resuelveEn ambas actividades, solicite a sus alumnos que, además de dibujar las teselaciones, midan o infieran la medida de cada uno de los ángulos involucrados en las figuras. Fomente la reflexión respecto a las razones por las que sí o no funcionan las arreglos elegidos.

Triángulos, cuadriláteros y congruencia

Criterios de congruencia

Página 78

1. a) Las medidas del cuarto terreno. R. M. Porque con esas medidas no es posible formar un triángulo.b) R. L.

Congruencia de triángulos1. a) No. R. L.

b) Sí.c) Sí.d) No. R. L. e) No. R. L.

2. R. L.3. R. L.4. a) Sumar 180º.

b) R. M. Cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos.

Página 795. R. L.6. R. L.

a) Las piezas f y b son iguales. También e y d. R. M. Porque tienen las mismas medidas y la misma forma.

b) R. M. a, b, d, e y f. Tienen la misma forma pero diferente tamaño.c) R. M. Sus ángulos son diferentes.d) R. M. La longitud de sus lados es distinta.e) R. L.

7. a) R. L.b) R. L.

S7

L1

Inicio

Desarrollo


U1

35


c) R. L.d) R. L.e) R. L.f) R. L.

Página 80 8. a) R. L. b) R. L. c) R. L. d) R. M. Coinciden en la longitud de dos de sus lados. Son distintos en la medida del tercer lado y

en las medidas de sus ángulos internos. e) R. M. Infinidad. 9. a) R. L. b) R. M. Un único triángulo. c) R. M. En este caso, que las medidas de dos lados y el ángulo entre ellos sean iguales.10. R. L.

Página 81 a) R. L. b) R. L. c) R. L. d) R. M. Los triángulos son iguales. e) R. M. En este caso, que las medidas de los tres lados sean iguales.11. a) R. L. b) R. M. La medida del lado que queda en medio de los ángulos. c) R. M. En general no lo determinan.12. a) R. L. b) Congruentes. c) R. M. Únicamente uno. d) R. M. Dos ángulos y la longitud del lado contenido entre ellos.

Página 8213. R. M. Que las medidas de sus tres lados sean iguales; que las medidas de dos de sus lados sean

iguales, así como la medida del ángulo entre ellos; que la medida de dos ángulos y el lado entre ellos sean iguales.

14. a) Uno. b) Infinidad. c) Infinidad. d) Infinidad. e) Uno.15. a) Congruentes. b) Congruentes. c) Congruentes.

Página 83

Cuadriláteros16. R. L.17. a) R. M. Paralelos y miden lo mismo. b) R. M. Los ángulos ∠BDA y ∠DBC miden lo mismo por ser alternos internos. c) R. M. Paralelos y miden lo mismo. d) R. M. Los ángulos ∠ABD y ∠CDB miden lo mismo por ser alternos internos. e) R. M. Son iguales. El ángulo con vértice en B es igual a ∡ABD + ∡DBC y el ángulo con vértice en

D es igual a ∡BDA + ∡CDB y como ∡BDA = ∡DBC y ∡ABD = ∡CDB, entonces ∡B = ∡D.


U1

36


Piensa y sé críticoEsta actividad tiene como propósito que los estudiantes relacionen lo aprendido en la lección con la estabilidad de las formas triangulares en estructuras.

Durante la secuencia se mencionó que se puede formar un único triángulo a partir de la longitud de sus tres lados, mientras que se pueden generar infinidad de cuadriláteros a pesar de que se conozcan todas las dimensiones de sus lados; por lo anterior, los triángulos representan mayor estabilidad en estructuras utilizadas en la construcción.

Si los alumnos establecen una relación similar, demostrarán una excelente comprensión de los temas de esta secuencia, lo cual puede ser considerado como puntos de evaluación.

18. R. M. La diagonal. a) Congruentes por el criterio ALA. b) Iguales. c) R. M. Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.

Página 8419. a) R. L. b) R. M. Uno, por el criterio LLL. c) R. L. d) R. M. Infinidad. Porque las medidas de los ángulos puede variar.20. a) R. M. Paralelogramos, en particular un cuadrado y distintos rombos. b) Las de los lados. c) R. M. Son iguales. d) 360º e) 180º f) 130º, 50º y 130º. g) R. M. Con cuatro lados iguales se puede formar una infinidad de cuadriláteros aunque todos

ellos son paralelogramos.

Página 8521. a) R. L. b) R. L. c) R. L. d) R. M. En el caso de un cuadrado sólo es necesario conocer la longitud de uno de sus lados.22. a) R. M. Las medidas de dos de sus lados adyacentes, porque las medidas de sus ángulos siempre

es de 90°. b) R. M. Las medidas de un lado y uno de sus ángulos, porque los cuatro lados de un rombo miden

lo mismo y la medida de los ángulos adyacentes de un rombo deben sumar 180°; así, conoci-endo un ángulo se pueden conocer los demás.

c) R. L.

1. a) La medida del tercer lado debe ser mayor que 0 y menor que 32 cm.b) El tercer lado debe medir menos de 2l, siendo l la medida de uno de los lados iguales del triángulo.

2. R. M. Consideremos el paralelogramo de la figura 1.51 y trazando la diagonal CA ésta se cruza con la diagonal BD en el punto E, así se forman los triángulos ABE y BCD que son congruentes, por tanto, los segmentos AE y CE miden lo mismo, al igual que BE y DE, y por esta razón las diagonales se cortan en su punto medio.

Cierre


U1

37


U1 1. Explica con tus palabras los siguientes conceptos o procedimientos.

Concepto Mi explicación Ejemplo

Conversión de una fracción decimal a notación decimal.

El número decimal equivalente a una fracción decimal conserva el numerador y tiene tantas cifras decimales como ceros tiene su denominador.

La fracción 17100

tiene 2 ceros en el

denominador, entonces el decimal correspondiente tiene dos cifras decimales, 17

100 = 0.17.

Conversión de un número decimal a fracción decimal.

Decimal periódico.

Densidad de los números fraccionarios y de los números decimales.

Ubicación de números fraccionarios o decimales en la recta numérica.

Valor absoluto.

Suma o resta de números con signo.

Multiplicación de números fraccionarios y de números decimales.

División de números decimales.

Suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.

Unicidad de triángulos y cuadriláteros.

Criterios de congruencia de triángulos.

86

© T

odos

los d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C.

V.

En el numerador va el número de-cimal, pero sin punto. En el deno-minador va el 1 y tantos 0 como cifras decimales tenga.

El número 0.2983 tiene cuatro ci-fras decimales, así la fracción que le corresponde es 2 983

10 000

De izquierda a derecha hay un momento a partir del cual el resto de sus cifras resultan de repetir una expresión indefinidamente.

En el número 7.43252525252..., después de la tercera cifra se repi-te 25 indefinidamente.

Entre cualesquiera dos números siempre hay un número decimal y un número fraccionario.

Entre las fracciones 3

10 y 4

10 está la fracción 7

20 y el número deci-

mal 0.31.

Los segmentos unidad se dividen como indica el denominador y se ubica la marca que corresponde al numerador.

Para ubicar 145 , los segmentos

unidad se dividen en 5 partes igua-les, el segmento 14 corresponde a 145

.

Es la distancia de un número al 0. |–4.3| = 4.3 y |6.1| = 6.1

En números con igual signo se su-man sus valores absolutos, en nú-meros con signo diferente se restan sus valores absolutos.

–5.3 – 6.2 = –11.5 y –32 + 28 = –4

El producto de dos fracciones resul-ta de multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores.

(25

) (34

) = 620

La división entre dos números de-cimales es equivalente a una divi-sión entre dos números enteros.

El cociente 8.023 ÷ 0.12 es igual al cociente de 8023 ÷ 120, es decir, 66.8583.

En un triángulo, la suma de sus án-gulos es 180°. En un cuadrilátero la suma de sus ángulos es 360°.

En un triángulo equilátero, sus tres ángulos miden 60°. En un cuadra-do sus cuatro ángulos miden 90°.

La forma y el tamaño de un trián-gulo dependen de la longitud de sus lados y el tamaño de sus ángu-los.

Hay muchos triángulos rectángu-los con dos ángulos de 45° y sólo en uno, los lados más cortos mi-den una unidad.

Los criterios son: LAL, ALA y LLL. En dos triángulos, dos lados miden 7 cm y 12 cm y los ángulos entre los lados miden 68°, los triángulos son congruentes por LAL.


U1

38


42

°C

35.5

2. A la derecha se muestra un termómetro en el que sólo se ven dos números de la escala.a) ¿Qué temperatura registra el termómetro al final de la barra de color rojo?

b) ¿Qué temperatura indica el termómetro al final de la barra de color azul?

3. En la tabla se muestra el cambio de temperatura por hora en cierta ciudad.

Cambio en la temperatura por hora (°C)

6 p. m. +3.5

7 p. m. +1

8 p. m. –1

9 p. m. –2.2

a) Si la medición de la temperatura inició a las 5 p. m. y en ese momento era de

13.3 °C, ¿cuánto cambió la temperatura hasta las 9 p. m.? 4. De una botella de agua que contenía 0.950 L, Alberto consumió 1

2 del conte-

nido. ¿Qué cantidad quedó en la botella? 5. Se requiere cortar en seis partes iguales un cordón de 3.4 m, ¿cuánto medirán 2

6

partes del cordón? 6. ¿Cuántas botellas de 0.335 L se pueden llenar con una garrafa de 4.02 L?

7. ¿Es posible construir un triángulo cuyas longitudes de sus lados sean 10 cm,

20 cm y 7 cm? ¿Por qué? 8. ¿Es posible construir un triángulo en el cuál sus ángulos internos midan 33°,

51° y 76°? ¿Por qué? 9. Observa los triángulos y a partir de las medidas del triángulo ABC responde.

a) ¿Cuánto miden los ángulos desconocidos en el triángulo DEF? 10. Compara tus respuestas de toda la sección con las de tus compañeros. ¿Son

correctas? ¿Tuvieron dificultades para responder o ejemplificar algún conte-nido? Compartan sus experiencias, argumenten sus respuestas y expliquen sus ejemplos. Repasen los contenidos que consideren necesario.

76

58

5 cm 6 cm

A

B C 6 cm

5 cm

76 ?

D

E F

?

87

© T

odos

los d

erec

hos r

eser

vado

s, Ed

icio

nes C

astil

lo, S

. A. d

e C.

V.

39.5 °C

40.75 °C

12 botellas

15.5 °C

0.475 L

46° y 58°

1.13 m

No. Porque la suma de dos lados debe ser mayor que el tercer lado.

No. Porque la suma de los ángulos debe ser 180°.


U1

39


Página 882. a) La deuda externa se redujo 30 669 800 000.00 dólares de 1994 a 2006, y la deuda externa aumentó

70 960 000 000 dólares de 2006 a 2012.b) R. M. A los ingresos les corresponde el signo positivo, pues en el gobierno las deudas tienen un

efecto opuesto al de los ingresos.c) R. M. Sus ingresos por impuestos exceden significativamente la deuda externa, aunque deben

considerarse las necesidades internas del país y verificar que éstas no se vean afectadas.d) R. L.

Página 891.

b) 0.062.

c) 0.123.

d) 0.25, 58 y 0.875

4.b) 821 ,

37 ,

1942 y

1021

5.d) 10 °C

6.c) 320

Página 907.

c) 16

8.b) 37°

9.a) Sólo 1

10.d) la medida de dos de sus lados contiguos y el ángulo que forman.

11.b) 9 m

Convivo

Evaluación

Página 916. R. M. 180°7. R. M. La suma siempre es igual a 180°. Al mover los vértices, cambian las longitudes de los lados

y las magnitudes de los ángulos, pero la figura sigue siendo un triángulo por lo que se cumple la propiedad de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Matemáticas prácticas


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SECUNDARIA !#$%&'()...Unidad 1 1 Me preparo 2 S 1. De fracciones decimales a notaci n decimal y...

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