Segundo Control Estadıstica y ProbabilidadIng.Informatica 2014-2015

Apellidos y nombre: DNI:

Problema 1.-(4 puntos) Sea (X,Y ) un vector aleatorio continuo cuya densidadconjunta es

f(x, y) =

{c, |x|+ |y| ≤ 20, otro caso

(para cierta c > 0)

i) Dibujar la region del plano donde f(x, y) 6= 0 y calcular c.

ii) Calcular las densidades marginales de X e Y , determinando primero los in-tervalos donde son 6= 0.

iii) ¿Son X e Y independientes? Justificar la respuesta.

iv) Calcular P (X ≤ 0, Y ≤ 0).

Solucion: i) La region del plano donde f(x, y) 6= 0 es el cuadrado determinado porlos puntos (0, 2), (0,−2), (2, 0), (−2, 0), cuyo lado es 2

√2 y su area, 8. Por tanto,

c = 1/8.ii) Puesto que |x|, |y| ≤ 2 cuando f(x, y) 6= 0, las densidades marginales solo

son distintas de cero en el intervalo (−2, 2). Ası, si |x| ≤ 2 tenemos

fX(x) =

∫I

f(x, y) dy; I = {y : |y| ≤ 2− |x|} = [−(2− |x|), 2− |x|]

=

∫ 2−|x|

−(2−|x|)

1

8dy

=2− |x|

4

Del mismo modo, si |y| ≤ 2, fY (y) = 2−|y|4 (fuera de los intervalos anteriores, ambas

densidades son cero).iii) No son independientes, porque dado un x ∈ (−2, 2), este limita el rango de

y′s donde la densidad conjunta es distinta de cero; alternativamente, la densidadconjunta no es el producto de las individuales, pues el producto de las individualeses distinto de cero cuando |x| o |y| ≤ 2, que es un cuadrado mayor que el dado por|x|+ |y| ≤ 2.

iv) Por simetrıa, P (X ≤ 0, Y ≤ 0) = P (X ≥ 0, Y ≤ 0) = P (X ≤ 0, Y ≥0) = P (X ≥ 0, Y ≥ 0), y como la suma de las cuatro probabilidades anterioreses 1, cada una de ellas (y en particular, la pedida), valen 1/4 (donde tambienusamos que nuestro vector es continuo, de modo que carece de importancia ponerP (X ≤ 0, Y ≤ 0) o P (X < 0, Y < 0)).Problema 2.-(3 puntos)

i) Si la probabilidad de que una bombilla falle en un ano es de 0,02 (en %),calcular aproximadamente la probabilidad de que en un conjunto de 10.000bombillas fallen en un ano dos o mas.

ii) Si tenemos 100 lotes de esas bombillas, cada uno compuesto por 10.000 bom-billas, calcular aproximadamente la probabilidad de en al menos 65 de esoslotes dos o mas de esas bombillas hayan fallado en un ano.

Solucion:i) La probabilidad de fallo Pf , en unidades absolutas, es 0, 0002 = 2 · 10−4 � 1,

mientras que la probabilidad de fallo de un cierto numero j de bombillas en el lote

1

es P (B(n = 104, p = 2 · 10−4) = j). Aproximamos entonces por una variable dePoisson de parametro λ = np = 2. Entonces, la probabilidad pedida exactamentees

Pf = P (B(n = 104, p = 2 · 10−4) ≥ 2) ≈ P (P (λ = 2) ≥ 2) (aprox. Poisson)

= 1− P (P (λ = 2) < 2)

= 1− e−2(

20

0!+

21

1!

)= 0, 3934

ii) Con la probabilidad Pf calculada en i), la probabilidad pedida es

P = P (B(n = 100, p = Pf ) ≥ 65)

y como Pf no es grande ni pequena, mientras que 100 es grande, aproximamos poruna normal:

P ≈ P (N(100Pf,√

100Pf (1− Pf )) ≥ 65) (aprox. Normal)

= P

(N(0, 1) ≥ 65− 100Pf√

100Pf (1− Pf )= 1, 14

)= 0, 1251 (tabla)

Problema 3.-(3 puntos)

i) El peso de un cerdo es una V.A con distribucion N(µ = 195, σ = 30) (enkilos). Calcular la probabilidad de que el peso de un cerdo no supere los 240kilos.

ii) Una camioneta tiene un peso maximo autorizado de 2.000 kilos. Calcular laprobabilidad de que podamos transportar un cargamento de 10 de esos cerdos.

Solucion:i) La probabilidad pedida es

P (N(195, 30) ≤ 240) = P

(N(0, 1) ≤ 240− 195

30= 1, 5

)= 1− P (N(0, 1) ≥ 1, 5)

= 0, 9332 (tabla)

ii) Los pesos de los 10 cerdos son i.i.d con distribucion N(195, 30), y el peso totalde esos cerdos es la suma de esas i.i.d, cuya distribucion es N = (µ = 10 · 195, σ =√

10 · 30) = N(1950, 94, 9). Por tanto, la probabilidad pedida es

P (N(1950, 94, 9) ≤ 2000) = P

(N(0, 1) ≤ 2000− 1950

94, 9= 0, 52

)= 1− P (N(0, 1) ≥ 0, 52)

= 0, 6985 (tabla)

2