Cadenas de Markov

Modulo Cadenas de Markov Tercera Unidad UNS

LEYENDAREYES ARAUCO SAMMIRROBLES LOPEZ JHONARTEAGA VALERIO ANTHONY

VALLADARES VEGA JAMES

OLIVOS CERNA HANSCADA UNO ELABORA SU DIAPO CONFORME AL COLOR QUE LE TOCO

SEMANA 14PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE, CONDICIONES DE EQUILIBRIOP( S1)P( S2 )

Inicio

1

2

3

40.75

0.625

0.5625

0.53125

0.5156250.25

0.375

0.4375

0.46875

0.484375

Tabla N 02 (Pgina 07)

InicioP( S1)P( S2 ) P(S3)

1

2

3

4

50.4

0.22

0.166

0.15

0.1450.3

0.45

0.53

0.565

0.580.3

0.33

0.304

0.285

0.275

Tabla N 03 (Pgina 10)

Consideremos el resultado de la tabla N 02 de la pgina 07 para P(S1) y de la tabla N 03 pgina 10 para P(S2) Se sabe que, las cadenas de Markov poseen una propiedad notable en cuanto a que tienden a aproximarse a lo que se llama estado estable. Considrense los dos ejemplos anteriores de anlisis de transicin. En el sistema de dos estados, P(S1) result ser 0.75 al principio y despus 0.625, 0.567, 0.531 y 0.516. Estas probabilidades se mueven hacia un lmite. En forma anloga, en el sistema de tres estados puede observarse que P(S2), por ejemplo, adquiere los valores 0.3, 0.45, 0.53, 0.565 y 0.58. Despus de unos cuantos ciclos nada ms, las probabilidades de estado comienzan a asentarse o estabilizarse. Cuando una cadena de Markov ha llegado lo suficientemente lejos como para estar cerca de estos lmites, se dice que ha alcanzado un estado estable. Adems, estos lmites son los mismos, independientemente del punto de partida del sistema.

Es importante hacer notar que la existencia de una condicin de estado estable es una propiedad adicional de las cadenas de Markov. De ninguna manera afecta las probabilidades de transicin o la dependencia de cada estado en el estado anterior. Los lmites de estado estable se refieren slo al porcentaje de tiempo a largo plazo que el sistema se encontrar en cada estado particular.

En la mayora de las aplicaciones el estado estable tiene una gran importancia, esto puede apreciarse ms adelante. En esta seccin se describen dos mtodos para determinar estos lmites y se presenta una aplicacin a comercializacin.

Mtodo de la suma de flujosEste mtodo est basado en el concepto de que todo lo que entra debe salir. El diagrama de estados se usa para presentar los flujos. En la figura 6 se muestra de nuevo el ejemplo anterior de dos estados. Para cada estado puede escribirse una ecuacin tal que para el estado k se cumpla:

Esta ecuacin se ve peor de lo que en realidad es. Observando el estado S, en la figura 6, pngase atencin slo en las flechas entre los estados. Para los flujos que llegan, se tiene

Para los flujos que salen, se suman las probabilidades de transicin a todos los otros estados. En este caso slo hay una, 0.25. As, la ecuacin para S1 es

0.25 P(S2) = 0.25 P(S1)De igual manera, el flujo hacia adentro para el estado S2 es 0.25 P(S1) y el flujo hacia afuera es 0.25P(S2). Esto da para S2

0.25 P(S1) = 0.25P(S2)

El hecho de que estas dos ecuaciones sean iguales es una coincidencia. Pero no son independientes; as, se necesita una relacin ms:

P(Sl) = P(S2) = 1Esto proporciona tres ecuaciones con dos incgnitas que pueden resolverse por eliminacin. El resultado es

P(S1) = P(S2) = 0.5El procedimiento no cambia en los sistemas con ms estados. Considrese el ejemplo de tres estados que se dio antes y que se muestra en la figura 7.

Figura N 07

Ejemplo con tres estados

Para el estado S1 se tiene

0.1P(S2) + 0.1P(S3) = (0.3 + 0.3)P(S1)

Para el estado S2, se tiene 0.3P(S1) + 0.3P(S3) = (0.1 + 0.1)P(S2)

y para el estado S3 se tiene0.3P(S1) + 0.1P(S2) = (0.1 + 0.3)P(S3)

Agregamos la ecuacin general P(S1) + P(S2) + (S3) = 1

Ordenando las ecuaciones, para poner todo junto se tienen cuatro ecuaciones:

-0.6P(S1) + 0.1P(S2) + 0.1 P(S3) = 00.3P(S1) - 0.2P(S2) + 0.3 P(S3) = 00.3 P(S1) + 0.1P(S2) - 0.4 P(S3) = 0P(S1) + P(S2) + P(S3) = 1Cuando se resuelve un conjunto de ecuaciones como ste, la ltima ecuacin no puede eliminarse. Si se usan slo las primeras tres, al final se tendr una identidad ya que no son independientes. Una manera de resolverlas es por eliminacin. Se despeja P(S1) en la primera ecuacin y despus se sustituye el resultado en las ltimas dos:

P(S1) = I/6P(S2) + 1/6P(S3)

0.3[1/6P(S2) + 1/6P(S3)] + 0.1P(S2)-0.4P(S3) = 0

[1/6P(S2) + 1/6P(S3)] + P(S2)+ P(S3) = 1

Sumando trminos semejantes, resultan dos ecuaciones con dos incgnitas:

0.15P(S2) - 0.35P(S3) = 0

1.17P(S2) + 1.17P(S3) = 1

Despus puede eliminarse P(S3) multiplicando la primera ecuacin por 1.17/0.35 y sumando las dos ecuaciones:

(1.17 / 0.35) (0.15)P(S2) - 1.17P(S3) = 0

1.17P(S2) - 1.17P(S3) = 1

1.67P(S2) = 1

P(S2) = 0.5988 = 0.6

Con este resultado se encuentra P(S3):

1.17(0.6) + 1.17P(S3) = 1 P(S3) = 0.26Por ltimo, se sustituyen los valores en la ecuacin de P(S1):

P(S1) = 1/6 (0.6) + 1/6 (0.26) = 0.14

Segn los resultados obtenidos en el anlisis de transicin, puede observarse que el sistema estaba cerca de estos lmites despus de slo cinco ciclos.Aplicacin a la administracin: cambio de marca

Las compras de los consumidores estn influidas por la publicidad, el precio y muchos otros factores. Con frecuencia un factor clave es la ltima compra del consumidor. Si, por ejemplo, alguien compra un refrigerador marca Y, y le da buen servicio, quedar predispuesto a comprar otro refrigerador marca Y. De hecho, una investigacin de mercado puede determinar el grado de lealtad a la marca encuestando a los consumidores. En trminos de una cadena de Markov, los resultados de la investigacin son las probabilidades de transicin de seguir con la marca o de cambiar.

En la figura 8 se muestra un ejemplo de cadenas de Markov para el cambio de marca. En este ejemplo, la marca A es la marca de inters y la marca B representa todas las dems marcas. Los clientes son bastante leales, el 80 % de ellos son clientes que repiten. La oposicin conserva el 70 % de sus clientes.

Qu informacin puede obtenerse con el anlisis de Markov? Con el anlisis de transicin puede descubrirse qu tan probable es que un cliente cambie despus de cierto nmero de ciclos. Pero el anlisis de estado estable es el ms til. Qu interpretacin se dara al promedio a largo plazo de estar en cualquiera de los estados? La de porcentajes de mercado! El promedio a la larga del estado A es el porcentaje de mercado que puede esperar recibir la marca A. As, conociendo el grado de lealtad a la marca entre los clientes puede predecirse el porcentaje de mercado para el producto o servicio.Las ecuaciones de estado estable para el ejemplo de la figura 8 son :P(A) = 0.8 P(A) + 0.3 P(B)P(B) = 0.2 P(A) + 0.7 P(B)

P(A) + P(B) = 1

La solucin de este sistema es:

P(A) = 0.6

P(B) = 0.4

La marca A capturar a la larga el 60 % del mercado y las otras marcas tendrn el 40%.

Esta informacin puede ser til en muchas formas. Una de ellas es al evaluar las diferentes estrategias de publicidad. Esta publicidad puede estar dirigida a los clientes actuales en un esfuerzo para incrementar la lealtad a la marca. De otra manera, puede dirigirse a los compradores de otras marcas con el fin de persuadirlos para cambiar. Cmo debe asignarse un presupuesto de publicidad entre estas dos alternativas? El anlisis de Markov puede proporcionar una respuesta si se dispone de cierta informacin adicional. Por ejemplo, si cada incremento se un punto porcentual en el mercado aumenta las ganancias en S/. 50 000 nuevos soles, el presupuesto de publicidad es S/. 100 000 y esto podra aumentar la lealtad a la marca a 85% o incrementar el cambio a la marca a un 35%; el problema puede resolverse de la siguiente manera, teniendo en cuenta la siguiente informacin en la tabla N 04: La Publicidad altera la Matriza) Anuncios dirigidos a los clientes de laDe:b) Anuncios dirigidos a otros compradores De:

Tabla N 04 La Publicidad altera la MatrizSi se dirige a los clientes de la marca A (Ver tabla N 04 parte a)P(A) = 0.85 P(A) + 0.3 P(B)

P(B) = 0.15 P(A) + 0.7 P(B)

P(A) + P(B) = 1

La solucin de este sistema es:

P(A) = 0.75

P(B) = 0.25

Si se dirige a los otros compradores (Ver tabla N 04 parte b)

P(A) = 0.8 P(A) + 0.35 P(B)

P(B) = 0.2 P(A) + 0.65 P(B)

P(A) + P(B) = 1

La solucin de este sistema es:

P(A) = 0.64

P(B) = 0.36

Respuesta: el dirigir la publicidad a los clientes actuales traer el mayor incremento en el porcentaje de mercado, 15 puntos (P(A) = 0.60 en el estado estable y nueva P(A) = 0.75 lo que nos da un incremento de 15 puntos), por lo que la ganancia sera 15 x 50 000 = S/. 750000 nuevos soles con un gasto de S/. 100000.CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Solo puede haber una condicin de equilibrio si ninguno de los competidores altera la matriz de probabilidades de transicin. Es razonable suponer que podra llegarse en el futuro a un estado de equilibrio, con respecto a las participaciones de mercado. El intercambio de clientes en trminos de retencin, ganancias o prdidas, seria esttico en el momento en que se lograra el equilibrio. En trminos de mercadotecnia, cuales son las participaciones de mercado finales o de equilibrio?Pueden emplearse varias matrices de probabilidades de transicin para demostrar las condiciones de equilibrio. La matriz de probabilidades de transicin de A no gana clientes sino que los pierde a favor de B y de C, es

A B C A .85 0 0

B .10 .80 .25

C .05 .20 .75

1 1 1

Es evidente que al final, B y C se apoderaran de todos los clientes de A, porque A pierde .10 a favor de B y .05 a favor de C. Sin embargo, lo que es mas importante, A no gana clientes de B o de C. Otro tipo de equilibrio que puede ocurrir es la condicin en que A nunca pierde ninguno de sus clientes.

A B C

A 1.0 .10 .05

B 0 .80 .05

C 0 .10 .90

1 1 1

Como A no sufre perdidas de Mercado, solo es cuestin de tiempo para que tenga todos los clientes de B y C, a lo que se llama sumidero o Cuenca de un Estado, porque al final una empresa obtiene toda la clientela. En el primer ejemplo esto se llama sumidero o Cuenca de dos Estados, porque al final, dos empresas comparten toda la clientela del Mercado.

El ejemplo mas comn es aquel en que ninguna empresa obtiene toda la clientela, sea que en un total de tres empresas, ni una ni dos de ellas se apoderara de todo el Mercado. 0.75

0.75

S2

S1

0.25

0.25

Figura 6

Un ejemplo de dos estados

0.8

A:

Marca B

Marca A

A

Figura 8

Cambio de Marca

0.7

De:

Marca B

Marca A

B

0.2

0.3

0.3

0.7

0.8

0.2

Marca A

Marca B

A:

0.3

0.7

0.8

0.2

Marca A

Marca A

Marca B

A:

0.3

0.7

0.8

0.2

Marca A

PAGE 13Ing Juan Pablo Snchez Chvez Pag.

_1132476277.unknown

_1132476649.unknown