[PROGRAMA PRE-PAES, UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA]

PROGRAMA PRE-PAES 2014Asignatura: Matemtica

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TEMA: ESTUDIEMOS SUCESIONES ARIMTICAS YGEOMTRICAS

Profesor: Luis Roberto Padilla R. e-mail: al p a d illa 1 @ u f g .e du . s v

Coordinador General: Lic. Jos Prez Snchez e-mail: jpere z @ u f g . e d u . s v

Asistente Acadmico: Lic. Herbert Crespn ElasE-mail: h c r es p i n@ u fg . e d u . s v

Tiempo estimado de lectura y resolucin de ejercicios del Material: 2 Horas

1 Asignatura: Matemtica ao 2015

[PROGRAMA PRE-PAES, UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA]

CAPTULO I

Leonardo Fibonacci

ESTUDIEMOS SUCESIONESARITMTICAS Y GEOMTRICAS.

COMPETENCIAS DE APRENDIZAJE.

Al finalizar el captulo el alumno/a sercompetente para:

Identificar, con inters y seguridad, unasucesin aritmtica y describir y explicar,todas sus caractersticas.

Deducir y explicar, con perseverancia yconfianza, el trmino general de unasucesin aritmtica.

Identificar y calcular, con inters, todos losmedios aritmticos entre dos trminos deuna sucesin aritmtica.

Aplicar correctamente y con precisin lafrmula para obtener la suma de losprimeros trminos de una sucesinaritmtica.

Identificar, explicar y describir lascaractersticas de una sucesin geomtrica,con inters y seguridad.

Deducir y explicar, con inters y seguridad,el trmino general de una sucesingeomtrica.

Identificar y calcular los medios geomtricosentre dos trminos de una sucesingeomtrica, con seguridad e inters.

Una sucesin es una funcin matemtica quetoma como dominio el conjunto de los nmerosnaturales y su rango es otro conjunto definidoen los reales. Cada uno de los nmeros realesse llama trminos de la sucesin.

TRMINO GENERALEs la regla o frmula que nos permite encontrarcualquier trmino de una sucesin. No todas lassucesiones tienen trmino general.

SUCESIN ARITMTICA.

Formula del trmino general

Primer trmino: Si conoces la razn ycualquier otro trmino, se tiene la siguiente

frmula.a1=an (n1 )d

La razn: Si se conoce el primer trmino yun trmino cualquiera, se tiene la siguiente

frmula.

d=ana1n1

Nmero de trminos: Si se conoce la razny el primer y ltimo trmino de la progresin,

se tiene la siguiente frmula.

n=ana1+d

d

2 Asignatura: Matemtica ao 2015

[PROGRAMA PRE-PAES, UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA]

Suma de los primeros n-esimos trminos

SUCESIN GEOMTRICA

Se dice que una serie de nmeros estn en progresin geomtrica cuando cada uno de ellos (excepto el primero) es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamadarazn de la progresin.

Si la razn de una progresin geomtrica es mayor que uno, la progresin es creciente, es decir, cada trmino es mayor que el anterior.

Si la razn de una progresin geomtrica est comprendida entre cero y uno, la progresin es decreciente, es decir, cada trmino es menor que el anterior.

Si la razn de una progresin geomtrica es igual a uno, la progresin es constante, es decir, tiene todos los trminos iguales.

Si la razn de una progresin geomtrica es menor que cero, la progresin es alterna, es decir, sus trminos son alternativamente positivos y negativos.

Formula del trmino general

an=a1rn1

Primer trmino: Si conoces la razn ycualquier otro trmino, se tiene la siguiente

frmula.

a1=anrn1

La razn: Si se conoce el primer trmino yun trmino cualquiera, se tiene la siguiente

frmula.

r=n1( ana1 ) Nmero de trminos: Si se conoce la razn

y el primer y ltimo trmino de la progresin,

se tiene la siguiente frmula.

n=log( ana1 )logr +1

Cuando entre dos trminos consecutivos de una sucesin existe una razn constante, sele llama sucesin geomtrica

r=anan1

Suma de los primeros n-esimos trminos

3 Asignatura: Matemtica ao 2015

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Sea la sucesin 1, 3, 5, 7, 9, ... Cul es su trmino general? Resolucin: Se trata de una progresin aritmtica de diferencia d = 2 y primer trmino a1 = 1. El trmino general es, por tanto: an = 1 + (n - 1) 2 = 2n-1

2. Escribir los seis primeros trminos de la sucesin an = 3 2n - 1 Resolucin:

a1 = 3 21 - 1 = 3 1 = 3 a4 = 3 23 = 24

a2 = 3 2 = 6 a5 = 3 24 = 48

a3 = 3 22 = 12 a6 = 3 25 = 96

3. En una progresin aritmtica se sabe que a1 = -2, a32 = 91, a16 = 43. Encontrar a17. Resolucin: Puesto que 1 + 32 = 16 + 17 = 33, por la propiedad de los trminos equidistantes,

a1 + a32 = a16 + a17 -2 + 91 = 43 + a17 a17 = 46

4. Interpolar cinco medios aritmticos entre -18 y 25. Resolucin: La progresin es: -18, a1, a2, a3, a4, a5, 25. Aplicando la frmula obtenida con a = -18 y b = 25.

La progresin aritmtica que se buscaba es:

5. Sumar los veinte primeros trminos de la progresin: -5, 4, 13, 22, 31, 40 Resolucin:

La diferencia es d = 9 a20 = -5 + (20 - 1) 9 a20 = -5 + 199 = 166

6. Cul es el trmino general de la progresin -1, 2, -4, 8, -16, ...? Resolucin: Es una progresin geomtrica en la que el primer trmino a1 vale -1, y la razn es:

Su trmino general es, pues:

an = -1 (-2)n - 1

7. Interpolar cuatro medios geomtricos entre 128 y 4. Resolucin: La progresin es 128, a1, a2, a3, a4, 4. Aplicando la frmula obtenida con a = 128 y b = 4:

La progresin geomtrica que se buscaba es:

128, 64, 32, 16, 8, 4, ...

8. Sabiendo que 3 es el primer trmino de una progresin geomtrica y 1 875 el quinto, calcular la suma de esos cinco trminos.

Resolucin: a5 = 1875 = 354 = a1r4 r4 = 54 r = 5

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El Descubre el valor del octavo trmino de la sucesin

na,...,43,

32,

21

a) 6/7b) 7/8c) 8/9d) 9/10

2. El trmino general de la sucesin

na,...,516,

49,

34,

21

est definido por una de las siguientes ex-

presiones. Identifica la expresin correcta.

a)

1

2

nnan

b)

1

nnan

c)nan 2

1

d)

21

nan

3. Al realizar la suma de los primeros cuatro trminos de la sucesin nn na 1

se obtiene:

a) 2b) 5c) 6d) 10

4. El vigsimo cuarto trmino de la sucesin nan 6

12 es el valor:

a) -2 b) 2c) 6d) 10

5. Al sumar los primeros quince trminos de la sucesin 53 nan

obtengo:

a) 250b) 285 c) 315d) 435

6. El trmino general de la sucesin 11, 15, 19, 23, 27, . . . est definido por:

a)4nan

b)110 nan

c)74 nan

d)43 nan

7. El trmino general de la sucesin ,...

827,

49,

23,1

est definido por:

a)n

na

23

b)12

23

n

na

c)1

23

n

na

d)1

23

n

na

8. La sucesin geomtrica

na,...,1627,

547,

187,

67

posee por razn constante el valor de:

a) -3b) 3c)

31

d)

31

9. Al interpolar cuatro medios geomtricos entre los nmeros 45 y 10,935 se obtiene una raznconstante de:

a) 2b) 3c) 4

d) 5

10.Al sumar los primeros seis trminos de la sucesin n

na

34

resulta:

a) 18.47b) 3.78c) 16.86d) 28

11. Al calcular la suma de los mltiplos de 9 comprendidos entre 200 y 300 resulta:

a) 2,500b) 2,772c) 3,024d) 25,250

12.Al interpolar tres medios geomtricos entre los nmeros 359 y 465,264 se obtiene por raznconstante:

a) 2.5b) 4c) 6d) 10.9

13.Hallar la suma de los primeros diez trminos de la sucesin 5, 15, 45, 135, 405,

a) 73,812b) 3,400c) 25,568d) 147,620

14.Un maratonista en su plan de entrenamiento, decide correr cinco kilmetros en el primer da,ocho kilmetros en el segundo da, once kilmetros en el tercer da; y as sucesivamente du-rante diez das. Cuntos kilmetros correr el dcimo da de entrenamiento?

a) 35b) 32c) 29d) 26

15.Joaqun realiza los siguientes depsitos al inicio de cada mes en un ao: $0.01 en enero, $0.03en febrero. $0.09 en marzo, $0.27 en abril; y as sucesivamente hasta diciembre. Cunto di -nero tendr para poder utilizar en sus compras navideas?

a) $5,314.40b) $2,657.20c) $1,328.61d) $ 885.74

16.Don Mario ha ganado $168 en 7 das laborales. Si sus ganancias diarias estn en sucesinaritmtica y el primer da gan $18 Cunto gan el sptimo da?

a) $30

b) $24

c) $25

d) $18

17.Un motociclista inicia el descenso de una cuesta, logra recorrer 2 metros en el primer segundoy, en cada uno de los segundos posteriores, avanza tres metros ms que en el segundo ante-rior. Si termina de bajar 15 segundos despus que inicio el descenso, cul es el largo de lacuesta?

a) 44 metros

b) 301 metros

c) 345 metros

d) 690 metros

18.Pedro acaba de obtener su primer empleo, en el cual ganar 200 dlares mensuales; pero sela ha prometido que cada ao se le har un aumento de 25 dlares. Si Pedro trabajara durante35 aos y luego se jubilar, entonces el sueldo mensual que devengara a la hora de su retirosera de:

a) 850 dlaresb) 950 dlaresc) 1050 dlaresd) 1075 dlares

19.Cierta bacteria se duplica cada dos minutos. Aproximadamente, cuntos minutos tardar uncultivo de 1000 bacterias convertirse en uno de 512,000 bacterias?

a) 12b) 14c) 16d) 18

20.El valor de la suma 1+2+3+4+5+6+7+8++199+200, es:

a) 5,000

b) 10,800

c) 20,100

d) 40,000

21.Dada la sucesin infinita de nmeros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, Qu nmero sigue des-pus de 64?

a) 65b) 81c) 74d) Cualquier nmero mayor que 64

22.A un pueblo lleg una persona con gripe y desat una epidemia, la cual creci tan rpidamenteque cada da haba el doble de personas contaminadas que haba el da anterior. Es decir queel segundo da haba 2 engripados, el tercero haba 4 y as sucesivamente. El pueblo fue con-taminado completamente en 20 das.

A ese ritmo de contagio, Cunto tiempo habra tardado el pueblo en contaminarsecompletamente, si el primer da hubieran llegado 2 personas enfermas de gripe?

a) 10 das

b) 19 das

c) 20 das

d) No es posible saberlo; porque no se conoce cuntos habitantes tiene el pueblo.

23.La sucesin aritmtica cuyo primer trmino es 1 y cuyo dcimo trmino es 73, tiene como quin-to trmino el siguiente.

a) 33b) 40c) 45d) 50

24.Si entre 31 y 59 se interpolan tres medios aritmticos estos son:

a) 33, 46 y 52b) 38, 47 y 51c) 38, 45 y 52d) 36, 45 y 50

25.El tercer trmino de una sucesin geomtrica es 6 y el sexto es 48, entonces el primer trminoes:

a) 1b) 1.5c) 2d) 3

26.Al efectuar la suma 9+ 16 +23 ++422, se obtiene.a) 2, 954b) 10, 550c) 12, 930d) 25, 860

27.Si entre 4 y 864 se interpolan dos medios geomtricos, estos son:a) 32 y 128b) 64 y 512c) 48 y 192d) 24 y 144

28.El nmero de trminos de la sucesin: 7, 10 13, 16, que deben sumarse para obtener 1515es:

a) 15b) 20c) 25d) 30

29.Fernando ahorr desde el 1 de enero hasta el 9 de mayo. 5ctvs el 1 de enero, 10ctvs el 2 deenero, 15ctvs el 3 de enero, y as sucesivamente. Febrero tiene ese ao 28 das. Ahorra hastael 9 de mayo. Qu cantidad de dinero ahorr ese ltimo da?

a) $6.05

b) $6.35

c) $6.45

d) $6.50

30.El inventor del juego del ajedrez pidi como recompensa: 1 grano de trigo por la primera casilladel tablero; 2 por la segunda; 4 por la tercera, por cada casilla el doble de granos que por laanterior. Cunto granos de trigo pidi por la casilla # 16?

a) 31 granos

b) 256 granos

c) 32,768 granos

d) 65, 535 granos

31.A un estudiante de bachillerato le dejaron leer una obra que ser evaluada dentro de 15 das.Para prepararse, el joven se propuso leer el primer da 9 pginas de la obra, el segundo 13 p-ginas, el tercero 17 pginas, y as sucesivamente, hasta completar la lectura en 14 das.Cuntas pginas tiene la obra?

a) 980b) 490c) 854

d) 18232.Para el prximo ao, el abuelo ha prometido a Andrea que le dar un centavo el primer da del

ao, dos centavos el segundo da del ao, tres centavos el tercer da del ao y as sucesiva-mente durante 150 das. En total, cunto dinero recibir Andrea?

a) $225.00b) $150.00c) $113.25 d) $ 75.50

33.Una persona quiere cancelar su tarjeta de crdito y para eso tiene que pagar $16,800. Escoge un plan de pago de 12 cuotas y la ltima que pagar ser de $2,500. Si la diferencia entre cadauna de las cuotas sucesivas es constante, cunto tendr que pagar en la primera cuota?

a) $227.3b) $1100c) $1300d) $300

34.Doa Mara quiere regalar a su hijo que se casar dentro de un ao la prima de una casa. Paraeso ahorra el 1ermes $0.01; el2do $ 0.03 ;el3ero $0.09 y as sucesivamente hasta que se cumpla un ao. Cunto dinero entregar a su hijo?

a) Sn=0.01 (3121 )

31=2,657

b) Sn=(31 )12=4,096

c) (31 )12

31=2,048

d) Sn=(0.01 (3121 ))=5,314

35.Don Antonio compr un terreno en la playa y desea que le perforen un pozo, de la profundidad que sea necesario hasta encontrar agua potable. Los perforadores empiezan a trabajar bajo el convenio siguiente:

Por el primer metro perforado, don Antonio pagar 5 dlares. Por el segundo pagar el doble que por el primero. Por el tercero pagar el doble de lo que pag por el segundo y as sucesivamente, por cada nuevo metro pagar el doble de lo que pag por el metro anterior.

Si el agua se encuentra a 10 metros de profundidad, entonces don Antonio deber pagar:

a) 50 dlares

b) 275 dlares

c) 5115 dlares

d) 2560 dlares

36.El trmino n-simo de la sucesin o trmino general de 1,5,9, , es:

a) 4

b) 4+(1)c) 54d) 43

37.Si una sucesin aritmtica tiene como dcimo trmino 60 y su diferencia es 3, cules son los tres primeros trminos?

a) 57, 60 y 63b) 54, 57 y 60c) 33, 36 y 39 d) 20, 23 y 26

38. Una sucesin aritmtica consta de 10 trminos y el primero es 2, cul es el ltimo trmino, si la suma de todos ellos es 70?

a) 12 b) 16 c) 72 d) 78

39.Un empleado pagar al banco una deuda de $ 15, 000 en la forma siguiente: en el primer mes $1,000, en el segundo $1,250, en el tercero $1,500, y as sucesivamente. En cuntos meses cancelar la deuda?

a) 8 b) 12c) 15d) 57

40.A un paciente del Hospital Rosales se le especifica en su tratamiento mdico la dosis de su me-dicamento de la siguiente manera: para el primer da 100 mg, para el segundo 95 mg, para el tercer da 90 mg y as sucesivamente. Si el tratamiento es de 12 das, cuntos mg de medici-na consumir?

a) 45b) 155c) 870 d) 1140

SE PROHIBE LA REPRODUCCION PARCIAL

O TOTAL DE ESTE DOCUMENTO DERECHOS RESERVADOS PROPIEDAD

DE LA UNIVERSIDAD

FRANCISCO GAVIDIA

UNDECIMA EDICION

LA PRESENTE EDICION CONSTA DE 200EJEMPLARES

MAYO 2015

SAN SALVADOR, EL SALVADOR, CENTROAMERICA CENTRO DEEDUCACION CONTINUA UFG