Semana 2 1_

Enith Cecilia Niebles Lara Especialista educación Matemática Ingeniera Civil Curso para hacer clase Estadística Inferencial

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SEMANA 2

2. Estadística Inferencial

2.1 Teoría del Muestreo

Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar las características poblacionales desconocidas, examinando la información obtenida de una muestra, de una población. El punto de interés es la muestra, la cual debe ser representativa de la población objeto de estudio.

Se seguirán ciertos procedimientos de selección para asegurar que las muestras reflejen observaciones a la población de la que proceden, ya que sólo se pueden hacer observaciones probabilísticas sobre una población cuando se usan muestras representativas de la misma.

Una población está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene cierta observa.

Una muestra es un subconjunto de observaciones seleccionadas de una población.

- Muestras Aleatorias

Cuando nos interesa estudiar las características de poblaciones grandes, se utilizan muestras por muchas razones; una enumeración completa de la población, llamada censo, puede ser económicamente imposible, o no se cuenta con el tiempo suficiente.

A continuación se verán algunos usos del muestreo en diversos campos:

1. Política. Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones.

2. Educación. Las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza.

3. Industria. Muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para controlar la calidad.

4. Medicina. Muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo.

5. Agricultura. Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la producción los efectos de un fertilizante nuevo.

6. Gobierno. Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad nacional.


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- Errores en el Muestreo

Cuando se utilizan valores muestrales, o estadísticos para estimar valores poblacionales, o parámetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral.

El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población.

Cuando una muestra no es una copia exacta de la población; aún si se ha tenido gran cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamaño sean representativas de una cierta población, no esperaríamos que las dos sean idénticas en todos sus detalles. El error muestral es un concepto importante que ayudará a entender mejor la naturaleza de la estadística inferencial.

Los errores que surgen al tomar las muestras no pueden clasificarse como errores muéstrales y se denominan errores no muestrales.

El sesgo de las muestras es un tipo de error no muestral. El sesgo muestral se refiere a una tendencia sistemática inherente a un método de muestreo que da estimaciones de un parámetro que son, en promedio, menores (sesgo negativo), o mayores (sesgo positivo) que el parámetro real.

El sesgo muestral puede suprimirse, o minimizarse, usando la aleatorización.

La aleatorización se refiere a cualquier proceso de selección de una muestra de la población en el que la selección es imparcial o no está sesgada; una muestra elegida con procedimientos aleatorios se llama muestra aleatoria.

- Técnicas de Muestreo Aleatorio

Los tipos más comunes de técnicas de muestreo aleatorios son el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático.

Muestreo Aleatorio Simple

Si una muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elementos de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados, la llamamos muestra aleatoria simple.


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Ejemplo

Suponga que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de estadística de 20 alumnos. 20C5 da el número total de formas de elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel, una tarea tremenda, luego los colocamos en un recipiente y después los revolvemos, entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de papel con cinco nombres. Un procedimiento más simple para elegir una muestra aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y después extraer cinco papeles al mismo tiempo.

Otro método para obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un grupo de 20 utiliza una tabla de números aleatorios. Se puede construir la tabla usando una calculadora o una computadora. También se puede prescindir de estas y hacer la tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel, las colocamos en un recipiente y los revolvemos, de ahí, la primera tira seleccionada determina el primer número de la tabla, se regresa al recipiente y después de revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo número de la tabla; el proceso continúa hasta obtener una tabla de dígitos aleatorios con tantos números como se desee.

Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico, imposible o no deseado; aunque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas nacionales de opinión sobre productos o sobre elecciones presidenciales, sería muy costoso o tardado.

Muestreo Estratificado

El muestreo estratificado requiere de separar a la población según grupos que no se traslapen llamados estratos, y de elegir después una muestra aleatoria simple en cada estrato. La información de las muestras aleatorias simples de cada estrato constituiría entonces una muestra global.

Ejemplo

Suponga que nos interesa obtener una muestra de las opiniones de los profesores de una gran universidad. Puede ser difícil obtener una muestra con todos los profesores, así que supongamos que elegimos una muestra aleatoria de cada colegio, o departamento académico; los estratos vendrían a ser los colegios, o departamentos académicos.


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Muestreo por Conglomerados

El muestreo por conglomerados requiere de elegir una muestra aleatoria simple de unidades heterogéneas entre sí de la población llamadas conglomerados. Cada elemento de la población pertenece exactamente a un conglomerado, y los elementos dentro de cada conglomerado son usualmente heterogéneos o disímiles.

Ejemplo

Suponga que una compañía de servicio de televisión por cable está pensando en abrir una sucursal en una ciudad grande; la compañía planea realizar un estudio para determinar el porcentaje de familias que utilizarían sus servicios, como no es práctico preguntar en cada casa, la empresa decide seleccionar una parte de la ciudad al azar, la cual forma un conglomerado.

En el muestreo por conglomerados, éstos se forman para representar, tan fielmente como sea posible, a toda la población; entonces se usa una muestra aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. Los estudios de instituciones sociales como iglesias, hospitales, escuelas y prisiones se realizan, generalmente, con base en el muestreo por conglomerados.

Muestreo Sistemático

El muestreo sistemático es una técnica de muestreo que requiere de una selección aleatoria inicial de observaciones seguida de otra selección de observaciones obtenida usando algún sistema o regla.

Ejemplo

Para obtener una muestra de suscriptores telefónicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los números de las páginas del directorio telefónico; al elegir el vigésimo nombre de cada página obtendríamos un muestreo sistemático, también podemos escoger un nombre de la primera página del directorio y después seleccionar cada nombre del lugar número cien a partir del ya seleccionado. Por ejemplo, podríamos seleccionar un número al azar entre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los números 40, 140, 240, 340 y así sucesivamente.


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Error Muestral

Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional µ, entonces la media muestral, como medida, conlleva algún error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población con media µ = 15: si la media de la muestra es x=12, entonces a la diferencia observada x- µ = -3 se le denomina el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional µ y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces:

= µ+E

Ejemplo

Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tres valores, 2, 4 y 6, para simular una población "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran número de veces, supondremos que éste se hace con reemplazo, es decir, el número elegido se reemplaza antes de seleccionar el siguiente, además, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4) es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se seleccionó primero 4 y después 2. La siguiente tabla contiene una lista de todas las muestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar con reemplazo y también contiene las medidas muéstrales y los correspondientes errores muéstrales. La media poblacional es igual a µ = (2+4+6)/3 = 4. Ver la tabla en la siguiente página.

Nótese las interesantes relaciones siguientes contenidas en la tabla:

La media de la colección de medias muéstrales es 4, la media de la población de

la que se extraen las muestras. Si x denota la media de todas las medias muéstrales entonces tenemos:

µ x = (3+4+3+4+5+5+2+4+6)/9 = 4

La suma de los errores muéstrales es cero.

E1 + E2 + E3 + . . . +Ee9 = (-2) + (-1) + 0 + (-1) + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 = 0


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Muestras ordenadas

Error muestral e = - µ

(2,2) 2 2 – 4 = -2

(2,4) 3 3 – 4 = -1

(2,6) 4 4 – 4 = 0

(4,2) 3 3 – 4 = -1

(4,4) 4 4 – 4 = 0

(4,6) 5 5 – 4 = 1

(6,2) 4 4 – 4 = 0

(6,4) 5 5 – 4 = 1

(6,6) 6 6 – 4 = 2

En consecuencia, si se usa para medir, estimar, la media poblacional x, el promedio de todos los errores muéstrales es cero.

Distribuciones Muestrales de una población

Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia, impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes en el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones se harán usando estadísticas muéstrales. Como el análisis de las distribuciones asociadas con los estadísticos muéstrales, podremos juzgar la confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido.

Como los valores de un estadístico, tal como x, varían de una muestra aleatoria a otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente distribución de frecuencias.


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La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.

Distribución Muestral De Medias

Suponga que se han seleccionado muestras aleatorias de tamaño 20 en una población grande. Se calcula la madia muestral x para cada muestra; la colección de todas estas medias muéstrales recibe el nombre de distribución muestral de medias, lo que se puede ilustrar en la siguiente figura

Suponga que se eligen muestras aleatorias de tamaño 20, de una población grande, y se calcula la desviación estándar de cada una. La colección de todas estas desviaciones estándar muéstrales se llama distribución muestral de la desviación estándar, y lo podemos ver en la siguiente figura:


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Ejemplo

Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2, con reemplazo, de la población de valores 0, 2, 4 y 6. Encuentre:

µ , la media poblacional.

ρ, la desviación estándar poblacional.

µ x, la media de la distribución muestral de medias.

ρ x, la desviación estándar de la distribución muestral de medias.

Además, grafique las frecuencias para la población y para la distribución muestral de medias.

Solución:

a. La media poblacional es:

b. La desviación estándar de la población es:

c. A continuación se listan los elementos de la distribución muestral de la media y la correspondiente distribución de frecuencias.


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La media de la

distribución muestral de medias es:

d) La desviación estándar de

la

distribución muestral de medias es:

De aquí que podamos deducir que:

Como para cualquier variable aleatoria, la distribución muestral de medias tiene una media o valor esperado, una varianza y una desviación estándar, se puede demostrar que la distribución muestral de medias tiene una media igual a la media poblacional. Esto es:1

- Distribución Muestral

Para cada muestra se puede calcular un estadístico, tal como la media, desviación típica, etc., que variará de una muestra a otra, de ésta forma se obtiene una distribución del estadístico que se conoce con el nombre de distribución muestral, como se había dicho anteriormente.

1 Teoría del muestreo. Unidad 1. Instituto Tecnológico de Chihuahua. Tomado de

http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/estadistica1/cap01.html

http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/estadistica1/cap01.html


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Distribución Muestral de Medias Supóngase que se han extraído de una población finita todas las posibles muestras:

- Sin reemplazamiento de tamaño n, siendo el tamaño de la población N>n, entonces,

= Donde

= Media Poblacional de la distribución muestra de medias. = Media poblacional

Además, =

√ √

-Si el muestreo es con reemplazamiento los datos anteriores se convierten en

= y =

√

Ahora: Llamaremos:

Media Muestral de Medias Muestrales = ∑

Donde k= Número de

muestras en la distribución muestral. Error estándar de la Distribución Muestral de media Muestrales =

= √

Ejemplo: Supóngase que las alturas de 3000 estudiantes de una universidad se distribuyen normalmente con una media de 68 pulgadas y una desviación estándar de 3 pulgadas. Sí se toman 80 muestras de estudiantes c/u. Cuál será la Media muestral de medias y la Desviación Muestral de Medias si: a) Si realiza con reemplazamiento b) Sí se realiza sin reemplazamiento.


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Solución: Datos:

X N

= 68 pulgadas = 3.0 pulgadas Número de muestras lo llamaremos k = 80 N= 3000; n = 25 a) Con reemplazamiento.

De acuerdo con el teorema Central de Límite que dice: “En una población cualquiera, a medida que n aumenta, la distribución, de las medias Muestrales se aproxima a una distribución normal con una media

= y un error estándar de =

√ “

Por tanto: = = 68 Pulgadas y =

√ =

√ = 0.6 pulgadas

b) Sin reemplazamiento :

= = 68 Pulgadas

=

√ √

=

√

= 0.6 pulgadas

Podemos esperar que la distribución muestral de medias se distribuya aproximadamente en forma normal con una media de 68 Pulgadas y una desviación típica de 0.6 pulgadas.

Ejemplo 2:

Del ejercicio anterior:

a) ¿Cuantas muestras esperaría encontrar en una media entre 66,8 y 68,3 pulgadas?

Solución:

Sabemos que x , (es decir, que la distribución es aproximad mente Normal)

Y que = 68 pulgadas, = 0.6 pulgadas


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Entonces estandarizamos la variable aleatoria X en Z, de acuerdo a lo estudiado en el capítulo anterior.

Z=

; Zo =

= - 2.0 Z1 =

= 0.5 ; En forma gráfica se tiene:

x 68.3 66.8 68 0.5 z O -2 El área bajo la curva nos indicará el porcentaje de muestras en la población. P(66.8 < X< 68.3) = P( -2.0 < Z < 0.5) = Ver Tabla A31 y A32 N(0.5) – N(-2.0) = 0.6915 – 0.0228 = 0.669 De acuerdo al problema anterior, hay 80 muestras de 25 estudiantes en una población de 3000 estudiantes, con una regla de tres tenemos:

100% 80 muestras 66.9% X X = 53.5; Se logran aproximadamente 53 Muestras c) ¿Cuantas muestras esperaría encontrar en una media Menor de

66.8 Pulgadas?


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Z =

= - 2.667 Ver Tabla A31 y A32

O sea N(-2.667) = 0.0038 x

68 100% 80 Muestras

66.4 0.38% x X = 0.3 Muestras Cuando la media es menor de 66.4 pulg, no se logra ni una sola muestra Estadística Inferencial Estadística inferencial usa la muestra estudiada en la estadística descriptiva para pronosticar y hacer inferencia sobre un fenómeno, para sacar conclusiones y de esta forma tomar decisiones y solucionar problemas. Métodos Clásicos de Hacer Inferencia

1) Por medio de Estimación Puntual 2) Por medio de intervalos de Confianza 3) Por medio de Pruebas de Hipótesis

1) Utilizando Estimación Puntual

La estimación puntual utiliza el estadígrafo para estimar el parámetro de la población de interés.

Para ello se basa en dos criterios para determinar la bondad del estimador:

Que sea insesgado, es decir que no posea sesgo respecto al parámetro.

Que tenga una varianza mínima.

En la estimación puntual se utiliza el estadígrafo como estimador de su propio parámetro así:


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Se utiliza como estimador del parámetro

S Se utiliza como estimador del parámetro

S2 Se utiliza como estimador del parámetro

2) Intervalos de Confianza Es el rango de valores encontrado estadísticamente, dentro del cual se

espera que se encuentre un parámetro poblacional en estudio ( )

Límite Inferior < <Limite superior; se le llama Intervalo de confianza de (1- ) 100%.

A la fracción (1- o Grado de confianza, es la probabilidad que deseamos para que un parámetro se encuentre dentro del intervalo calculado. Los coeficientes más usados son (1- ) = 90%, 95%, 99%

Si fijamos un coeficiente de confianza de 95%, estamos indicando que tenemos una confianza de que de 100 intervalos calculados, en 95 de ellos el parámetro poblacional caerá dentro de éstos, es decir que solo en 5 intervalos el parámetro estará fuera.

= Es la probabilidad de que el parámetro esté fuera del intervalo,

Ejemplo:

Si fijamos una confianza del 95% es porque estamos sugiriendo un = 0.05 Nota: Entre más amplio sea el intervalo de confianza, podemos tener más confianza de que el intervalo dado contenga el parámetro desconocido. Pero veamos éste ejemplo. Ejemplo: Se tiene una confianza del 95% de que la vida útil de unas bombillas esta entre 6 y 7 años y se tiene una confianza del 99% de que la vida útil de las bombillas esté entre 3 y 10 años. ¿Cuál intervalo cree usted que es conveniente? En este caso por supuesto es mejor tener un intervalo más pequeño. Algunas veces las restricciones en el tamaño de nuestra muestra nos impiden tener intervalos cortos sin sacrificar algo de nuestro grado de confianza.


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- Estimación de la Media poblacional para una Muestra. Utilizando Estimación: Por Intervalos de Confianza, con varianza conocida.

Consideremos ahora la estimación por intervalo de , si la muestra se selecciona a partir de una población Normal, o en caso de que no sea Normal, el tamaño de la muestra n es suficientemente grande, podemos

establecer un intervalo de confianza para , basándonos en el teorema del límite central, podemos esperar que la distribución de esté distribuida en forma aproximadamente Normal, media = y desviación estándar

de =

√ .

Al escribir z

para Z por arriba del cual encontramos en la gráfica un área

de

vemos que la probabilidad P( - z

< Z < z

) = 1 - , donde

Z =

√

, por tanto P( - z

<

√

, < z

) = 1 -

En la gráfica vemos claramente el intervalo calculado: Curva Normal Estándar

1-

Z 0

P( - z

< Z < z

) = 1 -

Realizando manipulación algebraica llegamos al intervalo de confianza

P( - z

√ < < + z

√ ) = 1 -

Se utilizará la media muestral (como estimación puntual), para estimar la media poblacional Se selecciona una muestra pequeña de tamaño n de una población cuya

varianza se conoce y se calcula la media para obtener el siguiente


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intervalo de confianza de (1- ) 100%. Es importante resaltar que recurrimos al teorema del límite central.

Sí es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población

con varianza conocida. Un intervalo de confianza (1- ) 100% para Está dada por:

- z

√ < < + z

√ En donde z

es el valor Z que deja un área de

a la derecha. Nota: Para muestras pequeñas que se seleccionan de poblaciones no normales, no podemos esperar que nuestro grado de confianza sea preciso. Sin

embargo, para muestras de tamaño n 30, sin importar la forma de la mayor parte de la población la teoría de muestreo garantiza buenos resultados. Ejemplo: Un grupo de biólogos encuentra en cierto rio, que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de contaminantes, en 36 sitios diferentes es de 2,6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95 % y 99% para la concentración media de zinc en el rio. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3 Solución:

La estimación puntual es = 2.6 gr/mililitro, el valor Z, que deja un área de 0.025 a la derecha y por tanto un área de 0.975 a la izquierda, es Z0.025 = 1.96 (Ver Tabla A31 y A32) o en el libro Walpóle - Myer. Se anexa tabla al final del capítulo 2 0.975

0.025 0.025 Z

Z(-0.025) Z0.025 = 1.96 Por tanto realizando los cálculos vemos que el intervalo de confianza de 955 es:


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2.6 - 1.96 (

√ ) < < 2.6 + 1.96 (

√ )

Que se reduce a

2.5< < 2.70

Vemos ahora que se requiere un intervalo para estimar con un grado más alto de precisión.

Nota: El intervalo de confianza de (1- ) 100% proporciona una estimación de precisión de nuestra estimación puntual. Si es realmente un valor real del intervalo, entonces estima a sin error.

La mayor parte de las veces, sin embargo, no será exactamente igual

y la estimación puntual es un error. La magnitud de éste error es el valor absoluto de la diferencia entre y , o sea, │ │ y podemos tener (1- ) 100% de confianza de que ésta diferencia no

excederá de

√ . Esto se puede ver fácilmente en el siguiente

diagrama con un intervalo de confianza hipotético: Error

- z

√ + z

√

Ahora, se tiene que, podemos tener una confianza de (1- si se

utiliza como una estimación de (1- ) 100% de que el error no

excederá de z

√

En el ejemplo anterior:

│ │= 0.1 ó │ │= 0.1

Tenemos que el 95% de confianza de que la media muestral = 2.6 difiere de la media real por una cantidad menor que 0.1 Ejercicio: Desarrolle el ejemplo anterior con un intervalo de confianza de 99% 2

2 Estimación por intervalos de confianza. Alicia Ledema. UNLP. Apartes tomados del sitio web

http://www.ing.unlp.edu.ar/fismat/estadistica/estadistica/archivos/Capitulo5_ESTIMACION_POR_INTERVALO_ES_DE_CONFIANZA.pdf

Semana 2 1_

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