Semana 06

Facultad de Ingeniería y Arquitectura Semestre 2012-II 1

Semana 6 CURSO : CÁLCULO I

Tema :

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

El concepto de limite es la idea central que distingue el cálculo del algebra y trigonometría. Es fundamental para encontrar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto. Empezaremos con la idea intuitiva de límite, estudiando el comportamiento de una función

)(xfy = para valores próximos a un punto, no necesariamente en su dominio. Por ejemplo, sea la función

1

)1)(12(

1

12)(

2

−−+=

−−−=

x

xx

x

xxxf

Es claro que }1{)( −= RfDom . Estudiaremos una función en valores de x que estén cerca de 1. Para todo )( fDomx∈ tenemos que 12)( += xxf . Vamos a construir una tabla de valores de x cercanos a 1, por la izquierda y por la derecha y los valores correspondientes de )(xf son:

x 0.8 0.9 0.99 0.999 1.0009 1.009 1.09 1.2 )(xf 2.6 2.8 2.98 2.998 3.0018 3.018 3.18 3.4

Observando la tabla, podemos verificar que: “a medida que x se aproxima a 1, los valores de )(xf se aproximan a 3”. Utilizando la notación de límite, se escribe

3)(lim1

=→

xfx

Definición formal de Límite. Si f es una función definida sobre un intervalo abierto alrededor del punto 0x , entonces

expresamos que Lxflím

xx=

→)(

0

si para todo 0>ε existe un número 0>δ tal que ε<− Lxf )( siempre que

δ<−< 00 xx

Límite de una función


Propiedades de los límites El límite de )(xf cuando x tiende a 0x no depende del valor de f en 0xx = . Puede

ocurrir, no obstante, que este límite sea )( 0xf . En estos casos se puede evaluar el límite

por sustitución directa. Esto es, )()( 0

0

xfxflímxx

=→

.

Teorema Sean rn, enteros positivo, k una constante,f y g funciones que tengan límites en 0x . Entonces

1. kklímxx

=→ 0

2. )()(.00

xflímkxfklímxxxx →→

=

3. [ ] )()()()(000

xglímxflímxgxflímxxxxxx →→→

±=±

4. [ ]

=

→→→)(.)()().(

000

xglímxflímxgxflímxxxxxx

5. )(

)(

)(

)(

0

0

0 xglím

xflím

xg

xflím

xx

xx

xx→

→

→= , siempre que 0)(

0

≠→

xglímxx

6. [ ]rn

xx

rn

xxxflímxflím

// )()(

00

=

→→

Ejemplo:

1. Use las propiedades de límites para encontrar

a) ( )34 23 −+→

xxlímcx

b)

5

12

24

+−+

→ x

xxlím

cx

c) 34 2

2−

−→xlím

x

Solución

a) ( ) 343434 232323 −+=−+=−+→→→→

cclímxlímxlímxxlímcxcxcxcx

b) ( )

( ) 5

1

5

1

5

1

5

12

24

2

24

2

24

2

24

+−+=

+

−+=

+

−+=

+−+

→→

→→→

→

→

→ c

cc

límxlím

límxlímxlím

xlím

xxlím

x

xxlím

cxcx

cxcxcx

cx

cx

cx

c) ( ) ( ) 13324343434 2

2

2

2

2

2

2

2=−−=−=−=−

−→−→−→−→ xxxxlímxlímxlímxlím


2. Sea 2

4)(

2

−−=

x

xxf en 20 =x

La función no está definida en el punto 2=x . En la figura se observa que cuando x se acerca al punto 2 con valores más grandes, la función se acerca al valor 4. Lo mismo ocurre, si nos acercamos al punto con números menores a 2. En este caso, existe el límite y decimos que

42

42

2=

−−

→ x

xlímx

3. Para x

xf1

)( = en 00 =x

La función no está definida en 00 =x . En la figura se observa que, cuando la variable x

toma valores positivos cada vez más cercanos a 0, la función crece sin medida. En el caso en que x toma valores negativos y se acerca a cero, la función se hace negativa y con magnitud cada vez más grande. En este caso no existe el límite. Eliminación algebraica de denominadores iguales a cero Si el denominador es cero, cancelamos factores comunes en el numerador y denominador para reducir a una fracción en donde el denominador no sea cero en 0x . Luego se puede

encontrar el límite por sustitución en la fracción simplificada. Ejemplo:

4. Evaluar xx

xxlímx −

−+→ 2

2

1

2

Solución

Al evaluar x = 1 en el denominador se obtiene por resultado 0. Luego de factorizar se reduce la fracción

x

x

xx

xx

xx

xx 2

)1(

)2)(1(22

2 +=−

+−=−

−+

Usando la fracción simplificada

31

212212

2

1=+=+=

−−+

→→ x

xlím

xx

xxlím

xx


5. Evaluar 2

2

0

10100

x

xlímx

−+→

Solución Al reemplazar x = 0 en la función se obtiene la forma indeterminada 0/0 y no hay algún factor común para simplificar. Se debe multiplicar al numerador y denominador por la

expresión 101002 ++x (obtenido por cambiar el signo después de la raíz cuadrada).

( )

( )10100

1

10100

10100

100100

10100

10100.

1010010100

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

++=

++=

++−+=

++++−+=−+

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

Por tanto

20

1

101000

1

10100

1101002202

2

0=

++=

++=−+

→→ xlím

x

xlím

xx

6. Encuentre 3

62

3 −−−

→ x

xxlímx

.

Solución

Observe que 3

62

−−−

x

xx no está definida en 3=x , pero todo esta bien. Para tener una idea

de lo que esta sucediendo cuando x se aproxima a 3, podríamos emplear una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, en 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor utilizar un poco de álgebra para simplificar el problema.

523)2(3

)2)(3(

3

633

2

3=+=+=

−+−=

−−−

→→→xlím

x

xxlím

x

xxlím

xxx

La cancelación de 3−x en el segundo paso es válida ya que la definición de límite ignora

el comportamiento en 3=x . Recuerde, 13

3 =−−

x

x siempre que x no sea igual a 3.


LIMITES TRIGONOMÉTRICOS Antes de empezar a resolver límites trigonométricos mencionaremos algunas identidades trigonométricas Razones trigonométricas inversas

1. x

xtan

1cot =

2. x

xcos

1sec =

3. senx

x1

csc =

Identidades trigonométricas 1. 1cos22 =+ xxsen

2. xx 22 sectan1 =+

3. xxctg 22 csc1 =+

Límites de funciones trigonométricas Para todo número real 0x en el dominio de la función,

1. )()( 00

xsenxsenlímxx

=→

2. )cos()cos( 00

xxlímxx

=→

3. )tan()tan( 00

xxlímxx

=→

4. )cot()cot( 00

xxlímxx

=→

5. )sec()sec( 00

xxlímxx

=→

6. )csc()csc( 00

xxlímxx

=→

Dos límites que no pueden evaluarse por sustitución son:

1. 1)(

0=

→ x

xsenlímx

2. 0)cos(1

0=−

→ x

xlímx

Ejemplo:

1. Encuentre 1

)cos(2

0 +→ x

xxlímx

Solución

( ) 01.0)cos(11

)cos(0

2

0

2

0==

+=

+ →→→xlím

x

xlím

x

xxlím

xxx

2. Calcular )(

)cos(10 tsen

tlímt

−→

Solución

01

0)(

)cos(1

)(

)cos(1

)(

)cos(1

0

0

00==

−

=

−

=−

→

→

→→

t

tsenlím

t

tlím

t

tsent

t

límtsen

tlím

t

t

tt


3. t

2

cos(t)lim

2tπ→

π −

Solución

Hacer el cambio de variable h = t – 2

π , entonces t = h + 2

π y si t→2

π , h→ 0.

Luego, el límite con la nueva variable será:

t2

cos(t)lim

2tπ→

π −

= h 0

cos(h )2lim

2h→

π + −

Al aplicar identidad trigonométrica se tiene:

t2

cos(t)lim

2tπ→

π −

= h 0

cos(h)cos( ) sen(h)sen( )2 2lim

2h→

π π − −

= h 0

sen(h)lim

2h→

− −

= 1

2

Por lo tanto, t

2

cos(t)lim

2tπ→

π −

= 1

2

4. 4 4 2

x 0

x x sen (x)lim

1 cos(x)→

−

−

Solución

Factorice en el radicando y sacar raíz cuadrada al factor común.

4 4 2

x 0

x x sen (x)lim

1 cos(x)→

−

−

= 4 2

x 0

x [1 sen (x)]lim

1 cos(x)→

−

−

= 2 2

x 0

x 1 sen (x)lim

1 cos(x)→

−

−

Aplicar identidad trigonométrica, sacar raíz cuadrada y usar extremos y medios.

4 4 2

x 0

x x sen (x)lim

1 cos(x)→

−

−

= x 0

2

cos(x)lim

1 cos(x)

x

→

−

= x 0

2x 0

lim[cos(x)]

1 cos(x)lim

x

→

→

−

= 1

1

2

Por lo tanto, 4 4 2

x 0

x x sen (x)lim

1 cos(x)→

−

−

= 2


EJERCICIOS PROPUESTOS

Encuentre los siguientes límites:

1. 3

113 2

2

−→

xlímx

2. 2

130 −

−→ x

xlímx

3. 5113

1231 −++

−→ xxx

xlímx

4. 103

1072

2

2 −−++

−→ xx

xxlímx

5. 3

82 xxlím

x−

→

6. 1

11 −

−→ x

xlímx

7. 232 2

42

xx

xlímx +

−−−→

8. 23

11 −+

−→ x

xlímx

9. 2

222 −

−→ x

xlímx

10. 23

121 −+

−→ x

xlímx

11. 454

9102

1 −++−

→ x

xxlímx

12. 24

23

0 163

85

xx

xxlímx −

+→

13. 43

31224 −−

−+→ xx

xlímx

14. 472

3523

23

1 +−++−+

→ xxx

xxxlímx

15.

+−

→ 3

62

6 xxlím

x

16. 2

243

2 −−−

→ x

xlímx

17. x

xlímx −−

+−→ 51

534

18. 32

2324

24

1 −++−

→ xx

xxlímx

19.

−−

−→ 31 1

3

1

1

xxlímx

20. 34

62622

22

3 +−−+−+−

→ xx

xxxxlímx

21. 741

632 −−

−→ x

xlímx

22. xx

xxlímx 2

442

2

2 −+−

→

23. 2215

121 +−−

−−→ xx

xxlímx

24. Hallar los valores de m de tal manera

que 2733 2

2

−=−

−+−→

mmx

mxmxxlím

mx

25. )(

)2()7(0 xsen

xsenxsenlímx

−→

26. x

senxxlím

x 2cos

cos4/

−→π

27. )(

)()tan(20 xsen

xsenxlímx

−→


28. x

xxsenxlímx 4

524 3

0

+−→

29. )3(

33

3

0 xsen

xlímx→

30. 230 )(

5.3

xx

xsenxsenlímx −→

31. xsenx

xxlímx

2coscos0

−→

32. x

senxsenxlímx

−−+→

110

33. x

xxlímx cos1

2coscos0 −

−→

34. )2cos(

cos4/ x

senxxlím

x

−→π

35. xxsen

xxsenlímx 2)2(3

9)3(0 +

+−→


LIMITES LATERALES

Ahora extenderemos el concepto de límite a límites laterales, que son límites cuando x se aproxima al número 0x por la izquierda (cuando 0xx < ) o por la derecha (cuando 0xx > ).

Tener un límite L cuando x se aproxima a 0x , la función f debe ser definida en ambos

lados de 0x y los valores de )(xf se aproximan a L cuando x tiende a 0x por ambos lados.

Si f no tiene un límite en 0x , puede tener limite si el enfoque es solo desde un lado. Si el

enfoque es desde la derecha, el límite es un límite por la derecha y desde la izquierda, es un límite por la izquierda. La función xxxf /)( = tiene límite 1 cuando x se aproxima a 0 por la derecha, y tiene

límite -1 cuando x se aproxima a 0 por la izquierda. Puesto que estos valores límites laterales no son lo mismo, no hay un número único al que )(xf se aproxima cuando x tiende a 0. Por lo tanto )(xf no tiene límite en 0.

Intuitivamente, si )(xf es definida en un intervalo ( )bc, donde bc < , y se aproxima arbitrariamente a L cuando x tiende a c desde el interior del intervalo, entonces f tiene límite por la derecha L en c. Escribimos

Lxflímcx

=+→

)(

El símbolo “ +→ cx ” significa que se consideran sólo los valores de x mayores que c. Similarmente, si )(xf es definida en un intervalo ( )ca, donde ca < , y se aproxima arbitrariamente a M cuando x tiende a c en el interior del intervalo, entonces f tiene límite por la izquierda M en c. Escribimos

Mxflímcx

=−→

)(


El símbolo “ −→ cx ” significa que se consideran sólo los valores de x menores que c.

a. Limite por la derecha cuando x tiende a c

b. Limite por la izquierda cuando x tiende a c

Para la función xxxf /)( = se tiene

1)(

0=

+→xflím

x y 1)(

0−=

−→xflím

x

Definición Se dice que )(xf tiene límite por la derecha L en 0x , y se escribe

Lxflímxx

=+→

)(0

si para cada número 0>ε existe un correspondiente número 0>δ tal que para todo x

δ+<< 00 xxx ⇒ ε<− Lxf )( .

Se dice que )(xf tiene límite por la izquierda L en 0x , y se escribe

Lxflímxx

=−→

)(0

si para cada número 0>ε existe un correspondiente número 0>δ tal que para todo x

00 xxx <<− δ ⇒ ε<− Lxf )( .

TEOREMA El )(

0

xflímxx→

existe y es igual a L si y solo si Lxflímxx

=−→

)(0

y Lxflímxx

=+→

)(0

existen

y son iguales a L .


Ejemplo

1. Sea

<≤≤

=xx

xxxf

10, 8.1

100, 2)( , calcular )(

10xflím

x→.

Solución Al calcular estos límites debe distinguirse entre el límite por la izquierda en 10 y el límite por la derecha en 10. Así,

202)(

1010==

−− →→xlímxflím

xx 188.1)(

1010==

++ →→xlímxflím

xx

Puesto que )()(1010

xflímxflímxx +− →→

≠ , por el teorema anterior se concluye que )(10

xflímx→

no

existe.

2. El dominio de 24)( xxf −= es ]2,2[− su grafica es el semicírculo que se muestra en la figura. Tenemos

04 2

2=−

+−→xlím

x

y

04 2

2=−

−→xlím

x

La función no tiene límite por la izquierda en x = -2 ó por la derecha en x = 2

3. Límites de la gráfica de la función

En x = 0: 1)(0

=+→

xflímx


)(0

xflímx −→

y )(0

xflímx→

no existen. La función no está definida a la izquierda

de x = 0. En x = 1: 0)(

1=

−→xflím

x aunque 1)1( =f .

1)(1

=+→

xflímx

,

)(1

xflímx→

no existe. Los límites laterales no son iguales.

En x = 2: 1)(

2=

−→xflím

x , 1)(

2=

+→xflím

x

1)(2

=→

xflímx

aunque 2)2( =f

En x = 3: 2)3()()()(

333====

→→→ +−fxflímxflímxflím

xxx


1. Calcular si existe )(1

xflímx→

donde

<−≥+−

=1 53

1 32)(

xsix

xsixxf

2. Calcular si existe )(2

xflímx→

donde

=≠+

=2 0

2 1 )(

xsi

xsixxf

3. Calcular )(1

xflímx −→

, donde

<++

+

−<++

=xsi

xx

x

xsix

x

xf

1- 56

1

1 3

12

)(

2

3

4

2

4. Calcular si existen )(1

xflímx→

y )(2

xflímx→

, donde

=<≤<≤−

=2 2

21 1

10 1

)(

2

xsi

xsi

xsix

xf

5. Calcular si existen )(5

xflímx→

, donde

<+−

≥−−

−

=5

5-

3512

5 41

5

)(2

xsix

xx

xsix

x

xf


6. Sea h la función definida por

<+≤−

=xx

xxxh

1,2

1,4)(

2

2

Determinar si existen los siguientes límites. )(1

xhlímx −→

, )(1

xhlímx +→

, )(1

xhlímx→

7. Calcular si existen los siguientes limites laterales:

1. 1

25.0 +

+−−→ x

xlím

x

2.

++

++−→ xx

x

x

xlím

x 22

52

1

3. x

xxlímx

5542

0

−+++→

4. ( )2

23

2 ++

++−→ x

xxlím

x

5. ( )xxlím

x−

−→4

6. ( )xxlímx

−+→4

8. Si

≥<≤−

<

=12 ; 1

124 ; 3

4 ; 15

)(

2

x ax-

xx

x-x

xf , hallar a

9. Calcular 16

2424 −

−−++→ x

xxlímx

10. De acuerdo a la figura

Calcular

a. )(1

xflímx +−→

b. )(2

xflímx→

c. )(1

xflímx +→

d. )(1

xflímx −−→

e. )(3

xflímx +→

11. Sea R el rectángulo que une los puntos medios de los lados del cuadrilátero Q , el cual tiene vértices )0,( x± y )1,0( ± . Calcule

eQdperímetro

Rdeperímetrolímx

0+→


LIMITES AL INFINITO

Sea )(xf una función. Supongamos que ( ) fDa ⊂+∞, . Diremos que el límite de )(xf

cuando x tiende a ∞+ es α si los valores de )(xf están tan próximos a α como

queramos con tal de tomar ax > suficientemente grande.

Sea )(xf una función. Supongamos que ( ) fDb ⊂∞− , . Diremos que el límite de )(xf

cuando x tiende a ∞− es α si los valores de )(xf están tan próximos a α como

queramos con tal de tomar bx < negativo de suficiente gran valor absoluto.

En este contexto tenemos los siguientes comportamientos:

+∞=+∞→

n

xxlím con Nn∈

, -

,

∞∞+

=−∞→ imparesnsi

paresnsixlím n

x

0=±∞→ nx x

clím con +∈Qn


Esto lo sintetizan algunos autores escribiendo 0=

∞±c

Si

++++=++++= −−

−−

nn

nnn

nnnn

x

a

x

a

x

aaxaxaxaxaxf

111

011

10)( LL , entonces:

<∞>∞+

=+∞→ 0 , -

0 , )(

0

0

asi

asixflím

x

>∞>∞+

=−∞→ imparesnyasi

paresnyasixflím

x 0 , -

0 , )(

0

0

<∞+<∞−

=−∞→ imparesnyasi

paresnyasixflím

x 0 ,

0 , )(

0

0

Ejemplo:

1. Dada la función polinomial 7654)( 23 +−+−= xxxxf , calcular )(xflímx −∞→

y

)(xflímx +∞→

Solución:

Ya que

+−+−=+−+−=32

323 76547654)(

xxxxxxxxf , entonces

+∞=−−∞=

+−+−=−∞→−∞→

)4)((765

4)(32

3

xxxxlímxflím

xx

−∞=−+∞=

+−+−=+∞→+∞→

)4)((765

4)(32

3

xxxxlímxflím

xx

Si )(

)()(

xQ

xPxf = es una función racional con

mmmm axaxaxaxP ++++= −

−1

110)( L y nn

nn bxbxbxbxQ ++++= −−

11

10)( L , entonces

>∞±

=

<

=±∞→

nmsi

nmsib

a

nmsi

xflímx

,

,

, 0

)(0

0

2. Dada 432

654)(

2

2

+−+−=

xx

xxxf , calcular )(xflím

x −∞→ y )(xflím

x +∞→

Solución


2002

00443

2

654

432

654

432

654)(

2

2

22

22

2

2

=+−+−=

+−

+−=

+−

+−=

+−+−=

−∞→−∞→−∞→−∞→

xx

xxlím

xxx

xxx

límxx

xxlímxflím

xxxx

De igual manera se obtiene 2)( =+∞→

xflímx

3. Calcular 765

432 +−

−+∞→ xx

xlímx

Solución

03

765

43

765

43

765

43

222

2=

∞+=

+−

−=

+−

−=

+−−

+∞→+∞→+∞→

xxx

xlím

xxx

xx

límxx

xlím

xxx

4. Calcular 65

432 3

−+−

−∞→ x

xxlímx

Solución

+∞=∞+=−

+−=

−

+−=

−+−

−∞→−∞→−∞→ 565

432

65

432

65

432 322

323

3

x

xxx

lím

xx

xxx

límx

xxlím

xxx

5. Calcular 1

542 +−

+∞→ x

xlímx

Solución

41

4

11

54

11

54

11

54

11

54

11

54

1

54

22

222

22

2

==+

−=

+

−=

+

−=

+

−=

+

−=

+−

+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→+∞→

x

xlím

xx

xx

lím

xx

xx

lím

xx

xx

lím

xx

xx

límx

xlím

xx

xxxx



Calcule los siguientes límites

1. 5−∞→ x

xlímx

2. 3

2

5 x

xlímx −∞→

3. 2

2

7 t

tlímt −−∞→

4. )3)(5(

2

xx

xlímx −−∞→

5. 1582

2

+−∞→ xx

xlímx

6. 23

3

5002 xx

xlímx −∞→

7. 123

7655

3

+−−+

−∞→ xx

xxlímx

8. 23

23

5

3

xx

xxlímx −

−∞→ π

9. x

xlímx

12 +∞→

10. 12

5723

2

++++

∞→ xx

xxlímx

11.

+−

+∞→ 22

2

2

3

x

x

x

xlímx

12.

−−÷

+−

∞→ 3

4

12

23 22

x

xx

x

xlímx

13. 12 +−∞→ x

xlímx

14. x

xlímx +

+−∞→ 3

49 2

15. 12

132

2

−++

∞→ x

xxlímx

16. 15

322

2

+−

−∞→ x

xxlímx

17. )1)(1(

32

+−++

∞→ xx

xxlímx

18. 13

122 ++

∞→ x

xlímx

19. 32

2

4

81

++

∞→ x

xlímx

20. 22

192

3

+−+

−∞→ xx

xlímx

21. 3 3

2

1

1

−+

∞→ x

xlímx

22. ( )xxxlímx

−+∞→

22

23.

+−

−+∞→ 1212

2

2

3

x

x

x

xlímx

24. 12

152

2

+++

+∞→ x

xxlímx

25. 1

132

24

−−−

+∞→ x

xxlímx

26. ( )xxxlím

x−+−

+∞→522

27. ( )3542 2 −+−+∞→

xxxlímx

28. 33

3

72

3

xx

xxlímx +

+∞→

π

29. ( )5232 22 −−+−∞→

xxxlímx

30. ( )xxxlímx

+++−∞→

622

Semana 06

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