Segunda Unidad Para Entregar

PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD

Probabilidades

Contenidos:Contenidos:

-- Conceptos bConceptos báásicos de experimento aleatorio, espacio sicos de experimento aleatorio, espacio muestralmuestral, suceso, , suceso, probabilidad, etc.probabilidad, etc.

-- Calculo de probabilidades: reglas bCalculo de probabilidades: reglas báásicas, Probabilidad condicionada, sicas, Probabilidad condicionada, regla de regla de BayesBayes, Independencia, Independencia

-- Concepto de variable aleatoria.Concepto de variable aleatoria.-- Modelos Modelos probabilprobabilíísticossticos para variables discretas.para variables discretas.-- Modelos Modelos probabilprobabilíísticossticos para variables continuas.para variables continuas.


EExperimentoxperimento Aleatorio (E)Aleatorio (E)

Es cualquier proceso en el cual se recoge información de un fenómeno que presenta variación en sus resultados.

Ejemplos:E1: Medir la concentración de gases contaminantes en los tubos de escape de un conjunto de vehículos.

E2: Lanzar un dado y observar el Nº sobre la cara superior.

E3: Damos una dosis de vitaminas a un niño y observamos el peso y la estatura del niño después de 12 semanas.

Espacio Espacio MuestralMuestral (EM)(EM)

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un Experimento.

Ejemplos:

EM1: Si x=% de gases contaminantes, los posibles resultados en E1 son

EM2: Si x=Nº en la cara superior, los posibles resultados en E2 son

EM3: Si x = peso ganado, y =estatura ganada; los posibles resultados en E3 son

{ }6 5, 4, 3, 2, 1,x / x =

{ }0y ;x- / y) (x; ≥∞≤≤∞

{ }100x0x / ≤≤

- Experimento Aleatorio- Espacio Muestral- Evento o Suceso

PROBABILIDADPROBABILIDADPrincipales Conceptos



PROBABILIDADPROBABILIDADPrincipales Conceptos

Evento o SucesoEvento o SucesoSea un Experimento (E) y su Espacio Muestral (EM): “un Evento o Suceso es cualquier subconjunto del EM”. A cada uno de los resultados en el EM se le llama Evento Simple o Suceso Elemental.

del ejemplo anterior

En EM1 algunos eventos son ,

En EM2 algunos eventos son A=“Nº par”, B=“Nº impar”, C=“Nº 4”.

En EM3 algunos eventos son

donde B es un evento Simple (suceso elemental)

{ }6 5, 4, 3, 2, 1,x / x =

{ }0y ;x- / y) (x; ≥∞≤≤∞

{ }100x0x / ≤≤ { }5x0x / ≤≤=A { }02x10x / ≤≤=B

{ }0y ;03 / xy) (x; =≥=A{ }3) ;00(-1=B


Sean A y B dos sucesos cualquiera:Sean A y B dos sucesos cualquiera:Se escribe (A∪B) si ocurre A o si ocurre B o ambos

Se escribe (A∩B) si ocurre A y BAC representa el complemento de A, cuando no ocurre A ocurre AC.

Definición 1: Si A y B son eventos, se dice que A y B son excluyentes o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, (A∩B) =∅.

E: Lanzar un dado y observar el número en la cara superior.

EM= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A={4}, B=Nº impar={1, 3, 5}

(A∩B) =∅ (A y B son excluyentes)

Ejemplos: E: Determinar si una persona porta o no un arma blanca.

EM= {si, no}

A={si}, B={no}

(A∩B) =∅ (A y B son excluyentes)


PROBABILIDADPROBABILIDADPropiedades



PROBABILIDADPROBABILIDADPropiedades

Sean A y B dos sucesos cualquiera:Sean A y B dos sucesos cualquiera:Se escribe (A∪B) si ocurre A o si ocurre B o ambos

Se escribe (A∩B) si ocurre A y BAC representa el complemento de A, cuando no ocurre A ocurre AC.

Definición 2: Sea E un experimento y EM el espacio muestral, con cada suceso A se asocia un número que medirá la probabilidad de que A ocurra, donde P(A) será la probabilidad de A. Si EM={A1, A2,...,Ar} con s=1, 2,..., r.

1) 0≤P(Ai)≤1 2) P(EM)=13) Si A1,A2,...,Ar son sucesos mutuamente excluyentes, es decir (Ai∩Aj) =∅; la probabilidad de la

unión de todos los sucesos es:

P(A1)+ P(A2)+... +P(Ar)= ∑==

=r

1ss

r

1ss )P(A)AP(UAA11 AA22 AA33

AA44 AA55

EM


PROBABILIDADPROBABILIDAD Propiedades

1.- Si ∅ es un conjunto vacío (suceso imposible) la probabilidad es cero: - P(∅ )=0- (A ∪ ∅) =A ⇒ P(A ∪ ∅) = P(A) + P(∅)= P(A) - (A ∩ ∅) = ∅, A y ∅ son sucesos excluyentes

2.- Si A un suceso cualquiera y AC un suceso complementario, EM={A,AC }: - P(A) + P(AC) =1- P(A) =1- P(AC) - P(AC) =1- P(A) - P(EM)=P(A ∪ AC)= P(A) + P(AC)

3.- Sean A y B sucesos cualquiera:- P(A ∪ B)= P(A) + P(B)- P(A ∩ B)

- Si A y B son sucesos independientes: P(A ∩ B)=P(A ) P(B) - Si A y B son sucesos excluyentes: P(A ∩B)= ∅

4.- Sean A y B sucesos tales que B≤A: P(B)≤P(A)

5.- Sean A, B y C sucesos cualquiera: - P(A∪B ∪C)= P(A) + P(B)+ P(C)- P(A∩B)- P(A ∩C)- P(B ∩C) + P(A ∩B∩C)

A AC

EM

A BEM

AB

EM


PROBABILIDADPROBABILIDAD

Definición 3: Sea E un experimento y EM el espacio muestral, A es el suceso de interés, entonces P(A)= (Nº de elementos de A) / (Nº de elementos en EM)

Observación: la dificultad en el calculo de la probabilidad está en determinar el Nº de elementos en el espacio muestral.

E: se lanzan 2 dados y se observan los números en las caras superiores.

EM= {(1,1) (1,2) (1,3).....(6,6)}

A= La suma de los números de las caras superiores es 4. A ={(1,3) (3,1) (2,2)}

Ejemplo:

ProblemaProblema: Determinar probabilidad de ANº de elementos en EM= 36

Nº de elementos en A= 3P(A)=3/36=0,083 (8,3%)

1 2 3 4 5 61 11 12 13 14 15 162 21 22 23 24 25 263 31 32 33 34 35 364 41 42 43 44 45 465 51 52 53 54 55 566 61 62 63 64 65 66

Ejercicio:

Experimento: lanzar una moneda; Suceso A: que salga cara; calcular P(A).

Obtener la frecuencia relativa del suceso A: cuando el experimento se repite 30 veces, 50 veces y 100 veces.


1) Una persona tiene 20 lápices en su bolso, 4 de los cuales no funcionan, si tiene que firmar una carta y saca al azar un lápiz del bolso, ¿cuál es la probabilidad de que saque un lápiz bueno?.

E: Sacar un lápiz del bolso.

EM= {L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7, L8, L9, L10, L11, L12, L13, L14, L15, L16, L17, L18, L19, L20}

A= Sacar un lápiz bueno.

Nº de elementos en EM= 20; Nº de elementos en A= 16; P(A)=16/20= 0,8 (80%)

PROBABILIDAD PROBABILIDAD EjemplosEjemplos

2) Una bolsa de caramelos de 3 sabores (Sandía, Naranja y Limón) contiene 20 unidades de las cuales el 50% es de Limón, el 25% de Sandía y el otro 25% de Naranja.Si un niño saca al azar un caramelo:a) ¿Cuál el la probabilidad que saque uno de limón?b) ¿Cuál es la probabilidad que saque uno de sandia?c) ¿Cuál es la probabilidad que saque uno de naranja?Si el niño saca al azar dos caramelos: a) ¿Cuál es la probabilidad que los dos sean de limón?b) ¿Cuál es la probabilidad que los dos sean de naranja?c) ¿Cuál es la probabilidad que uno sea de sandía y otro de naranja?

En este ejemplo determine: Experimento, Espacio

Muestral, Suceso y probabilidad del Suceso


““ Permiten determinar el NPermiten determinar el Nºº de elementos del Espacio de elementos del Espacio MuestralMuestral de un experimentode un experimento””

PROBABILIDAD PROBABILIDAD TTéécnicas de Conteocnicas de Conteo- Principio Multiplicativo- Permutaciones- Combinaciones

1.- PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

- Suponemos un Experimento que consiste en k etapas o procedimientos, donde la etapa eipuede tener ni posibles resultados, i=1,...k.

- En el experimento, cada una de las formas de efectuar e1 puede ser seguida por cualquiera de los resultados de e2 y así sucesivamente por cualquiera hasta concretar la última etapa del experimento, que es ek.

- Por lo tanto el experimento puede tener (n1 x n2 x … x nk) posibles resultados.

Ejemplo:

1) Sea E= se lanza un dado 2 veces: e1= lanzar el dado por primera vez y e2= lanzar el dado por segunda vez. Los posibles resultados en cada etapa del experimento son: n1=6 y n2= 6. El número posible de resultados es: n1n2= 6 6=36.



1.- PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Ejemplo

2) ¿De cuantas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones diferentes, 2 camisas distintas y 2 pares de zapatos?.

E= la persona se viste: e1= se pone pantalón, e2= se pone camisa y e3= se pone zapatos . Los posibles resultados en cada etapa del experimento son: n1=3, n2= 2 y n3= 2. El número posible de formas de vestirse es: n1n2 n3 = 3 *2* 2=12.




2.- PERMUTACIONES y 3) COMBINACIONESPERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

El Nº de posibles resultados en un experimento es

COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

El Nº de posibles resultados en un experimento es

donde n!=1x 2 x 3 x … x (n-1) x n por ejemplo 3!= 1x 2 x 3 = 6

)!(!rn

nP−

=

)!(!!

rnrnC−

=




2.- PERMUTACIONES y 3) COMBINACIONES

PERMUTACIÓN: COMBINACIÓN:

Ejemplo: Se tienen 4 banderas (Roja, Amarilla, Verde Blanca) ¿Cuántas señales se pueden tener mezclando 2 banderas?

Rpta.:

E= de 4 banderas sacar dos banderas y formar señales

EM={RA, AR, RV, VR, RB, BR, AV, VA, AB, BA, VB, BV}

A= la señal tiene una bandera Roja

P(A)= 6/12=0,5

)!(!rn

nP−

=)!(!

!rnr

nC−

=

1221

4321)!24(

!4=

××××

=−

=P

Ejemplo: Hay cuatro personas (Ana, Rosa, Miguel Claudia) ¿Cuántos grupos se pueden tener mezclando 2 personas?

Rpta.:

E= de 4 personas formar grupos de 2

EM={AR, AM, AC, RM, RC, MC}

A= el grupo esta formado sólo por mujeres

P(A)= 3/6=0,5

B= el grupo es mixto

P(B)=3/6=0,5

62

12)21()21(

4321)!24(!2

!4==

××××××

=−

=C



PROBABILIDAD PROBABILIDAD PROBABILIDADPROBABILIDAD CONDICIONADACONDICIONADA

-La idea de probabilidad condicionada permite incorporar información relevante para hallar la probabilidad de un suceso.

- La expresión de la probabilidad condicionada es la siguiente:

sabiendo que

es decir, los dos sucesos ocurren al mismo tiempo

Ejemplo: En una población de N mujeres y hombres, donde NM son mujeres y NH son hombres, se sabe que Ncconsumen cierto producto, de los cuales NcM mujeres consumen ese producto.

Experimento: se elige al azar una persona y se le pregunta si consume el producto.

A: la persona consume el producto.

Si sabemos que la persona seleccionada es mujer, la probabilidad de que consuma el producto condicionada a que es mujer se obtiene como sigue:

A: la persona consume el producto; B: la persona es mujer.

EsquemEsquemááticamente: ticamente:

NN

AP c=)(

)()() ()/(

BPBAP

P(B)ByAPBAP ∩

== )() ( BAPByAP ∩=

)()/()( BPBAPBAP ⋅=∩

EE

BBAA )()(

)/(BP

BAP

NNN

N

NN

BAPM

cM

M

cM ∩===

)( BA∩


PROBABILIDAD PROBABILIDAD REGLA DE BAYESREGLA DE BAYES

- En algunos casos, el espacio muestral de un Experimento se puede partir en varios sucesos, los llamaremos B1, B2, …, Br, incompatibles entre si o excluyentes (no hay intersección), tal como se presenta en el esquema:

- En ese mismo experimento existe un suceso A cualquiera de nuestro interés, representado en el siguiente esquema:

-La probabilidad del suceso A puede calcularse a partir de las probabilidades de A condicionado por los diferentes sucesos B1, B2, …, Br, utilizando la formula de probabilidad total:

-Sobre la base de la formula anterior, se puede calcular la probabilidad de que ocurra el suceso Bi(i=1,2,…,r) dado el suceso A mediante la formula:

BB11 BB22 BB33

BB44BB55

EE

BB66

BB11 BB22 BB33

BB44BB55

EE

BB66

AA

∑=

⋅=r

iii BPBAPAP

1)()/()(

)()( )/(

)() (

)()y (

)/(AP

BPBAPAP

ABPAP

ABPABP iiii

i =∩

==


PROBABILIDAD PROBABILIDAD REGLA DE BAYESREGLA DE BAYES-La probabilidad del suceso A:

-La Prob. que ocurra el sucesoBi (i=1,2,…,r) dado el suceso A:

--EjemploEjemplo: Estudio de la situación laboral de los trabajadores en 4 sectores de la economía, denotados por B1, B2, B3 y B4. a) Interesa determinar la probabilidad que una persona este en paro y b) de que una persona que esta sin trabajo pertenezca al segundo sector

Sea el suceso A: estar sin trabajo (estar en paro)

- La probabilidad de que una persona este sin trabajo en el sector B1 es P(A/B1)=0,05



-La probabilidad de que una persona este sin trabajo en el sector B4 es P(A/B4)=0,1

Se sabe que la mitad de las personas pertenecen al primer sector y y el resto se divide en partes iguales entre los otros 3, por lo tanto:

- La probabilidad de que una persona proceda del sector B1 es P(B1)=0,5

- La probabilidad de que una persona proceda de los sectores B2, B3 y B4 es P(B2) = P(B3) = P(B4) = 0,16

a) La probabilidad que una persona este en paro es:

b) La probabilidad que una persona que está sin trabajo pertenezca al sector 2 (B2) es:

∑=

⋅=r

iii BPBAPAP

1)()/()(

0458,016,01,05,005,0)/()/()( 41 =⋅++⋅=++= LL BAPBAPAP

03,00458,0

16,001,0)(

)()/()/( 22

2 =⋅

==AP

BPBAPABP

)()( )/(

)() (

)()y (

)/(AP

BPBAPAP

ABPAP

ABPABP iiii

i =∩

==


PROBABILIDAD PROBABILIDAD INDEPENDENCIAINDEPENDENCIA- Dos sucesos son independientes cuando la aparición de uno de ellos no modifica la probabilidad de que ocurra el otro. Por lo tanto, dos sucesos A y B son independientesindependientes si:

Si A y B son independientes, entonces:

Ejemplo a: no hay independencia entre los sucesos A y B

Experimento: se lanza dos veces un dado equilibrado.

El suceso A: en el segundo lanzamiento sale un Nº par. El suceso B: La suma de los resultados es al menos 9

-Los elementos de A son {12, 22, 32, 42, 52, 62,14, 24, 34, 44, 54, 64, 16, 26, 36, 46, 56, 66}

-Los elementos de B son { 63, 36, 54, 45, 64, 46, 56, 65, 66, 55}

-Los elementos de A y B son {54, 64, 36, 46, 56, 66}

Por lo tanto: , Por lo tanto: , y y

Ejemplo b: hay independencia entre los sucesos A y B

Experimento: se lanza dos veces una moneda equilibrada donde {CC, CX, XC, XX}

El suceso A: en primer lanzamiento sale cara A={CC, CX}. El suceso B en el segundo sale cara, B={XC,CC}. Que resulte A y B es {CC}.

La P(A)=2/4=0,5 y P(B)=2/4=0,5 y P(AyB)=1/4=0,25 por lo tanto P(AyB)=P(A)xP(B)=0,5 x 0,5 = 0,25

)()/( APBAP =

)()()()/()()y ( BPAPBPBAPBAPBAP ⋅=⋅=∩=

36/6)()y ( =∩= BAPBAP5,036/12)( ==AP 36/10)( =BP

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