Selección de Lecturas Unidad 5 Mat-CIU -Ecuaciones

142

UNIDAD 5ECUACIONES E INECUACIONES

LECTURA N° 20: USOS DE LAS ECUACIONESLINEALES

ECUACIONES LINEALES

Consideremos la siguiente situación (con los números que utilizamos para contar): se tratadel juego o acertijo “Piensa un número”

Para ver qué hay detrás de este acertijo, basta transformar las frases anteriores en suequivalente simbólico; es decir, construir las expresiones matemáticas que lasrepresentan.

Lo primero que haremos es simbolizar el número desconocido (el que piensa nuestroadversario) con una letra. Pongamos por caso n.

A continuación convertimos todas las instrucciones a expresiones matemáticas:

Tomado con fines instruccionales:

Fundación Polar. El Mundo de la Matemática. Fascículo 6.Ecuaciones, pp.5-6. Caracas: Últimas Noticias.

1- Piensa un número2- Multiplícalo por 23- Agrégale a lo obtenido 54- Multiplica el resultado anterior por 55- Súmale 10 a la cantidad obtenida6- Multiplica el nuevo resultado por 107- Dime el resultado y te daré el número que pensaste ¿Cómo funciona el truco?

1. Piensa un número n2. Multiplícalo por 2 2n3. Agrégale a lo obtenido 5 2n+54. Multiplica el resultado anterior por 5 (2n+5)55. Súmale 10 a la cantidad obtenida (2n+5)5+106. Multiplica el nuevo resultado por 10 [(2n+5)5+10]107. Dime el resultado y te daré el número que pensaste R=[(2n+5)5+10]10

R(n)=100n + 350Esta dependencia se indica por R(n) y es lo que en matemática se denomina una función.

http://www.calimaediciones.com/imagenes/libros_colecciones.jpg

143

¿Cuál es el conjunto de valores posibles que puede tomar n?

En principio, n puede tomar cualquier valor dentro del conjunto delos números naturales, denotado por .N׀

El jugador que pensó el número n calcula el número R(n) queproduce la fórmula: es decir, está evaluando la función en n. Así, sin=3, entonces le corresponde R(3)=650; si n=11, entoncesR(11)=1450, etc.

Pero, ¿qué ocurre si pensamos “al revés”?, si damos R ¿habrá algún valor de n queproduzca el R dado? Esta es la situación en la cual nos encontramos cuando nuestrooponente da el valor de R y queremos “adivinarle” el número que pensó. Esta nuevasituación produce una ecuación y el valor desconocido n pasa a llamarse incógnita.

Veamos otra situación. Si los triángulos se construyen con fósforos. ¿Será posibleencontrar una fórmula mediante la cual se establezca una relación entre el número detriángulos y el número de fósforos empleados?

¡Exploremos el asunto!

Para el primer triángulo requerimos tresfósforos. Para poder anexar el segundose necesita adicionar dos fósforos. Parael siguiente colocamos dos más.

REs el resultado que nos dan. Unavez escogido n el valor R quedadeterminado por las operacionesespecificadas mediante la fórmula;R se denomina variable depen-diente en razón de que su valordepende del valor n.

Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen cantidades constantes yuna o varias cantidades variables desconocidas llamadas incógnitas. Ejm: x + 6 = 1; x3 – 8 = 0 …Los valores de la(s) incógnita(s) que satisfagan la igualdad se denominan raíces de la ecuación.

n Î N

La variable n es elnúmero pensado. Comola variable n es de libreescogencia, ella se llamavariable independiente.

144

Denotemos con la letra n el número de fósforos (variableindependiente) y con T(n) el número de triángulosconstruidos con n fósforos (variable dependiente).

Si observamos con un poco de cuidado podemos notar,que los números de la segunda columna son los númerosimpares ³ 3 y en la primera aparecen los númerosnaturales. La pregunta original se transforma en ¿cómodeterminar un número de la primera columna conocido sucorrespondiente en la segunda? En otras palabras, ¿cómosaber que al 7 le corresponde el 3, al 11 el 5…? Larespuesta es que dado un número de la segunda columna,le restamos 1 y luego lo dividimos por 2. Así, la fórmulabuscada es:

21

221)( -=

-=

nnnT

En las dos situaciones que acabamos de presentarles, la expresión del lado derecho de la

igualdad resultó ser la forma ban+ . En otras ocasiones, como el caso del problema

propuesto en el Papiro Rhind cuando las cantidades que intervienen son número reales,

se acostumbra emplear la letra x en lugar de n .

LECTURA N° 21: ECUACIONES

En lo cotidiano se usa de manera frecuente la palabra igual para indicar que, lo que

estamos comparando tiene las mismas características, como por ejemplo: “Luisa y Antonia

usan blusas idénticas”, debemos reconocer que su uso en matemática es importante. Esta

relación se representa con el símbolo ""= .

Cuando se escribe:

34327

41 3 -++ = 1

Material recopilado con fines instruccionales por:

Gómez T; González N; Lorenzo J. (2007). Artículo nopublicado. Caracas.

1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 … …


145

significa que la expresión de la izquierda del símbolo “=”, es igual a la expresión que está a

la derecha del mismo y representan al mismo número. Este es el significado fundamental

de cómo se utiliza la palabra igual en matemática

Definiciones Preliminares

Igualdad: es una relación donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo

valor.

Ejemplos: 5 = 3 + 2 ; a = b - c; 3x + 7 = 16.

Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente

para valores particulares de las variables contenidas en ellas.

Ejemplos: a) 2598 =+x b) 3192 +=+- ttt c) 52 -=+ yyx .

Identidad: es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables. Así

tenemos por ejemplo que estas son identidades:

222 2)( yxyxyx ++=+ ;

122 =+ aa CosSen

( ) 36123 --=+- xx

Una de las grandes diferencias entre estas dos definiciones, es que las identidades se

demuestran, mientras que las ecuaciones se resuelven. Ambas son operaciones muy

importantes en matemática, sin embargo, parte de la segunda es la que se estudiará en

esta unidad.

Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica, cuyo valor

desconocemos y generalmente se denotan por las últimas letras del alfabeto ,,,, wzyx etc.

Miembros de una ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación.

El primer miembro está al lado izquierdo de la igualdad y el segundo miembro se

encuentra al lado derecho.

Así la ecuación: 2598 =+xLado derecho.

Lado izquierdo.

Producto notable

Identidad fundamental de trigonometría

Propiedad Distributiva

146

Para:

3192 +=+- xxx

Clases de Ecuaciones:

· Ecuación Numérica: es una ecuación donde las únicas letras son las variables o

incógnitas. Así tenemos que 2598 =+x , 132 =-- yy son ecuaciones numéricas.

· Ecuación literal: Es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras,

llamadas parámetros, que representan cantidades conocidas. Así las ecuaciones:

02 =++ cbxax , bcdyax +=+ son ecuaciones literales donde los parámetros son

dcba ,,, y x es la variable.

Solución o Raíz de una Ecuación

Son los valores que atribuidos o sustituidos en las variables o incógnitas, producen una

igualdad entre los dos miembros de la ecuación.

Así para:

1. 2598 =+x , el valor de 2=x hace la ecuación verdadera, es decir, se cumple la

igualdad: 259169)2(8 =+=+ . En este caso se dice que x = 2 es la solución o raíz de

la ecuación. Si le damos a la variable x un valor diferente de 2, la igualdad no se cumple.

2. 4=x es solución de la ecuación 22

3=

+xx

, mientras que 1=x no es la solución de

esta ecuación.

Resolución de una Ecuación

Es hallar la o las soluciones o raíces que satisfacen la ecuación.

A continuación vamos a enunciar las reglas básicas para resolver una ecuación.

Regla 1: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad

(positiva o negativa), la igualdad no se altera.

Lado izquierdo.

Lado derecho.

147

Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma

cantidad diferente de cero ( positiva o negativa), la igualdad no se altera.

Regla 3: Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, la

igualdad no se altera.

Regla 4: Si los dos miembros de una ecuación se le extrae una misma raíz, la igualdad no

se altera.

Regla 5: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro,

cambiándole el signo. Esta regla se llama transposición de términos y funciona

como sigue:

· Si tienes un término realizando dos de las operaciones fundamentales, suma o

resta, en uno de los miembros de la igualdad se pasa al otro lado, efectuando

la operación contraria (recuerda que la suma y la resta son operaciones

contrarias). Así tenemos que la ecuación: 2335 =+x , el término +3 puede

pasar al otro lado de la ecuación restándolo y quedaría: 3235 -=x ,

resolviendo el lado derecho nos queda: 205 =x

· Si tienes un factor diferente de cero realizando las operaciones fundamentales,

multiplicación o división, en uno de los miembros de la ecuación, se pasa al

otro lado efectuando la operación contraria (recuerda que la multiplicación y la

división son operaciones contrarias). En el ejemplo anterior 205 =x , para

despejar la incógnita x de la ecuación, como 5 está multiplicando a la variable

x, pasaría al otro lado de la ecuación dividiendo:520

=x y resolviéndolo nos

daría el valor de la incógnita: 4=x

Cambio de Signo en una Ecuación:

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación

varíe, pues equivale a multiplicar los dos lados o miembros de la ecuación por (-1). Así

la ecuación: 835 =-x es equivalente a: ( ) 8)1(35)1( -=-- x , es decir , la ecuación

835 =-x es equivalente a la ecuación 835 -=+- x

Tipos de ecuaciones

Los tipos de ecuaciones de uso más frecuente son:

148

a) Polinomiales: las cuales pueden ser de una o varias variables. En esta unidad

trataremos estas ecuaciones pero de una variable.

El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, este es el mayor exponente que

tiene la incógnita. Por ejemplo:

0182 =-x es de primer grado ( )x

0342 =+- xx es de segundo grado ( )2x

022 23 =--+ yyy es de tercer grado ( )3y

044 =-n es de cuarto grado ( )4n

b) Racionales: son aquellas que contienen expresiones algebraicas racionales, tales como:

b.1.-44

22

+-

=+-

xx

xx

; b.2.- xxx

x 2435

3 2

=+-

c) Radicales: son aquellas ecuaciones que tienen la variable o incógnita dentro de una o

mas expresiones radicales, también son llamadas ecuaciones radicales. Así, tenemos:

c.1.- 2217 +=-++ xxx c.2.- 3153 2 +=+ xx

d) Ecuaciones con Valor Absoluto: son aquellas ecuaciones donde las variables o

incógnitas están dentro de un valor absoluto, tales como:

d.1.- 4513 +=- xx d.2.- 03235 3 =--x

e) Ecuación de 1er. Grado con una incógnita

Forma General

Una ecuación de 1er grado con una incógnita es una expresión de la forma 0=+ bax ,

donde “ a ” y “ b ” son números reales llamados coeficientes de la ecuación, con 0¹a y

“ x ” es la incógnita de la misma.

0=+ bax Lado derecho dela ecuación.

Lado izquierdo dela ecuación

149

Resolver una ecuación, consiste en hallar el valor de la incógnita de tal manera que, al

sustituirla en la ecuación, se cumpla la igualdad. Para hacer esto, utilizamos el proceso

anteriormente descrito.

Veamos a continuación algunos ejemplos

Ej.1. Resuelva la ecuación 032 =+x , y simplifica el resultado si es posible.

Solución:

032 =+x , 2=a , y 3=b , la idea es despejar, hasta encontrar el valor de x

302 -=x

32 -=x

23-

=x

Respuesta: la solución de 032 =+x es23

-=x

El valor de “ x ” es23

- , esto significa que si se sustituye este valor en el lugar de “ x ” en

la ecuación original, se cumple la igualdad, comprobemos esto:

Comprobación:

032 =+x

00033

03232

=Þ=+-Þ

=+÷øö

çèæ -×Þ

Observa que la igualdad se cumple, por lo tanto23

-=x es la solución de la ecuación.

Veamos qué sucede al sustituir “ x ” por cualquier valor distinto de23

- en la ecuación

original, digamos por ejemplo 1=x :

Ecuación original

sustituyendo23

-=x

Pasamos el 3 para el otro lado de la ecuación restando yresolvemos el lado derecho

Pasamos el factor 2 que está multiplicando para el otro ladode la ecuación dividiendo.

150

032 =+x

( )05032

0312=Þ=+Þ

=+×Þ

En este caso, la igualdad no se cumple, por lo tanto 1=x no es solución de la ecuación

032 =+x .

En general para una ecuación de Primer Grado con una incógnita de la forma 0=+ bax ,

con 0¹a , la solución es de la formaabx -= y además es importante recalcar que ésta

solución es única.

Ej.2. Resuelva la ecuación 04

27=

-x, y simplifica el resultado si es posible.

Solución:

Llevamos la ecuación a la forma general. Como es una ecuación racional igualada a

cero, ésta se cumple sólo si el numerador es igual a cero, por lo tanto:

72207

027

=Þ+=Þ

=-Þ

xx

x

Observa que la solución es de la formaabx -= , donde 2-=a y 7=b .

Respuesta: La solución de 04

27=

-x es

72

=x .

Ej.3. Resuelva la ecuación353

238

-=- xx

, y simplifique el resultado si es posible.

Solución:

Observa que el denominador 2 en el lado izquierdo podría pasar a multiplicar al lado

derecho de la igualdad. Sin embargo, el denominador 3 en el lado derecho no puede

pasar a multiplicar al lado izquierdo porque no es denominador de todos los términos.

353

238

-=- xx

Ecuación original

Sustituyendo 1=x

Esta es la forma general.

151

Por eso te sugerimos sacar el m.c.m. de ambos lados de la ecuación y resolver. Se calcula

el m.c.m. entre 2, 3 y 1 que son los denominadores de ambos lados de la igualdad.

35

13

238

-=- xx

=( )

65236

638.3 ×-×=

- xx

Si los dos lados de una igualdad tienen el mismo denominador, entonces basta con

resolver la igualdad entre los numeradores, como sigue:

1018924 -=- xx

Se agrupan los términos que contengan incógnitas en un lado de la igualdad y los

independientes en otro. En este caso, 18x que está positivo en la derecha, pasa restando

a la izquierda y -9 pasa como +9 hacia la derecha:

61169101824 -=Þ-=Þ+-=-Þ xxxx

Respuesta: La solución de353

238

-=- xx

es61

-=x

En el siguiente ejercicio la ecuación original no es de primer grado, sin embargo, notará

que se transforma en ésta al resolverla.

Ej.4. Resuelve la ecuación12

712

5-

=+ xx

, y simplifica el resultado si es posible.

Solución:

Ambos lados de la igualdad tienen una fracción, por lo tanto, pasamos lo que esta

dividiendo en un lado a multiplicar en el otro lado:

127

125

-=

+ xx

)12(7)12(5 +=-Þ xx

Luego aplicamos la propiedad distributiva en ambos lados de la ecuación, pasando los

términos independientes hacia la derecha y los que contienen la variable x hacia la

izquierda:

571410714510 +=-Þ+=- xxxx Agrupando términos semejantes ydespejando la x

152

412124571410-

=Þ=-Þ+=- xxxx


712

5-

=+ xx

es 3-=x ..

Ejercicios Propuestos:

Resuelva las siguientes ecuaciones:

1. ( ) ( ) ( )613

3131

21

++=--- xxx 2. 012

353

=-

+x

3. ( ) xxxx 5531

4652 -=-+

-- 4.

143

142

+=

- xx

5. ( ) 110

5715 =-

---xxx 6.

51232

1092 x

xxx

=--

+-

7. 053

4=-

-x8.

( )( )( ) 01

1573725

=--+-

xxxx

9.325

338

2172 +

-=

-+

xxx 10.3

715 xx -=-

Ecuaciones Literales de Primer Grado

Como ya lo mencionamos anteriormente, en las ecauaciones literales, algunos o todos los

coeficientes de las incógnitas o las cantidades conocidas que figuran en la ecuación están

representadas por letras, que generalmente suelen ser .,,,,,, etcnmdcba

Ejemplos de este tipo de ecuaciones son: cbxa =+ , xmnmnxmx +=++ 5732 .

Para resolver este tipo de ecuaciones, aplicaremos las mismas reglas que usamos en las

ecuaciones numéricas anteriormente estudiadas. Veamos a continuación varios ejemplos:

Ej.5. Resuelve la ecuación323

2-= axax


Finalmente simplificamos 12/-4 = -3

153

Solución:

Observa que el denominador 2 en el lado izquierdo podría pasar a multiplicar al lado

derecho de la igualdad. Sin embargo, el denominador 3 en el lado derecho no puede

pasar a multiplicar al lado izquierdo, porque no es denominador de todos los términos

323

2-= axax

Por lo tanto te sugerimos sacar el m.c.m. de ambos lados de la ecuación y resolver:

Se calcula el m.c.m. entre 2, 3 y 1 (recuerde que1

33 axax = )

( )6

22366

.3 ×-×=Þ

axax

Si los dos lados de una igualdad tienen el mismo denominador, entonces basta con

resolver la igualdad entre los numeradores, como sigue:

Þ 4183 -= axax ; se agrupan los términos que contengan incógnitas en un lado de

la igualdad y los independientes en otro.

axax 3184 -=Þ

ax154 =Þ

Para despejar la variable x de la ecuación, debemos tomar en cuenta que el coeficiente del

mismo a15 , pasa para el otro lado de la ecuación dividiendo, por lo tanto, el literal a tiene

que ser diferente ( 0¹a ). Luego tenemos que

xa

ax =Þ=Þ15

4154 , es decira

x15

4= si 0¹a .


2-= axax

esa

x15

4= si 0¹a

Ej.6. Resuelve la ecuación( )

caxx

caxbax

--

+=-- 52

83


Solución:

Se calcula mínimo común entre los denominadores y se procede a efectuar la suma de

fracciones. El m.c.m.( cax - , 8)= )(8 cax -

Agrupamos términos semejantes

154

( )( )

( ) ( )( )cax

xcaxcaxbax

--+-

=--

Þ8

528388

( ) ( )caxxcax

caxbax

--+-

=--

Þ8

4016338

88

40316388 --+=-Þ cxaxbax

40381638 --=--Þ cbxaxax

4038165 --=-Þ cbxax

Como queremos despejar la variable x, tenemos que agrupar los términos que contengan

dicha variable:

4038165 --=-Þ cbxax

( ) 4038165 --=-Þ cbxa

Para despejar la variable x, el factor ( )165 -a pasa a dividir al otro lado de la igualdad, por

lo tanto, tenemos que asegurar que dicho factor sea diferente de cero ( )0165 ¹-a . Luego

( ) 4038165 --=-Þ cbxa165

4038---

=Þa

cbx

Respuesta: La solución de( )

caxx

caxbax

--

+=-- 52

83

es165

4038---

=a

cbx si 0165 ¹-a

Ej.7. Resuelve la ecuación 02332 2 =-

--

mx

mmx

mx

, con 0¹m , y simplifica el resultado

si es posible.

Solución:

Se calcula el mínimo común entre los denominadores y se procede a efectuar la resta de

fracciones.

El m.c.m.( mmm ,,2 2 ) = 22m , éste se divide entre cada denominador:

mmmmmmmm 222222 2222 =¸=¸=¸

y el cociente se multiplica por el numerador:

Propiedad de los racionales

Agrupa y suma de términossemejantes

Factor común x

Recuerda que en este tipo de procedimiento, elm.c.m. se escribe como denominador de cadafracción, y como numerador se escribe elresultado de: dividir el m.c.m. entre cadadenominador y multiplicarlo por el numerador.

155

02332 2 =-

--

mx

mmx

mx 0

2)2(2)33(2)(

2 =---

Þm

xmmxxm

02

4662 =-+-

Þm

mxmxmx

Propiedad de los racionales: si una fracción es igual a cero, es equivalente a que el

numerador sea cero.

046602

4662 =-+-Þ=-+-

Þ mxmxmxm

mxmxmx

6)461( =-+Þ mx 63 =Þ mx

Para despejar la variable x , el factor 3m pasará dividiendo al otro lado de la igualdad y

como 0¹m nos quedamm

x2

36

==

Respuesta: La solución de 02332 2 =-

--

mx

mmx

mx

esm

x 2= con 0¹m .


Resolver las siguientes ecuaciones:

1 1 . 1)1( =+xa 1 2 . 0)()()( 222 =+---+ baaxbx

1 3 . bxabax -=+ 22 1 4 . )2(2)()( xababxbxa -=-++

1 5 . aabaxbxbxax 3)2()2)(())(( +-=-+--+1 6 . )1()( abxbaaax +--=+-

1 7 .x

aa

a 23211 -=+

- 1 8 .aab

xaa

ax 1232 -=

--

-

19.xmnx

mn

111-=- 20.

aax

aaxx

ax+

=+

++ 2

21

Resolución de Problemas:

Como estudiante de nivel superior, sabemos que eres capaz de encontrar la solución a los

ejercicios o problemas planteados, utilizando los procedimientos adecuados. No obstante,

Agrupamos y sumamos lostérminos semejantes

156

te brindamos aquí, algunas sugerencias que pueden servirte de guía para que puedas

resolver este tipo de problemas o modelos.

1. Lee “cuidadosamente” el enunciado del problema.

2. Vuelve a leer el enunciado tantas veces sean necesarias, hasta comprender

perfectamente los datos que ofrece el problema y lo que te piden encontrar.

3. De ser necesario, acostúmbrate a realizar un bosquejo de la situación

planteada, en forma gráfica o en un planteamiento inicial.

4. Identifica con variables (letras) los datos e incógnitas del problema.

5. Ubica los datos del enunciado y relaciónalos matemáticamente mediante

ecuaciones o fórmulas (algunos datos o fórmulas no se dan en forma explícita

en los problemas, se supone que debes conocerlas. Ej.: área, volumen,

velocidad, aceleración gravitacional, etc.).

6. Resuelve las ecuaciones para obtener un resultado. Utiliza el método

correspondiente. en este caso, ecuación de primer grado.

7. Verifica que el resultado obtenido en el paso 6, corresponda a las premisas y

soluciones del problema.

8. Analiza si la respuesta es razonable.

9. Responde exactamente lo que te han solicitado.

Presta atención a los siguientes ejercicios. Analízalos y resuélvelos por ti mismo. No

olvides que la práctica es el arma que te dará la destreza necesaria para dominar

cualquier tema en matemáticas, incluyendo éste, ecuaciones de primer grado con una

Incógnita.

Ej.8. José Luís quiere salir a cenar con su novia Lisbeth, quien estudia en la UNEFA.

Para evitar sorpresas, ella le pregunta: "¿cuánto dinero tienes?", y José Luis en vez

de dar una respuesta directa, decide probar la habilidad de Lisbeth y responde: "Si

tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo y después duplicara esa cantidad, tendría 35

Bs.F. más de lo que tengo". Lisbeth, después de pensarlo, decide demostrarle que

sí puede calcular cuánto dinero tiene José Luis, con el siguiente procedimiento:

157

Solución:

Damos por sentado que el estudiante ha seguido los pasos 1 y 2. El paso 3 no es

necesario, pues no se requiere ningún esquema gráfico. Debemos traducir esta "mal

intencionada" descripción del problema en símbolos matemáticos.

Paso 4: Identificar el objetivo del problema.

Cantidad de dinero que tiene José Luis …………………….. x

Paso 5: Obtener datos y relacionarlos matemáticamente.

"Si tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo" …………… 5+x

"y después duplicara esa cantidad" ………………… ( )52 +x

“tendría 35 más de lo que tengo" ……………….. 35+x

Paso 6: Procesamos los datos matemáticamente y resolviendo:

Comprobamos lo que José Luis dice:

( )52 +x y 35+x son equivalentes.

Es importante no continuar el ejercicio, si no ha comprendido la relación de estos datos.

Luego, tenemos que:

( ) 3552 +=+ xx

Y resolvemos la ecuación

( )( ) 35522

3552+=×+×

+=+xx

xx

2510352

=-=-

xxx

Es decir, la cantidad de dinero que tiene José Luis es de 25 Bs.F.

Paso 7: Verificamos:

"Si tuviera 5 Bs.F. más de lo que tengo" …………….. 30

"y después duplicara esa cantidad" …………………….. 60

"tendría 35 más de lo que tengo" 35 + 25 = 60

158

Paso 8: Analizamos el resultado.

Este resultado es lógico y cumple con las condiciones del enunciado.

Paso 9: Aquí tenemos la respuesta.

Respuesta: José Luis tiene Bs.F. 25 (lo cual él cree que es suficiente para una cena con

Lisbeth).

Ej.9. Un hombre de 1,92 mts. de altura camina hacia un poste de luz que mide 6,4 m. de

altura. ¿Cuál es la longitud de la sombra del hombre en el piso, cuando él está a 3,5

m. de distancia del poste?

Solución:

Hacemos una representación gráfica de la situación:

Hemos llamado x a la longitud de la sombra del hombre.

Observamos que los triángulos DLOP y DAOB son triángulos semejantes, esto implica

que sus lados son proporcionales, es decir:

OPLP

OBAB

= , entonces5,3

4,692,1+

=xx

despejando tenemos:

( ) ( )

xxxxx

xx

48,472,692,14,672,6

4,672,692,14,65,392,1

=-==+=+

P

1,92 m

6,4 m

L

x 3,5 m.BO

A

159

5,148,472,6

72,648,4

=

=

=

x

x

x

Respuesta: La sombra mide 1,5 m. cuando el hombre está a 3,5 m. del poste.

Ej.10. Una pieza cuadrada de cartón, es utilizada para construir una caja sin tapa,

cortando de cada esquina un cuadrado de 5cm de lado; luego se doblan los bordes

para formar los lados de la caja. ¿De qué tamaño debe ser la pieza de cartón para

que el volumen de la caja sea de 12.500 cm3?

Solución:

Primero representamos gráficamente la pieza de cartón:

Llamamos “a” al lado de la pieza cuadrada de cartón. En la Figura Nº 2, cortamos las

esquinas, la parte sombreada representa el fondo de la caja y las pestañas de la pieza

cortada de 5cm. representa la altura de la caja.

El volumen V de la caja será:

V = largo ´ ancho ´ alto

5)10(

5)10()10(2 ×-=

×-×-=

aV

aaV

Sabemos, por el enunciado del problema, que el volumen de la caja es igual a 12.500 cm3,

es decir:

a

5 5

5 5

5

5

5

5

a

Figura Nº 1 Figura Nº 2

a-10

a-10

55

160

500.2)10(5500.12)10(

500.125)10(

5)10(500.12500.12

22

2

2

=-Þ=-

=×-

×-=Þ=

aa

a

aV

6010505010500.2)10(

=Þ+==-Þ=-

aaaa

Respuesta: El tamaño de la pieza de cartón debe ser 60cm x 60cm

Puedes verificar por ti mismo esta respuesta.


21. Rubén tiene cierta cantidad de caramelos; María tiene el doble de Rubén disminuido

en 4 unidades. Si multiplicamos lo que tiene cada uno entre sí, y el resultado es 70.

¿Cuántos caramelos más tiene María?

22. Después de una fiesta, los hermanos Ricardo y Tomás se acostaron a dormir a las

4:00 a.m. Ricardo durmió el doble que Tomás, menos 3 horas. Si multiplicamos las

horas que durmieron el resultado es 104. ¿A qué hora se levantó cada uno?

23. La suma de tres números enteros impares positivos consecutivos es 683. Encuentra

los números.

24. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, pero dentro de 15 años, tendrá tan sólo el

doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora el hijo?

25. Tres números son tales que el segundo es 6 unidades menor que tres veces el primero

y el tercero es 2 unidades más que 2/3 del segundo. La suma de los tres números es

172. Encuentra el mayor de estos números.

26. Hace dos días, Ramón compró 5 diskettes. Hoy la tienda rebajó el precio en Bs.F.

0,50. Juana compró hoy 10 diskettes y pagó Bs.F. 9 más que Ramón. ¿Cuál era el

precio original de cada diskette?

27. La suma de tres números enteros consecutivos es 36. ¿Cuáles son los tres números?

28. La suma de tres números pares enteros consecutivos es dos veces el valor del menor.

¿Cuáles son los tres números?

29. La suma de la tercera y cuarta parte de un número, equivale al doble del número

disminuido en 17. Hallar el número.

161

30. Hallar el número que aumentado en sus 5/6 equivale a su triple disminuido en 14.

31. La edad de Bartolo es los 3/5 la edad de Ana, si ambas edades se suman, el resultado

excede en 4 años al doble de la de edad de Bartolo. ¿Cuál es la edad de Bartolo y

Ana?

32. Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía, me quedan 39 Bs.F. ¿Cuántos bolívares

fuertes tenía?

33. El cuádruple de un número excede en 19 a la mitad del número aumentada en 30.

Hallar el número.

34. El largo de un buque es de 800 pies y excede en 744 pies a los 8/9 del ancho. ¿Cuál

será el ancho del buque?

35. Un grupo de 46 personas entre niños y adultos, se dirigen al cine. Si las entradas de

los adultos cuestan 9 Bs.F. y las de niños 7 Bs.F., en total pagaron 354 Bs.F.

¿cuántos niños y cuántos adultos había en el grupo?

36. En una fiesta, el número de hombres duplica al de mujeres y la cuarta parte de éstas

no saben bailar. Si hay 42 mujeres que bailan ¿cuál es el total entre hombres y

mujeres presentes en la fiesta?

Ecuaciones con Valor Absoluto

Cuando trabajamos con cantidades, éstas se pueden tomar en dos sentidos, cantidades

positivas o cantidades negativas.

Así, en contabilidad el haber o crédito se denota con el signo + y el debe o deuda se

denota con signo -. Para expresar que una persona tiene 100 Bs.F. en su haber, diremos

que tiene + 100Bs.F. mientras que para expresar que tiene una deuda de 100 Bs.F.

diremos que tiene – 100 Bs.F.

Otro ejemplo donde se utilizan los sentidos de las cantidades es en los grados de un

termómetro, los grados sobre cero se denotan con signo + y los grados bajo cero se

denotan con signo –. Así, para indicar que el termómetro marca 10º sobre cero,

escribimos +10º y para indicar que marca 10º bajo cero, escribiremos –10º.

Entonces en una cantidad cualquiera, tenemos dos elementos intrínsecos, que son: el

valor absoluto o magnitud de la cantidad y el valor relativo o signo de la cantidad.

162

Definición: El Valor Absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad,

sin tomar en cuenta el signo de la cantidad.

Definición: El Valor Relativo de una cantidad es el signo de la misma, representado por

más (+) o menos (-).

Así, tenemos los siguientes ejemplos:

Ej.11. Hallar el valor absoluto y relativo de 8.

Solución:

Cantidad = +8; Valor Absoluto de la cantidad = 8, Valor Relativo de la cantidad = +

Ej.12. Hallar el valor absoluto y relativo de -10

Solución:

Cantidad = -10 ; Valor Absoluto = 10; Valor Relativo = –

Ej.13. Hallar el valor absoluto y relativo de +7º y -7º

Solución: Ambas cantidades tienen el mismo valor absoluto igual a 7, pero sus valores

relativos son opuestos, la primera tiene un valor relativo “ + “ y la otra un valor relativo “ – “

Notación:

El valor absoluto de una cantidad cualquiera, se representa colocando la cantidad entre

dos líneas verticales; así el valor absoluto de + 8 es 8+ = 8 y 88 =- .

Definición: El valor absoluto de f se define:

ïî

ïí

ì

<-

³=

0

0

fsifo

fsiff

Donde ”f” puede ser un número, una variable o una expresión algebraica.

Ej.14. Hallar el valor absoluto de las siguientes cantidades.

a) Para f = 8, tenemos que 88 =+

b) Para f = - 5, tenemos que ( ) 555 =--=-

Recuerde que si 0<fentonces 0>- f

163

c) Para f = x, tenemos que

ïî

ïí

ì

<-

³=

0

0

xsixo

xsixx

d) Para 22 -= xf , tenemos que

( )ïî

ïí

ì

<---

³--=-

022

0222

22

22

2

xsixo

xsixx

Nota: Observa que el valor absoluto de una expresión denotado por f , depende del

signo de la expresión que se encuentra entre las barras y no de la variable, a menos que

la expresión sea igual a la variable.

Propiedades del Valor Absoluto

Propiedad 1: 0³f , para cualquier f ÎÂ

Propiedad 2: ff -=

Propiedad 3: 2ff =

Propiedad 4: gfgf ×=×

Propiedad 5: Si g ¹ 0 entoncesgf

gf=

Propiedad 6: gfgf +£+ (Desigualdad triangular)

Propiedad 7: gfgf -³-

Observa que las propiedades del 1 al 5 se refieren a igualdades, mientras que las

propiedades 6 y 7 se refieren a desigualdades.

Ecuaciones con Valor Absoluto

En muchas ocasiones se nos presentan ecuaciones donde está involucrado el valor

absoluto de una expresión algebraica, como por ejemplo:

a) 992

18182 222 =Þ=Þ=Þ= xxxx

Recuerde que la disyunción “o”representa dos soluciones.

164

b) 51

986251

986251

98 44

44

=--

Þ=÷øö

çèæ

--

Þ=÷øö

çèæ

--

xx

xx

xx

En esta sección veremos cómo se resuelven este tipo de ecuaciones, utilizando las

propiedades del valor absoluto:

Propiedad 8: Sea 0>a , af = es equivalente a resolver las siguientes ecuaciones:

a) af = ó b) af -=

Es decir, af = si y sólo si, af = ó af -=

Propiedad 9: Sea 0>a , af £ es equivalente a:

a) af £ y b) af -³

Es decir, af £ si y sólo si afa ££-

Propiedad 10: af ³ es equivalente a:

a) af ³ ó b) af -£

Es decir, af ³ si y sólo si af ³ ó af -£

Ej.15. Resolver la siguiente ecuación: 53 =x

Solución:

Aplicando la propiedad “8” de valor absoluto, tenemos que para xf 3= nos queda:

434213212.1.

535353EcEc

xóxx -==Þ= . Resolvemos cada una de las ecuaciones:

Þ= 53:1. xEc35

=x y3553:2. -

=Þ-= xxEc

Entonces la solución de la ecuación3553 == xesx ó

35

-=x

Respuesta:þýü

îíì -=

35,

35S

165

Nota:

No confunda las llaves con los paréntesis. Las llaves se utilizan para representar los

conjuntos, cuyos elementos están separados por comas. Los paréntesis y corchetes se

utilizan generalmente para representar intervalos.

Ej.16. Resolver 151x4 =-

Solución:

Aplicando la propiedad “8”, tenemos que:

434214342121

151415141514.Ec.Ec

xóxx -=-=-Û=- .

Resolvamos cada una de las ecuaciones:

44

1616411541514:1. =Þ=Þ=Þ+=Þ=- xxxxxEc

27

41414411541514:2. -=Þ-=Þ-=Þ+-=Þ-=- xxxxxEc

Entonces la solución de la ecuación 151x4 =- es 4=x ó27

-=x

Respuesta: la solución de ecuación dada esþýü

îíì -=

27,4S

Ej.17. Resolver 91x

x8=

+

Solución: Aplicando la propiedad “8” tenemos que:

43421434212.1.

91

891

891

8

EcEc

xxó

xx

xx

-=+

=+

Þ=+

Resolvamos cada una de las ecuaciones:

( ) 99819891

8:1. +=Þ+=Þ=+

xxxxx

xEc

9998 =-Þ=- xxx

Multiplicamos por (-1), la ecuación nos queda

166

( ) ( ) 9911 -=Þ×-=-×- xx

( ) 99819891

8:2. --=Þ+-=Þ-=+

xxxxx

xEc

179917998 -=Þ-=Þ-=+ xxxx

Respuesta: la solución de la ecuación 91

8=

+xx

esþýü

îíì --=

179,9S

Ej.18. Resolver 814

-=+ xx

Solución:

Si observamos el lado derecho de la ecuación, notamos que el valor es negativo, y por la

propiedad 1 del valor absoluto, 0³f , es decir el valor absoluto de una expresión

algebraica o aritmética siempre es positivo o igual a cero. Por otro lado, tenemos que la

propiedad 8 de valor absoluto nos dice que el valor de a, tiene que ser estrictamente

mayor que cero. Por lo tanto, la ecuación 814

-=+ xx

no tiene solución en los números

reales, así la solución es vacía, es decir 0S /= .

Ej.19. Resolver 4223 -=- xx

Solución:

Para darle forma al ejemplo 19, pasamos el término 4-x a dividir; sin embargo, observa

que 2423=

--

xx

no admite el valor de x = 4, pues el denominador se anularía, por lo tanto

si en la ecuación original x = 4, tendremos que 10 = 0 (lo cual es falso), esto quiere decir

que x ¹ 4, entonces 4-x puede pasar a dividir y resolvemos: 2423=

--

xx

, utilizando

la propiedad 5 del valor absoluto

423

423

--

=--

xx

xx

, así la ecuación queda: 2423=

--

xx

167

Usando la propiedad “8” de valor absoluto tenemos entonces que

43421434212.1.

24232

423

EcEc

xxó

xx

-=--

=--

Resolvamos cada una de las ecuaciones

( )42232423:1. -=-Þ=

-- xx

xxEc

628238223 -=Þ+-=-Þ-=- xxxxx

( ) 822342232423:2. +-=+Þ--=-Þ-=

-- xxxx

xxEc ,


25

101052823 =Þ=Þ=Þ+=+Þ xxxxx

Respuesta: entonces la solución de la ecuación 4223 -=- xx es { }2,6-=S

Ejercicios propuestos:

Resolver las siguientes ecuaciones:

3 7 . 427 +=- xx 3 8 . 1737 =+x

3 9 . 610 =-x 4 0 . 853 =+x

4 1 . 423 +=+ xx 4 2 . 7426 +=- xx

4 3 . 2318 +=- xx 4 4 . 34127 +=- xx

4 5 . 51=

+xx

4 6 . 31213=

+-

xx

Ecuación de segundo grado

Es una ecuación polinómica cuyo grado es dos (el mayor exponente de la variable es 2).

Por ejemplo

x241x

21c)2y3yb)03x2 xa) 222 =+=-=+-

168

En los ejemplos propuestos, (a) está ordenada e igualada a cero; (b) está ordenada pero

no está igualada a cero; y (c) no está ordenada ni igualada a cero.

Solución de una ecuación de segundo. grado

Para hallar la solución de una ecuación cuadrática (segundo grado) es recomendable

ordenarla en forma descendente e igualarla a cero, así tendremos:

041x2x

21c)02-y3yb)03x2 xa) 222 =+-=-=+-

Resolver una ecuación cuadrática implica encontrar los valores de la variable que al

reemplazarla satisfagan la ecuación. No todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución

dentro del conjunto de los números reales; para algunas ecuaciones la solución pertenece

al conjunto de los números imaginarios (lo cual está fuera del objetivo de esta unidad).

La ecuación general de segundo grado con una incógnita, se expresa como:

02 =++ cbxax , donde:

“ a ” es el coeficiente de 2x , 0¹a

“ b ” es el coeficiente de x

“ c ” es el término independiente.

La solución (si existe) de una ecuación de segundo grado, se obtiene mediante la fórmula

cuadrática o resolvente:

abcbbx

242 -±-

=

La expresión “ acb 42 - ” se denomina el discriminante )( D de la ecuación cuadrática y

determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Se nos pueden presentar tres

casos:

a) Si “ acb 42 - ” es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.

b) Si “ acb 42 - ” es cero, la ecuación tiene sólo una solución real.

c) Si “ acb 42 - ” es negativo, la ecuación no tiene solución en los números reales.

Resolveremos ahora algunos ejemplos mediante la fórmula cuadrática:

Tenga presente que el denominador “2a ”pertenece a toda la expresión y no sólo a la raíz

cuadrada.

169

Ej.20. Hallar la solución de la ecuación 0232 2 =-+ xx

Solución: determinamos los valores de ba, y c .

a = 2 b = 3 c = -2

Luego calculamos el valor del discriminante:

( ) 25169)2)(2(434 22 =DÞ+=DÞ--=-=D acb

Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.

Reemplazando en la “resolvente”, tenemos:

)(x

22253±-

= ;4

53±-=x

Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:

21

42

453

1 ==+-

=x

Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda

solución: 248

453

2 -=-

=--

=x

Las soluciones de la ecuación son21

y 2- , pues al reemplazar estos valores en la

ecuación original, ésta se cumple.

Comprobación:

Si21

=x Si 2=x

( ) ( ) 022132

122

=-+ ( ) ( ) 022322 2 =--+-

( ) 0223

412 =-+ ( ) 02642 =--

0223

21 =-+ 8 – 8 = 0

022 =- 0 = 0

00 =

170

En ambos casos, se cumple la ecuación

Respuesta: la solución de la ecuación 0232 2 =-+ xx es21

=x y 2=x

Ej.21. Resuelve 04129 2 =++ xx

Solución: determinamos los valores de a, b y c.

a = 9 b = 12 c = 4


( ) 0144144)4)(9(4124 22 =DÞ-=D®-=-=D acb

Como el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene una solución real.

abcbbx

242 -±-

= ; ( ) 1812

9212- -

==x ;32

-=x

La solución de la ecuación es32

- , pues al reemplazar este valor en la ecuación original,

ésta se cumple. Compruébalo.

Ej.22. Resuelve la ecuación 0532 2 =+- xx

Solución:

Determinamos los valores de ba, y c .

a = 2 b = -3 c = 5


( ) 31409)5)(2(434 22 -=DÞ-=DÞ--=-=D acb

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real.

Respuesta: la ecuación 0532 2 =+- xx , no tiene solución en los números reales.

Ej.23. Resuelva 01652 =- -xx

Solución:


171

a = 165

-=b c = -1


361694

3625)1)(1(4

654

22 =DÞ+=DÞ--÷

øö

çèæ-=-=D acb


Reemplazando en la “resolvente”, tenemos

)(x

1236

16965

±÷øö

çèæ --

=2

613

65±

=Þ x


23

1218

26

1365

1 ==+

=x


solución:

32

128

268

26

1365

2 -=-=-

=-

=x

Respuesta: Las soluciones de 01652 =- x-x son

23

=x y32

-=x

Ej.24. Resuelva mm322

65 2 +=

Solución:

Primero escribimos la ecuación en su forma general, pasando todos los términos para la

izquierda e igualando a cero:

0232

65 2 =-- mm


172

65

=a32

-=b 2-=c

En este caso específico podemos convertir la ecuación en entera, para trabajar con mayor

facilidad. Si queremos llevar esta ecuación cuadrática a una equivalente, multiplicamos

por el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación, mcm(3,6) = 6.

( ) 026326

656 2 =-÷

øö

çèæ-÷

øö

çèæ mm

Luego simplificando, nos queda la siguiente ecuación cuadrática:

124501245 2 -=-==Þ=-- cbamm

Ahora calculamos el valor del discriminante:

( ) 25624016)12)(5(444 22 =DÞ+=DÞ---=-=D acb



102564 ±

=m10

164 ±=Þ m


21020

10164

==+

=m


solución:56

1012

10164

-=-

=-

=m

Respuesta: Las soluciones de mm322

65 2 += son 2=m y

56

-=m

Aplicaciones directas de la ecuación de segundo grado

La solución de una ecuación de segundo grado es una de las herramientas más útiles en

matemática, pues con mucha frecuencia se presenta en ejercicios de diferente índole. En

este apartado estudiaremos algunas aplicaciones directas. Veamos algunos ejemplos.

Ej.25. Encuentra los valores de “ x ”, tal que 032 =-++ ddxx , tenga sólo una raíz.

173

Solución:

De la definición del discriminante, sabemos que cuando acb 42 - es igual a cero (0), la

ecuación tiene una sola raíz. Por lo tanto, el primer paso es determinar los valores de ba,

y c

1=a , db = y dc -= 3

Luego se sustituyen en el discriminante e iguala éste a cero.

( ) ( )( ) ( )01240412

034031404022

222

=-+Þ=+-

=--Þ=--Þ=-Þ=D

ddddddddacb

Resolvemos esta ecuación resultante, utilizando la fórmula cuadrática,

01242 =-+ dd , donde 1241 -=== cba


( ) 644816)12)(1(444 22 =DÞ+=DÞ--=-=D acb

Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales.


)1(264)4( ±-

=d2

84 ±-=Þ d


224

284

1 ==+-

=d


solución: 6212

284

2 -=-

=--

=d

Las soluciones de la ecuación son 6,2 -== dd , es decir, que los valores de “ d ” que

hacen que la ecuación en x , 032 =-++ ddxx tenga una sola solución, son

6,2 -== dd y las ecuaciones resultantes de sustituir los valores de d , son:

174

0122 =++ xx y 0962 =+- xx .

Ej.26. Resolver la ecuación 0365 24 =-- xx

Solución:

Esta es una ecuación de cuarto grado, sin embargo, puede resolverse utilizando la fórmula

cuadrática o factorizando. Para tal efecto debemos hacer un cambio de variable. Digamos

que 2xm = , sustituyendo en la ecuación nos queda: 03652 =-- mm

Aplicando la fórmula cuadrática para

1=a 5-=b 36-=c

Calculamos el valor del discriminante:

( ) 16914425)36)(1(454 22 =DÞ+=DÞ---=-=D acb



)1(2169)5( ±--

=m2135 ±

=Þ m


92

182135

1 ==+

=m


solución: 428

2135

2 -=-

=-

=m

Una vez encontrados los valores de m , debemos devolver el cambio de variable:

si mxxm ±== entonces2

Si tomamos el valor de 9=m , entonces 9±=x , es decir, 3±=x

Si 4-=m , al sustituir en x , nos queda ÂÏ-±= 4x , por lo tanto, la solución de la

ecuación 0365 24 =-- xx , es 3=x y 3-=x

175

Con los dos últimos ejemplos, hemos querido indicar que podemos aplicar la resolverte en

ecuaciones, que en su forma original no son cuadráticas, pero pueden transformarse en

tales, mediante operaciones adecuadas.

Ej.27. Factorice la ecuación 03552 22 =-- yxyx

Solución:

En este tipo de ecuaciones (con dos o más variables) debemos elegir una de las variables

como básica y determinar su valor en función de las otras. Digamos que “ x ” es nuestra

variable base, entonces reescribimos la ecuación:

03)5(2 22 =-- yxyx , donde ,2-=a 5-=b y 23yc -=

Calculamos el valor del discriminante:

( ) 222222 492425)3)(2(454 yyyyyacb =DÞ+=DÞ---=-=D

Como el discriminante resultó positivo, para cualquier valor de y , la ecuación tiene dos

soluciones reales. Reemplazando en la “resolvente”, tenemos

)(yy

x22495 2±

=4

75 yyx ±=Þ

Donde yyyyx 34

124

751 ==

+= y yyyyx

21

42

475

2 -=-

=-

= . Luego las soluciones

son yx 3= y yx21

-= . Por lo tanto, la factorización queda de la siguiente forma:

( ) ÷øö

çèæ +-=-- yxyxyxyx

2132352 22

= ( )( )yxyx +- 23

Respuesta: ( ) )2(3352 22 yxyxyxyx +-=--

Ejercicios Propuestos

Encuentra las soluciones de cada ecuación planteada:

47. 01032 =-- xx 48. 0232 2 =-+ xx

49. 01462 =-+- xx 50. 042 2 =-- xx

176

51. 2213 xx =+ 52. 326 2 =+ xx

53. 02142 =-+ yy 54. 0144 2 =++ mm

55. 0169 2 =+- yy 56. 011236 2 =++ pp

57. 148 2 =- mm 58. 2422 =- tt

59. 0145 24 =-- xx 60. 24 712 yy =+

61.161

212 -= tt 62. 2

431 mm =+

63. 3212 =+

xx64. 2

611xx

=-

65. 43

125

31 2 =+ xx 66.

103

51

21 2 =+ xx

Encuentra los valores reales de “ k ” para que la ecuación tenga sólo una solución.

67. 012 2 =-+ kxx 68. 1172 -=-- kxx

69. 02 2 =++ kkxx 70. ( ) 03 22 =+-+ kxkx

71. 022 =++ kkxkx

Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones.

72.7256

1443

+-

=++

xx

xx 73.

135

1353

++

=-+

xx

xx

Aplicaciones Directas.

74. Para la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax

a) Demuestra que las sumas de sus raíces es igual a ab-

b) Demuestra que el producto de sus raíces es igual a ac

177

75. Si la ganancia mensual de una empresa puede expresarse como

G(x) = – 0,0025x2 +27x – 66.000, donde “x” es el número de unidades producidas.

Determina el número de unidades “x” que producirá una ganancia de BsF 6900.

76. Cierta deuda se pagará en n meses, donde

( )[ ]12222

416 -+= nn

¿En cuántos meses se pagará la deuda?

77. ¿Para qué valor o valores de x el costo iguala a la ganancia, si el costo es:

C(x) = 16152 ++- xx y la ganancia es G(x) = 47 -x ?

Ecuaciones Radicales

Una ecuación radical es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo el signo radical.

Son ejemplos de ecuaciones radicales:

a) 3.22.244 =-+ x

b) xx -=+ 112

c) 0673 =+++ xx

Para resolver una ecuación radical se debe tener en cuenta lo siguiente: Si A y B son dos

expresiones algebraicas, entonces A = B es una ecuación algebraica, y su conjunto de

soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación A n = B n donde n es cualquier

entero positivo.

Ej.28. Resuelva 263 -=- xx

Solución:

Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera:

( ) ( )22263 -=- xx

Desarrollamos el producto notable ( ) 222 2 bababa +-=- del lado derecho

Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos alcuadrado ambos miembros de la igualdad.

178

4463 2 +-=- xxx

63440 2 +-+-= xxx

01072 =+- xx , donde 1=a , 7-=b y 10=c


( ) 94049)10)(1(474 22 =DÞ-=DÞ--=-=D acb



)()(x12

97 ±--=

237 ±

=Þ x

Donde 52

102

371 ==

+=x y 2

24

237

2 ==-

=x

Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática,

debemos comprobar ambos valores de x en la ecuación original, por sustitución.

Para 5=x la igualdad se cumple

( ) (cierto)39361525653 =Þ=-Þ-=-

Para 2=x la igualdad también se cumple

( ) (cierto)0022623 =Þ-=-

Respuesta: La solución de la ecuación 263 -=- xx , es 5=x y 2=x .

Ej.29. Resuelva 13215 ++=+ xx

Solución:

Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera:

Primero elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad, para no alterar el valor de

la expresión.

( ) ( )2213215 ++=+ xx

Despejamos los valores de x , para igualar laecuación a cero. Entonces nos queda una

ecuación cuadrática.

179

En el lado izquierdo de la ecuación, tenemos una raíz cuadrada elevada al cuadrado, la

cual da como resultado la expresión sub-radical. En el lado derecho de la ecuación

tenemos un binomio al cuadrado (producto notable):

( ) 222 2 bababa ++=+ donde 32 += xa y 1=b .

Desarrollando, simultáneamente ambos lados de la ecuación, tenemos

( ) ( )( ) ( )22113223215 ++++=+ xxx 13223215 ++++=+Þ xxx

Despejamos la raíz cuadrada resultante

3223332213215 +=-Þ+=---+ xxxxx

Nuevamente, elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

( ) ( )22 32233 +=- xx

Desarrollamos el producto notable del lado izquierdo y el cuadrado del lado derecho

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

03269012891891289189

324918932233323

2

22

22222

=--

=--+-Þ+=+-

+=+-Þ+=+-

xxxxxxxx

xxxxxx

Ahora la ecuación puede resolverse mediante la fórmula cuadrática, donde:

9=a , 26-=b y 3-=c

( ) ( ) ( )( )( ) 18

1086762692

39426262

4 22 +±=

---±--=

-±-=

aacbbx

1878426 ±

=

182826 ±

=

Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática,

debes comprobar si ambos valores de x son la solución de la ecuación original

13215 ++=+ xx .

91

182

182826

2 -=-

=-

=x

31854

182826

1 ==+

=x

180

Ej.30. Resuelve 0673 =+++ xx

Solución:

El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos que nunca va a dar

0, por consiguiente no existe valor de x que satisfaga la ecuación, en consecuencia la

solución es VACIO ( f )

Ej.31. Resolver 3.22.244 =-+ x

Solución:

( )444 3.22.24 =÷

øöç

èæ -+ x

§ Eleva a la cuatro ambos miembros

1442.24 =-+ x § Resuelve las potencias

1402.2 =-x § Agrupa términos semejantes

702 =-x § Divide entre 2 ambos miembros

( ) ( )22702 =-x § Eleva al cuadrado ambos miembros

49002 =-x § Resuelve las potencias

4902=x § Pasa el 2 sumando para el otro lado de la igualdad

Comprueba por ti mismo la solución a la ecuación, sustituyendo el valor de 4902=x

Ej.32. Resuelva 12=-

xx

Solución:

xxx

xx .1.2. =- § Multiplica por el m.c.m que es x

xx =- 2 § Resuelve los productos y simplifica

( ) ( )222 xx =- § Eleva al cuadrado ambos miembros y

181

xxx =+- 442 § Resuelve

0452 =+- xx § Factoriza

0)1)(4( =-- xx § Si 0ó00 ==Û=× baba

Por consiguiente 4=x y 1=x . Verifica si cada una de ellas son soluciones de la

ecuación.

Respuesta: La única solución de 12=-

xx es 4=x .

Ej.33. Resolver 216 =-+ xx

Solución:

22

216 =÷øöç

èæ -+ xx

§ Eleva al cuadrado ambos miembros

416 =-+ xx § Resuelve las potencias

xx +=+ 416 § Suma x a ambos lados

( ) ( )22x416x +=+

§ Eleva al cuadrado ambos miembros

xxx ++=+ 81616 § Resuelve las potencias

x80 = § Agrupa términos semejantes

Por consiguiente, 0=x

Respuesta: La única solución de 216 =-+ xx es 0=x .

Ejercicios Propuestos

Encuentra las soluciones de cada ecuación:

78. 3295 +=+ xx 79. 432 -=+ xx

80. 951123 +=-+ xx 81. xx 21154 2 =+-

182

82. 514 =-++ xx 83.x

xx 105 =++

84. xxx -=+- 2122 85. 022 3 2 =+- xx

86. 011276 =+-++- xxx 87. 6=+ tt

88. 01053 =++x 89. xx -=+ 112

90. Se ha determinado que el número de materias x , solicitadas por los estudiantes en

cierto semestre de una universidad, viene dado por 133 +-= xx . Determina la

menor y mayor cantidad de materias solicitadas.

LECTURA N° 22: INECUACIONES

Una inecuación se define como una desigualdad que contiene una o más variables y su

solución consta del conjunto de números que la satisface. Veamos los procedimientos de

solución relativos a la siguiente clasificación.

Inecuaciones Lineales

Cuando una inecuación contiene una expresión de grado uno (si hay fracciones la

variable aparece en el numerador), la inecuación es lineal.

Estudiemos ahora la diferencia entre ecuación e inecuación. Si nos piden la solución de la

siguiente ecuación:

714 =-x

24884174 =Þ=Þ=Þ+= xxxx

Para comprobar sustituimos 2=x en la ecuación original y notamos que la igualdad es

verdadera.

Material tomado con fines instruccionales de:

Gómez, T., González, N., Lorenzo, J. (2007) Inecuaciones.Artículo no publicado. Caracas.


183

Esto indica que sólo el número 2 cumple con la ecuación, si en lugar de x , colocamos,

por ejemplo 3 , es decir, 3=x , tendríamos:

( ) 71171127134 =Þ=-Þ=- , lo cual es falso

Así tenemos que la única solución es 2=x . Por otro lado, si ahora nos piden la solución

de 714 <-x . Entonces, despejamos x .

( )2,24

884174

¥-\<

<Þ<Þ+<

x

xxx

La solución a esta inecuación pueden ser cualquier valor que cumple la condición 2<x ,

es decir, ahora tenemos un conjunto de soluciones que incluyen todos los números

menores que 2 .

S i 71)1(4)2,(1 <--®-¥Î-=x

)(75714

cierto<-<--

S i 71)0(4)2,(0 <-®-¥Î=x

)(71710

cierto<-<-

Así podríamos conseguir muchos números, donde la inecuación se cumple, es decir, la

desigualdad resultante es verdadera o cierta.

Mientras que si tomamos valores fuera del intervalo )2,(-¥ , por ejemplo:

Si 71)3(4)2,(3 <-®-¥Ï=x

)(7117112 falso<Þ<-

la desigualdad no se cumple, es decir, el resultado obtenido al sustituir un valor que no

esté en el intervalo )2,(-¥ , es falso.

Veamos a continuación algunos ejemplos para encontrar las soluciones a una inecuación

lineal:

Ej.34. Determina la solución para 3213 +>- xx

184

Solución:

Para agrupar los términos semejantes, aplicamos las propiedades de desigualdades.

41323

>+>-

xxx

Respuesta: ( )+¥,4:S

Todos los números mayores que 4 cumplen la inecuación original.

Ej.35. Determina la solución para 3432 +£- xx

Solución:

Aplicamos las propiedades de desigualdad

x

x

x

xx

£-

£-

£-

-£--

3

26

26

2433

Se acostumbra colocar la variable del lado izquierdo: 3-³x

Respuesta: [ )+¥- ,3:S

Solución Alterna: 3432 +£- xx

Algunos estudiantes prefieren (por costumbre) agrupar las variables en el lado izquierdo

desde el inicio, entonces:

32

6

62

3342

-³Þ-

³

£-

+£-

xx

x

xx


Pasamos el factor 2 a dividir. Observa que elsentido de la desigualdad no cambia, porque elfactor 2 es positivo.

Aplicando la propiedad de orden de la multiplicación yrecordando que si divide por un número negativo, porejemplo 2- , cambia el sentido de la desigualdad.


185

Respuesta: [ )+¥- ,3:S

Nota:

Cuando se divide (o multiplica) entre un número negativo cambia el sentido de la

desigualdad pero no el signo del resultado. Es decir, el resultado es 3-³x y no 3³x .

El signo del resultado se mantiene, cambia sólo el sentido de la desigualdad.

Ej.36. Determina la solución para2131

32

-³- xx

Solución:

Despejamos la variable aplicando las propiedades de las desigualdades (Unidad 1,

Lectura Nº 2).

216

332 -³

- xx

( ) ( ) 31864163322 -³-Þ-³- xxxx

143314

36184

-£Þ³-

-³-

xx

xx

Respuesta: úûù

çèæ -¥-

143,:S

Inecuaciones con Valor Absoluto

Ej.37. Resolver 5£x

Solución:

Aplicando la propiedad 9 del Valor Absoluto, de la Lectura Nº 21, tenemos:

555 ££-Þ£ xx , es decir, 321.1.

5E

x £ y 321.2.

5E

x -³

Entonces, determinar la solución de la desigualdad 5£x , es hallar la intersección de

cada una de las soluciones .2.y.1. EE

Como 2 y 3 son números positivos, pueden pasarmultiplicando al otro lado de la desigualdad, sincambiar su sentido.

Como 014 <- y pasa dividiendo, entoncescambia el sentido de la desigualdad


186

Resolvamos la inecuación .1.E :

5£x , representa los valores que están en el intervalo ( ] 15, S=¥-

Resolvamos la inecuación .2.E

5-³x , representa los valores que están en el intervalo [ ) 2,5 S=¥-

Como se tienen que cumplir al mismo tiempo las dos inecuaciones, las soluciones 1S y

2S .se intersectan, es decir, se hallan los valores comunes a 1S y 2S .

( ] [ ) [ ]5,5,55,21 -=¥-Ç¥-=Ç= SSS

Por lo tanto, resolver la desigualdad 5£x , es hallar el conjunto de valores que cumplen

las condiciones: x sea mayor o igual a –5 y x sea menor o igual a 5 al mismo tiempo, es

decir, [ ]5,5-=S

Interpretación Gráfica de 5£x

Resolver esta desigualdad, es encontrar los valores reales cuya distancia d a cero es

menor o igual a 5.

- ¥ + + ¥ - 5 0 5

- ¥ + + + ¥0 5

Fig. 15£x

- ¥ + ¥-5 0

Fig. 2

5-³x

187

En general podremos asegurar que para 0>a si ax £ , entonces la solución de esta

inecuación es { } [ ]aaaxaxS ,: -=££=

Si d = distancia de x al valor cero.

Ej.38. Resolver 35 £-x

Solución:

Para hallar la solución de la inecuación 35 £-x , utilizaremos la propiedad 9 de valor

absoluto. Para 5-= xf , tenemos que

35335 £-£-Þ£- xx , es decir

ïï

î

ïï

í

ì

£-

-³-

43421

48476

.2.

.1.

35

35

E

E

x

x

Hallamos la solución de la inecuación .1.E , 1S y la solución .2.E , 2S ., para luego

interceptarlos y obtener la solución S de la inecuación 35 £-x .

Resolvemos la inecuación .1.E :

35 -³-x , para resolver esta inecuación, vamos a despejar x , utilizaremos las

propiedades de las desigualdades:

25355 ³Þ+-³+- xx

Luego, la solución de inecuación .1.E es [ )¥= ,21S

0-5 5

5£d unidades5£d unidades

0a-

ad £ ad £

a

- ¥ + + ¥ 0 2

188

Resolvemos ahora la inecuación .2.E : 35 £-x , despejar x

Þ+£+- 5355x 8£x

La solución de la inecuación .2.E es: ( ]8,2 ¥-=S

Luego la solución de la inecuación 35 £-x , es 21 SSS Ç= , es decir, los valores

comunes, tanto a S1 como a S2.

[ ) ( ] [ ]8,28,,2S =¥-Ç¥=

Respuesta: La solución de la inecuación 35 £-x , es el intervalo [ ]8,2 .

Nota:

Este tipo de inecuaciones pueden resolverse de manera directa, el procedimiento se

aclara con los siguientes ejemplos.

Ej.39. Resolver 595 £-x

Solución:

Aplicando la propiedad 9 de valor absoluto, tenemos

5955595 £-£-Þ£- xx

Vamos a trabajar con las dos desigualdades al mismo tiempo.

Como queremos despejar x de la inecuación, vamos a ir aplicando las propiedades de las

desigualdades:

5955 £-£- x

- ¥ + ¥0 2 8

- ¥ + + + ¥0 8

189

14549599595

££+£+-£+-

xx

úûù

êëéÎÞ££

Þ££

514,

54

514

54

514

55

54

xx

x

Entonces, la solución de la inecuación 595 £-x , es el intervalo úûù

êëé=

514,

54S

Ahora resolveremos algunas inecuaciones utilizando la propiedad 10 del Valor Absoluto,

de la Lectura Nº 21.

Ej.40. Resolver 6³x

Solución:

La solución de la inecuación 6³x es: 6o6 -£³ xx , es decir, los valores comunes

y no comunes a ambos intervalos.

[ ] ( ] [ ) ( ]6,,66,o,6 -¥-È¥ÎÞ-¥-Î¥Î xxx

Observe que los intervalos no tienen valores comunes

Respuesta: La solución de la inecuación 6³x es ( ] [ )¥È-¥- ,66,

Ej.41. Resolver 83 ³-x

Solución:

Para hallar la solución de la inecuación 83 ³-x , aplicamos la propiedad 10 del Valor

Absoluto, de la Lectura Nº 21, donde 3-= xf .

83o8383 -£-³-Þ³- xxx

Vamos a trabajar conjuntamente con ambas inecuaciones. Para despejar la variable x en

cada inecuación.

Sumamos 9, en cada uno de loslados de las desigualdades

Utilizamos la definición de intervalo[ ] { }bxaxba ££= :,

6- 6-¥ + + +¥

190

83 ³-x ó 83 -£-x

3833 +³+-x ó 3833 +-£+-x

11³x ó 5-£x

[ )¥Î ,11x ó ( ]5,-¥-Îx

( ] [ )¥È-¥-= ,115,S

Observa que los intervalos no tienen valores comunes, por lo que la unión de los mismos

se representa como los dos intervalos conectados por el símbolo de la unión “È “

Ej.42. Resolver 1648 ³- x

Solución:

Aplicamos la propiedad 10 de valor absoluto, en este caso xf 48 -= .

1648o16481648 -£-³-Þ³- xxx

Trabajamos con las dos inecuaciones:

16481648 -£-³- xóx

816848816848 --£---³-- xóx

24484 -£-³- xóx

424

44

48

44

--

³--

-£

-- xóx

62 ³-£ xóx

( ] [ )¥Î-¥-Î ,62, xóx

Respuesta: ( ] [ )¥È-¥-= ,62,S

¥- ¥+115- 0

191

Muchas veces las desigualdades no incluyen la igualdad, como es el caso de la

desigualdad menor que, denotada por < y la desigualdad mayor que, denotada por > .

Las propiedades de valor absoluto con las desigualdades < (menor que) y > (mayor

que), son similares a las propiedades ya enunciadas para los símbolos £ (menor o igual

que) y ³ (mayor o igual que), pero en los intervalos de solución no se incluyen los

valores extremos.

Ej.43. Resolver 7<x

Solución:

777 <<-Þ< xx por definición del intervalo abierto, tenemos ( )7,7-Îx

Nota:

Observa que cuando se utiliza la desigualdad menor o igual que ( )£ se incluyen en los

extremos del intervalo, lo cual nos lleva a una solución con intervalos cerrados, mientras

que al utilizar la desigualdad menor que, los extremos del intervalo no se incluyen, por

eso se define como intervalo abierto.

Ej.44. Resolver 642 <+x

Solución:

642 <+x . Para despejar la variable x

462466426 -<<--Þ<+<- xx

22

22

2102210 <<

-Þ<<-

xx

( )1,515 -ÎÞ<<- xx

Respuesta: La solución de 642 <+x es ( )1,5-=S

Ej.45. Resolver 10>x

Solución:

10ó1010 -<>Û> xxx

192

( ) ( ) ( ) ( )10,,1010,ó,10 -¥-È¥ÎÞ-¥-Î¥Î xxx

Respuesta: ( ) ( )¥È-¥-= ,1010,S

Ej.46. Resolver 19-5 >x

Solución:

Û>19-5x 195ó195 -<->- xx

Despejar x en cada inecuación

91995ó91995 +-<+-+>+- xx

85ó105 <> xx Þ58

55ó

510

55

<>xx

58ó2 <> xx

( ) ( ) ÷øö

çèæ ¥-È¥ÎÞ÷

øö

çèæ ¥-Î¥Î

58,,2

58,ó,2 xxx

Respuesta: La solución de 195 >-x es ( )¥È÷øö

çèæ ¥-= ,2

58,S

A continuación, resolveremos inecuaciones racionales con valor absoluto, utilizando las

propiedades vistas anteriormente.

Ej.47. Hallar la solución de 4312£

--

xx

Solución:

4312£

--

xx

Û4342143421.2..1.

43124

3124

3124

EE

xxy

xx

xx

-³--

£--

Þ£--

£-

- ¥ + + + ¥ -10 0 10

- ¥ + + ¥

058

2

193

El objetivo es hallar la solución de la inecuación S , con valor absoluto a partir de la

solución 1S de la inecuación .1.E y de la solución 2S de .2.E y luego interceptarlas,

21 SSS Ç= , es decir, los valores comunes a 1S y a 2S

Solución de la inecuación .1.E

Þ£-- 4312

xx 04

312

£---

xx

03

12412£

-+--

xxx

03211

£--

xx

Luego evaluamos el signo de la expresión3211

--

xx

, para ello:

1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

2112110211 =Þ=Þ=- xxx raíz del numerador

303 =Þ=- xx raíz del denominador.

2. Representamos en el cuadro las raíces en la recta real y la misma nos queda dividida

en intervalos: ( )3,¥- , ( ]211,3 y [ )+¥,2

11 .

Recuerda que las raíces del denominador no se incluyen nunca en los intervalos, mientras

que las raíces del numerador siempre se incluyen en los intervalos cuando las

desigualdades son “£ ” o “³ ”

3. Evaluamos el signo de cada una de las expresiones por separado, en cada uno de los

intervalos, tomando un valor dentro de cada intervalo. Luego evaluamos el signo de la

expresión completa.

-¥ 3 11/2 +¥

Numerador x211- + + -

Denominador 3-x - + +

Expresión3211

--

xx - + -

Resolvemos el lado izquierdo de lainecuación

194

4. Entonces, tomamos los intervalos donde la expresión es negativa, es decir

03211

£--

xx

en ( ) ÷øö

êëé ¥È¥- ,

2113,

La solución de la inecuación .1.E es ( ) ÷øö

êëé ¥È¥-= ,

2113,1S

Gráficamente tenemos:

Encontremos ahora la solución de la inecuación .2.E

Þ-³-- 4312

xx 04

312

³+--

xx

Þ( ) 03

3412³

--+-

xxx

Þ³-

-+- 03

12412x

xx 03136

³--

xx

Ahora evaluamos el signo de la expresión3136

--

xx

:

1. Busquemos las raíces del numerador y las raíces del denominador:

6131360136 =Þ=Þ=- xxx raíz del numerador

303 =Þ=- xx raíz del denominador

2. Representemos en el cuadro las raíces en la recta real y la misma nos queda dividida

en intervalos: ( ]613,¥- , [ )3,6

13 y ( )+¥,3 .

Recuerda que las raíces del denominador no se incluyen nunca en los

intervalos, mientras que las raíces del numerador siempre se incluyen en los

intervalos cuando las desigualdades son “£ ” o “³ ”




- ¥ + + + + ¥

3 211

195

-¥ 13/6 3 +¥

136 -x - + +

3-x - - +

3136

--

xx + - +

Entonces, la expresión3136

--

xx

es positiva en los intervalos ( )¥Èúûù

çèæ ¥- ,3

613, .

La solución de la inecuación .2.E es ( )¥Èúûù

çèæ ¥-= ,3

613,2S .


Por lo tanto, la solución S de la inecuación 4312£

--

xx

es 21 SS Ç , es decir:

=Ç 21 SS ( )þýü

îíì

¥È÷øö

çèæ ¥-Ç

þýü

îíì

÷øö

êëé ¥È-¥ ,3

613,,

211)3,(

Gráficamente la representación es:

Representaremos con diagonales de izquierda a derecha la solución 1S ( ) y con

diagonales de derecha a izquierda la solución 2S ( ), como buscamos la intersección

(comunes), entonces donde se crucen las líneas, determinaremos a la solución.

- ¥ + + + ¥

613 3

- ¥ + ¥

613 3

211

196

Respuesta: La solución es =S ÷øö

çèæ +¥Èúû

ùçèæ ¥- ,

211

613,

Ej.48. Resolver 64102

>+-

xx

Solución:

64102

>+-

xx

Þ443442143421

.2..1.

641026

4102

DD

xxó

xx

-<+-

>+-

Nuestro objetivo es hallar la solución 1S de la inecuación .1.D y la solución 2S de la

inecuación .2.D y así obtener la solución S , de la inecuación 64102

>+-

xx

, que será

21 SSS È= .

Resolvemos .1.D :

Þ>+- 6

4102

xx 06

4102

>-+-

xx

, resolvemos el lado izquierdo de la

inecuación:( ) 0

446102

>+

+--x

xxÞ 0

4246102

>+

---x

xx y nos queda:

04344

>+--

xx

Como los términos del numerador ambos tienen signo negativo, multiplicamos ambos lados

de la desigualdad por )1(- . Recuerde que cuando multiplicamos una desigualdad por un

número negativo, ésta cambia el sentido

( ) ( )104

)344(1-×<

+--×-

xx

Þ 04344

<++

xx

Ahora evaluamos el signo de la expresión.

1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador

197

217

4343440344 -=Þ-=Þ-=Þ=+ xxxx raíz del numerador

404 -=Þ=+ xx raíz del denominador


en intervalos: ( )217,-¥- , ( )4,2

17 -- y ( )+¥- ,4 . Aquí no se incluyen las raíces del

numerador y del denominador, por que la desigualdad es estricta ( > ).




-¥ -17/2 - 4 -¥

344 +x - + +

4+x - - +

4344

++

xx + - +

Entonces,4344

++

xx

es negativa en el intervalo ÷øö

çèæ -- 4,

217

La solución de la inecuación .1.D es =1S ÷øö

çèæ -- 4,

217

Gráficamente es: 1S

Resolvemos .2.D

64102

-<+-

xx

Comparamos con cero, sumando 6 a ambos lados

de la desigualdad.

-¥ +¥ -17/2 -4

198

Þ<++- 06

4102

xx ( ) 0

446102

<+

++-x

xxÞ 0

4148

<++

xx

Ahora evaluamos el signo de la expresión.

1. Encontramos las raíces del numerador y del denominador

47

8141480148 -=Þ-=Þ-=Þ=+ xxxx

raíz del numerador

404 -=Þ=+ xx raíz del denominador


en intervalos: ( )4,-¥- , ( )47,4 -- y ( )+¥- ,4

7 . Aquí no se incluyen las raíces del

numerador y del denominador, porque la desigualdad es estricta (< ).




-¥ -4 -7/4 +¥

148 +x - - +

4+x - + +

4148

++

xx + - +

Entonces,4148

++

xx

es negativo en el intervalo ÷øö

çèæ --

47,4 .

La solución de la inecuación .2.D es =2S ÷øö

çèæ --

47,4 .


-¥ +¥ -4 -7/4

199

Luego, tenemos la solución 1S de .1.D y la solución 2S de .2.D , y la solución S de la

inecuación 64102

>+-

xx

, es 21 SSS È= .


Respuesta: La solución de la inecuación 64102

>+-

xx

es ÷øö

çèæ -- 4,

217

È ÷øö

çèæ --

47,4 .


Resolver las siguientes inecuaciones:

91. 9£x 92. 15132 £+x

93. 553 £-x 94. 2562 £+-x

95. 153 ³x 96. 413 >+x

97. 024 >- x 98. 3381 ³+- x

99.8

435 <-

x

100.54

2³+

x

101. 2853 ³+-x

102.53

24

>--x

103.1

2>

- xx

104.1

294

£- x

x

105.4

322

<-+

xx

106.3

1213³

+-

xx

-¥ +¥ -17/2 -4 -7/4

200

Resolver los siguientes problemas:

107. La suma de tres números naturales consecutivos es menor e igual a 36.

Determinar el mayor de esos números.

108. Una pareja desea alquilar un carro durante un día de vacaciones. El carro tipo “A”

le cuesta 35 Bs.F. diarios y 0,140 Bs.F por cada kilómetro, mientras que el carro

tipo “B” le cuesta 34 Bs.F. por día y 0,160 Bs.F. por kilómetro. ¿ Después de

cuantos kilómetros el precio del alquiler del carro tipo “B” excede al carro tipo ”A”?

109. El índice de masa corporal (IMC) entre 19 y 20 se considera saludable. Utilice la

fórmula:

ICM=704. (peso en libras)/(estatura en pulgada

Para calcular el rango del peso, redondeado a la libra más cercana, que produzca un IMC

saludable para cada estatura.

· 72 pulgada

· La estatura del lector, en pulgadas

· La estatura del compañero o compañera que esté sentado más cerca de usted.

110. Manuel obtuvo 18 y 8 en sus dos primeros exámenes parciales de matemática.

¿Qué puntuación debe obtener en el tercero, para que su promedio sea al menos

de 15?

Selección de Lecturas Unidad 5 Mat-CIU -Ecuaciones

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