SEGUNDA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO IV FINAL

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2013

I. Determinar si es o no exacta cada uno de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias. Si es

exacta, determinar su solución:1. Kj2. (3u2+6uv−v2 )du+(3u2−2uv+3v2 )dv=0 , v (−1 )=−2

d (M (u ;v ) )dv

=d (3u2+6uv−v2 )

dv=6u−2v

d (N (u ; v ) )du

=d (3u2−2uv+3v2 )

du=6u−2v

d (M (u ;v ) )dv

=d (N (u ;v ) )

du

∴la ecuacion diferencial ordinaria esexacta d (F (u;v ) )

du=M

d (F (u; v ) )dv

=N d (F (u; v ) )=Mdu Integramos ambos miembros:∫ d (F (u; v ) )=∫Mdu F (u; v )=∫ (3u2+6uv−v2 )du F (u; v )=3u

3

3+ 6u

2 v2

−uv2+g (v ) Derivamos ambos miembros respecto a “v”:d (F (u;v ) )d v

=d ( 3u

3

3+ 6u

2 v2

−uv2+g (v ))

dv

d (F (u;v ) )dv

=3u2−2uv+g '(v) Análisis Matemático IV Mag. Mat. César Castañeda Campos


Igualando:d (F (u;v ) )

dv=N

3u2−2uv+g ' (v )=3u2−2uv+3 v2 g ' (v )=3v2 Integrando ambos miembros:g (v )=v3+c Reemplazando en:F (u; v )=3u

3

3+ 6u

2 v2

−uv2+g (v ) F (u ; v )=3u

3

3+ 6u

2 v2

−uv2+v3+c F (u; v )=u3+3u2 v−u v2+v3+c F (u; v )=u3+v3+3u2 v−uv2+c Calculando: v (−1 )=−2

F (u; v )=(−1 )3+(−2 )3+3 (−1 )2 (−2 )−(−1 ) (−2 )2+c=3+c F (u; v )=u3+v3+3u2 v−uv2+3+C

3. θdr

r2θ2=( r

r2+θ2−1)dθ , r (4 )=π

Resolución :

θdr

r2θ2−( r

r2+θ2−1)dθ=0

Análisis Matemático IV Mag. Mat. César Castañeda Campos


θdrr2θ2

+( r2+θ2−rr2+θ2 )dθ=0θ (r2+θ2 )dr+( r2θ2) ( r2+θ2−r )dθ=0

(r2θ2 ) (r2+θ2−r )dθ+θ (r2+θ2)dr=0

M=( r2θ2 ) (r2+θ2−r ) ∂M∂r

=(r 2θ2 )(2 r−1)+( r2+θ2−r ) (2 r θ2 )

2 r3θ2−r2θ2+2 r3θ2+2 r θ4−2 r2θ2

2 r θ4+4 r3θ2−3 r2θ2

r θ2(2θ2+4 r2−3 r )

N=θ ( r2+θ2 ) ∂ N∂θ

=θ (2θ )+(r2+θ2)

2θ2+(r2+θ2 )

r2+3θ2

∂M∂r

≠∂ N∂θ…no esexacta

Buscamos el factor integrante

f (θ )=Mr−NθN

f (θ )=2r θ4+4 r3θ2−3 r2θ2−r2−3θ2

θ (r2+θ2 )

f (θ )=4θ2r3+2 r θ4−3 r2θ2−9θ2−r2

θ r2+θ3…Serechaza

f (r )=Nθ−MrM

f (r )= r2+3θ2−2 rθ4−4 r3θ2+3 r2θ2

(r2θ2 ) ( r2+θ2−r )…Se rechaza

u (θ , r )=θar b

Mulplicamos a I

(r2θ4+θ2r 4−θ2r3 )dθ+θ r2+θ3dr…(I )



(r2+bθ4+a+θ2+ar 4+b−θ2+ar3+b )dθ+(θ1+a r2+b+θ3+arb )dr

M=r 2+bθ4+a+θ2+ar 4+b−θ2+ar 3+b

Mr=(2+b )r1+bθ4+a+ (4+b ) r3+bθ2+a−(3+b)r2+bθ2+a

N=θ1+a r2+b+θ3+a rb

Nθ=(1+a )θa r2+b+(3+a )θ2+a rb…se rechaza4. j

5. JH

6. [ ln|x− y|+ x+ yx− y ]dx+[ ln|x− y|− x+ yx− y ] dy=0

Resolución :

M= ln|x− y|+ x+ yx− y

∂M∂ x

= −1x− y

+( x− y )−(−1 ) ( x+ y )

( x− y )2= x+ y

( x− y )2

N=ln|x− y|− x+ yx− y

∂N∂ x

= 1x− y

−( x− y )−( x+ y )

( x− y )2= x+ y

( x− y )2

∴ ∂M∂x

=∂ N∂x→es unaE .D .Oexacta .

7. HG

8. [1+ tan ( xy ) ]dx+[ sec (xy ) tan (xy )+x sec2(xy )] ( ydx+xdy )=0

Resolución :

[1+ tan (xy )+ ysec (xy ) tan (xy )+xy sec2(xy)]dx+[ xsec ( xy ) tan ( xy )+x2 sec2(xy) ]dy M=1+ tan ( xy )+ ysec (xy ) tan (xy )+xy sec2(xy) N=xsec ( xy ) tan ( xy )+x2 sec2(xy ) d (M (x ; y ))

dy=d (1+ tan ( xy )+ ysec ( xy ) tan ( xy )+ xy sec2 ( xy ))

dy



d (M ( x ; y ) )dy

=xy sec3 (xy )+xy tan2 ( xy ) sec ( xy )+ tan (xy ) sec (xy )+2 x2 y sec2 ( xy ) tan ( xy )+2 x sec2 ( xy )

d (N ( x ; y ))dx

=d( xsec ( xy ) tan ( xy )+x2 sec2 ( xy ))

dx

d (N ( x ; y ))dx

=xy sec3 (xy )+xy tan2 ( xy ) sec ( xy )+ tan ( xy ) sec (xy )+2x2 y sec2 ( xy ) tan ( xy )+2 x sec2 ( xy )

d (M ( x ; y ) )dy

=d (N ( x ; y ))

dx

Por lo tanto las ecuaciones ordinarias son exactas.d (F ( x ; y ) )

dx=M

d (F (x ; y ) )dy

=N Integramos ambos miembros:d (F ( x ; y ) )=Ndy ∫ d (F ( x ; y ))=∫ [ xsec ( xy ) tan ( xy )+x2 sec2(xy )]dy F ( x ; y )=sec ( xy )+xtan ( xy )+g (x) Derivamos respecto a “x”d (F ( x ; y ) )

dx=d (sec (xy )+xtan ( xy )+g (x ))

dx

d (F ( x ; y ) )dx

=sec ( xy ) tan ( xy )+ xy sec2(xy )+g '(x ) Igualando:sec ( xy ) tan ( xy )+xy sec 2 ( xy )+g' (x )=1+ tan ( xy )+ ysec ( xy ) tan ( xy )+xy sec2(xy ) g' (x )=1+ tan ( xy )

Integrando ambos miembros: Análisis Matemático IV Mag. Mat. César Castañeda Campos

y '+P (x )=Q(x)

y=e−∫P (x)dx∫ [Q(x)e∫P (x)dx ]dx+C


g ( x )=x+ln|sec (xy)|

y+c

Reemplazando en:F ( x ; y )=sec ( xy )+xtan ( xy )+g (x) F ( x ; y )=sec ( xy )+xtan ( xy )+ x+

ln|sec (xy )|y

+C

II. RESOLVER LAS EDOs, COMO LINEALES O COMO ECUACIONES BERNOULLI:

1) y '+ ycos ( x )=e−sen (x)

Resolución :

dydx

+ ycos ( x )=e− sen( x )

P ( x )=cos ( x ) Q ( x )=e−sen ( x )

Aplicandola fó rmula

u=e−∫ P(x)dx

u=e−∫cos (x)dx

u=esen(x)

y=esen(x)∫ [e−sen ( x ) e∫cos (x)dx ]dx

y=esen(x)∫ [e−sen ( x ) e−sen( x)] dx



y=esen(x)∫ [e−2 sen ( x ) ] dx

y=esen(x)∫ [e−2 sen ( x ) ] dx

2) 2 xdy=(2 x3− y )dxResolución :

2 xdy−(2 x3− y )dx=0

dydx

−(2x3− y )2x

=0

dydx

−2 x3

2x+ y2 x

=0

dydx

−x2+ y2 x

=0

dydx

+( 12x ) y=x2

P ( x )= 12 x;Q ( x )=x2

u=e−∫ P (x )dx⇒u=e−∫ 1

2xdx⇒u=e

−12ln (x)

u=e−ln (x12 )=e−ln (√ x )= 1

e ln (√x )= 1

√ x

Reemplazando :

y=e−∫P ( x )dx∫ [Q (x ) e∫P (x )dx ]dx+c

y= 1

√ x∫ [ x2√ x ]dx+C

y= 1√ x∫

[ x52 ]dx+C

y= 1√ x ( 27 )x

72+K



y=27x3+K

3) y '+2xy+x=e−x2

Resolución :

y '+2xy=e−x2

−x

Donde:P ( x )=2x

Q ( x )=e− x2

−x

Y=e−∫ p ( x )d x [∫Q (x)e∫ p ( x )dx] dx+c (1)u=e−∫ p ( x )dx

u=e−∫2 ( x )dx=e−x2

Reemplazandoen (1)

Y=e−x2

¿

Y=e−x2

¿

Y=e−x2

∫(1−x ex2

¿)dx+c ¿

Y=e−x2[(x+ 12 ex2)+K ]

Y=e−x2[ 2 x+ex

2

2+K ]

Y=xe−x2+ 12+K

4) L∂ i∂ t

+Ri=E; L ,R , E≡constantes.

Resolución :

L i'+Ri=E

P ( x )=R



Q ( x )=E

i=e−∫ Rdx∫ [ (E )e∫ Rdx ]dx+Ci=e−Rx (E )∫ [eRx ]+K

i=(E )e−Rx∫ [eRx ]dx

i=( (E ) e−Rx) [ (eRx)R ]+K

i= ER

+K

5) y2∂ x∂ y

+xy=2 y2+1

Resolución :

6)drdθ

=θ− r3θ;r=1 , θ=1

Resolución :

Dando la forma a la ecuación:drdθ

+( 13θ )r=θθ p (θ )= 1

3θq (θ )=θ

u=e−∫ p (θ )dθ=e−∫ 1

3θdθ= 1

3√θ

e∫p (θ )dθ=3√θ

Reemplazando en la formula general:r=e−∫ p (θ )dθ [∫ e∫ p (θ )dθ q (θ )dθ+c ] r= 1

3√θ [∫ 3√θ .θdθ+c ] Análisis Matemático IV Mag. Mat. César Castañeda Campos


r= 13√θ [

3√θ773

+K ] r=3θ

2

7+ K3√θ

Reemplazando r=1, θ=1:r=3θ

2

7+ K3√θ

1=37+K

K= 47

Entonces la solución de la ecuación diferencial es:r=3θ

2

7+ 4

73√θ

r=17 (3θ2+ 4

3√θ ) 7) x2dt+(3 xt−4 x3 )dx=0

Resolución :

x2dt+(3 xt−4 x3 )dx=0

dtdx

+ 3 xt−4 x3

x2=0

dtdx

+ 3 xtx2

=4 x3

x2

dtdx

+ 3 xtx2

=4 x



P ( x )=3x;Q ( x )=4 x

u=e−∫ P(x)dx

u=e−∫ (3

x)dx

u=e−3 ln (x )

u=e ln (x )−3

u=x−3

t=x−3∫ [4 x e∫ ( 3x)dx ]dx

t=x−3∫ [4 x e3 ln (x)] dx

t=x−3∫ [4 x e ln (x3)]dx

t=x−3∫ [4 x (x3)]dx

t=x−3∫ 4 x4dx

t= 1x3 ( 4 x

5

5+C)=4 x25 +C

8) (1+x2 )dy=(1+xy )dx ; y (0 )=1

Resolución :

(1+x2 )dy−(1+xy )dx=0

dydx

−(1+xy )1+x2

=0

dydx

− 1

1+x2− xy

1+x2=0



dydx

−( x

1+x2 ) y= 1

1+x2

P ( x )=−( x

1+x2 );Q ( x )= 1

1+x2

Sea :

u=e−∫ P (x )dx⇒u=e−∫−( x

1+x2 )dx⇒u=e∫( x1+ x2 )dx

u=e ln|(x2+1 )

12|=(x2+1 )

12=√ x2+1

Reemplazando :

y=e−∫P ( x )dx∫ [Q (x ) e∫P (x )dx ]dx+c

y=√x2+1∫ [( 11+x2 ) 1

√ x2+1 ]dx+cy=√x2+1∫ [ 1

(1+x2 )3 /2 ]dx+c…………………(α)

Resolviendo laintegral por binomiosdiferenciales :

∫ [ 1

(1+x2 )3 /2 ]dx=∫ (x2+1 )−3 /2dx

Sea :

x2+1=u x2

x2−u x2=−1

x2=−11−u

=1u−1

⇒ dx=−12

(u−1 )−32 du

∫ (x2+1 )−3/2dx=∫ (ux2 )−3/2(−12 (u−1 )−32 du)=−1

2∫(u( 1

u−1 ))−3/2

(u−1 )−32 du

∫ (x2+1 )−3/2dx=−12 ∫u

−32 (u−1 )

32 (u−1 )

−32 du=

−12 ∫u

−32 du=u

−12 +c



∫ (x2+1 )−3/2dx=( x2+1x2 )−12 +c

Reemplazandoen (α ) :

y=√x2+1∫ [ 1

(1+x2 )3 /2 ]dx+cy=√x2+1[( x2+1x2 )

−12 +c ]+c

y=x+k

1=0+k ⇒k=1

∴ y=x+19) x2 y '+2 xy− y3=0

Resolución :

Dividiendoentre x2

y '+2 xyx2

− y3

x2=0

y '+2 yx

= y3

x2

Donde:

P ( x )=2x

Q ( x )= y3

x2

Y=e−∫ p ( x )dx [∫Q (x)e∫ p ( x )dxdx+c ] (1)

u=e−∫ p ( x )dx

u=e−∫ 2x dx=e−2 ln ( x)=e ln x

−2

=x−2



Reemplazandoen (1)

Y=x−2[∫ y3

x2(x2)dx+c]

Y=x−2 y3 x+c

Y= y3

x+c

10)∂θ∂ r

= 1rcos (θ )+sen (2θ)

Resolución :

[r cos (θ )+sen (2θ) ]∂θ=∂r

[r cos (θ )+sen (2θ) ]=∂ r∂θ

∂ r∂θ

−r cos (θ )=sen (2θ)

P ( x )=−cos (θ )

Q ( x )=sen (2θ)

r=e−∫ (−cos (θ ))dx∫ [( sen(2θ))e∫ (−cos (θ ))dx]dθ+Cr=e∫ (cos ( θ))dx∫ [ (sen (2θ))e−∫ (cos (θ ))dx ]dθ+Cr=esen(θ)∫ [ ( sen(2θ))e−sen(θ)]dθ+C¿ : sen (2θ )=2 sen (θ ) cos (θ)

r=2esen (θ)∫ [ (sen (θ ) cos (θ))e− sen(θ)]dθ+CIntegrando por cambiode variable :

u=e−sen (θ )

du=−cos (x )e− sen(θ) dθ

r=−2esen( θ)∫ usen (x)du+C

r=−2esen( θ)∫ dulnu

+C

11) (x2+ y2−a2 ) y '=2 xy

12) ( y3+x+1 )dx=3 y2dy



Resolución :

y3+ x+13 y2

= y '

Dándole forma a la ecuación:y '−( 13 y2 ) x= y3+1

3 y2

p ( y )=−( 13 y2 )q ( y )= y3+13 y2

u=e−∫ p ( y )dy=e−∫−( 13 y2 )dy=e

−13 y

e∫ p ( y )dy=e13 y

Reemplazando en la formula general:

x=e−∫ p ( y )dy [∫e∫ p ( y )d y q ( y )dy+c ]

x=e−13 y [∫ e 13 y .( y3+13 y2 )dy+c ]

Integrando:

∫ e13 y .( y3+13 y2 )dy=13∫ e

13 y . ydy+ 1

3∫e

13 y . y−2dy

b=13∫e

13 y . ydy c=1

3∫ e

13 y . y−2dy

Integrando “b”

13∫e

13 y . ydy

Hacemos la siguiente sustitución:



13 y

=a= 13a

= y

−13a2

da=dy

13∫e

a .13a.−13a2

da

−127 ∫e

a .a−3da

Utilizamos integración por partes:

ea=udv=a−3da

eada=duv=−2a−2

−127 [−2a−2. ea+2∫ a−2 eada ]

−127 ∫e

a .a−3da=−127 [−2a−2 . ea−2eaa−1+2 ln|a|ea−2∫ ea ln|a|da ]

El integral ∫ ea ln|a|da se desarrolla con integraciones exponenciales por tal

motivo asignaremos:

∫ ea ln|a|da=θ

La expresión quedaría reducida a:

−127 ∫e

a .a−3da=−127

[−2a−2. ea−2eaa−1+2 ln|a|ea−2θ ]+c1

Integrando “c”

13∫e

13 y . y−2dy=−∫ e

13 y . d( 13 y )=−e

13 y+c2

Por lo tanto la solución es la siguiente:



x=e−13 y [−127 [−2a−2 . ea−2eaa−1+2 ln|a|ea−2θ ]+c1−e

13 y+c2+c3]

Reemplazamos en la ecuación ( 13 y )=a:

x=e−13 y [−127 [−2( 13 y )−2 . e( 13 y )−2e( 13 y )( 13 y )−1+2 ln|( 13 y )|e(

13 y )−2θ]+c1−e 13 y+c2+c3]

x= 227 [( 13 y )−2+( 13 y )

−1

−ln|( 13 y )|+θe−13 y−1+ 27K

2e

−13 y ]

13) vdu+udv=u3 v2dv

Resolución :

vdu+udv−u3 v2dv=0

vdu+(u−u3 v2 )d v=0

dudv

+(u−u3 v2 )

v=0

dudv

+v−1u=vu3

P (v )=v−1Q (v )=v

Dividiendoentre u3

u−3 dudv

+v−1u−2=v…( I )

z=u−2 dzdv

=−2u−3 dudv

Reemplazandoen (I )



du(−2 )dv

+v−1 z=v

dudv

−2v−1 z=−2v

P (v )=−2v−1Q ( v )=−2v

u=e−∫−2v−1dv∫ [−2v e∫−2v−1dv ]dv

u=e2 ln (v)∫ [−2 ve−2 ln (v)] dv

u=e ln (v2)∫ [−2v eln (v−2)]dv

u=v2∫−2v (v−2)dv

u=v2∫−2v−1dv

u=v2 (−2 ) ln (v )+C

u=−2v2 ln (v )+C

III. RESUÉLVASE CADA UNA DE LAS ECUACIONES , SUJETAS A LAS CONDICIONES DADAS:

1) y ' ' '=3 sen ( x ); y (0 )=1 , y ' (0 )=0 , y ' ' (0 )=−2

Resolución :

Integrando laecuacion conrespecto a x :

y ' '=−3cos ( x )+C1

Si y ' ' (0 )=−2

−2=−3+C1⇒C1=1

y ' '=−3cos ( x )+1

Integrando :

∫ y ' ' dx=∫ (−3cos ( x )+1 )dx



y '=−3 sen ( x )+x+C2

Si y ' (0 )=0

0=−3 sen (0 )+0+C2⇒C2=0

y '=−3 sen ( x )+x

Integrando :

∫ y ' dx=∫ (−3 sen ( x )+ x )dx

y=3cos ( x )+ x2

2+C3

Si y (0 )=1

C3=−2

∴ y=3c os ( x )+ x2

2−2

2) Hhd

3) Hdhd

4) Hd

5) y y ' sen ( x )=cos ( x ) (sen ( x )− y2 )Resolución :

y y ' sen ( x )=cos ( x ) sen (x )−cos (x) y2

Dividimos ambos miembros por 1

sen (x) :

y y ' sen ( x )sen(x )

=cos ( x ) sen ( x )sen(x )

−cos ( x) y2

sen(x )

yy '=cos ( x )−cot ( x ) y2

yy '+cot ( x ) y2=cos ( x )



Hacemos el siguiente cambio de variable z= y2

z= y2⇒ dzdx

=2 y dydx

dz2 ydx

=dydx

yy '+cot ( x ) y2=cos ( x )

ydz2 ydx

+cot ( x ) z=cos ( x )

dzdx

+2cot ( x ) z=2cos ( x )

p ( x )=2cot ( x )q ( x )=2cos (x )

u=e−∫ p ( x )dx=e−∫2cot ( x )dx=e−2 ln|sen (x)|= 1

sen2(x)

u=e∫ p ( x )dx=sen2(x)

Reemplazando en la formula general:

z=e−∫ p (x )dx [∫e∫ p ( x )dxq ( x )dx+c ]

z= 1

sen2(x)[∫ sen2 ( x )2cos ( x )dx+c ]

z= 1

sen2(x)[2∫ sen2 ( x )d(sen ( x ))+c ]

z= 1sen2(x) [2 sen

3(x )3

+c ] z=2 sen (x)3

+ Ksen2(x )

Reemplazando z= y2en:



z=2 sen (x)3

+ Ksen2(x )

y2=2 sen (x)3

+ Ksen2(x )

6) fhf

7) fhf

IV. DETERMINAR SI LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE FUNCIONES SON LINEALMENTE

INDEPENDIENTES PARA EL INTERVALO QUE SE INDICA:

1) 1 , e−x ,2e2x encualquier intervalo I

Resolución :

W [ f 1 , f 2 , f 3 ]=[1 e− x 2e2x

0 −e− x 4 e2 x

0 e− x 8e2x ]W=1 [−e−x (8e2x )−e− x (4 e2x )]−e−x (0 )+2e2x (0)W=−8ex−4ex

W=−12ex≠0

las funciones1 , e− x ,2e2 x sonlinealmente independientes

2) ex , e2 x , e3x encualquier intervalo I .

Resolución :

w (ex ,e2x , e3 x)

f 1 ( x )=ex f 2 ( x )=e2 x f 3 ( x )=e3 x

w ( f 1 , f 2 , f 3 )=[ex e2x e3 x

ex 2e2 x 3 e3 x

ex 4e2x 9e3 x]¿ex [ 2e2x 3e3x

4 e2x 9e3x ]−e2 x[ex 3e3 x

e x 9e3 x ]+e3x [ex 2e2x

ex 4e2x ]¿ex (18e5 x−12e5 x )−e2x (9e4x−3e4 x )+e3x (4 e3 x−2e3 x)

¿6e6x−e6 x+2e6 x



¿2e6x≠0

∴Las funciones sonlinealmenteindependientes .

3) gloria

4) x , ex , x ex , (2−3 x ) exen cualquier intervalo I

Resolución :

ax+b ex+cxe x+d (2−3 x ) ex=0

Derivamos respecto a “x”

a+bex+cx ex+c ex+d (2−3x ) ex−3d ex=0

be x+cxex+c ex+c ex+d (2−3 x )ex−3 dex−3dex=0

Agrupamos términos semejantes:

be x+cxex+2c ex+d (2−3 x ) ex−6 d ex=0

Dividimos ambos miembros por ex:

b+cx+2c+d (2−3x )−6d=0

Derivamos respecto a “x”

c+d (−3 )=0

c=3 d

Por lo tanto no son funciones linealmente independientes.

5) √1−x2 , x en(−1,1)Resolución :

f 1 ( x )=√1−x2 ; f 2 ( x )=x

w [ f 1 , f 2 ]=|√1−x2 x−x

√1−x21|



¿√1−x2−x ( −x√1−x2 )=√1−x2+ x2

√1−x2=1−x

2+x2

√1−x2= 1

√1−x2

1

√1−x2≠0

Analizamos en el intervalo (-1,1)

Para : f 1 ( x )=√1−x2

x -1 0 1

y 0 1 0

Para : f 2 ( x )=x

x -1 0 1

y -1 0 1

∴Las funciones √1−x2 , x son linealmente independientes.

6) x2 ,|x|xhf

Resolu ción :

a) si x ≥0



entonces f 1 ( x )=x2 f 2 ( x )=x2

W [ f 1 , f 2 ]=|x2 x2

2 x 2 x|W=x2 (2 x )−2x (x2)

W=2x3−2x3=0

las funciones x2 ,|x|x sonlinealmente dependientes

b) si x<0entonces f 1 ( x )=x2 f 2 ( x )=−x2

W [ f 1 , f 2 ]=|x2 −x2

2 x −2 x|W=x2 (−2 x )−2 x(−x2)

W=−2x3+2 x3=0

∴las funciones x2,|x|x sonlinealmente dependientes

7) cos (ωt−β ) ,cos (ωt ) , sen (ωt ) encualquier intervlo I .

Resolución :

w (cos (ωt−β ) ,cos (ωt ) , sen (ωt ) )

f 1 ( t )=cos (ωt−β ) f 2 ( t )=cos (ωt ) f 3 (t )=sen (ωt )

w ( f 1 , f 2 , f 3 )=[ cos (ωt−β ) cos (ωt ) sen (ωt )−sen (ωt−β ) −sen (ωt ) cos (ωt )−cos (ωt−β ) −cos (ωt ) −s en (ωt )]

¿cos (ωt−β )[−sen (ωt ) cos (ωt )−cos (ωt ) −sen (ωt )]−cos (ωt )[−sen (ωt−β ) cos (ωt )

−cos (ωt−β ) −s en (ωt )]+sen (ωt )[−sen (ωt−β ) −sen (ωt )−cos (ωt−β ) −cos (ωt )]

¿cos (ωt−β ) [ sen (ωt ) s en (ωt )+cos (ωt ) cos (ωt ) ]−cos (ωt ) [sen (ωt−β ) sen (ωt )+cos (ωt ) cos (ωt−β ) ]+sen (ωt ) [sen (ωt−β )cos (ωt )−sen (ωt ) cos (ωt−β ) ]



¿cos (ωt−β )[ cos (0 )−cos (2ωt )2

+cos (2ωt )+cos (0)

2 ]−cos (ωt )[ cos (−β )−cos (2ωt−β)2

+cos (2ωt−β )+cos (β)

2 ]+sen (ωt )[ sen (2ωt−β )+sen(−β )2

−sen (2ωt−β )+sen(β )

2 ]¿cos (ωt−β )−cos (ωt )cos (β )−sen (ωt ) sen(−β)

¿cos (ωt−β )−cos (ωt+β )+cos (ωt−β )

2−[ cos (ωt+β )−cos (ωt−β)

2 ]¿cos (ωt−β )− cos (ωt+β )

2−cos (ωt−β )

2−cos (ωt+β )

2+cos (ωt−β)

2

¿cos (ωt−β )−cos (ωt+ β )≠0

∴ sonlineamentediferentes

8) 1 , sen2 ( x ) ,1−cos (x) en cualquier intervalo I

Resolución :

a+bsen2 ( x )+c (1−cos (x ) )=0

Derivando respecto a ”x”:

2bsen ( x ) cos (x )+csen ( x )=0

Dividimos ambos miembros porsen(x ):

2bsen ( x ) cos (x )sen ( x )

+csen ( x )sen ( x )

=0

2bcos (x)+c=0

Derivando respecto a ”x”:

2bcos (x)+c=0



−2bsen ( x )=0

b=0 , c=0

Por lo tanto son funciones linealmente independientes.

V. HALLESE LA SOLUCIÓN GENERAL DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES SIGUIENTES:

1) y ´ ´+5 y ´+4 y=0

Resolución :

D2+5D+4=0

(D+4 ) (D+1 )

D=−4

D=−1

y=C1 e−4x+C2 e

−x

2) x ' '+4 x '−21x=0

Resolución :

x '=D

D2+4 D−21=0

(D+7 ) (D−3 )=0

D1=−7D2=3

x=C1e−7 y+C2 e

3 y

3) 4 y ' '+20 y '+25 y=0

Resolución :

y '=D

4 D2+20D+25=0



(2D+5)(2D+5)=0

D=−52

D=−52

Y=C1 e−5 x2 +C2 e

−5 x2

4) I ' '+4 I '+13 I=0

Resolución:

I '=D

D2+4 D−13=0

x1,2=−b±√b2−4ac

2a

D1,2=−4±√42−4 (−13 )

2

D1=−2+√17 D2=−2−√17

I=C1e(−2+√17)x+C2e

(−2−√17 )x

5) gloria

6) x ' '−6x '+9 x=0

Resolución :

El polinomio característico de la ecuación diferencial es:

p (r )=r 2−6 r+9=0

r2−6 r+9=0

Factor izando por aspa simple obtenemos:

(r−3 ) (r−3 )=0

(r−3 )=0

r=3 De multiplicidad 2

Por lo tanto la ecuación diferencial tiene la siguiente solución general:



xg=c1e3+c2 ye

3

7) ( d2 xdt 2 −6 dxdt +9x )3

=0

Resolución :

( x ' '−6 x '+9 x )3=0

8) 4d2 yd x2

+ 4dydx

+ y=0

Resolución :

4d2 yd x2

+ 4dydx

+ y=0

4 y ' '+4 y '+ y=0

y '=D

Reemplazando :

4 D2+4D+1=0

(2D+1 ) (2D+1 )=0

D1=−12D2=

−12

y=C1 e−12x+C2 x e

−12x

9) 10 t' '+6 t'+t=0

Resolución:

dividiendo entre10

t ' '+ 35t'

+ 110t=0

x=−b±√b2−4ac2a



x=

−35±√( 35 )

2

−4(1)( 110 )2(1)

x=

−35±√ 925−252

x=

−35±√−125

2

x=

−35

+ 15i

2=

−310

+110i

x=

−35

+ 15i

2=

−310

−110i

K=a+ib

r=a−ib

Y=C1 eaxcos (bx )+C2e

ax sen (bx )

Y=C1 e−3x10 cos ( 110 x )+C2 e

−3x10 sen( 110 x)

10) y ' '−2 y '− y=0

Resolución:

D= y '

D2−2D−1=0

D1,2=−(−2 )±√ (−2 )2−4 (−1 )

2 (−1 )

D1=1+√2 D2=1−√2

y=C1 e(1+√2) x+C2 e

(1−√2 )x

11) gloria

12) y(7 )−8 y(6 )+ y(5)=0

Resolución:



El polinomio característico de la ecuación diferencial es:p (r )=r 7−8 r6+r5=0 r7−8 r6+r5=0 Dividimos por r5:r7

r5−8r

6

r5+ r

5

r5=0

r2−8 r+1=0 Usamos la ecuación general para u polinomio de segundo grado:r=−b±√b2−4 ac

2a

Reemplazamos los valores:r=8±√60

2

r1=8±2√152

=4+√15 r2=

8±2√152

=4−√15 Por lo tanto la ecuación diferencial tiene la siguiente solución general:y g=c1 e

(4+√15 )+c2 e(4−√15 )

13) 16 y(7 )−8 y (6 )+ y5=0

Resolución :

16D7−8D6+D 5=0

D5(16D2−8D+1)=0



D5(4D−1)2=0

D=0 ;D 1=14;D 2=

14


SEGUNDA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO IV FINAL

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